专题01 二次函数图象与性质9大题型60题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材人教版五四制

专题01 二次函数图象与性质 基础·固本强基 题型1 二次函数的概念辨析 题型2 y=ax² 的图象与性质 题型3 顶点式 y=a(x−h)²+k 提升·进阶突破 题型4 二次函数图象的平移 题型5 y=ax²+bx+c 一般式 题型6 二次函数图象识别与系数符号判断 题型7 用待定系数法求二次函数解析式 拔高·压轴破难 题型8 增减性与区间最值（培优） 题型9 图象与性质综合压轴 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 二次函数的概念辨析（共7小题） 【模型】题干出现「判断下列函数是否为二次函数」「已知某函数是二次函数，求参数」等。核心依据：解析式可化为 （a、b、c 为常数，a≠0）的形式，且自变量最高次数为 2。 【步骤】①看解析式是否可化为一般式；②判断自变量最高次数是否为 2；③若含参数，令二次项系数不为 0（且次数为 2）求参数；④对可化简的函数先化简再判断。 【易错】①漏掉 a≠0 这一条件，把形似实非的函数误判；②忘记化简，如 y=(x+1)²−x² 化简后为一次函数；③分母含 x 或根号下含 x 的式子不是整式，故不是二次函数。 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．2，， B．，4，1 C．2，，1 D．，4， 2．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）下列函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 6．（25-26九年级上·吉林长春·期中）若函数是二次函数，则的值为_______． 7．（25-26九年级上·四川广元·期中）已知函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是______． 题型2 y=ax² 的图象与性质（共9小题） 【模型】解析式形如 （即 b=0、c=0），图象是以原点为顶点、y 轴为对称轴的抛物线，是最简单的一类。 【步骤】①由 a 的符号判断开口方向（a>0 向上，a<0 向下）；②顶点为原点 (0,0)，对称轴为 y 轴（x=0）；③以对称轴为界分左右描述增减性；④顶点即最值点：a>0 有最小值 0，a<0 有最大值 0。 【易错】①增减性要分左右两侧，并随开口方向改变；②最值在顶点取得，为 0；③|a| 越大，开口越小（越陡峭）。 8．（25-26九年级下·吉林长春·期中）若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 9．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）抛物线的顶点坐标是（    ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 10．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象过点，则a的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 11．（25-26九年级上·全国·期中）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．无论取何值， B．其图象的对称轴是 轴 C． 随的增大而减小 D．其图象在第二、四象限 12．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知点在下列某一函数图象上，且满足，那么这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）函数图象的开口 _____． 14．（25-26九年级上·四川广元·期中）已知点，是函数的图象上的两点，且当时，有，则的取值范围是______ 15．（25-26九年级上·广东江门·期中）一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示．现测得：当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为．当水面宽时，水位上升___________ 16．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形ABCD的顶点B，D在开口向上的二次函数的图象上，点B在点D的左侧，点A在y轴正半轴上，设点B，D的横坐标分别为m、n，已知，则________． 题型3 顶点式 y=a(x−h)²+k（共6小题） 【模型】解析式形如 ，顶点、对称轴、最值可直接读出，是求最值题的快捷入口。 【步骤】①读出顶点 (h,k) 与对称轴 x=h；②由 a 判断开口方向与增减性；③直接写出最值：a>0 有最小值 k，a<0 有最大值 k；④注意顶点横坐标 h 与括号内符号相反。 【易错】①顶点横坐标 h 的符号易错：y=a(x+2)²+3 的顶点横坐标是 −2，不是 2；②最值是纵坐标 k，不是横坐标；③括号内 x−h 中 h 才是顶点横坐标。 17．（25-26九年级上·陕西西安·期中）二次函数图象的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 18．（25-26九年级上·福建福州·期中）对于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．当时，的最大值为2 D．当时，随的增大而减小 19．（26-27九年级上·浙江·期中）抛物线的顶点坐标是_____． 20．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 21．（25-26九年级上·山东菏泽·期末）已知点，，都在二次函数图像上，则，，的大小关系为_______． 22．（25-26九年级上·湖南湘西·期中）一条抛物线的顶点为，与轴的交点是．求该抛物线的解析式及其对称轴． 提升·进阶突破 题型4 二次函数图象的平移（共6小题） 【模型】题干出现「把抛物线 向右平移 3 个单位」「将 向左平移再向上平移」「抛物线 是由 怎样平移得到」等。 【步骤】①抓住顶点：平移只改变顶点坐标，不改变 a；②水平方向「左加右减」作用于 x；③竖直方向「上加下减」作用于整体；④把新顶点代入顶点式即得新解析式。 【易错】①「左加右减」方向易反：向右平移 m 个单位是 x−m，不是 x+m；②竖直平移作用于整体（±k）；③平移不改变 a，故开口大小不变。 23．（26-27九年级上·天津·期中）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（     ） A． B． C． D． 24．（25-26九年级上·广西百色·期中）将抛物线向上平移2个单位后得到新的抛物线，其对应的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 25．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）二次函数的图象向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到抛物线的解析式为_____． 26．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线解析式为_____________ 27．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）若抛物线向上平移p（p为正数且不等于3）个单位后，在范围内与x轴只有一个交点，则p的取值范围是________． 28．（25-26九年级上·全国·期中）将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，求原抛物线的表达式． 题型5 y=ax²+bx+c 一般式（共8小题） 【模型】解析式为一般式 ，要求对称轴、顶点、最值，或据此作图。 【易错】配方是恒等变形，勿漏项、变号；③最值须由开口方向确定是最大还是最小。 29．（25-26九年级上·广西百色·期中）将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 30．（26-27九年级上·河北·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 31．（26-27九年级上·全国·期中）若二次函数取最大值时，则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 32．（25-26九年级上·广东汕头·期中）二次函数的最小值为________． 33．（25-26九年级下·黑龙江·期中）将二次函数化为的形式，结果为_____． 34．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）二次函数，当_______时，y有最值，最_______值为_______． 35．（26-27九年级上·山东·期中）点都在函数的图象上，则的大小关系为___________． 36．（25-26九年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且），已知，和是抛物线上的两点，对于都有，则a的取值范围是_______． 题型6 二次函数图象识别与系数符号判断（共7小题） 【模型】给出 的图象（或描述图象位置），判断 、、、 的符号，或判断相关结论的正误。 【步骤】①看开口方向定 a；②由对称轴与 y 轴的相对位置结合 a 定 b 的符号；③看图象与 y 轴交点定 c；④看与 x 轴交点个数定 Δ。 【易错】①b 的符号不能只看对称轴位置，须结合 a；②对称轴在 y 轴左侧时 a、b 同号，在右侧时 a、b 异号；③c 是图象与 y 轴交点的纵坐标（纵截距）。 37．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象开口向上，则a的值可能是（ ） A． B． C．0 D．3 38．（25-26九年级上·辽宁营口·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 39．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，抛物线与轴相交于，两点，点的横坐标为4，点的横坐标在和0之间，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 40．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法： ①； ②； ③当时，随的增大而减小； ④（为任意实数）． 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 41．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线，有以下四个结论：① ，② ，③ ，④ ，其中正确的个数(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 42．（25-26九年级上·北京西城·期中）二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴的交点在与之间不包括这两点下列结论： ①；②；③若，，则；④；⑤若m为任意实数，则 其中正确的结论序号有______． 43．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线与x轴交于，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论： ①； ②； ③； ④当点C坐标为时，抛物线顶点； ⑤若点是抛物线上第一象限上的动点，当最大时，． 其中正确的有______．（只填序号） 题型7 用待定系数法求二次函数解析式（共6小题） 【模型】给出图象上若干点（三点、顶点与另一点、与 x 轴两交点与另一点），求函数解析式。 【步骤】①设解析式：已知三点用一般式；已知顶点用顶点式；已知与 x 轴交点用交点式；②把已知点坐标代入建立方程（组）；③解出待定系数；④回代得解析式，并化为一般式作答。 【易错】①先判断用哪种形式最简便，再设式；②代入后去括号、变号易错；③最终答案应化为一般式。 44．（26-27九年级上·北京·期中）已知二次函数满足条件：①有最小值；②它的图象经过点，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式____________________． 45．（25-26九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 46．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知抛物线过点，顶点是，求此抛物线的解析式． 47．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）当时，抛物线有最小值为，且抛物线与轴交于点．求这条抛物线的解析式． 48．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的表达式； (2)请你判断点是否在这个二次函数的图象上？ 49．（25-26九年级上·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为．求该二次函数的表达式． 拔高·压轴破难 题型8 增减性与区间最值（培优）（共5小题） 【模型】已知二次函数与自变量的取值范围（区间），求该区间内的最大值与最小值。关键是判断对称轴是否落在区间内。 【步骤】①先求对称轴与顶点；②判断对称轴是否在给定区间内：在内则顶点为最值点之一；③把区间两个端点分别代入求函数值并比较；④开口向上时最小值在离对称轴最近处取得，开口向下时最大值在离对称轴最近处取得。 【易错】①不能直接用顶点最值替代区间最值，必须比较端点；②对称轴不在区间内时，最值只在端点取得；③开口方向决定增减，进而决定哪个端点大。 50．（25-26九年级下·陕西榆林·期中）已知二次函数（为常数），当时，该二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A．9 B． C．1 D．4 51．（25-26九年级上·广西梧州·期中）已知二次函数，其中，则函数值的最大值是（    ） A． B． C． D． 52．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）已知二次函数，当时，函数的最大值为m，最小值为n，求的值． 53．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，求函数的取值范围． 54．（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知抛物线，点为抛物线顶点． (1)若抛物线与轴的交点坐标为点，求抛物线的解析式； (2)当点的纵坐标取最大值时，求的值及点坐标； (3)在（2）的条件下，当，函数有最小值7，求的值． 题型9 图象与性质综合压轴（共6小题） 【模型】综合考查对称轴、顶点、最值、与坐标轴交点、增减性等，或与几何图形（面积、三角形）结合，是期中压轴高频题型。 【步骤】①先确定开口、对称轴、顶点、与坐标轴交点等基本量；②结合图形与题目条件（面积、最值等）建立关系；③必要时分情况讨论；④最后检验结果是否符合图象位置与题意。 【易错】①基本量要逐一求全，勿遗漏；②与几何结合时注意坐标正负、长度应取绝对值；③动点或含参题要注意自变量的取值范围。 55．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，点P在此抛物线上，其横坐标为 (1)求此抛物线的解析式； (2)当点P在x轴上方时，结合图象，写出m的取值范围； (3)若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为 ①求m的值； ②点D为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 56．（25-26九年级上·四川广元·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． (1)请直接写出点A，C，D的坐标； (2)如图①，在x轴上找一点E，使得的周长最小，求点E的坐标； (3)如图②，P为直线上的动点，过点P作垂直x轴，与抛物线交于H，是否存在点使得直线把分成面积比为的两部分，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 57．（26-27九年级上·全国·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点A的坐标为，P是第一象限内抛物线上的一个动点，于点Q，设点P的横坐标为n． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求线段的最大值，并求此时n的值； (3)在（2）的条件下，当线段取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 58．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 59．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标： (3)R是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点S，使得以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标：若不存在，请说明理由． 60．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、两点，与y轴交于点C，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点N，若E为y轴上的一动点，F为该抛物线对称轴上的一动点．当取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，Q为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点Q的坐标，并写出其中一种情况的解答过程． $专题01 二次函数图象与性质 基础·固本强基 题型1 二次函数的概念辨析 题型2 y=ax² 的图象与性质 题型3 顶点式 y=a(x−h)²+k 提升·进阶突破 题型4 二次函数图象的平移 题型5 y=ax²+bx+c 一般式 题型6 二次函数图象识别与系数符号判断 题型7 用待定系数法求二次函数解析式 拔高·压轴破难 题型8 增减性与区间最值（培优） 题型9 图象与性质综合压轴 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 二次函数的概念辨析（共7小题） 【模型】题干出现「判断下列函数是否为二次函数」「已知某函数是二次函数，求参数」等。核心依据：解析式可化为 （a、b、c 为常数，a≠0）的形式，且自变量最高次数为 2。 【步骤】①看解析式是否可化为一般式；②判断自变量最高次数是否为 2；③若含参数，令二次项系数不为 0（且次数为 2）求参数；④对可化简的函数先化简再判断。 【易错】①漏掉 a≠0 这一条件，把形似实非的函数误判；②忘记化简，如 y=(x+1)²−x² 化简后为一次函数；③分母含 x 或根号下含 x 的式子不是整式，故不是二次函数。 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．2，， B．，4，1 C．2，，1 D．，4， 【答案】B 【详解】解：函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，，1． 故选：B． 2．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）下列函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次函数需满足最高次项为且系数不为0， A.，最高次项为，不是二次函数，不符合题意； B.，若，则，不是二次函数，不符合题意； C. ，∵，∴，恒满足二次函数定义，符合题意； D.，若，则，不是二次函数，不符合题意． 故选：C． 3．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 二次函数需满足最高次项为次且系数不为 A、，若则不是二次函数，故此选项不一定正确，不符合题意； B、，含有分式，不是整式，故此选项不是二次函数，不符合题意； C、，展开得，，是二次函数，故此选项符合题意； D、，展开得，是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 4．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，不是二次函数，故选项A不符合题意； B、，是一次函数，故选项B不符合题意； C、，是一次函数，故选项C不符合题意； D、是二次函数，故选项D符合题意． 故选：D． 5．（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， . 6．（25-26九年级上·吉林长春·期中）若函数是二次函数，则的值为_______． 【答案】0 【详解】解：函数是二次函数， 因此x的指数， 解得：； 同时二次项系数， 当时，，满足条件． 故答案为：0． 7．（25-26九年级上·四川广元·期中）已知函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：， ∵该函数为二次函数， ∴其二次项系数， ∴． 故答案为：． 题型2 y=ax² 的图象与性质（共9小题） 【模型】解析式形如 （即 b=0、c=0），图象是以原点为顶点、y 轴为对称轴的抛物线，是最简单的一类。 【步骤】①由 a 的符号判断开口方向（a>0 向上，a<0 向下）；②顶点为原点 (0,0)，对称轴为 y 轴（x=0）；③以对称轴为界分左右描述增减性；④顶点即最值点：a>0 有最小值 0，a<0 有最大值 0。 【易错】①增减性要分左右两侧，并随开口方向改变；②最值在顶点取得，为 0；③|a| 越大，开口越小（越陡峭）。 8．（25-26九年级下·吉林长春·期中）若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 9．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）抛物线的顶点坐标是（    ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 【答案】C 【详解】解：∵二次函数的形式为时，其顶点坐标为， 又∵抛物线符合（）的形式， ∴抛物线的顶点坐标是， 故选：C． 10．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象过点，则a的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】解：∵ 点在函数上， ∴ ， 即 ， ∴ ． 因此，a的值为1． 故选：D 11．（25-26九年级上·全国·期中）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．无论取何值， B．其图象的对称轴是 轴 C． 随的增大而减小 D．其图象在第二、四象限 【答案】B 【详解】∵函数是二次函数，且， ∴抛物线开口向下，顶点在原点， 当时，； 当时，， 故A错误； 对称轴为，即轴， 故B正确； ∵中，， ∴当时，随增大而增大； 当时，随增大而减小， 故C错误； ∵当时，，函数的图象上的点在第四象限； 当时，，函数的图象上的点在第三象限， ∴图象不在第二象限， 故D错误， 故选：B． 12．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知点在下列某一函数图象上，且满足，那么这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：， ∵时，； 时，； 时，； ∴，不满足； 选项B：， ∵时，； 时，； 时，； ∴，不满足； 选项C：， ∵时，； 时，； 时，； ∴，不满足； 选项D：， ∵时，； 时，； 时，； ∴，满足； ∴这个函数可能是． 故选：D． 13．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）函数图象的开口 _____． 【答案】向上 【详解】解：∵函数中， ∴图象开口向上． 故答案为：向上． 14．（25-26九年级上·四川广元·期中）已知点，是函数的图象上的两点，且当时，有，则的取值范围是______ 【答案】 【详解】解：当时， 可得：， 无论为何值，均有， 不符合题意； 当时，函数是二次函数， 其图象为抛物线， 当时，有， ， 解得：． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·广东江门·期中）一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示．现测得：当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为．当水面宽时，水位上升___________ 【答案】/8米 【详解】解：设抛物线的解析式为， ∵当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为， ∴，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当水面宽时， 的横坐标为， ∴的纵坐标为， ∴水位上升 ， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形ABCD的顶点B，D在开口向上的二次函数的图象上，点B在点D的左侧，点A在y轴正半轴上，设点B，D的横坐标分别为m、n，已知，则________． 【答案】 【详解】解：过点B作轴于点F，过点D作轴于点E．如图所示： ∵点B，D的横坐标分别为m，n，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上， ， ． ∵四边形是正方形， ，， ． ， ， ，， ，， ， ， ∵点B，D在y轴的同侧， ， ， ∵， ∴． 故答案为：． 题型3 顶点式 y=a(x−h)²+k（共6小题） 【模型】解析式形如 ，顶点、对称轴、最值可直接读出，是求最值题的快捷入口。 【步骤】①读出顶点 (h,k) 与对称轴 x=h；②由 a 判断开口方向与增减性；③直接写出最值：a>0 有最小值 k，a<0 有最大值 k；④注意顶点横坐标 h 与括号内符号相反。 【易错】①顶点横坐标 h 的符号易错：y=a(x+2)²+3 的顶点横坐标是 −2，不是 2；②最值是纵坐标 k，不是横坐标；③括号内 x−h 中 h 才是顶点横坐标。 17．（25-26九年级上·陕西西安·期中）二次函数图象的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴，， ∴图象的顶点坐标为． 18．（25-26九年级上·福建福州·期中）对于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．当时，的最大值为2 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【详解】解：已知抛物线的解析式为， 对于选项A：根据顶点式性质，抛物线的对称轴为直线，该说法正确； 对于选项B：顶点式对应的顶点坐标为，该说法正确； 对于选项C：， 抛物线开口向下，在时取得最大值．该说法错误； 对于选项D：抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，该说法正确． 综上，说法错误的是选项C． 19．（26-27九年级上·浙江·期中）抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的顶点坐标为． 20．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 【答案】/ 【详解】解：∵点，都在二次函数的图象上， ∴，， ∵， ∴． 21．（25-26九年级上·山东菏泽·期末）已知点，，都在二次函数图像上，则，，的大小关系为_______． 【答案】/ 【详解】∵二次函数中，二次项系数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴的距离越小的点的函数值越大， ∵，，，且， ∴． 22．（25-26九年级上·湖南湘西·期中）一条抛物线的顶点为，与轴的交点是．求该抛物线的解析式及其对称轴． 【答案】抛物线的解析式为（或一般式），对称轴为直线． 【详解】解：抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为． 抛物线与轴交于点， 将代入解析式，得，解得． 抛物线的解析式为，化为一般式为． 抛物线的顶点坐标为， 该抛物线的对称轴为直线． 提升·进阶突破 题型4 二次函数图象的平移（共6小题） 【模型】题干出现「把抛物线 向右平移 3 个单位」「将 向左平移再向上平移」「抛物线 是由 怎样平移得到」等。 【步骤】①抓住顶点：平移只改变顶点坐标，不改变 a；②水平方向「左加右减」作用于 x；③竖直方向「上加下减」作用于整体；④把新顶点代入顶点式即得新解析式。 【易错】①「左加右减」方向易反：向右平移 m 个单位是 x−m，不是 x+m；②竖直平移作用于整体（±k）；③平移不改变 a，故开口大小不变。 23．（26-27九年级上·天津·期中）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得， 平移后的抛物线为． 24．（25-26九年级上·广西百色·期中）将抛物线向上平移2个单位后得到新的抛物线，其对应的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵将抛物线向上平移 2 个单位， ∴新抛物线的函数表达式为. 又∵选项D为，即， ∴选项D正确； 故选D. 25．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）二次函数的图象向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到抛物线的解析式为_____． 【答案】 【详解】解：二次函数的图象向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到抛物线的解析式为， 故答案为：． 26．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线解析式为_____________ 【答案】 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，顶点坐标变为，由于平移不改变二次项系数，故新抛物线解析式为． 故答案为：． 27．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）若抛物线向上平移p（p为正数且不等于3）个单位后，在范围内与x轴只有一个交点，则p的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：∵抛物线向上平移p（p为正数且不等于3）个单位后， ∴平移后的抛物线的表达式为， ∵平移后抛物线的开口向下，对称轴为直线， 把代入，得 由题意且，可知抛物线顶点在轴上方，故抛物线与轴有两个交点 ∴要使在范围内与x轴只有一个交点，只需当，函数值小于零；当，函数值大于或等于零； ∴， 解得， 故答案为： 28．（25-26九年级上·全国·期中）将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，求原抛物线的表达式． 【答案】 【详解】解：将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线， 所以新抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位，得到原抛物线，即， 新抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位，得到抛物线的解析式为． 原抛物线的表达式为． 题型5 y=ax²+bx+c 一般式（共8小题） 【模型】解析式为一般式 ，要求对称轴、顶点、最值，或据此作图。 【易错】配方是恒等变形，勿漏项、变号；③最值须由开口方向确定是最大还是最小。 29．（25-26九年级上·广西百色·期中）将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ； 故选A. 30．（26-27九年级上·河北·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次函数开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大，对称轴为直线， ∵， ， ∴． 31．（26-27九年级上·全国·期中）若二次函数取最大值时，则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】解：∵二次函数中， ∴函数取最大值时的值为对称轴横坐标， 由对称轴公式直线，代入，， 得， ∵函数取最大值时， ∴． 32．（25-26九年级上·广东汕头·期中）二次函数的最小值为________． 【答案】 【详解】， 开口向上，当时有最小值． 33．（25-26九年级下·黑龙江·期中）将二次函数化为的形式，结果为_____． 【答案】 【详解】解： ， 即. 34．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）二次函数，当_______时，y有最值，最_______值为_______． 【答案】 2 小 0 【难度】0.85 【详解】解：二次函数，其中， 故抛物线开口向上，函数有最小值，顶点横坐标，代入得， ∴当时，有最小值为． 故答案为：2；小；0． 35．（26-27九年级上·山东·期中）点都在函数的图象上，则的大小关系为___________． 【答案】 【详解】解：当时， ， 当时， ， 当时， ， 比较得：，即． 36．（25-26九年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且），已知，和是抛物线上的两点，对于都有，则a的取值范围是_______． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为， ①当时，，则在对称轴右侧，其关于对称轴对称点为， ∵开口向上，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∵当有， 可得， 解得； ②当时，，则在对称轴左侧，其关于对称轴对称点为， ∵开口向下，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵当有， 可得或， ∴或 ， 解得； 综上，或． 题型6 二次函数图象识别与系数符号判断（共7小题） 【模型】给出 的图象（或描述图象位置），判断 、、、 的符号，或判断相关结论的正误。 【步骤】①看开口方向定 a；②由对称轴与 y 轴的相对位置结合 a 定 b 的符号；③看图象与 y 轴交点定 c；④看与 x 轴交点个数定 Δ。 【易错】①b 的符号不能只看对称轴位置，须结合 a；②对称轴在 y 轴左侧时 a、b 同号，在右侧时 a、b 异号；③c 是图象与 y 轴交点的纵坐标（纵截距）。 37．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象开口向上，则a的值可能是（ ） A． B． C．0 D．3 【答案】D 【详解】解：二次函数图象开口向上， 则， 因为该函数为二次函数， 所以， 由于、 因此的值可能是3， 故选：D． 38．（25-26九年级上·辽宁营口·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：观察四个图形，抛物线的对称轴都在原点右侧， ∴和异号， 当时，则， 对于直线经过一、三、四象限，则选项B正确，符合题意； 当时，则， 对于直线经过一、二、四象限，则没有选项符合题意； 故选：B． 39．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，抛物线与轴相交于，两点，点的横坐标为4，点的横坐标在和0之间，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下，故， 与y轴交于正半轴，故， 对称轴在轴右侧，故， 又∵， ∴， ∴，故A选项错误，不符合题意； 由题意得，当时， ， ∵点B在到之间，且在点B的左边， ∴，故B选项错误，不符合题意； 由题意得，当时， ， ∵是抛物线与x轴交点， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∵点的横坐标在和0之间， ∴， ∵， ∴ ，故D选项正确，符合题意． 故选D． 40．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法： ①； ②； ③当时，随的增大而减小； ④（为任意实数）． 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， 又∵对称轴为直线， ∴，即， ∴， 由图象可知，当时，， ∵和两点关于对称轴对称， ∴当时，，即， ∴，故①正确； 由①得，，代入， 得， 由图象可知，当时，，即， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，故③正确； 假设不等式成立，在不等式两边加c， 得， ∵不等式左侧为当时的函数值，右侧为时（为任意实数）的函数值， 又∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时的函数值为最大值，即恒成立， ∴成立，故④正确； 综上所述，正确的说法有4个． 故选：D． 41．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线，有以下四个结论：① ，② ，③ ，④ ，其中正确的个数(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：①抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ，所以①正确，符合题意； ②时，， 即， ， ， ， ，所以②错误，不符合题意； ③当时，， 抛物线的顶点坐标为， 把代入得， ，所以③正确，符合题意； ④当时，， 即， ， ，所以④正确，符合题意． 故选：C． 42．（25-26九年级上·北京西城·期中）二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴的交点在与之间不包括这两点下列结论： ①；②；③若，，则；④；⑤若m为任意实数，则 其中正确的结论序号有______． 【答案】②③④ 【详解】解：二次函数图象与x轴交于点，， 设解析式为， 则，， 由于二次函数图象与y轴的交点在与之间， 则，即， 解得，故结论④正确； 对于结论①：，，，则，故①错误； 对于结论②：当时， 由得，当时，， 则，故②正确； 对于结论③：对称轴为直线，抛物线开口向上， 由且，得，点离对称轴比点更远， 则，故③正确； 对于结论⑤：考虑函数， 由于，为开口向上的抛物线， 顶点在， 则，当时取等号， 故，不一定大于，故⑤错误； 综上，正确结论为②、③、④． 故答案为：②③④． 43．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线与x轴交于，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论： ①； ②； ③； ④当点C坐标为时，抛物线顶点； ⑤若点是抛物线上第一象限上的动点，当最大时，． 其中正确的有______．（只填序号） 【答案】①②⑤ 【详解】解：①由条件可知：对称轴为直线，即，得到，故①正确，符合题意； ②当时，， 由图象可得，故②正确，符合题意； ③抛物线开口向下，交轴的正半轴于点， ，，， 故，③错误，不符合题意； ④根据题意可设二次函数解析式为， 把代入可得， 解得， ， 当时，， 即抛物线顶点，故④错误，不符合题意； ⑤根据，可设函数解析式为， 将点代入， 可得 ， ， 如图，过点作轴交于点， 设直线，过点，， 则 解得：， 直线 ， 直线． 由条件可知：， ， ， 当时，的面积最大， 故⑤正确，符合题意； 故答案为：①②⑤． 题型7 用待定系数法求二次函数解析式（共6小题） 【模型】给出图象上若干点（三点、顶点与另一点、与 x 轴两交点与另一点），求函数解析式。 【步骤】①设解析式：已知三点用一般式；已知顶点用顶点式；已知与 x 轴交点用交点式；②把已知点坐标代入建立方程（组）；③解出待定系数；④回代得解析式，并化为一般式作答。 【易错】①先判断用哪种形式最简便，再设式；②代入后去括号、变号易错；③最终答案应化为一般式。 44．（26-27九年级上·北京·期中）已知二次函数满足条件：①有最小值；②它的图象经过点，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式____________________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：设二次函数解析式为． ∵二次函数有最小值， ∴． ∵图象经过点， ∴当时，，即． 取，，则解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 45．（25-26九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【答案】 【详解】解：设此二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为． 46．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知抛物线过点，顶点是，求此抛物线的解析式． 【答案】 【详解】解∶设抛物线解析式为：， 把点代入， 得：， 解得：， 故抛物线解析式为． 47．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）当时，抛物线有最小值为，且抛物线与轴交于点．求这条抛物线的解析式． 【答案】 【详解】解：抛物线在时最小值为， 设抛物线的顶点式为 抛物线过点， 解得， ∴这条抛物线的解析式为，即． 48．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的表达式； (2)请你判断点是否在这个二次函数的图象上？ 【详解】（1）∵二次函数的图象经过点， ， 解得， ∴二次函数的解析式． （2）将代入表达式， 得：．因， 故点不在这个二次函数的图象上． 49．（25-26九年级上·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为．求该二次函数的表达式． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点，， 对称轴为直线， ； （2）解：二次函数的最大值为， ，， 又， ， ，整理得， 即， 解得，， ， ，则， ． 拔高·压轴破难 题型8 增减性与区间最值（培优）（共5小题） 【模型】已知二次函数与自变量的取值范围（区间），求该区间内的最大值与最小值。关键是判断对称轴是否落在区间内。 【步骤】①先求对称轴与顶点；②判断对称轴是否在给定区间内：在内则顶点为最值点之一；③把区间两个端点分别代入求函数值并比较；④开口向上时最小值在离对称轴最近处取得，开口向下时最大值在离对称轴最近处取得。 【易错】①不能直接用顶点最值替代区间最值，必须比较端点；②对称轴不在区间内时，最值只在端点取得；③开口方向决定增减，进而决定哪个端点大。 50．（25-26九年级下·陕西榆林·期中）已知二次函数（为常数），当时，该二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A．9 B． C．1 D．4 【答案】D 【详解】解：二次函数（为常数）， ∵， ∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，离对称轴越远值越小， ∵，则， ∴当时，二次函数取得最大值，最大值为， 当时，二次函数取得最小值，最小值为， ∴， 故选：D ． 51．（25-26九年级上·广西梧州·期中）已知二次函数，其中，则函数值的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴该二次函数的图象开口向上，顶点为，最小值为， 当时，， 当时，， ∵， ∴当时，函数值的最大值为． 故选：D． 52．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）已知二次函数，当时，函数的最大值为m，最小值为n，求的值． 【答案】4 【详解】解：∵，对称轴为， ∴二次函数开口向下，顶点坐标为， ∴在区间内，当时，取最大值4； 当时，； 当时，； ∴，， ∴． 53．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，求函数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：二次函数中，，对称轴为， 代入对称轴公式得： ， 解得：， 二次函数的表达式为； （2）解：将二次函数配方为顶点式： 由顶点式可知，该二次函数的开口向上（因为），顶点坐标为， 即当（在区间内）时，取得最小值4， 当时，， 时，， 函数开口向上，在区间内，离对称轴越远，函数值越大． 当时，函数取得区间内的最大值． 综上，当时，函数的取值范围是． 54．（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知抛物线，点为抛物线顶点． (1)若抛物线与轴的交点坐标为点，求抛物线的解析式； (2)当点的纵坐标取最大值时，求的值及点坐标； (3)在（2）的条件下，当，函数有最小值7，求的值． 【答案】(1) (2)，点的坐标为 (3)或 【详解】（1）解：将代入抛物线解析式， 得：， 解得， ∴． （2）解：， ∴，顶点的坐标为， ∵， ∴当时，的最大值为3， 此时点P的坐标为． （3）解：当时，， 当时，函数有最小值3， ∵时，函数的最小值是7， ∴的取值范围一定在对称轴的左边或者右边． 当时，时有最小值， ∴， 解得，， ∵， ∴． 当时，时有最小值， ∴， 解得，， ∵， ∴． 综上所述，或． 题型9 图象与性质综合压轴（共6小题） 【模型】综合考查对称轴、顶点、最值、与坐标轴交点、增减性等，或与几何图形（面积、三角形）结合，是期中压轴高频题型。 【步骤】①先确定开口、对称轴、顶点、与坐标轴交点等基本量；②结合图形与题目条件（面积、最值等）建立关系；③必要时分情况讨论；④最后检验结果是否符合图象位置与题意。 【易错】①基本量要逐一求全，勿遗漏；②与几何结合时注意坐标正负、长度应取绝对值；③动点或含参题要注意自变量的取值范围。 55．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，点P在此抛物线上，其横坐标为 (1)求此抛物线的解析式； (2)当点P在x轴上方时，结合图象，写出m的取值范围； (3)若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为 ①求m的值； ②点D为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)①m的值为 ；②存在，点Q的坐标为或 【详解】（1）解：将，代入得： ， 解得：， ∴； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴抛物线与x轴相交于， ∵点P在此抛物线上，其横坐标为 ∴由图可知，当点P在x轴上方时或． （3）解：①∵， ∴对称轴为直线， 当点P在对称轴左侧，即时， 最低点为抛物线顶点， ∴， 解得（不符合题意，舍去）， 当点P在对称轴右侧，即时，y随x的增大而减小， ∴最低点为， ∴， 解得：， 综上：； ②由①可知 当时，，和点A重合， ∵对称轴为直线，， ∴； 当时，令对称轴和x轴相交于点H，则， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上：存在，点Q的坐标为或． 56．（25-26九年级上·四川广元·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． (1)请直接写出点A，C，D的坐标； (2)如图①，在x轴上找一点E，使得的周长最小，求点E的坐标； (3)如图②，P为直线上的动点，过点P作垂直x轴，与抛物线交于H，是否存在点使得直线把分成面积比为的两部分，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)点P坐标为或 【详解】（1）解：由题意知，当时，， 解得：，， ∵点A在点B的左侧， ∴点A坐标为， 当时，， ∴点C坐标为， ∵， ∴顶点D坐标为． （2）解：如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，此时的周长最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则有，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴当的周长最小时，点E坐标为． （3）解：设直线的解析式为， 则有，解得， ∴直线的解析式为， ∵点P为直线上的动点，点H在抛物线上， ∴设点P坐标为， ∵轴， ∴设点H坐标为， 如图，设直线与交于点M，将代入得， ∴，， ①当时： 则，即， 整理得：，解得，， ∵时，点P与点A重合，故舍去， ∴点P坐标为； ②当时： 则，即， 整理得：，解得，， ∵时，点P与点A重合，故舍去， ∴点P坐标为， 综上所述，点P坐标为或． 57．（26-27九年级上·全国·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点A的坐标为，P是第一象限内抛物线上的一个动点，于点Q，设点P的横坐标为n． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求线段的最大值，并求此时n的值； (3)在（2）的条件下，当线段取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，线段有最大值，最大值为； (3)存在．点M的坐标为、、． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为． 将代入中，得， ∴直线的函数解析式为． 当时，，∴点B的坐标为． 将，代入中， 得解得 ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：，， ， ． 如图，过点P作轴于点E，交于点F， ， ． ， ． ∵点P的横坐标为， ，， ， ． ，， ∴当时，线段有最大值，最大值为． （3）解：由（2）得取最大值时，P点坐标为，已知， 设（，M在x轴正半轴），以B、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：为平行四边形的边或为平行四边形的对角线. ①当为平行四边形的边时，如图， 可知， 此时N的纵坐标为4， 代入抛物线， 解得或（对应点P，舍去）， 即． ∴， 由平行四边形对边平行且相等，得 或 即或； ②当为平行四边形的对角线时，如图， 根据平行四边形的性质可知，， 即，， 解得：，， 即 将代入得， 解得​， 当时，， 当时，（舍去）， ∴M点为； 综上所述，∴点M的坐标为、、． 58．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)或 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点，交轴于点， 设点，则， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：由（2）可知， ∴． ∵， ∴当时，的面积的最大值为， 此时； 当抛物线向左平移，即点在直线上方时， ， ， 如图，过点作， 由（2）知直线解析式为，则可设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴其顶点为， ∵抛物线沿水平方向平移得到抛物线， ， 令，解得， ， 当抛物线向右平移，即点在直线下方时， 此时过与的平行线与轴交点记为点，则与第一种情况的直线关于直线对称，此时点与第一种情况的直线与轴交点关于点对称， ， 则直线解析式为． ， ，解得， ． 综上，或． 59．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标： (3)R是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点S，使得以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【难度】0.4 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）作轴交于点，求出直线的解析式，将的面积转化为二次函数求最值即可； （3）分分别为平行四边形的对角线，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过坐标轴上三点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， 作轴交于点，设，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，为，此时． （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，， ∵，当以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形时， ①当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ②当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ③当为对角线时，，解得， ∴， ∴； 综上：或或． 60．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、两点，与y轴交于点C，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点N，若E为y轴上的一动点，F为该抛物线对称轴上的一动点．当取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，Q为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点Q的坐标，并写出其中一种情况的解答过程． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的最小值为 (3)当时，所有符合条件点的坐标为或 【详解】（1）解：令，则， ， ， ， ， ， ∵抛物线交轴于两点， ， ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点作轴于点，交直线于点，如图， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， 设， 轴于点， ， ， ， ， ， ∴为的等腰直角三角形， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ∴当时，取得最大值为，此时的坐标为． 作点关于轴的对称点，连接，如图， 则， ∵F为该抛物线对称轴上的一动点， ， ， ∵两点之间线段最短， ∴当点在一条直线上时，取得最小值为， 过点作轴于点， ， ， ， ∴的最小值为； （3）解：当时，所有符合条件点的坐标为或． ， ， ∵将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴该抛物线向右平移了 1 个单位长度，向上平移利用 2 个单位长度， ， ， ， ， ， ， ∴，如图， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ， 或（不合题意，舍去）， ， 设与轴交于点，如图， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ∴， ∴（不合题意，舍去）或， ∴． 综上，当时，所有符合条件点的坐标为或． $