专题02 二次函数实际应用与综合压轴解答9大题型60题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材人教版五四制

专题02 二次函数实际应用与综合压轴解答 基础·固本强基 题型1 利润（销售）最值问题 题型2 面积最值问题 提升·进阶突破 题型3 抛物线形建模问题（拱桥、隧道、喷泉、投篮） 题型4 动态几何与组合图形面积 拔高·压轴破难 题型5 二次函数综合线段周长问题 题型6 二次函数综合面积问题 题型7 二次函数综合角度问题 题型8 二次函数综合三角形存在性问题 题型9 二次函数综合四边形存在性问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 利润（销售）最值问题（共8小题） 【模型】商品销售问题的基本关系是：单件利润＝售价－进价，总利润＝单件利润×销量。设售价或涨（降）价幅度为自变量 x，总利润 y 一般是 x 的二次函数。常见设元如下： ①设售价为 x 元： ②设每件涨价 x 元：单件利润＝原利润＋x，销量＝原销量－x·每涨1元少卖件数，如 ③设每件降价 x 元：单件利润＝原利润－x，销量＝原销量＋x·每降1元多卖件数，如 化简后一般形如 y＝ax²＋bx＋c（其中 a<0 开口向下，有最大值）。 【步骤】第1步　设自变量 x（通常设售价或涨降价幅度），写出 x 的实际取值范围（定义域）。 第2步　用含 x 的式子表示单件利润与销量。 第3步　列总利润 y＝单件利润×销量，化简为 y＝ax²＋bx＋c。 第4步　求最值：先配方或求顶点横坐标 x₀＝−b/(2a)；若 x₀ 在定义域内则直接取顶点，否则在定义域端点处取最值。 【易错】①定义域遗漏：x 受“不亏本（售价≥进价）”“不积压（销量≥0）”“涨价/降价有范围”等条件限制，必须先写再验。 ②设元混乱：把“售价”与“涨价幅度”混用，导致单件利润或销量表达错误。 ③忽视 a 的正负：a<0 才取最大值；若 a>0 则应讨论最小值。 ④顶点出界仍套顶点：x₀ 不在定义域内时，最值在定义域端点取得。 1．（25-26九年级上·陕西安康·期中）信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 【答案】1690 【详解】解：设商家降价元，每天获得的利润为元， ∵ 每罐进价为元，原售价为元， ∴ 降价后每罐利润为元． ∵ 售价每降低元，销量增加罐，原销量为罐， ∴ 降价元后，销售量为罐， 又∵销售单价不低于进价， ∴， 解得， 总利润， ∵ ，二次函数开口向下，在顶点处取得最大值，顶点的横坐标为，满足， 将代入得， 因此商家降价能获得的最大利润为元． 2．（25-26九年级上·广东汕头·期中）潮阳区某特产店销售潮式酥糖礼盒，每盒的成本为24元．调查发现：当每盒售价为40元时，每天可售出32盒；售价每降低1元，每天就多售出4盒．设每盒降价x元，每天销售该礼盒的利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当每盒降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)； (2)当每盒降价4元（即售价为36元）时，每天的销售利润最大，最大利润为576元 【详解】（1）解：降价后每盒的利润为元，每天的销售量为盒． 由题意，． 又且， ∴． （2）解： ． ∵， ∴抛物线开口向下，当时y有最大值576． 答：当每盒降价4元时，每天的销售利润最大，最大利润为576元． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）为弘扬桐城派文化，让更多游客了解六尺巷，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款定制“一纸书来只为墙”的主题团扇的成本价是元，当售价为元时，每天可以售出件，经调查发现，售价每降价元，每天可以多售出件．设该款主题团扇售价为元． (1)每天售出的数量是________件． (2)文旅公司每天售卖该款主题团扇的利润为元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当售价为元时，每天的利润最大，最大利润是元 【详解】（1）解：售价从元降到元，降价金额为元， ∵每降价元多售件， ∴多售出的数量为件， ∴每天售出的数量为：（件）； （2）解：根据题意得： ， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取得最大值，最大值为， 答：当售价为元时，每天的利润最大，最大利润是元． 4．（25-26九年级上·江苏南通·期中）2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件．每件盈利30元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价元． (1)降价后每件T恤衫的利润为__________（元），平均每天可多售出__________件（用含的代数式表示）； (2)若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ (3)每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 【答案】(1)， (2)每件T恤衫应降价15元 (3)每件应降价10元 【详解】（1）解：由题意，降价后的每件T恤衫的利润为元，平均每天可多售出件； 故答案为：，； （2）解：由题意，得：， 解得：或， ∵为了尽快减少库存、增加盈利， ∴； 答：每件T恤衫应降价15元． （3）解：设利润为元，由题意得，， ∵， ∴当时，使每天获得的利润最大， ∴每件应降价10元． 5．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量（盏）与时间（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格（元/盏）与时间（天）之间符合函数关系式.（，且为整数） (1)该台灯的日销售量（盏）与时间（天）之间的函数关系式为：______； (2)在这20天中，第8天的日销售利润为_______元； (3)在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3)第10天日销售利润最大，最大日销售利润是450元 【详解】（1）设日销售量与时间之间的函数关系式为， 根据题意，当时，；当时，， 有方程组：， 解得， ； （2）售价，成本为元/盏， 每盏利润， 当时，日销售量（盏）， 每盏利润（元）， 日销售利润 （元）； 答：第8天的日销售利润为元． （3）设日销售利润为元， 则， 化简得：， ， 有最大值， 当时，最大， 最大利润（元）； 答：第10天日销售利润最大，最大日销售利润是元． 6．（25-26九年级上·山东烟台·期中）“秋风起，吃腊味”，某腊肠店销售A，B两类腊肠．A类腊肠进价元/件，B类腊肠进价元/件．已知购买2件A类腊肠和1件B类腊肠需元，购买3件A类腊肠和5件B类腊肠需元． (1)求A类腊肠和B类腊肠每件的售价各是多少元？ (2)A类腊肠供货充足，按原价销售每天可售出件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出件（每件售价不低于进价）．设每件A类腊肠降价x元，每天的销售量为y件，请直接写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，设该店每天销售A类腊肠的利润为w元，请求出w与x的函数关系式，并求出每天每件A类腊肠降价多少元时利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A类腊肠的售价为元/件，B类腊肠的售价为元/件 (2)（） (3)²，每件A类腊肠降价2元时利润最大，最大利润为元 【详解】（1）解：设每件类腊肠的售价为元，则每件类腊肠的售价为元， 根据题意得， 解得， 则每件类腊肠的售价（元， 答：类腊肠的售价为元件，类腊肠的售价为元件； （2）解：由题意得， 类腊肠进价元件，售价为元件，且每件售价不低于进价， ， 答：； （3）解： ， ， 当时，有最大值， 答：类腊肠每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为元． 7．（25-26九年级上·浙江温州·期中）草莓被誉为“水果皇后”，不仅美味可口，还富含营养.新鲜上市的草莓很受大家欢迎，某商店每千克草莓的成本价为17元，经调查研究，在开始销售的30天，其每日销售量（千克）与时间（天）存在一次函数关系，数据如表： 时间t（天） 1 2 5 10 20 日销售量 128 136 160 200 280 在这30天内，前25天每天的价格（元/千克）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数），从第26天开始，每天的价格则稳定在27元/千克． (1)直接写出m关于t的函数关系式______． (2)求第30天当天的销售利润． (3)这30天哪一天的销售利润最大，求出t的值及当天的销售利润． 【答案】(1)（且t为整数） (2)3600元 (3)第15天和第16天销售利润最大，或16，当天销售利润为3720元 【详解】（1）解：设m关于t的函数关系式为， 将，和，代入得： ， 解得， ∴m关于t的函数关系式为（，且t为整数）． 故答案为：（，且t为整数）； （2）第30天价格（元/千克），销售量（千克）， 故利润（元）． 答：第30天当天销售利润为3600元； （3）①当时， 利润， 即， 二次函数开口向下，顶点横坐标， 故或16时，最大，为（元）； ②当时，利润，随t增大而增大， 故时，（元）； 比较得，第15、16天销售利润最大，最大利润为3720元． 答：第15天和第16天销售利润最大，或16，当天销售利润为3720元． 8．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）某商店销售进价为20元/件的某种商品，在第天的售价与销量的相关信息如下表：设销售商品的每天利润为y元． 时间x（天） 售价（元/件） 70 每天销量（件） (1)求当时，y与x的函数关系式； (2)问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ (3)现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元给贫困地区，在销售的前45天内该商店当日最大利润为3872元，求a的值． 【答案】(1) (2)第35天时，最大利润为4050元 (3)2 【详解】（1）当时，； （2）当时， ， ∵二次项系数为， 二次函数开口向下，二次函数对称轴为， 当时，， 当时，，随的增大而减小， 当时，， 综上所述，该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元； （3）解：∵在销售的前45天内 ∴ 根据题意得，， 函数的对称轴， 当时，， ∴， 解得或， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴舍去， ． 题型2 面积最值问题（共7小题） 【模型】给定周长（篱笆长度、材料长度）围成矩形等图形，面积 S 关于某一边长 x 构成二次函数，形如 S＝ax²＋bx＋c（a<0 有最大值）。 ①不靠墙：S＝x·(周长÷2－x)，如 ②一面靠墙（只围三面）：S＝x·(L－2x)（x 为与墙垂直的边），如 ③若墙长有限，则平行于墙的一边还受墙长限制，定义域随之改变，如 【步骤】①设某一边长为 x；②用 x 与给定条件表示另一边长（注意靠墙边是否要围）；③列面积 S＝长×宽（或几何面积公式）；④求最值并检验定义域（各边长均为正，且满足材料与墙长限制）。 【易错】①靠墙问题少算一边，误把靠墙边也计入篱笆总长；②忽略定义域（需使两边长均为正，如 0<x<L−2x）；③顶点横坐标不在定义域内时，须在定义域端点取最值。 9．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、B两点，点是线段上一点（不与点，重合），过点分别作轴、轴，垂足分别为和，设，矩形的面积为． (1)求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求矩形的面积的最大值，并由此说明点的位置． 【答案】(1) (2)最大值为，此时点的坐标为 【详解】（1）根据题意可知，点的坐标为，点的坐标为． 根据题意，可设点的坐标为． 因为点在直线的图象上，可得 ． 所以点的坐标为． 所以． 所以，即 ． （2）因为的图象开口向下，对称轴为， 所以，当时，可以取得最大值，最大值为，此时点的坐标为． 10．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，用总长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，墙长， 矩形面积随矩形的一边的长的变化而变化． (1)求S与x之间的函数关系式，并求自变量的取值范围 (2)当x为多少时，矩形场地的面积S最大，最大面积是多少? 【答案】(1) (2)当为米时，矩形场地的面积最大，最大面积是250平方米 【详解】（1）解：， ， 则， ， ； （2）解：， ， 当时，取得最大值为250， 答：当为米时，矩形场地的面积最大，最大面积是250平方米． 11．（25-26九年级上·云南昆明·期中） 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，设矩形与墙垂直的一边长为米，矩形花圃的面积为S平方米．    (1)花圃面积为，求与墙垂直的一边的长度． (2)求S与之间的函数关系式；要想使花圃的面积最大，应为多少？最大面积是多少？ 【答案】(1)与墙垂直的一边的长度为 (2)，要想使花圃的面积最大，则，最大面积为 【详解】（1）解：由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，， 答：与墙垂直的一边的长度为； （2）解：由题意得， ， ∵平行于墙的一边的长不能超过墙的长度， ∴，且， ∴， ∵， ∴当时，S随x增大而减小， ∴当时，S有最大值，最大值为， ∴要想使花圃的面积最大，则，最大面积为． 12．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期中）某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）． (1)若矩形面积为，求这个茶园的长和宽． (2)当，分别为多少米时，茶园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)这个茶园的长为，宽为 (2)当，时，茶园的面积最大，最大面积是 【详解】（1）解：设这个茶园的宽为，则长为，由题意得： ， 解得：， ∵墙长， ∴，且， 解得：， ∴， ∴长为； 答：这个茶园的长为，宽为 （2）解：设，则有，茶园的面积为， 由题意得：， 由（1）可知：， ∵， ∴当时，茶园的面积为取得最大值，最大值为； 答：当，时，茶园的面积最大，最大面积是． 13．（25-26九年级上·北京朝阳·期中）为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)如果围成的面积为150平方米的小花园，求的长． (3)当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)的长为 (3)当为时，小花园的面积最大，最大面积是 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴花园的面积为：， ∵，， ∴，， ∴， ∴与之间的函数关系式为： ； （2）解：根据题意得，， 解得或（不合题意，舍去）， 答：的长为； （3）解：∵，， ∴当时，有最大值，最大值为200． 答：当为时，小花园的面积最大，最大面积是． 14．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图：用长为米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为米，面积为平方米． (1)求矩形的另一边的长_____米（用含的式子表示） (2)求关于的函数关系式； (3)当为何值时，矩形养鸡场的面积最大，并求出面积最大值？ 【答案】(1)； (2)（）； (3)当时，取得最大值，最大值为36． 【详解】（1）解：∵ 矩形周长为24米，米， ∴ （米）， 故答案为：； （2）解：∵ ，， ∴ ，即 （）； （3）解：， ∵ 二次项系数，抛物线开口向下， ∴ 当时，取得最大值，最大值为36． 15．（25-26九年级上·浙江金华·期中）某班甲、乙两位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动． 【活动情境】如图2，将边长为的正方形纸片沿折叠（折痕分别与、交于点、），使点落在边上的点处，与交于点处，连接与交于点． 【所得结论】当点F与的中点重合时（如图1），甲、乙两位同学各得到一个正确结果： 甲：的边______，______．       乙：． 【完成任务】 (1)填写甲同学所得结果中的数据． (2)当点在边上任意一点（除点A、D外）时，乙同学所得结果还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)如图2，当点在边上（除点A、D外）时，记四边形的面积为S，为x，求S与x的函数关系式，当x为何值时，S最大？最大值是多少？ 【详解】（1）解： 设，则， ∵点F与的中点重合, ∴， ∵， ∴，解得：， ． 故答案为：3，5； (2)解：成立， 证明：如图2，如图：过作于， 、关于对称， 于， ∴， ∴， ， 在正方形中，， ， ． （3）解：∵四边形是正方形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴ ∴ 当，即与的中点重合时，S最大,． 提升·进阶突破 题型3 抛物线形建模问题（拱桥、隧道、喷泉、投篮）（共9小题） 【模型】物体的运动轨迹、桥拱、隧道断面常可看作抛物线。解题关键是建立适当坐标系，把实际长度转化为点的坐标，再用待定系数法求解析式。常见形式： 　　　　　　 【步骤】①建立坐标系（尽量把顶点放在原点或 y 轴上）；②根据条件选设最简单的解析式；③代入已知点坐标列方程求参数；④用所得解析式求解目标量（高度、宽度、水深等）。 【易错】①坐标系选择不当导致计算复杂、符号出错；②把“水面在拱顶下方”的距离与坐标原点位置混淆；③点的坐标与实际“高度/距离”对应错；④忽略实际问题对取值范围的限制（如宽度非负）。 16．（25-26九年级上·福建福州·期中）其小组准备合作制作出一个水流装置，下面是制作装置的活动过程： 活动目的 制作简易水流装置 设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径．从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处． 示意图 已知 轴，，，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 请根据活动过程完成任务一和任务二． 【答案】任务一：水流抛物线的函数表达式为； 任务二： 圆柱形水杯最左端到点O的距离是， 当时，． ， ∴水流能流到圆柱形水杯内． 【详解】解：任务一： 轴，，点B为水流抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为：． ． ． 把点代入抛物线得： ， 把代入得： ． 解得：． ． ∴水流抛物线的函数表达式为：． 任务二：略 17．（26-27九年级上·北京·期中）乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明打球时发现乒乓球运动路线近似看成抛物线的一部分，爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小聪第一次发球时，乒乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式． 乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 20 35 40 35 20 (1)根据上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式，请你判断小聪第二次发球时，乒乓球是否落在球桌内： （填“是”，“否”）． 【答案】(1)40， (2)是 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，小聪第一次发球时乒乓球竖直高度为最大值，最大值为40； ∴设抛物线为， ∵抛物线经过， ∴ 解得， ∴函数关系式为； （2）解：由题意得，令 解得，（舍去）， 由题意得，令 解得，（舍去）， ∵， ∴小聪第二次发球时，乒乓球是落在球桌内． 18．（25-26九年级上·陕西西安·期中）实心球是某地中考体育项目之一，小军在某次掷实心球训练中，实心球被掷出后的运动路线可以看作是如图所示的抛物线的一部分，已知小军投掷时出手点距地面（即），实心球的落地点在点处，且球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，距出手点的水平距离为．以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求图中抛物线的函数解析式； (2)若实心球投掷成绩（即出手点与落地点的水平距离）不小于为满分，请判断小军本次投掷实心球能否得满分． 【答案】(1) (2)小军第一次投掷实心球不能得满分 【详解】（1）解：由题意，可知抛物线最高点的坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得． ∴本次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式为； （2）解：令， 解得（负值已舍去）， ∴实心球出手点与着陆点的水平距离为． ，即， ， ∴小军本次投掷实心球不能得满分． 19．（25-26九年级上·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“相反点”，如点，都是“相反点”． 探究1（1）下列结论中，正确的是______（填写正确结论的序号）． ①一次函数的图象上存在“相反点”，且只有一个“相反点”； ②一次函数的图象上存在“相反点”； ③所有的“相反点”都在直线上． 探究2（2）小亮在研究抛物线时，发现抛物线上有且只有一个“相反点”．求抛物线的解析式． 探究3（3）如图，将一拱桥抽象成平面直角坐标系上抛物线的一部分，且抛物线关于y轴对称，水位警戒线刚好经过抛物线的“相反点”．已知平时水位线在位置（点A，B在x轴上），水面的宽为，由于最近降雨频繁，水位上升到达处，这时水面的宽为，试判断此时水位是否到达警戒线，并说明理由．    【详解】解：（1）①设直线上任意一点为， 由题意得，，解得， ∴“相反点”为，故①正确； ②设直线上任意一点为， 由题意得，，该方程无解 ∴一次函数的图象上不存在“相反点”，故②错误； ③直线上任意一点可设为，满足“相反点”定义， ∴所有的“相反点”都在直线上，故③正确， 故答案为：①③； （2）把代入得：①． ∵抛物线有且只有一个“相反点”， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴②． 由①②可得，． ∴抛物线的解析式为； （3）水位超过了警戒线， 理由如下：由题意得：，， 设抛物线解析式为：， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． 当，得，（舍去）， ∴． ∵， ∴水位已超过警戒线． 20．（25-26九年级上·北京·期中）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点A水平距离为x米的地点，拱桥距离水面的高度为y米．小路同学根据学习函数的经验，对y和x之间的关系进行了探究． 经过测量，得出了y和x的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，发现拱桥距离水面的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系． x/米 0 0.6 1 1.8 2 2.4 3 3.6 4 y/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.88 2.80 2.38 1.6 0.88 (1)根据表中数据写出桥墩露出水面的高度______米； (2)求y与x之间的函数关系式； (3)公园欲开设游船项目，现有长为5.7米，宽为2.2米，露出水面高度为2.16米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩距离至少为______米． 【答案】(1)0.88 (2) (3) 【详解】（1）由表格可知，当时，， ∵拱桥距离水面的高度为米， ∴桥墩露出水面的高度米； 故答案为：0.88； （2）解：由（1）知，当时，， 设与之间的函数关系式为， 由表格可知，当时，；当时，； ∴，解得， ∴， 与之间的函数关系式为； （3）解：令，即， 整理可得， 解得（舍），， ∴处距桥墩距离至少为米， 故答案为：． 21．（25-26九年级上·山西朔州·期中）综合与实践 近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，其为车主提供更舒适、安全的充电环境．图1是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点A，B的水平距离为6米． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)现有一辆新能源客车需要充电，图2是该车的截面图，已知车身长约5米，车厢的最高点与遮阳棚接触点离地面约2.36米．请通过计算说明这辆新能源客车是否可以完全停进遮阳棚的正下方． (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图3，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在中点处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架，直接写出第二段钢架的长． 【答案】(1) (2)不可以 (3) 【详解】（1）解：根据题意，抛物线的顶点为， 设y与x的函数关系式为， ∴抛物线的函数关系式为. ∵点A的坐标为， ∴， 解得， 所以抛物线的函数关系式为； （2）解：根据题意，设点，得 ， 解得， ∴， 所以这辆新能源客车不可以完全停进遮阳棚正下方； （3）解：设直线的关系式为， 将点、代入关系式，得 解得：， ∴直线的关系式为， ∵点D是的中点， ∴点D的横坐标为3， ∴点D的纵坐标为． 当时，， 所以（米）． 22．（25-26九年级下·河北衡水·期中）如图1，“跳一跳”曾是某社交软件上风靡一时的互动游戏，该游戏要求操作者通过控制“i”形小人（看成点）起跳时的速度，使其能从一个平台跳到旁边同一水平面上且等高的另一平台上，示意图如图2所示．在平面直角坐标系中，矩形、矩形和矩形的边，，均在x轴上，，，，，“i”形小人从点B处起跳后沿抛物线运动，落在边的中点H处． (1)点B的坐标为______________，点H的坐标为______________； (2)求抛物线的解析式； (3)“i”形小人从点H处再次起跳后沿抛物线运动，且与形状相同． ①若与的最大高度相同，判断“i”形小人会落在平台上还是落在x轴上？说明理由，并求出落点的坐标； ②若“i”形小人再次起跳后沿抛物线落在平台上（包括边界），设的最大高度为，直接写出符合条件的整数的个数． 【答案】(1)， (2) (3)①“i”形小人会落在轴上，见解析；② 【详解】（1）解：∵矩形中，，， ∴点的坐标为； ∵，，， ∴，， ∵矩形中，， ∴， ∴，， ∵是中点， ∴点的坐标为，即； （2）解：∵抛物线经过，两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，即， 把，代入解析式，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：①“i”形小人会落在轴上，理由： ∵与形状相同，且最大高度相同， ∴的二次项系数与相同，顶点纵坐标也为，即可由向右平移得到， ∵的起跳点平移后对应的起跳点， ∴平移的距离为， ∴抛物线的顶点坐标为，即， ∴抛物线的解析式为， ∵，，， ∴，， 即的横坐标范围为， 令中，得 ， 解得，（起跳点，舍去）， ∵等高落点横坐标（左端点）， ∴“i”形小人会落在轴上； 令中，得， 解得，（舍去，小于对称轴）， ∴“i”形小人落点的坐标为； ②∵与形状相同， ∴可设（为最大高度）， ∵过起跳点， ∴，即， ∵小人需落在平台上（含边界），平台的横坐标范围为， ∴落点横坐标需满足，解得， 当时，； 当时，， ∴的取值范围为，其中整数为，，，，，，共个． 23．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）求解下列各题： 项目主题 合理规划学校劳动基地 素材1 在学校的劳动实践基地有一片矩形菜地，米，米，图①四周过道部分的宽度相等，种植区域是矩形，其种植面积266平方米．    素材2 为了方便灌溉，要在菜地中心点处安装一款垂直升降可旋转的自动喷水装置，处喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，当调整喷头竖直高度时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变． 素材3 现测得米，以点为原点，所在的直线为轴，平行于的直线为轴建立如图②的平面直角坐标系，测得喷出的水流与点水平距离为4米处达到最高点，点距地面2米．    素材4 当调整喷头的竖直高度时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变． (1)求过道的宽度； (2)求抛物线的解析式及喷水装置能够覆盖的最远水平距离，并判断此时喷出的水是否超出矩形区域； (3)当喷头刚好旋转时，建立适当平面直角坐标系，求此时的长满足什么条件，使喷出的水不会落在矩形外面且完全能够覆盖菜地． 【答案】(1)1米 (2)抛物线解析式为，最远水平距离为10米，喷出的水超出了矩形区域 (3) 【详解】（1）解：设过道的宽度为米，根据题意，得 ， 解得：， 当时， ，不符合题意，舍去， 答：过道的宽度为1米； （2）设抛物线的解析式为 ， ， 抛物线过点，代入解析式，得 ，解得，， 抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：（舍去） 喷水装置能够覆盖的最远水平距离为10米， 矩形中心为，到边的水平距离为米，到的水平距离为米， ， 此时喷出的水超出矩形区域． 抛物线解析式为，最远水平距离为10米，喷出的水超出了矩形区域； （3）解：以菜地中心为原点，平行于短边的方向为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设调整后喷头高度米，则， 抛物线形状不变， 二次项系数仍为，顶点仍在处， 设抛物线解析式为，将点代入，得， 解得 ， 抛物线解析式为， 令，则， 整理得， 解得。 要使喷出的水不落在矩形外，需水流落地点满足，即最远水平落点 ， ①， 由（1）知过道宽度为1米，种植区域半宽为米，要使喷出的水完全覆盖菜地，需水流到达种植区域边缘时仍在地面以上，即当时，， 即， 化简得，即②， 结合实际，喷头高度不能为负，故③， 由①②③取交集，得， 答：此时米． 24．（25-26九年级上·福建福州·期中）阅读下列材料，并完成相应任务： 项目主题 喷泉步行通道的设计布局与调整 素材1 某公园计划建造一条配有喷泉的步行通道，图1是设计的俯视示意图：通道左侧布置了一排垂直于路面的柱形喷水装置，右侧为长方形水池．设计要求水流从喷口斜向上射入水池，且落水点必须位于水池之内．若不考虑空气阻力，水流的运动轨迹可视为抛物线的一部分．图2展示了水流喷射轨迹的主视示意图．    素材2 相关建筑数据测量与喷泉水流设计数据如下： 描述 数值 喷口离地面的高度 2米 水池边缘的池壁高度， 0.8米 水池的宽度 1.5米 水流达到的最高点的高度 3.6米 水流达到的最高点与喷口的水平距离 2米 步道宽度 米 任务一：建立函数模型 （1）以喷口在水平地面上的垂直投影点为原点，以水平方向为轴，竖直方向为轴，建立坐标系．请求出此次设计中，水流高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的函数关系式． 任务二：优化设计位置 （2）为避免水流溅射到行人，要求水流在步行通道正上方的任意位置与地面的距离均不小于2米，且水流必须落在水池内．在只调整的大小，但不改变喷口高度与抛物线形状的前提下，确定的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【难度】0.4 【详解】解：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为：， 设抛物线的解析式为， 抛物线经过， ， 解得：， 所以水柱高度与水平距离之间的函数关系式为； （2）抛物线的对称轴为直线， 点关于直线对称的点的坐标为， 水柱在步行通道正上方的任意位置与地面的距离均不小于2米即， ， 又落水点必须位于水池之内，水池池壁高度米， 令，即， 解得，（舍去）， ， ， ， 即步道宽度的范围为． 题型4 动态几何与组合图形面积（共8小题） 【模型】点沿图形边运动，图形面积 S 随运动时间 t（或某线段长 x）变化，常为分段函数，各段往往是二次函数或一次函数。求最值时需逐段分析。 【步骤】①明确运动过程，写清时间/变量的取值范围（含临界点）；②用变量表示相关线段长度；③表示面积 S 并判断是否需要分段；④各段分别求最值，比较得整体最值。 【易错】①漏掉分段（运动过程中图形“形状改变”或“重叠消失”）；②各段定义域没写清；③顶点横坐标不在某段定义域内，需分情况在端点处取最值。 25．（24-25九年级上·黑龙江鹤岗·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，、两点同时出发，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为． (1)几秒后四边形的面积是？ (2)若用表示四边形的面积，求经过多长时间取得最小值，并求出的最小值． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：在中，由勾股定理可得： ， ， 令， 解得：或（不符合题意，故舍去）， 答：秒后四边形的面积是； （2）解：由（1）可得： ， ， 抛物线开口向上， 当时，取得最小值，其最小值为． 26．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）如图所示，已知在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果分别从同时出发后 ， ， (2)如果分别从同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)如果分别从同时出发，那么几秒后，四边形的面积最小，最小是多少？ 【答案】(1)4，4 (2)2或4 (3)， 【详解】（1）解：在中，， 出发后，，， ∴， 故答案为：4，4； （2）解：点的时间为：，点的时间为：， 设运动时间为，则， ∴，， ∴， ∴，整理得，， 解得，， ∴或后，的面积等于； （3）解：， 由（2）可得，， ∴， ， ∵， ∴当时，四边形的面积最小，最小是． 27．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图①，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿向终点移动，设移动时间为，连接，以为一边作正方形，连接，设的面积为，与t之间的函数关系如图②所示． (1)______，______； (2)当为何值时，的面积最小？请求出这个最小值； (3)当为何值时，为等腰三角形？请直接写出结果． 【答案】(1)2，5 (2)当时，的面积最小，且最小值为 (3)当或或时，为等腰三角形 【详解】（1）解：图②知，， 当时，P与A重合，， 即， ， 四边形是矩形， ， 故答案为：2，5； （2）由题意得，， ， 四边形是正方形， ， ， ， 当时，的面积最小，且最小值为； （3）当为等腰三角形时，分三种情况： 当时，如下图所示，过F作于G， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； 当时，如下图所示，点E在的延长线上，此时四边形是正方形，， ； 当时，如下图所示，过点E作于点G， ， ， 同理得：， ， ， 综上所述：当或或时，为等腰三角形． 28．（25-26九年级下·吉林松原·期中）如图，在矩形中，，．动点P从点B出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，设和矩形重叠部分的面积为S． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当点E落在边上时，求t的值； (3)求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴，， 由题意得：， ∴； （2）解：当点E落在边上时，则有， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； （3）解：由题意可分：①当时，设与分别交于点，如图所示： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 当时，此时在矩形的内部， ∴； 综上所述：S与t的函数关系式为． 29．（24-25九年级下·吉林松原·期中）如图，在中，，，，点为边的中点．点从点出发，以3单位长度/s的速度沿方向运动，到点停止．当点与、两点不重合时，过点作交于点，点在点右侧，，以、为边作矩形．设点的运动时间为． (1)直接写出线段长．（用含的代数式表示） (2)求当点落在线段上时的值． (3)设矩形与重叠部分图形面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)当时，．当时， (2) (3) 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， 当时，． 当时，． （2）解：当点落在线段上时，． ， 解得； （3）当时，如图，点在的左侧，设与交于点，重叠部分是， 这时， ∵， ∴， ∴， ． 当时，如图，点在的右侧，点在的左侧，设直线交矩形的两边长于点，，则重叠部分为五边形， 这时， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 当时，如图，点在的右侧，点在的左侧，设直线交矩形的两边长于点，，交于点，则重叠部分为五边形， 则， ． ∴． 30．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，正方形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限．将正方形沿x轴向右平移，得到正方形，点O、C、D、E的对应点分别为、、、．设，正方形与重叠部分的面积为S． (1)点B的坐标为_______，点D的坐标为_______； (2)当点与点A重合时，求t的值； (3)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：过点作轴于，如图， 点， ， ，， ， 点的坐标为． 点， ， 四边形为正方形， ，，， 点坐标为； 故答案为：；； （2）解：当点与点A重合时，； （3）解：当时，正方形与重叠部分为等腰直角三角形，如图， 由题意：， ， 当时，正方形与重叠部分为五边形，如图， 是等腰直角三角形，，， ， 四边形为正方形， ， 正方形的边长为2，， ，， ，， ，， ． 当时，正方形与重叠部分为等腰直角三角形，如图， 由题意得：， ， ， 综上，． 31．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，在等腰直角三角形中，，边上的高．点P从点A出发，沿以的速度向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作，交边或边于点Q，以为边向下作正方形，设正方形与重叠部分图形的面积为，点P运动的时间为． (1)求的长； (2)直接写出点M落在边上时t的值； (3)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】(1)； (2)2； (3)． 【详解】（1）解：在等腰直角三角形中，，边上的高． 是等腰直角三角形斜边上的中线， ； （2）解： 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，     如图：点M落在边上时， 四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形， ， 由（1）知， ，解得：； （3）由（2）知，当时，如图： 为正方形的面积，即； 当时，如图： 由题意可知：和均为等腰直角三角形， ， ； 当时，如图： ； ． 32．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，在正方形中，E为的中点，正方形的边长是方程．的根．点P从点B出发，沿向点D运动，同时点Q从点E出发，沿向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度．当点运动到点时，两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒的面积为S． (1)通过取点、测量，得到了S与t的几组值，如下表： t 0 1 2 3 4 s 0 m 8 n 8 请直接写出_______，________； (2)请直接写出关于的函数解析式； (3)的面积是的面积2倍时，求线段的长． 【答案】(1)， (2) (3)或 【难度】0.4 【详解】（1）解：， 解得： ， 正方形的边长为4， 为的中点， ， 当时，如图，点在上，点在上，且， 则，即； 当时，如图，点在上，点在上， ∵，， ∴， 则 ，即； （2）解：当时，， ， 当时， ， ， ， 综上． ； （3）解：当时， 如图2， ， 的面积 解得：或 (舍去)． 当 时， 当时， 如图3，， 的面积 解得：或 (舍去)． 当时， 综上所述：的面积是 的面积2倍时，线段长为或 拔高·压轴破难 题型5 二次函数综合线段周长问题（共6小题） 33．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点．点是轴上的一动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求周长的最小值； 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)周长的最小值为 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得： ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， ∴或， ∴，， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ∴， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时，， ∴， 取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，如图， ∵点是轴上的一动点， ∴此时最小，， ∴， ∵，， ∴， ∴周长的最小值为． 34．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，过点的抛物线顶点为，与轴交于、两点 (1)求抛物线的解析式； (2)若点是轴上一点，则当取得最小值时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：把，代入，得 ，解得， ． （2）解：当时，， ，． 如图，连接，设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为． 点是轴上一点，点，两点关于轴对称， ． ． 当点在直线上时，取得最小值． 当时，， ． 35．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，N是抛物线上一个动点且在第三象限，设点N的横坐标为m，过点N作x轴的垂线，交x轴于点M，交于点P． (1)用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值； (2)若，求点P的坐标． 【答案】(1)，最大值为 (2)点P的坐标为 【详解】（1）解：当时，， ． 当时，有， 解得：，． ，． 设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， 直线的解析式为． 点N的横坐标为m， ，． ， ， ， 当时，取最大值； （2）解：轴，， ． ， 或（舍去）． 此时点P的坐标为． 36．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）综合与实践． 问题情境：如图，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点，在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．聪聪设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段，分隔出 区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点（不与，重合），过点作的平行线，交抛物线于点，．用篱笆沿，将线段，与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了聪聪的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩米篱笆材料（即）．若要在第二步分隔中恰好用完米材料，需确定与的长．为此，聪聪在图中以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图中画出坐标系，求抛物线的函数表达式并写出点的坐标； (2)若设点的横坐标为，则点的坐标为 （用含有字母的式子表示），并求米材料恰好用完时与的长； (3)种植区域分隔完成后，聪聪又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段，上．请直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值 【答案】(1)建立如图所示的平面直角坐标系， ；点的坐标为； (2)；为米；为米； (3)矩形周长的最大值为米． 【详解】（1）解：∵所在直线是的垂直平分线，且， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴点为抛物线的顶点坐标， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得，， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为， ∵，， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵点，在抛物线上，点的横坐标为， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ， ∴， 在中， ，， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴（米），（米）； （3）解：矩形周长的最大值为米，如图矩形灯带为， 由，，， 设直线解析式为，解析式为， ∴，， 解得：，， ∴直线解析式为，解析式为， 设点，，，， 则矩形周长为， ∴矩形周长的最大值为米． 37．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，抛物线：过点，顶点为M． (1)求b的值及点M的坐标； (2)点在上，若，直接写出的取值范围； (3)抛物线：（t为常数，且），顶点为N．与交于A，B（A在B的左侧）两点． ①当时，求在点A，B之间（含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数； ②连接，，且与交于点P，直接写出点P的纵坐标． 【答案】(1)， (2) (3)①4个；② 【详解】（1）解：∵抛物线：过点， ∴，解得， ∴抛物线为． ∵， ∴顶点M的坐标为． （2）解：∵抛物线：的开口向上，顶点为， ∴当时，函数值y有最小值，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ∵当时，， 当时，， ∴当，的取值范围为． （3）解：①当时，抛物线为，即， 解方程组，得或， ∴，， 把代入抛物线：，得， 把代入抛物线：，得， 把代入抛物线：，得， ∴在点A，B之间（含边界）的整点有，，，，共有4个． ②设抛物线与的交点的坐标为，B的坐标为， 由抛物线与的解析式组成的方程组，得 ， 整理，得， ∴，， ∵，， ∴ ， ∴线段的中点的横坐标为，纵坐标为，即为． ∵抛物线：， ∴顶点N的坐标为， ∵抛物线：的顶点为， ∴线段的中点的横坐标为，纵坐标为，即为． ∴线段与线段的中点重合， ∵与交于点P， ∴点P为线段与线段的中点，其纵坐标为． 38．（25-26九年级上·四川巴中·期中）在平面直角坐标系中，已知点，在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，若直线与抛物线交于点、，连接和，直接写出的正切值． (3)在（2）的条件下，为抛物线上的一点（点与点不重合），当的面积与的面积相等时，求出点的坐标． (4)如图2，已知点，，抛物线向左或向右平移后，点、点的对应点分别为、当四边形的周长最小时，请直接写出平移后抛物线的顶点坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)或或 (4) 【详解】（1）解：将点，，代入得： ，解得， 抛物线的表达式为：． （2）联立和得： ，解得，． 故点、的坐标分别为、． 则，，， ． 为直角三角形且为直角， ． （3）设直线交轴于点，过点作直线交抛物线于点，在点上方取点使，过点作直线交抛物线于点、，则点、、为所求点， 则点， 直线的表达式为：， 直线的表达式为：， 联立和得： ，解得（舍去），． 点． 联立和得： ，解得． ，． 综上所述，点的坐标为：或或． （4）过、作轴平行线，作关于直线的对称点，过作，且，连接交直线于，过作，交直线于，连接，如图， 作图可知：四边形和四边形是平行四边形， ，，，． ，． ∴四边形是平行四边形， ． ∵关于直线的对称点， ． ． ． 此时转化到一条直线上，最小，最小值为的长度， 而、为定值， ∴此时四边形的周长最小． ∵关于直线的对称点， ． ∵四边形是平行四边形，，， ． 设直线解析式为， 则，解得， 直线解析式为． 令，，解得． ． ． 即抛物线向右平移个单位后，四边形的周长最小， 此时抛物线为． 则抛物线的顶点坐标为：． 题型6 二次函数综合面积问题（共6小题） 39．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，抛物线（为常数）经过坐标原点和点，点在轴上． (1)求抛物线顶点的坐标； (2)连接，，若点在轴下方的抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； （2）解： ∵，， 又∵， ∴， 解得， 将代入，得， 解得或， ∴点的坐标为或． 40．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求点坐标和面积； (3)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由． 【答案】(1) (2)，6 (3)存在最大值，最大值为2，此时 【详解】（1）解：把代入中，得： ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：令，得， ∴， ∴， ∵ ， ； （3）解：存在最大值，理由如下， 设，， 如图所示， ， 当时，取得最大值为2，此时， 则． 41．（26-27九年级上·天津·期中）已知抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (3)计算的面积． 【答案】(1) (2)开口向上，顶点坐标， 对称轴为直线 (3)27 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，， ∴抛物线开口向上，顶点坐标，对称轴为直线， （3）解：∵抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点， ∴，， ∴的面积． 42．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)或 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点，交轴于点， 设点，则， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：由（2）可知， ∴． ∵， ∴当时，的面积的最大值为， 此时； 当抛物线向左平移，即点在直线上方时， ， ， 如图，过点作， 由（2）知直线解析式为，则可设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴其顶点为， ∵抛物线沿水平方向平移得到抛物线， ， 令，解得， ， 当抛物线向右平移，即点在直线下方时， 此时过与的平行线与轴交点记为点，则与第一种情况的直线关于直线对称，此时点与第一种情况的直线与轴交点关于点对称， ， 则直线解析式为． ， ，解得， ． 综上，或． 43．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，抛物线与直线相交于和B两点． (1)求k的值及点B的坐标； (2)若P是位于抛物线对称轴左侧的抛物线上的一点，且点P在直线的下方，过点P作轴于点M，轴交于点N，当时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件，经过原点O的直线交抛物线于C，D两点，若的面积与的面积相等，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为 【详解】（1）解：∵直线过点， ， 解得， ， 由， 解得或， ∴； （2）解：设， 轴于点M，轴交于点N， ，， ， ， 整理得， 解得，（舍去）， ， ∴； （3）解：当时，的面积与的面积相等， 设直线的解析式为， ∵，， ∴ 解得， 直线为， 直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴，， ∴， 当过的中点，的面积与的面积相等，如图2， ∵，， 的中点为， 的解析式为， 由， 解得或， ∴，， ∴ 综上，的长为 44．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点B． (1) ； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)若点M是直线上一动点（点M不与A、B重合），过点M作线段（点N在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)或或或 (3)或 【详解】（1）解：将代入得： ，解得， 故答案为：； （2）解：由（1）知， ∴抛物线解析式为， 令，得， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，即， 解得或4， 此时点P的坐标为或； 当时，即， 整理得， 解得， 此时点P的坐标为或； 综上，点P的坐标为或或或； （3）解：设直线解析式为， 把点，代入得： ，解得： ∴直线解析式为， 设，则， 当点N落在抛物线上时，则， ∴， ∴当时，则， 解得t或， ∵线段与抛物线有交点， ∴或， 即点M的横坐标的取值范围为或． 题型7 二次函数综合角度问题（共5小题） 45．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标． 【答案】(1)二次函数的表达式为 (2) 【详解】（1）解：将，代入，得： ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：对于，令，得， 解得，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，过点C作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点G， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得（舍去）或， ∴当时，， ∴． 46．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，已知顶点为的抛物线与x轴交于A，B两点，且． (1)求二次函数的解析式； (2)x轴上存在点P使得的面积为12，请求出点P坐标． (3)作直线，问抛物线上是否存在点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或． (3)M的坐标为或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵抛物线过，， ∴，解得：， ∴； （2）解：设点坐标为， ∵， ∴， 解得：或， ∴点坐标为或． （3）存在， ∵， ∴， 如图，分以下两种情况：    ①当点在点上方时，交轴于，， ∴， ∴，即 解得：， ∴， 设直线的解析式为，将，代入，得：， ∴， 联立，解得：或， ∴， ②当点在点下方时，交轴于， ， 同理可求， ∴， 设直线的解析式为，将，代入，得：， ∴， 联立，解得：或， ∴． 综上：或． 47．（24-25九年级上·重庆江津·期中）如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，已知直线上方抛物线上有一点，过点作轴与交于点，过点作轴与轴交于点，求的最大值和此时点的坐标； (3)将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为， (3)或 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴设抛物线的解析式为：， 把点代入可得，， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 则， 即的最大值为：， 此时，则点； （3）解：∵抛物线， ∴将原抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，新抛物线的解析式为：， 令，则，令，则， 解得，， ∴，， ∵点N是第一象限中新抛物线上一点，且点N到y轴的距离等于点到y轴的距离的一半， ∴且， 把代入得：， ∴， ∵，， 由点、的坐标得，直线的解析式为， 分以下两种情况： 第一种情况，过点N作，交抛物线于点，则，如图2， ∴设直线的解析式为，把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立新抛物线与直线为方程组得：， 解得：（舍去）或， ∴； 第二种情况，作，交抛物线于点，交直线于点H，如图3， ∴， 设，且，， ∴，， 即， 解得，， ∴， 由点H、N的坐标得，直线的解析式为， 联立抛物线与直线为方程组得：， 解得：（舍去）或， ∴； 综上所述，存在点M，使得，点M的坐标为或． 48．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，点A的坐标为．    (1)该抛物线的表达式为　　； (2)点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接．当时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，将线段绕点Q顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：对称轴为直线，点的坐标为， ， ； （2）解：设抛物线对称轴交x轴于点F，交于点D，连接并延长交于，如图， ∵对称轴为直线， ∴， ，， ∴；    在中，令，得， ∴， ， ， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴，， ，， ∴， ∴， 由中点坐标公式得：， 设直线的关系式为：， 把C、E两点坐标分别代入得：，解得：， 直线的关系式为：， 联立二次函数与一次函数解析式并消去y得：， 解得：（舍，， 当时，， ； （3）解：存在； 点旋转后的对应点为，作对称轴于，对称轴于， 当在上方时，    则，设， 将线段绕点顺时针旋转得线段， ∴，则， 又， ∴， 又，， ， ，，， ， 恰好落在抛物线上， ， 解得，（舍）， ∴点Q的纵坐标为； ， 当在上方时，作对称轴于，    可知：为等腰直角三角形， ∴， ∴点Q的纵坐标为， ， 综上：或． 49．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，过、两点作直线． (1)求此抛物线的函数表达式． (2)将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点，在直线上方的抛物线上是否存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点是抛物线上一动点，且满足，若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)或 【详解】（1）解：把代入，可得： 解得， 把代入， 得到抛物线的函数表达式为． （2）解：存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大； 如图1，过点作轴交于点，交于点，过点作于； 令，解得：，； 令，则， ， ， ， .， ， ∴，， ， 即是等腰直角三角形，则； 设直线的解析式为， 则有，解得， 即直线的解析式为； 直线向下平移个单位长度得直线， 直线的解析式为； 设，则的坐标为， ∴， ∴， ∵， 当时，取得最大值，的最大值为， 此时点的坐标为； 存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大． （3）解：①当在直线的下方时，如图2， 在轴正半轴上取点，连接交抛物线于点， ， ， ，， 在与中， ， ， ， ， 设直线解析式为，则有， ∴直线解析式为， 联立直线解析式与抛物线解析式得， 解得，，舍去， ∴； ②在直线的上方时，如图3， 作点关于直线的对称点，连接，直线交抛物线于点， 由对称得：，，， ， 设直线的解析式为，则有， ∴， 直线解析式为， 联立直线与抛物线解析式得，解得，舍去， ． 综上,满足条件的点的坐标为或． 题型8二次函数综合三角形存在性问题（共6小题） 50．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，点P在此抛物线上，其横坐标为 (1)求此抛物线的解析式； (2)当点P在x轴上方时，结合图象，写出m的取值范围； (3)若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为 ①求m的值； ②点D为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)①m的值为 ；②存在，点Q的坐标为或 【详解】（1）解：将，代入得： ， 解得：， ∴； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴抛物线与x轴相交于， ∵点P在此抛物线上，其横坐标为 ∴由图可知，当点P在x轴上方时或． （3）解：①∵， ∴对称轴为直线， 当点P在对称轴左侧，即时， 最低点为抛物线顶点， ∴， 解得（不符合题意，舍去）， 当点P在对称轴右侧，即时，y随x的增大而减小， ∴最低点为， ∴， 解得：， 综上：； ②由①可知 当时，，和点A重合， ∵对称轴为直线，， ∴； 当时，令对称轴和x轴相交于点H，则， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上：存在，点Q的坐标为或． 51．（24-25九年级上·江西新余·期中）如图，已知抛物线（）与 轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)设抛物线的对称轴与轴交于点，问在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，或或或 【详解】（1）解：将点、代入， 得 解得 抛物线的解析式为， （2）解：如图所示，连接交对称轴直线于点，连接， ∵关于对称轴对称， ∴在上时，，此时的周长最小 由，当时， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得； ∴直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ∴当时， ∴ （3）解：存在，理由如下：抛物线的解析式为，其对称轴为， ， ， ， ①当时：如图， 作于点D，则， ， 此时点P的坐标为； ②当时： ，， ，， ， ， 此时点P的坐标为或； ③当时：如图， 作于点D，设，则． 在中，由勾股定理得， 即， 解得． 此时点P的坐标为． 综上所述：点P坐标为或或或． 52．（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过两点，与x轴交于另一点B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线上方的抛物线上的一点，连接，求的面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)在对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值是4，此时． (3)存在，点Q的坐标为或或． 【详解】（1）解：∵，由抛物线的对称性可知：点A与点B关于直线对称， ∴点B的坐标为， ∵抛物线过， ∴可设抛物线解析式为， 又∵抛物线过点， ∴，解得：， ∴． （2）解：设， 如图，过点P作轴交于点Q， ∵直线经过两点， ∴设的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 则，则， ∴， ∴当时，的最大值是4，此时． （3）解：设点， ∵，， 当时，，解得：，即 当时，，该方程无解； 当时，，解得：，即或． 综上，当点Q的坐标为或或． 53．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，抛物线与x轴的交点为A，B两点，与y轴的交于点，． (1)求抛物线的表达式； (2)P为抛物线在第四象限上的一点，直线与抛物线的对称轴相交于点，若是以为底边的等腰三角形，求直线的表达式； (3)E是该抛物线上位于对称轴右侧的动点，、是抛物线对称轴上两点，．请说明：存在确定的点N，使直线与抛物线只有唯一交点E． 【详解】（1）解：当时，， ，． ， ， ． ，解得，或（舍去）． ∴． （2）解：如图：设抛物线的对称轴交x轴于点Q，过点C作于点N，连接交于点M． 则．    ∵直线表达式为，，， ，，． ， ．解得：． ． 设直线的解析式为， 在直线上，则，解得：， 直线的解析式为． (3)设， 设直线表达式为：， 联立， ． 设方程的两个根为， 直线与抛物线有唯一交点， ． ，， ，， 直线表达式为：． ． 过点作于点，则， 设，， ，，， ． 令，则． ，， ． 存在点，当时，与抛物线有唯一交点． 54．（24-25九年级上·山西忻州·期中）综合与探究 如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式并直接写出点的坐标； (2)求的面积，并在该二次函数图象上确定一点，使与的面积相等，请求出所有满足条件的点的坐标． (3)该二次函数对称轴上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的表达式为，点的坐标为 (2)，点的坐标为或或或 (3)存在，点的坐标为或或或 【详解】（1）解：把代入得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为， ∵当时，， ∴点的坐标为； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， 设点的纵坐标为， ∵与的面积相等， ∴， ∴， ∴， 当时，由，解得，， ∴或； 当时，由，解得，， ∴或； 综上，点的坐标为或或或； （3）解：存在． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 当点为等腰的顶点时，， 则， 解得， ∴或； 当点为等腰的顶点时，， 则， 解得或， ∴或； 综上，对称轴上存在一点，使是以为腰的等腰三角形，点的坐标为或或或． 55．（25-26九年级下·江西九江·期中）定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，两个二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线与是共生抛物线 已知抛物线的顶点是点，它的共生抛物线的顶点是； (1)点的坐标是___________，抛物线的函数关系式是___________． (2)当的取值范围是___________时，抛物线与的函数值都随的增大而减小． (3)直线与抛物线均有两个交点，这些交点从左到右分别是． ①求的取值范围是___________； ②在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点是点， ∴点P的坐标为， ∵抛物线的共生抛物线的顶点是， ∴，且抛物线的二次项系数为， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为，且， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当，的函数值随着x的增大而减小； ∵抛物线的解析式为，且， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当，的函数值随着x的增大而减小； 综上所述，当时，抛物线与的函数值都随的增大而减小； （3）解：①如图所示， 当直线恰好经过点P时，则， 当直线恰好经过点Q时，则， 由函数图象可知，当时，直线与抛物线分别有两个不同的交点； ②如图所示，当点P为直角顶点时， 过点P作轴，过点K作，过点Q作， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点在抛物线上，此时符合题意； 如图所示，当点Q为直角顶点时，同理可得， 在中，当时，， ∴点不在抛物线上，此时不符合题意； 综上所述，点K的坐标为． 题型9二次函数综合四边形存在性问题（共5小题） 56．（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【详解】（1）解：将点代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：如图， ∵，且， ∴， ∴． ∵点A，B关于对称轴对称， ∴点E的横坐标为1，此时， 即点； （3）解：∵抛物线， ∴对称轴为， 设点， 如图，以为矩形的对角线， 由中点的坐标可知， 解得． ∵， ∴， ∴， 解得或4， ∴点或； 如图，以为矩形的边时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点； 若以为矩形的对角线时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点， 综上所述，点P的坐标为或或或． 57．（26-27九年级上·全国·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点A的坐标为，P是第一象限内抛物线上的一个动点，于点Q，设点P的横坐标为n． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求线段的最大值，并求此时n的值； (3)在（2）的条件下，当线段取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，线段有最大值，最大值为； (3)存在．点M的坐标为、、． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为． 将代入中，得， ∴直线的函数解析式为． 当时，，∴点B的坐标为． 将，代入中， 得解得 ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：，， ， ． 如图，过点P作轴于点E，交于点F， ， ． ， ． ∵点P的横坐标为， ，， ， ． ，， ∴当时，线段有最大值，最大值为． （3）解：由（2）得取最大值时，P点坐标为，已知， 设（，M在x轴正半轴），以B、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：为平行四边形的边或为平行四边形的对角线. ①当为平行四边形的边时，如图， 可知， 此时N的纵坐标为4， 代入抛物线， 解得或（对应点P，舍去）， 即． ∴， 由平行四边形对边平行且相等，得 或 即或； ②当为平行四边形的对角线时，如图， 根据平行四边形的性质可知，， 即，， 解得：，， 即 将代入得， 解得​， 当时，， 当时，（舍去）， ∴M点为； 综上所述，∴点M的坐标为、、． 58．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标： (3)R是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点S，使得以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【详解】（1）解：∵抛物线经过坐标轴上三点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， 作轴交于点，设，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，为，此时． （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，， ∵，当以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形时， ①当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ②当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ③当为对角线时，，解得， ∴， ∴； 综上：或或． 59．（25-26九年级上·江西赣州·期中）已知抛物线过点，． (1)求a的值； (2)平移抛物线，得到抛物线，抛物线的顶点在直线上，设平移后抛物线顶点的横坐标为m． ①抛物线的函数关系式为________（用含m的式子表示）； ②求抛物线与y轴交点纵坐标的最小值． (3)设抛物线的顶点为P，将抛物线沿x轴翻折，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于A，B两点（A在B的左侧），抛物线的顶点为Q，试判断四边形是否能成为正方形，若能，求出c的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，②抛物线与y轴交点纵坐标的最小值 (3)时，四边形为正方形． 【详解】（1）解：由题意可知点和关于对称轴对称，则抛物线的对称轴为， ∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为，解得； （2）解：由（1）得抛物线， ①∵平移后抛物线顶点的横坐标为m，抛物线的顶点在直线上， ∴平移后抛物线顶点的纵坐标为， ∵平移抛物线，得到抛物线， ∴抛物线 ； ②抛物线 ， ∵抛物线与y轴交点纵坐标的值为， ∴抛物线与y轴交点纵坐标的最小值； （3）解：四边形为正方形，理由如下， ∵抛物线， ∴抛物线的顶点为， ∵抛物线沿x轴翻折，得到抛物线， ∴抛物线 ， 联立得，解得，，， ∵A在B的左侧， ∴，， ∵抛物线的顶点为Q， ∴， 则， ， ， ∵四边形为正方形， ∴，即， 解得或（舍去）， 经检验，，，和符合题意， 综上所述，时，四边形为正方形． 60．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，直线上方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3，连接，将绕着点顺时针旋转，记旋转过程中的为，点的对应点为点，点的对应点为点．当点刚好落在线段上时，将沿着直线平移，在平移过程中，直线与抛物线对称轴交于点，与轴交于点，设点是平面内任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，点的坐标为：或或或 【详解】（1）解：把 代入得： 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：直线上方的抛物线上存在点，使， 理由如下： 作关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线于，如图所示： ， ， ， ， ， ， 设直线解析式为， 将代入可得，解得， 直线解析式为， 设直线解析式为， 把代入得：，解得， 直线解析式为， 联立，解得或， ； （3）解：设直线解析式为， 将代入可得，解得， 直线解析式为， 设， 又，由勾股定理得，解得：或，故点， 设直线的表达式为， 将代入可得，则直线的表达式为， 由，可得直线的表达式为 ， 设直线的表达式为：， 抛物线的对称轴为：， 点，点，而点； 要使以为顶点的四边形是菱形，则为等腰三角形． ①若，由对称性得， 由，解得， 此时，故； ②若，则， 解得：或， 当时，，此时， 当时，，此时； ③若 ，则， 解得：或， 当时，，，此时， 当时，，四边形不存在，舍去； 综上，点的坐标为：或或或． $专题02 二次函数实际应用与综合压轴解答 基础·固本强基 题型1 利润（销售）最值问题 题型2 面积最值问题 提升·进阶突破 题型3 抛物线形建模问题（拱桥、隧道、喷泉、投篮） 题型4 动态几何与组合图形面积 拔高·压轴破难 题型5 二次函数综合线段周长问题 题型6 二次函数综合面积问题 题型7 二次函数综合角度问题 题型8 二次函数综合三角形存在性问题 题型9 二次函数综合四边形存在性问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 利润（销售）最值问题（共8小题） 【模型】商品销售问题的基本关系是：单件利润＝售价－进价，总利润＝单件利润×销量。设售价或涨（降）价幅度为自变量 x，总利润 y 一般是 x 的二次函数。常见设元如下： ①设售价为 x 元： ②设每件涨价 x 元：单件利润＝原利润＋x，销量＝原销量－x·每涨1元少卖件数，如 ③设每件降价 x 元：单件利润＝原利润－x，销量＝原销量＋x·每降1元多卖件数，如 化简后一般形如 y＝ax²＋bx＋c（其中 a<0 开口向下，有最大值）。 【步骤】第1步　设自变量 x（通常设售价或涨降价幅度），写出 x 的实际取值范围（定义域）。 第2步　用含 x 的式子表示单件利润与销量。 第3步　列总利润 y＝单件利润×销量，化简为 y＝ax²＋bx＋c。 第4步　求最值：先配方或求顶点横坐标 x₀＝−b/(2a)；若 x₀ 在定义域内则直接取顶点，否则在定义域端点处取最值。 【易错】①定义域遗漏：x 受“不亏本（售价≥进价）”“不积压（销量≥0）”“涨价/降价有范围”等条件限制，必须先写再验。 ②设元混乱：把“售价”与“涨价幅度”混用，导致单件利润或销量表达错误。 ③忽视 a 的正负：a<0 才取最大值；若 a>0 则应讨论最小值。 ④顶点出界仍套顶点：x₀ 不在定义域内时，最值在定义域端点取得。 1．（25-26九年级上·陕西安康·期中）信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 2．（25-26九年级上·广东汕头·期中）潮阳区某特产店销售潮式酥糖礼盒，每盒的成本为24元．调查发现：当每盒售价为40元时，每天可售出32盒；售价每降低1元，每天就多售出4盒．设每盒降价x元，每天销售该礼盒的利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当每盒降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）为弘扬桐城派文化，让更多游客了解六尺巷，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款定制“一纸书来只为墙”的主题团扇的成本价是元，当售价为元时，每天可以售出件，经调查发现，售价每降价元，每天可以多售出件．设该款主题团扇售价为元． (1)每天售出的数量是________件． (2)文旅公司每天售卖该款主题团扇的利润为元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 4．（25-26九年级上·江苏南通·期中）2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件．每件盈利30元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价元． (1)降价后每件T恤衫的利润为__________（元），平均每天可多售出__________件（用含的代数式表示）； (2)若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ (3)每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 5．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量（盏）与时间（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格（元/盏）与时间（天）之间符合函数关系式.（，且为整数） (1)该台灯的日销售量（盏）与时间（天）之间的函数关系式为：______； (2)在这20天中，第8天的日销售利润为_______元； (3)在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 6．（25-26九年级上·山东烟台·期中）“秋风起，吃腊味”，某腊肠店销售A，B两类腊肠．A类腊肠进价元/件，B类腊肠进价元/件．已知购买2件A类腊肠和1件B类腊肠需元，购买3件A类腊肠和5件B类腊肠需元． (1)求A类腊肠和B类腊肠每件的售价各是多少元？ (2)A类腊肠供货充足，按原价销售每天可售出件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出件（每件售价不低于进价）．设每件A类腊肠降价x元，每天的销售量为y件，请直接写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，设该店每天销售A类腊肠的利润为w元，请求出w与x的函数关系式，并求出每天每件A类腊肠降价多少元时利润最大，最大利润是多少元？ 7．（25-26九年级上·浙江温州·期中）草莓被誉为“水果皇后”，不仅美味可口，还富含营养.新鲜上市的草莓很受大家欢迎，某商店每千克草莓的成本价为17元，经调查研究，在开始销售的30天，其每日销售量（千克）与时间（天）存在一次函数关系，数据如表： 时间t（天） 1 2 5 10 20 日销售量 128 136 160 200 280 在这30天内，前25天每天的价格（元/千克）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数），从第26天开始，每天的价格则稳定在27元/千克． (1)直接写出m关于t的函数关系式______． (2)求第30天当天的销售利润． (3)这30天哪一天的销售利润最大，求出t的值及当天的销售利润． 8．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）某商店销售进价为20元/件的某种商品，在第天的售价与销量的相关信息如下表：设销售商品的每天利润为y元． 时间x（天） 售价（元/件） 70 每天销量（件） (1)求当时，y与x的函数关系式； (2)问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ (3)现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元给贫困地区，在销售的前45天内该商店当日最大利润为3872元，求a的值． 题型2 面积最值问题（共7小题） 【模型】给定周长（篱笆长度、材料长度）围成矩形等图形，面积 S 关于某一边长 x 构成二次函数，形如 S＝ax²＋bx＋c（a<0 有最大值）。 ①不靠墙：S＝x·(周长÷2－x)，如 ②一面靠墙（只围三面）：S＝x·(L－2x)（x 为与墙垂直的边），如 ③若墙长有限，则平行于墙的一边还受墙长限制，定义域随之改变，如 【步骤】①设某一边长为 x；②用 x 与给定条件表示另一边长（注意靠墙边是否要围）；③列面积 S＝长×宽（或几何面积公式）；④求最值并检验定义域（各边长均为正，且满足材料与墙长限制）。 【易错】①靠墙问题少算一边，误把靠墙边也计入篱笆总长；②忽略定义域（需使两边长均为正，如 0<x<L−2x）；③顶点横坐标不在定义域内时，须在定义域端点取最值。 9．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、B两点，点是线段上一点（不与点，重合），过点分别作轴、轴，垂足分别为和，设，矩形的面积为． (1)求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求矩形的面积的最大值，并由此说明点的位置． 10．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，用总长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，墙长， 矩形面积随矩形的一边的长的变化而变化． (1)求S与x之间的函数关系式，并求自变量的取值范围 (2)当x为多少时，矩形场地的面积S最大，最大面积是多少? 答：当为米时，矩形场地的面积最大，最大面积是250平方米． 11．（25-26九年级上·云南昆明·期中） 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，设矩形与墙垂直的一边长为米，矩形花圃的面积为S平方米．    (1)花圃面积为，求与墙垂直的一边的长度． (2)求S与之间的函数关系式；要想使花圃的面积最大，应为多少？最大面积是多少？ 12．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期中）某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）． (1)若矩形面积为，求这个茶园的长和宽． (2)当，分别为多少米时，茶园的面积最大？最大面积是多少？ 13．（25-26九年级上·北京朝阳·期中）为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)如果围成的面积为150平方米的小花园，求的长． (3)当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 14．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图：用长为米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为米，面积为平方米． (1)求矩形的另一边的长_____米（用含的式子表示） (2)求关于的函数关系式； (3)当为何值时，矩形养鸡场的面积最大，并求出面积最大值？ 15．（25-26九年级上·浙江金华·期中）某班甲、乙两位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动． 【活动情境】如图2，将边长为的正方形纸片沿折叠（折痕分别与、交于点、），使点落在边上的点处，与交于点处，连接与交于点． 【所得结论】当点F与的中点重合时（如图1），甲、乙两位同学各得到一个正确结果： 甲：的边______，______．       乙：． 【完成任务】 (1)填写甲同学所得结果中的数据． (2)当点在边上任意一点（除点A、D外）时，乙同学所得结果还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)如图2，当点在边上（除点A、D外）时，记四边形的面积为S，为x，求S与x的函数关系式，当x为何值时，S最大？最大值是多少？ 提升·进阶突破 题型3 抛物线形建模问题（拱桥、隧道、喷泉、投篮）（共9小题） 【模型】物体的运动轨迹、桥拱、隧道断面常可看作抛物线。解题关键是建立适当坐标系，把实际长度转化为点的坐标，再用待定系数法求解析式。常见形式： 　　　　　　 【步骤】①建立坐标系（尽量把顶点放在原点或 y 轴上）；②根据条件选设最简单的解析式；③代入已知点坐标列方程求参数；④用所得解析式求解目标量（高度、宽度、水深等）。 【易错】①坐标系选择不当导致计算复杂、符号出错；②把“水面在拱顶下方”的距离与坐标原点位置混淆；③点的坐标与实际“高度/距离”对应错；④忽略实际问题对取值范围的限制（如宽度非负）。 16．（25-26九年级上·福建福州·期中）其小组准备合作制作出一个水流装置，下面是制作装置的活动过程： 活动目的 制作简易水流装置 设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径．从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处． 示意图 已知 轴，，，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 请根据活动过程完成任务一和任务二． 17．（26-27九年级上·北京·期中）乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明打球时发现乒乓球运动路线近似看成抛物线的一部分，爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小聪第一次发球时，乒乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式． 乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 20 35 40 35 20 (1)根据上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式，请你判断小聪第二次发球时，乒乓球是否落在球桌内： （填“是”，“否”）． 18．（25-26九年级上·陕西西安·期中）实心球是某地中考体育项目之一，小军在某次掷实心球训练中，实心球被掷出后的运动路线可以看作是如图所示的抛物线的一部分，已知小军投掷时出手点距地面（即），实心球的落地点在点处，且球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，距出手点的水平距离为．以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求图中抛物线的函数解析式； (2)若实心球投掷成绩（即出手点与落地点的水平距离）不小于为满分，请判断小军本次投掷实心球能否得满分． 19．（25-26九年级上·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“相反点”，如点，都是“相反点”． 探究1（1）下列结论中，正确的是______（填写正确结论的序号）． ①一次函数的图象上存在“相反点”，且只有一个“相反点”； ②一次函数的图象上存在“相反点”； ③所有的“相反点”都在直线上． 探究2（2）小亮在研究抛物线时，发现抛物线上有且只有一个“相反点”．求抛物线的解析式． 探究3（3）如图，将一拱桥抽象成平面直角坐标系上抛物线的一部分，且抛物线关于y轴对称，水位警戒线刚好经过抛物线的“相反点”．已知平时水位线在位置（点A，B在x轴上），水面的宽为，由于最近降雨频繁，水位上升到达处，这时水面的宽为，试判断此时水位是否到达警戒线，并说明理由．    20．（25-26九年级上·北京·期中）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点A水平距离为x米的地点，拱桥距离水面的高度为y米．小路同学根据学习函数的经验，对y和x之间的关系进行了探究． 经过测量，得出了y和x的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，发现拱桥距离水面的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系． x/米 0 0.6 1 1.8 2 2.4 3 3.6 4 y/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.88 2.80 2.38 1.6 0.88 (1)根据表中数据写出桥墩露出水面的高度______米； (2)求y与x之间的函数关系式； (3)公园欲开设游船项目，现有长为5.7米，宽为2.2米，露出水面高度为2.16米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩距离至少为______米． 21．（25-26九年级上·山西朔州·期中）综合与实践 近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，其为车主提供更舒适、安全的充电环境．图1是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点A，B的水平距离为6米． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)现有一辆新能源客车需要充电，图2是该车的截面图，已知车身长约5米，车厢的最高点与遮阳棚接触点离地面约2.36米．请通过计算说明这辆新能源客车是否可以完全停进遮阳棚的正下方． (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图3，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在中点处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架，直接写出第二段钢架的长． 22．（25-26九年级下·河北衡水·期中）如图1，“跳一跳”曾是某社交软件上风靡一时的互动游戏，该游戏要求操作者通过控制“i”形小人（看成点）起跳时的速度，使其能从一个平台跳到旁边同一水平面上且等高的另一平台上，示意图如图2所示．在平面直角坐标系中，矩形、矩形和矩形的边，，均在x轴上，，，，，“i”形小人从点B处起跳后沿抛物线运动，落在边的中点H处． (1)点B的坐标为______________，点H的坐标为______________； (2)求抛物线的解析式； (3)“i”形小人从点H处再次起跳后沿抛物线运动，且与形状相同． ①若与的最大高度相同，判断“i”形小人会落在平台上还是落在x轴上？说明理由，并求出落点的坐标； ②若“i”形小人再次起跳后沿抛物线落在平台上（包括边界），设的最大高度为，直接写出符合条件的整数的个数． 23．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）求解下列各题： 项目主题 合理规划学校劳动基地 素材1 在学校的劳动实践基地有一片矩形菜地，米，米，图①四周过道部分的宽度相等，种植区域是矩形，其种植面积266平方米．    素材2 为了方便灌溉，要在菜地中心点处安装一款垂直升降可旋转的自动喷水装置，处喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，当调整喷头竖直高度时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变． 素材3 现测得米，以点为原点，所在的直线为轴，平行于的直线为轴建立如图②的平面直角坐标系，测得喷出的水流与点水平距离为4米处达到最高点，点距地面2米．    素材4 当调整喷头的竖直高度时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变． (1)求过道的宽度； (2)求抛物线的解析式及喷水装置能够覆盖的最远水平距离，并判断此时喷出的水是否超出矩形区域； (3)当喷头刚好旋转时，建立适当平面直角坐标系，求此时的长满足什么条件，使喷出的水不会落在矩形外面且完全能够覆盖菜地． 24．（25-26九年级上·福建福州·期中）阅读下列材料，并完成相应任务： 项目主题 喷泉步行通道的设计布局与调整 素材1 某公园计划建造一条配有喷泉的步行通道，图1是设计的俯视示意图：通道左侧布置了一排垂直于路面的柱形喷水装置，右侧为长方形水池．设计要求水流从喷口斜向上射入水池，且落水点必须位于水池之内．若不考虑空气阻力，水流的运动轨迹可视为抛物线的一部分．图2展示了水流喷射轨迹的主视示意图．    素材2 相关建筑数据测量与喷泉水流设计数据如下： 描述 数值 喷口离地面的高度 2米 水池边缘的池壁高度， 0.8米 水池的宽度 1.5米 水流达到的最高点的高度 3.6米 水流达到的最高点与喷口的水平距离 2米 步道宽度 米 任务一：建立函数模型 （1）以喷口在水平地面上的垂直投影点为原点，以水平方向为轴，竖直方向为轴，建立坐标系．请求出此次设计中，水流高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的函数关系式． 任务二：优化设计位置 （2）为避免水流溅射到行人，要求水流在步行通道正上方的任意位置与地面的距离均不小于2米，且水流必须落在水池内．在只调整的大小，但不改变喷口高度与抛物线形状的前提下，确定的取值范围． 题型4 动态几何与组合图形面积（共8小题） 【模型】点沿图形边运动，图形面积 S 随运动时间 t（或某线段长 x）变化，常为分段函数，各段往往是二次函数或一次函数。求最值时需逐段分析。 【步骤】①明确运动过程，写清时间/变量的取值范围（含临界点）；②用变量表示相关线段长度；③表示面积 S 并判断是否需要分段；④各段分别求最值，比较得整体最值。 【易错】①漏掉分段（运动过程中图形“形状改变”或“重叠消失”）；②各段定义域没写清；③顶点横坐标不在某段定义域内，需分情况在端点处取最值。 25．（24-25九年级上·黑龙江鹤岗·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，、两点同时出发，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为． (1)几秒后四边形的面积是？ (2)若用表示四边形的面积，求经过多长时间取得最小值，并求出的最小值． 26．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）如图所示，已知在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果分别从同时出发后 ， ， (2)如果分别从同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)如果分别从同时出发，那么几秒后，四边形的面积最小，最小是多少？ 27．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图①，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿向终点移动，设移动时间为，连接，以为一边作正方形，连接，设的面积为，与t之间的函数关系如图②所示． (1)______，______； (2)当为何值时，的面积最小？请求出这个最小值； (3)当为何值时，为等腰三角形？请直接写出结果． 28．（25-26九年级下·吉林松原·期中）如图，在矩形中，，．动点P从点B出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，设和矩形重叠部分的面积为S． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当点E落在边上时，求t的值； (3)求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 29．（24-25九年级下·吉林松原·期中）如图，在中，，，，点为边的中点．点从点出发，以3单位长度/s的速度沿方向运动，到点停止．当点与、两点不重合时，过点作交于点，点在点右侧，，以、为边作矩形．设点的运动时间为． (1)直接写出线段长．（用含的代数式表示） (2)求当点落在线段上时的值． (3)设矩形与重叠部分图形面积为，求与之间的函数关系式． 30．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，正方形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限．将正方形沿x轴向右平移，得到正方形，点O、C、D、E的对应点分别为、、、．设，正方形与重叠部分的面积为S． (1)点B的坐标为_______，点D的坐标为_______； (2)当点与点A重合时，求t的值； (3)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． 31．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，在等腰直角三角形中，，边上的高．点P从点A出发，沿以的速度向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作，交边或边于点Q，以为边向下作正方形，设正方形与重叠部分图形的面积为，点P运动的时间为． (1)求的长； (2)直接写出点M落在边上时t的值； (3)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 32．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，在正方形中，E为的中点，正方形的边长是方程．的根．点P从点B出发，沿向点D运动，同时点Q从点E出发，沿向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度．当点运动到点时，两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒的面积为S． (1)通过取点、测量，得到了S与t的几组值，如下表： t 0 1 2 3 4 s 0 m 8 n 8 请直接写出_______，________； (2)请直接写出关于的函数解析式； (3)的面积是的面积2倍时，求线段的长． 拔高·压轴破难 题型5 二次函数综合线段周长问题（共6小题） 33．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点．点是轴上的一动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求周长的最小值； 34．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，过点的抛物线顶点为，与轴交于、两点 (1)求抛物线的解析式； (2)若点是轴上一点，则当取得最小值时，求点的坐标． 35．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，N是抛物线上一个动点且在第三象限，设点N的横坐标为m，过点N作x轴的垂线，交x轴于点M，交于点P． (1)用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值； (2)若，求点P的坐标． 36．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）综合与实践． 问题情境：如图，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点，在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．聪聪设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段，分隔出 区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点（不与，重合），过点作的平行线，交抛物线于点，．用篱笆沿，将线段，与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了聪聪的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩米篱笆材料（即）．若要在第二步分隔中恰好用完米材料，需确定与的长．为此，聪聪在图中以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图中画出坐标系，求抛物线的函数表达式并写出点的坐标； (2)若设点的横坐标为，则点的坐标为 （用含有字母的式子表示），并求米材料恰好用完时与的长； (3)种植区域分隔完成后，聪聪又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段，上．请直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值 37．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，抛物线：过点，顶点为M． (1)求b的值及点M的坐标； (2)点在上，若，直接写出的取值范围； (3)抛物线：（t为常数，且），顶点为N．与交于A，B（A在B的左侧）两点． ①当时，求在点A，B之间（含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数； ②连接，，且与交于点P，直接写出点P的纵坐标． 38．（25-26九年级上·四川巴中·期中）在平面直角坐标系中，已知点，在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，若直线与抛物线交于点、，连接和，直接写出的正切值． (3)在（2）的条件下，为抛物线上的一点（点与点不重合），当的面积与的面积相等时，求出点的坐标． (4)如图2，已知点，，抛物线向左或向右平移后，点、点的对应点分别为、当四边形的周长最小时，请直接写出平移后抛物线的顶点坐标． 题型6 二次函数综合面积问题（共6小题） 39．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，抛物线（为常数）经过坐标原点和点，点在轴上． (1)求抛物线顶点的坐标； (2)连接，，若点在轴下方的抛物线上，且，求点的坐标． 40．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求点坐标和面积； (3)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由． 41．（26-27九年级上·天津·期中）已知抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (3)计算的面积． 42．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 43．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，抛物线与直线相交于和B两点． (1)求k的值及点B的坐标； (2)若P是位于抛物线对称轴左侧的抛物线上的一点，且点P在直线的下方，过点P作轴于点M，轴交于点N，当时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件，经过原点O的直线交抛物线于C，D两点，若的面积与的面积相等，求的长． 44．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点B． (1) ； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)若点M是直线上一动点（点M不与A、B重合），过点M作线段（点N在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标的取值范围． 题型7 二次函数综合角度问题（共5小题） 45．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标． 46．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，已知顶点为的抛物线与x轴交于A，B两点，且． (1)求二次函数的解析式； (2)x轴上存在点P使得的面积为12，请求出点P坐标． (3)作直线，问抛物线上是否存在点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 47．（24-25九年级上·重庆江津·期中）如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，已知直线上方抛物线上有一点，过点作轴与交于点，过点作轴与轴交于点，求的最大值和此时点的坐标； (3)将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 48．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，点A的坐标为．    (1)该抛物线的表达式为　　； (2)点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接．当时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，将线段绕点Q顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 49．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，过、两点作直线． (1)求此抛物线的函数表达式． (2)将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点，在直线上方的抛物线上是否存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点是抛物线上一动点，且满足，若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型8二次函数综合三角形存在性问题（共6小题） 50．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，点P在此抛物线上，其横坐标为 (1)求此抛物线的解析式； (2)当点P在x轴上方时，结合图象，写出m的取值范围； (3)若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为 ①求m的值； ②点D为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 51．（24-25九年级上·江西新余·期中）如图，已知抛物线（）与 轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)设抛物线的对称轴与轴交于点，问在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由 52．（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过两点，与x轴交于另一点B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线上方的抛物线上的一点，连接，求的面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)在对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 53．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，抛物线与x轴的交点为A，B两点，与y轴的交于点，． (1)求抛物线的表达式； (2)P为抛物线在第四象限上的一点，直线与抛物线的对称轴相交于点，若是以为底边的等腰三角形，求直线的表达式； (3)E是该抛物线上位于对称轴右侧的动点，、是抛物线对称轴上两点，．请说明：存在确定的点N，使直线与抛物线只有唯一交点E． 54．（24-25九年级上·山西忻州·期中）综合与探究 如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式并直接写出点的坐标； (2)求的面积，并在该二次函数图象上确定一点，使与的面积相等，请求出所有满足条件的点的坐标． (3)该二次函数对称轴上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 55．（25-26九年级下·江西九江·期中）定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，两个二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线与是共生抛物线 已知抛物线的顶点是点，它的共生抛物线的顶点是； (1)点的坐标是___________，抛物线的函数关系式是___________． (2)当的取值范围是___________时，抛物线与的函数值都随的增大而减小． (3)直线与抛物线均有两个交点，这些交点从左到右分别是． ①求的取值范围是___________； ②在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型9二次函数综合四边形存在性问题（共5小题） 56．（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 57．（26-27九年级上·全国·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点A的坐标为，P是第一象限内抛物线上的一个动点，于点Q，设点P的横坐标为n． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求线段的最大值，并求此时n的值； (3)在（2）的条件下，当线段取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 58．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标： (3)R是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点S，使得以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标：若不存在，请说明理由． 59．（25-26九年级上·江西赣州·期中）已知抛物线过点，． (1)求a的值； (2)平移抛物线，得到抛物线，抛物线的顶点在直线上，设平移后抛物线顶点的横坐标为m． ①抛物线的函数关系式为________（用含m的式子表示）； ②求抛物线与y轴交点纵坐标的最小值． (3)设抛物线的顶点为P，将抛物线沿x轴翻折，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于A，B两点（A在B的左侧），抛物线的顶点为Q，试判断四边形是否能成为正方形，若能，求出c的值；若不能，请说明理由． 60．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，直线上方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3，连接，将绕着点顺时针旋转，记旋转过程中的为，点的对应点为点，点的对应点为点．当点刚好落在线段上时，将沿着直线平移，在平移过程中，直线与抛物线对称轴交于点，与轴交于点，设点是平面内任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． $