专题06 直线与圆的位置关系6大题型62题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材人教版五四制

专题06 直线与圆的位置关系 基础·固本强基 题型1 直线与圆的位置关系的判定 题型2 切线的判定 提升·进阶突破 题型3 切线的性质及应用 题型4 切线长定理 题型5 三角形的内切圆 拔高·压轴破难 题型6 综合压轴（切线 + 内切圆综合） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 直线与圆的位置关系的判定（共7小题） 【模型】“算距离，比半径”：已知 d 与 r 直接比较定位置；已知位置关系反求参数范围。 【步骤】① 求出（或直接给出）圆心到直线的距离 d；② 明确半径 r；③ 比较 d 与 r：d>r 相离，d=r 相切，d<r 相交。 【易错】把半径与直径混淆，必须用半径比较；注意“相切”对应 d=r（一个公共点），不要与相交混淆。 1．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为4，那么x轴与的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 2．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）已知的半径为，若圆心O到直线的距离为，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．在圆内 3．（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）若的半径为5，点P到圆心O的距离也为5，则经过点P的直线与的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相切或相交 D．相切或相离 5．（25-26九年级上·云南·期中）已知圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的位置关系为________．（填“相交”、“相切”或“相离”）． 6．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）在同一平面内，已知点O到直线的距离为．以点O为圆心，为半径画圆．当上有且只有2个点到直线的距离等于时，则r的取值范围是_____． 7．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，，是上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在4个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是_______． 题型2 切线的判定（共7小题） 【模型】“有交点，连半径证垂直；无交点，作垂直证半径。” 【步骤】有交点时：① 连接圆心与公共点（连半径）；② 证明该半径与直线垂直（借助等腰三角形三线合一、角平分线、圆周角等）；③ 由切线判定定理下结论。无交点时：① 过圆心向直线作垂线段；② 证明垂线段长等于半径；③ 下结论。 【易错】判定定理中“过半径的外端”与“垂直于半径”两个条件缺一不可；只有公共点明确时才能用“连半径证垂直”，否则应作垂直证半径。 8．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，是的直径，点在上，为的中点，延长到点，使，连接． (1)求的度数； (2)求证：直线是的切线． 9．（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，为的直径，点在上，过点的直线与的延长线相交于点，与的延长线交于点，与相交于点，，． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 10．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，中，，以上一点O为圆心过点A作，交于点D，的垂直平分线分别交、于点E、． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 11．（25-26九年级上·河南漯河·期中）已知是的直径，点是延长线上一点，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为点，的半径为8，求的长． 12．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是的外接圆，，． (1)求证：为的切线； (2)若，求的半径． 13．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，点A在上，边交于点C，于点D．是的平分线． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为3，，求的长． 14．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，是的直径，点在上，为外一点，且，． (1)求证：直线为的切线； (2)若，求的半径． 提升·进阶突破 题型3 切线的性质及应用（共14小题） 【模型】“见切线，连半径”：连接圆心与切点得到垂直，构造直角三角形求边角。 【步骤】① 确定切点，连接圆心与切点（半径）；② 由切线性质得半径⊥切线；③ 在直角三角形中用勾股定理求线段、角度。 【易错】切点不明确时要先确定切点再连半径；多个直角三角形要选准用哪一个。 15．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，分别与相切于A，B两点，点C在优弧上，若，则（    ） A． B． C． D． 16．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，直线经过的圆心，与交于A，B两点，是的切线，C为切点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26九年级上·河北保定·期中）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角图”、“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）．”如图，正方形的一条对角线与相交于点，（点在点的右上方）．若的长度为10丈，的半径为2丈，则的长度为（   ） A．6丈 B．5丈 C．丈 D．丈 18．（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，与相切于点，的延长线交于点．，且交于点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，、分别与相切于、两点，点在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 20．（26-27九年级上·陕西·期中）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，的半径为1，直线切于点，则线段的最小值为_____． 21．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，等边三角形的边长为2，的半径为1，点是上的动点，与相切于点，则的最小值是_____． 22．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）如图，在的边上取点，以点为圆心，为半径作交于点，此时恰为的切线，为切点．若则的长为___________． 23．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，半径为的的圆心从点（点在直线上）出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动．设点运动的时间为秒，则当________时，与坐标轴相切． 24．（26-27九年级上·天津·期中）已知内接于，，，点是上一点． (1)如图①，若为的直径，连接，求和的大小； (2)如图②，若，过点作的切线，与的延长线交于点，求的大小． 25．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，为等腰三角形，O是底边的中点，腰与相切于点D． (1)求证：是的切线． (2)已知：，，求的半径是多少？ 26．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 27．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，．    (1)在上取一点，以为圆心作与线段，均相切．利用无刻度直尺和圆规按上述要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． 28．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，经过圆心O，且与小圆相交于A，与大圆相交于点B，小圆的切线与大圆相交于D，平分． (1)证明：直线是小圆的切线； (2)试证明：； (3)若，，求大圆与小圆形成的圆环的面积． 题型4 切线长定理（共13小题） 【模型】“从圆外一点引两切线，切线长相等，连线平分夹角。” 【步骤】① 识别圆外一点、两条切线及两个切点；② 由切线长定理得 PA=PB，且 PO 平分∠APB；③ 结合等腰三角形、全等、勾股求边角。 【易错】切线长是“线段长”（可度量），切线是“直线”（不可度量），两者概念不可混淆；连线平分的是两切线的夹角。 29．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，．则的度数为（  ） A． B． C． D． 30．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C． D． 31．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，，分别与相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在弧上，，则的周长是（   ）． A．12 B．18 C．24 D．16 32．（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，，，是的切线，切点分别为，，.若，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 33．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，于C，，，，与直线都相切，则的半径为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，四边形的内切圆为，若，则四边形的周长为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 35．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，，，是的切线，切点分别为C，E，D点，若，，则的长为________． 36．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，P是外一点，分别和相切于点A、B，点C是弧上任意一点，过点C作的切线分别交于点D、E，若，则的周长为______．    37．（25-26九年级上·山东东营·期中）如图，P是外一点，、分别和切于A、B，C是弧上任意一点，过C作的切线分别交、于D、E，若的周长为16，则长为________． 38．（24-25九年级下·四川自贡·期中）如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，与交于点，若，求证：． 39．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）本题是《测圆海镜》第二卷的第8题的一道弦外容圆问题：指在勾股形（直角三角形）外与弦（斜边）相切的旁切圆，如图所示，是直角三角形，，步，步，正好与相切于点D，也与相切，切点分别为点E，F，求的直径． (1)小军解决本题时，认为线段的长就是的半径，请你说明理由； (2)请你帮小军计算的直径． 40．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知：如图，是的切线，B，C是切点，过上的任意一点P作的切线与分别交于点D，E． (1)连接和，若，则_______； (2)已知，求的周长． 41．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图1，在矩形ABCD中（），对角线，相交于点O，点A关于的对称点为．连接交于点E，连接． (1)求证： ； (2)以点O为圆心，为半径作圆． ①如图2，若与相切于点F，求的度数； ②若，与相切，则的面积为 ． 题型5 三角形的内切圆（共16小题） 【模型】内心为三条角平分线的交点，到三边距离相等且等于内切圆半径 r；用面积法 S=rl 求 r。 【步骤】① 确定内心与内切圆半径 r；② 用面积法 S=r(a+b+c)；③ 已知面积与周长反解 r，或由直角三角形公式直接求。 【易错】内心是角平分线交点（到三边距离相等），不要与外心（垂直平分线交点，到三顶点距离相等）混淆；面积法公式中 l 是周长而非单边。 42．（25-26九年级上·北京·期中）如图，是的内切圆，切点分别为．若，则的周长为（   ） A．8 B．10 C．20 D．36 43．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，点恰好与的内心重合，若，则（   ） A． B． C． D． 44．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，点O是的外心，点I是的内心，连接、、，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 45．（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（   ） A． B． C． D． 46．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，点O为的内心．若的面积为25，则的面积为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 47．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）在中，，是的内切圆，连接、，则C的度数为（    ） A． B． C． D． 48．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（   ） A．14 B．24 C．28 D． 49．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点为的内心，若，则的度数为___________． 50．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，是的内心，，则__________°． 51．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，则的长为________． 52．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，为的内切圆，切点分别为，已知，则的半径为__________． 53．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在中，截三条边所得的弦长相等，连结，，则 ___________． 54．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，．点是内切圆的圆心，连接，则__________． 55．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在扇形中，，，动点沿弧从运动到，作于点，则内切圆圆心的运动路径长是______． 56．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的内切圆，与分别相切于点D、E、F，，． (1)求的三个内角的大小： (2)设的半径为1，求的值． 57．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，是四边形的外接圆，是的直径，平分． (1)若，求的度数； (2)若点是弦上一点，且点E是的内心，求证：． 拔高·压轴破难 题型6 综合压轴（切线 + 内切圆综合）（共5小题） 【模型】将切线长定理、内切圆、勾股定理、面积法串联，先由切线长相等列方程，再结合直角三角形求未知量。 【步骤】① 设切点与未知线段；② 由切线长定理把各边用同一字母表示并列出等量关系；③ 联立勾股定理或面积法求解；④ 检验结果是否符合几何意义。 【易错】设元后注意每条边的表示是否完整；解出后要回到图形验证（如线段长应为正、点在边上等）。 58．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交于点D，E是上任意一点，连接，，，．当度，则______度；当，，则的周长为______． 59．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，为内接三角形，为弧的中点，过点作．交的延长线于点． (1)求证：与相切； (2)如图2，连接、，是的内心． ①求证：； ②经过、、三点能否确定一个圆？理由是___________，若能确定圆，请仅用无刻度的直尺找出圆心． 60．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，是的直径；与相切于点，点在上，且． (1)求证：是的切线； (2)过点作于点，交于点，若， ①图中阴影部分面积是______； ②连接，若的内切圆圆心为，则线段的长为______． 61．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交⊙于点，点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，请直接写出的周长． 62．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）定义：若一个圆的内接三角形的内心关于这个三角形一条边的对称点恰好在该圆上，则称这个三角形为该圆的“梦之三角形”． (1)如图1，等边为的内接三角形，过点O做交于点D，交于点E，判断________（填“是”或“不是”） 的“梦之三角形”，请说明理由； (2)如图2，已知是的“梦之三角形”，其内心I关于的对称点F在上，若，求的半径； (3)如图3，已知的半径为，弦，点A在上，若为的“梦之三角形”，求的长度． $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06直线与圆的位置关系 题型图谱导航总览 题型1直线与圆的位置关系的判定 基础固本强基 题型2切线的判定 题型3切线的性质及应用 提升·进阶突破 题型4切线长定理 题型5三角形的内切圆 拔高压轴破难 题型6综合压轴（切线+内切圆综合） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1直线与圆的位置关系的判定（共7小题） 【模型】 “算距离，比半径”：己知d与r直接比较定位置；己知位置关系反求参数范围。 【步骤】①求出（或直接给出）圆心到直线的距离d;②明确半径r;③比较d与r:d少r相 离， d相切，d长r相交。 【易错】把半径与直径混淆，必须用半径比较；注意“相切”对应d(一个公共点)，不要与相交 混淆。 1. （25-26九年级上山东潍坊期中)在平面直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为3,5，半径为4，那么x 轴与⊙M的位置关系是() A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切 【答案】A 【详解】解：圆心M3,5到x轴的距离为5，⊙M的半径r=4,5>4, 1/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.⊙M与x轴相离， 故选：A 2.(25-26九年级上云南玉溪期中)已知⊙O的半径为5cm,若圆心0到直线l的距离为3cm,则直线l 与⊙O的位置关系是() A.相离 B.相切 C.相交 D.在圆内 【答案】C 【详解】解：，⊙O的半径为5cm,若圆心O到直线l的距离为d=3cm, ∴.d<r, ∴，直线1与⊙O相交： 故选C 3.(25-26九年级上山东济宁.期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4Cm,以点 C为圆心，以3cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是() A ▣ B A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交 【答案】c 【详解】解：过点C作CH⊥AB,如图所示： B ,CH⊥AB,∠B=30°，BC=4cm, :在Rt△BCH中，CH=号CB=2cm, 2 ,以点C为圆心，以3cm的长为半径作圆，且3>2， ∴.⊙C与AB的位置关系是相交， 2/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：C 4.(25-26九年级上江苏无锡期中)若⊙O的半径为5，点P到圆心0的距离也为5，则经过点P的直线 与⊙O的位置关系是() A.相切 B.相交 C.相切或相交 D.相切或相离 【答案】c 【详解】解：，⊙O的半径为5，点P到圆心0的距离也为5， .圆心O到经过点P的直线的距离小于或等于半径5， ∴，经过点P的直线与⊙O的位置关系是相切或相交， 故选：C 5.（25-26九年级上云南期中)已知圆的直径为12cm,如果圆心与直线的距离是7cm,那么直线和圆的 位置关系为 (填“相交”、“相切”或“相离”). 【答案】相离 【详解】解：，圆的直径为12cm, .其半径r=6cm ,圆心到直线的距离d=7cm, .d>r, ∴直线和圆相离。 故答案为：相离。 6.(25-26九年级上江苏镇江期中)在同一平面内，已知点O到直线的距离为5cm.以点O为圆心， rcm为半径画圆.当⊙O上有且只有2个点到直线l的距离等于3cm时，则r的取值范围是 【答案】2<r<8 【详解】解：以点O为圆心的圆上只有两点到直线1的距离为3Cm,则两个交点在到直线1的距离是3cm 的直线1上， 则直线1到圆心0的距离是：5+3=8cm或5-3=2cm」 圆O与直线1相交，因而该圆的半径r的取值范围是2<r<8. 故答案为：2<r<8 7.(25-26九年级上江苏常州期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CBA=30°，AC=2, D是AB上一点（点D与点A不重合），若在Rt△ABC的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为 3/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直角三角形的三个顶点，则AD长的取值范围是 B 【答案】 3 <AD<4 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CBA=30°，AC=2, ∴AB=4, 设Rt△ABC的直角边上存在点E,使以点A,点D,点E为顶点的三角形是直角三角形， ①当点D是直角顶点时，过点D作AB的垂线：②当点E是直角顶点时，点E是以AD长为直径的圆与直 角边的交点， 如图所示，当此圆与直角边有3个交点时，符合题意： D 当以AD为直径的圆与BC相切时，如图所示， 设圆的半径为r,即AF=DF=EF=r, EF⊥BC,∠B=30°， 4/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BF=2EF=2r, r+2r=4,解得r=4 .AD=2r= 综上，AD的长的取值范围为： 8<AD<4. 3AD<4. 故答案为： 题型2切线的判定（共7小题） 【模型】“有交点，连半径证垂直：无交点，作垂直证半径。” 【步骤】有交点时：①连接圆心与公共点（连半径）；②证明该半径与直线垂直（借助等腰三角形 三线合一、角平分线、圆周角等)；③由切线判定定理下结论。无交点时：①过圆心向直线作垂线段： 2证明垂线段长等于半径；③下结论。 【易错】判定定理中“过半径的外端”与“垂直于半径”两个条件缺一不可；只有公共点明确时才能 拥“连半径证垂直”，否则应作垂直证半径。 8. (25-26九年级上河北沧州期中)如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，C为AB的中点，延长AC 到点P,使AC=CP,连接BP (1)求∠BDC的度数： (2)求证：直线BP是⊙O的切线 【详解】(1)解：：AB为直径， .∠ACB=90°. ∵C为弧AB的中点， ∴弧AC=弧BC, ∴.∠ABC=∠CAB=45° 5/66 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠BDC=∠CAB, ∠BDC=45°： (2)证明：，∠ACB=90°， ∴∠BCP=90°， .∠ACB=∠BCP .AC=CP,BC=BC. ∴△ABC≌△PBC SAS, ∴.∠ABC=∠PBC=45°， ∴，∠ABP=∠ABC+∠PBC=90° 又：AB为直径， ∴直线BP是⊙O的切线， 9.(25-26九年级上河南许昌期中)如图，EF为⊙O的直径，点D在⊙O上，过点D的直线与CO的延 长线相交于点A,与CE的延长线交于点B,FD与AC相交于点G,AB=AC,∠F=45°. ○ G B (1)求证：AB为⊙O的切线： (2)若AD:OA=4:5,AB=8,求⊙O的半径. 【详解】(1)证明：如图，连接OD, G .'∠F=45°OF=OD B D ∴.∠ODF=∠F=45°， ∴.∠DOE=2∠F=90°. OC=OB, 6/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠C=ㄥOEC. AB=AC, ∴∠B=∠C, ∴.∠OEC=∠B, .EF‖AB, ∴.∠ODE=∠DOE=90°， 即OD⊥AB 又点D在⊙O上， .AB为⊙O的切线： (2)解：.AD:OA=4:5,设AD=4X,OA=5x, 在Rt△0DA中，OD=VOA2-AD=I5x-4x=3x ∴.OC=OD=3X, .AC=OC+OA=3x+5x=8x, .AC=AB=8, ∴8x=8, .x=1, .OD=3 即⊙O的半径为3. 10.(25-26九年级上江苏扬州期中)如图，△ABC中，∠C=90°，以AC上一点0为圆心过点A作 ⊙O,⊙O交AB于点D,DB的垂直平分线EF分别交BC、AB于点E、F. (1)求证：DE是⊙O的切线： (2)若∠B=40°，OA=6,求AD的长. 【答案】(1)见解答 7/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 R) 3 【详解】(1)证明：如图，连接OD, .OA=OD B .∠OAD=∠ODA, ,EF是BD的中垂线， ∴ED=EB, ∴.∠B=∠EDB, .△ABC是直角三角形，∠ACB=90°， ∴.∠B+∠A=90°， ∴.∠EDB+∠ODA=90°， ∴.∠ODE=180°-90°=90°， .OE⊥DE, .OE是⊙O的半径， ∴.DE是⊙O的切线： (2)∠B=40°， ∴∠A=90°-40°=50°， .OA=OD .∠OAD=∠ODA=50°， .∠A0D=180°-50°-50°=80°， .OA=6 AD的长=80I×68n 1803 11.(25-26九年级上河南漯河期中)已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD,AE 是⊙0的弦，∠AEC=30°. 8/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B OM (1)求证：直线AD是⊙O的切线： (2)若AE⊥BC,垂足为点M,⊙O的半径为8，求AE的长. 【详解】(1)证明：如图所示，连接OA, OM D E :∠AEC=30°， ,.∠B=∠AEC=30°，∠AOC=2∠AEC=60°， .AB=AD ∴.∠D=∠B=30° ∴.∠AOC=2∠AEC=60°， ∴.∠OAD=180°-∠AOC-∠D=180°-60°-30°=90°， ∴AD⊥OA ,OA是⊙O的半径， ∴.直线AD是⊙O的切线； (2)解：，BC是⊙O的直径，AE⊥BC,垂足为M,⊙O的半径是8， .AM=EM,∠AMO=90°，OA=8 ,∠AEC=30°， ∴∠AOM=2∠AEC=60° .∠OAM=180°-90°-60°=30°， :0M=1OA=4. 9/66 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据勾股定理得AM=A0-OM=V82-4=43 ∴.AE=2AM=83. 12.(25-26九年级上江苏南京期中)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC,AD‖BC. A D 0 (1)求证：AD为⊙O的切线： (2)若AB=4V5,BC=8,求⊙O的半径. 【详解】(1)证明：连接AO并延长交BC于H,连接OB、OC,则OB=OC, D .AB=AC, ∴.AH为线段BC的垂直平分线， ∴AH⊥BC,BH=CH, .AD BC, .AD⊥OA,又OA是⊙O的半径， .AD为⊙O的切线： (2)解：设OA=r, AH为线段BC的垂直平分线， ∴.AH⊥BC,BH=CH, 在Rt△ABH中，AB=4V5,BC=8, BH=号BC=4, 10/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则AH=AB2-BH=45-42=8 在Rt△OBH中，由勾股定理得，2=4+8-rP, 解得r=5,即⊙O的半径为5 13.(25-26九年级上辽宁鞍山期中)如图，在△OAB中，点A在⊙O上，边OB交⊙O于点C, AD⊥OB于点D.AC是∠BAD的平分线. DC B (1)求证：AB为⊙O的切线： (2)若⊙O的半径为3，∠AOB=45°，求CB的长， 【详解】(1)证明：，AD⊥OB于点D, ∴.∠ADB=90°， ,AC是∠BAD的平分线， .∠DAC=∠BAC, .OA=OC, ∴.∠OAC=∠OCA, ∴.∠BAC+∠OAC=∠DAC+∠OCA=90°， ∴.AB⊥OA, OA是⊙O的半径， ∴.AB为⊙O的切线. (2)解：∠OAB=90°，∠AOB=45°， .∠B=∠AOB=45°， ∴，AB=OA, ,⊙O的半径为2， ∴.AB=OA=OC=2, 11/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 六OB=AB+0A=V20A=32 .CB=OB-OC=32-3, ∴.CB的长是3V2-3 14.(25-26九年级上江苏南通期中)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为⊙O外一点，且 ∠ADC=90°，2∠B+∠DAB=180°. C B (1)求证：直线CD为⊙O的切线： (2)若DC=23,AD=2,求⊙O的半径 【详解】(1)证明：如图，连接OC,则∠AOC=2∠B, C B :2∠B+∠DAB=180°， ∴.∠AOC+∠DAB=180°， .AD‖OC, ∠ADC=90°， .∠DC0=90°， OC⊥DC, 又.OC是半径， ∴，直线CD为⊙O的切线： (2)解：如图，连接AC、OC, 12/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ○ B ,DC=23,AD=2,∠ADC=90°， ..AC=DC2+AD2=4' ∠CAD=60°， 由(1)得ADOC, ∴.∠CAD=∠ACO=60°， 又，OA=OC, ∴，△AOC是等边三角形， ∴.OC=OA=AC=4, ∴.⊙0的半径是4。 提升进阶突破 题型3切线的性质及应用（共14小题） 【模型】“见切线，连半径”：连接圆心与切点得到垂直，构造直角三角形求边角。 【步骤】①确定切点，连接圆心与切点（半径）；②由切线性质得半径⊥切线；③在直角三角形 中用勾股定理求线段、角度。 【易错】切点不明确时要先确定切点再连半径：多个直角三角形要选准用哪一个。 15. (25-26九年级上河北廊坊期中)如图，PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点，点C在优弧AB上， 若∠P=70°，则∠C=() A.55° B.65° C.70° D.110° 13/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A 【详解】解：连接OA,OB, PA,PB ⊙0 B 分别与 相切于A,B两点， ∴.∠OAP=∠OBP=90°， .∵∠P=70°， ∴.∠AOB=360°-∠OAP-∠P-∠OBP=110°， ∠C72A0B=550 故选：A。 16.(25-26九年级上，重庆期中)如图，直线PA经过⊙O的圆心，与⊙O交于A,B两点，PC是⊙O的 切线，C为切点，连接BC,OC,若∠B=20°，则∠P的度数为() A.60° B.50° C.40° D.20 【答案】B 【详解】解：根据圆周角定理得，∠POC=2∠B=40°， ,PC是⊙O的切线， ∴.∠OCP=90 ∴.∠P=90°-∠POC=50°， 故选：B 17.(25-26九年级上河北保定期中)中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之 ” 14/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “方田圆池结角图”、“方田一段，一角圆池占之.”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆 形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）·”如图，正方形的一条对角线AB与⊙O相交于点M, N(点N在点M的右上方).若AB的长度为10丈，⊙O的半径为2丈，则BN的长度为() "o A.6丈 B.5丈 c.6-2丈 0.18-22丈 【答案】D 【详解】解：如图，设⊙O与正方形的一条边的切点为C,连接OC, 则∠AC0=90°，OC=2, ,∠OAC=45°， ∴.∠AOC=90°-∠OAC=45°， .∴AC=OC=2 A0=VAC2+0C=22 AB=10,ON=2, ∴.BN=AB-AO-ON=8-2V2 故选：D. B 18.(25-26九年级上山东临沂期中)如图，PA与⊙O相切于点A,PO的延长线交⊙O于点C. AB‖PC,且交⊙O于点B.若∠P=30°，则∠BCP的大小为() 15/66 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A A.48° B.58° C.60o D.64 【答案】c 【详解】解：如图，连接OA,OB, A B PA与⊙O相切于点A, .OA⊥PA, .∠AOP=90°-∠P=90°-30°=60°， AB‖PC, .∠OAB=∠AOP=60°， .OA=OB. :.△AOB为等边三角形， ∴∠A0B=60°， ∴.∠BOC=180°-∠AOP-∠AOB=60°， .OB=OC, ∴△BOC为等边三角形， ∴，∠BCP=60°， 故选：C 19.(25-26九年级上江苏镇江期中)如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C在⊙O上，若 ∠P=44°，则∠ACB的度数为() 16/66 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 A.112° B.136° C.122 D.126° 【答案】A 【详解】解：连接OA、OB, A 分 :PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点， ∴.∠OAP=∠OBP=90°， 又，∠P=44°， ∴.∠A0B=180°-44°=136° 当C在劣弧AB上时 ∠ACB=1×13600-136=1120 当C在优弧AB上时 A ì0 B ∠ACB=×136=680 故选A, 20.(2627九年级上陕西期中)如图，在平面直角坐标系中，P是直线x=-2上的一个动点，⊙P的半 径为1，直线OQ切⊙P于点Q,则线段OQ的最小值为· 17/66 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P 【答案】3 【详解】解：连接OP,PQ, x=-2 O外 ,直线OQ切⊙P于点Q, ∴.PQ⊥OQ,PQ=1, ÷0Q=op2-PQ=-0p-1 当OP最小时，OQ最小， ,P是直线x=一2上的一个动点， ∴当OP⊥直线X=-2时，OP最小，此时OP=2, 0Q的最小值为2-1=3 21.(25-26九年级上山东聊城期中)如图，等边三角形ABC的边长为2，⊙A的半径为1，点D是BC 上的动点，DE与⊙A相切于点E,则DE的最小值是· B D 18/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】V2 【详解】解：如图，连接AE,AD,作AH⊥BC于H, ,DE与⊙A相切于E, .AE⊥DE, :⊙A的半径为1， ∴.DE=VAD2-AE=AD2-1 当D与H重合时，AD最小， ,等边△ABC的边长为2， ∴.BH=CH=1, .AH=V22-1=93 ∴DE的最小值为：(32-1？=2 故答案为：2 22.(25-26九年级上河南驻马店期中)如图，在△ABC的BC边上取点O,以点O为圆心，OB为半径作 ⊙O交BC于点D,此时AC恰为⊙O的切线，A为切点.若∠C=30°，BD=23.则AC的长为 【答案】3 【详解】解：连接OA, ,AC为⊙O的切线，A为切点， 19/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠OAC=90°， ,BD=23, ..OA=-BD=3, ,∠C=30° ∴.OC=2OA=2V3, ÷AC=OC2-0A2=3 故答案为：3 23.(25-26九年级上江西南昌期中)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x-4与x轴、y轴分别交于点 B,C,半径为2的⊙P的圆心P从点A10,m(点A在直线y=x-4上)出发，以每秒2个单位长度的 速度沿射线AC运动.设点P运动的时间为t秒，则当t=时，⊙P与坐标轴相切. B 【答案】4或8或12 【详解】解：设⊙P与坐标轴的切点为D, ,直线y=x-4与x轴、y轴分别交于点B、C,点A10,m, ∴.x=0时，y=-4,y=0时，x=4；当x=10时，y=6,∴.A10,6,B4,0,C0,-4, .AB=62,AC=102,OB=OC=4, ∴.△OBC是等腰直角三角形，∠OBC=45°， ①当⊙P与X轴相切时， 20/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .D ⊙P 2 D 点是切点， 的半径是， .PD⊥X轴，PD=2, ∴.△BDP是等腰直角三角形， ∴.BD=PD=2,PB=2V2, .AP=AB-PB=6V2-22=42. ,点P的速度为每秒只2个单位长度， ∴.t=4; ②如图，⊙P与X轴和y轴都相切时， A DB :PB=2V2, ∴.AP=AB+PB=62+2V2=82, ,点P的速度为每秒2个单位长度， ∴.t=8 ③如图，⊙P仅与y轴相切于点D,则PD=2,∠PDC=90° 21/66 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B X- .:∠PCD=∠OCB=45°， ∴.PD=CD=2, ∴.PC=2V2, .AP=AC+CP=10R2+2/2=122, :∵点P的速度为每秒2个单位长度， ∴.t=12: 综上所述，则当t=4或8秒或12秒时，⊙P与坐标轴相切， 故答案为：4或8或12， 24.(26-27九年级上天津期中)已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠BAC=42°，点D是⊙O上一 点 图① 图② (1)如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD,求∠DBC和∠ACD的大小： (2如图②，若∠BCD=111°，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E,求∠E的大小. 【答案】(1)∠DBC=48°，∠ACD=21° (236° 【详解】(1)解：，AB=AC,∠BAC=42°， :∠ABC=∠ACB=1|180°-42=69， 2 22/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD为⊙O的直径， ∠BCD=90°， :∠BDC=∠BAC=42°， ∴.∠DBC=90°-42°=48° .∠ACD=∠BCD-∠ACB=90°-69°=21°： (2)解：连接OA,OD, 图② ,AB=AC,∠BAC=42°， ∴∠ABC=∠ACB=69°， .∠BCD=111°， ∠ACD=∠BCD-∠ACB=111°-69°=42°， ∴.∠AOD=2∠ACD=84° AB=AC,∠ABC=69°， .∠A0C=2∠ABC=138°， ∴.∠D0C=∠AOC-∠AOD=138°-84°=54°， :DE是⊙O的切线， ∴.OD⊥DE,即∠ODE=90°， ∴.∠E=90°-∠D0G=90°-54°=36° 25.(24-25九年级上湖北襄阳·期末)如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O 相切于点D. D 23/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：AC是⊙O的切线， (2)已知：∠BAC=120°，BC=12,求⊙O的半径是多少？ 【详解】(1)证明：过点O作OE⊥AC于点E,连接OD,OA, ,△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴.AO是∠BAC的平分线. .AB与O相切于点D, ∴.OD⊥AB ∴.OE=OD,即OE是⊙O的半径， ∴.AC是⊙O的切线： (2)解：，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴.AO是∠BAC的平分线，AO⊥BC,OB=6, :∠BAO=∠CAO=号∠BAC=60. 2 ∠B=30° OD⊥AB D0=10B=3, 2 ∴.⊙O的半径是D0=3 26.(23-24九年级上江苏盐城，期中)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O交边AC于点 D,连接BD,过点C作CE‖AB 24/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F;(不写作法，保留作图痕迹，标明 字母) (2)在(1)的条件下，若BD=4,求BF的长 【详解】(1)如图直线BF即为所求直线： M GX B N E (2)解：AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB, ,AB‖CE, .∠ABC=∠BCF, ∴.∠BCF=∠ACB :点D在以AB为直径的圆上， .∠ADB=90°， .∠BDC=90°， BF为⊙O的切线， .∠ABF=90°， .AB CE .∠BFC+∠ABF=180°， 25/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BFC=90 ∴.∠BDC=∠BFC, 在△BCD和△BCF中， ∠BDC=∠BFC ∠DCB=∠FCB, BC=BC .△BCD≌△BCF AAS, ∴BF=BD=4 27.(23-24九年级上江苏泰州期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°. (1)在BC上取一点O,以O为圆心作⊙O与线段AC,AB均相切.利用无刻度直尺和圆规按上述要求作图， 并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）： (2)在(1)的条件下，若AC=3,BC=4,求⊙0的半径， 【详解】(1)如图，⊙O为所作： B ◇ (2)解：依题意， ,∠ACB=90°，AC=3,BC=4, ∴在△ABC中，AB=32+4=5 .AC⊥BC, 26/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AC为⊙O的切线， ,BA与⊙O相切于D, ∴.AD=AC=3 .BD=AB-AD=5-3=2, 设⊙O的半径为r,则OC=OD=r,BO=4-r, 在Rt△0BD中，22+r2=4-r2 是 即⊙0的半径为】 28.(25-26九年级上山东日照期中)如图，在以点0为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心0，且与小 圆相交于A,与大圆相交于点B,小圆的切线AC与大圆相交于D,OC平分∠ACB. B (1)证明：直线BC是小圆的切线：， (2)试证明：AC+AD=BC: (3)若AB=8cm,BC=10Cm,求大圆与小圆形成的圆环的面积. 【详解】(1)证明：连接OD,过O作OE⊥BC,垂足为E, B ,AC是小圆的切线，AB经过圆心O, .OA⊥AC, 27/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CO平分∠ACB,OE⊥BC, ∴.∠ACO=∠OCE,∠OAC=∠OEC,OC=OC, ∴.△ACO≌△ECO AAS, ∴.OE=OA, .OE是小圆的半径， ∴BC是小圆的切线： (2)证明：：AC切小圆于点A,BC切小圆于点B, ∴.OA=OE,OD=OB,∠OAD=∠OEB=90°， ∴.△OAD≌△OEB, ∴.EB=AD, ,△ACO≌△EC0, ..AC=CE. CE+EB=BC, ∴.BC=AC+AD: (3)·∠BAC=90, AB=8cm,BC=10cm, .AC=VBC2-AB2=/102-8=6 .∴BC=AC+AD, ∴.AD=BC-AC=4, 又.0D2-0A2=AD2, :圆环的面积为：S=nODP-πOA?=4π=16n(cm2) 题型4切线长定理（共13小题） 【模型】“从圆外一点引两切线，切线长相等，连线平分夹角。” 【步骤】①识别圆外一点、两条切线及两个切点；②由切线长定理得PA=PB,且PO平分 ∠APB;③结合等腰三角形、全等、勾股求边角。 【易错】切线长是“线段长”（可度量），切线是“直线”（不可度量），两者概念不可混淆；连线 平分的是两切线的夹角。 28/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 29.(25-26九年级上江苏南通期中)如图，PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点，AC是⊙O的直径， ∠BAC=25°.则∠P的度数为() A.65° B.50° C.60° D.70° 【答案】B 【详解】解：，PA是⊙O的切线，∠BAC=25°， ∠BAP=90°-25°=65°， PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点， ∴.PA=PB, ∴，∠ABP=65°， ∴.∠P=180°-65°×2=50°， 故选：B 30.(25-26九年级上湖南长沙期中)如图，P为⊙O外一点，PA,PB,MN分别切⊙O于A,B,C三 点，且切线MN分别交PA,PB于点M,N.若PA=6,则△PMN的周长为() 0。 A.6 B.8 c.12 D.18 【答案】c 【详解】解：，P为⊙O外一点，PA,PB,MN分别切⊙O于A,B,C三点，且切线MN分别交PA, PB于点M,N,PA=6, ..AM=MC,BN=NC,BP=PA=6, ∴.△PMN的周长为PM+MN+PN =PM+MC+NC+PN 29/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =PM+AM+BN+PN =PA+BP =12, 故选：C 31.(24-25九年级上广西南宁期中)如图，PA,PB分别与⊙O相切于点A、B,⊙O的切线EF分别交 PA、PB于点E、F,切点C在弧AB上，PA=8,则△PEF的周长是()· 4 F A.12 B.18 C.24 D.16 【答案】D 【详解】解：，PA、PB、EF分别与⊙O相切于点A、B、C, ..AE=CE,BF=CF,PA=PB=8, ∴.△PEF的周长=PE+EF+PF =PE+CE+CF+PF=PE+AE+BF+PF =PA+PB=16. 故选：D 32.(25-26九年级上河南许昌期中)如图，AB,AC,BD是⊙O的切线，切点分别为P,C,D.若 AB=5,AC=4,则BD的长为() B D A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 【答案】A 【详解】解：，'AC、AP为⊙O的切线， 30/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AC=AP=4, .BP、BD为⊙O的切线， .'BP=BD, .'BD=PB=AB-AP=5-4=1. 故选：A. 33.(25-26九年级上江苏扬州期中)如图，AC⊥BC于C,BC=a,CA=b,AB=C,⊙O与直线 AB、BC、AC都相切，则⊙O的半径为() A.a+b-c b+c-a a+b+c a+c-b B. c. D. 2 2 2 2 【答案】B 【详解】解：设AC、BA、BC与⊙O的切点分别为D、R、B:连接OD、OE, .ACBE⊙O 、 是 的切线， ∴.∠ODC=ㄥOEC=∠DCE=90°， .四边形ODCE是矩形， .OD=OE, ∴.四边形ODCE是正方形，即OE=OD=CD, 设CD=CE=X,则AD=AF=b-X, 由切线长定理，得BF=BE, 则BA+AF=BC+CE,c+b-X=a+x,即x=c+b-0,故⊙0的半径为+b-a 2 2 故选：B 31/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 34.(24-25九年级上辽宁盘锦期末)如图，四边形ABCD的内切圆为⊙O,若AB+CD=10,则四边形 ABCD的周长为() A.10 B.15 C.20 D.25 【答案】c 【详解】解：，四边形ABCD外切于⊙O,设切点分别为E、G、H、F, .AE=AF BE=BG CG=CH DH=DF .AD+BC=AF+DF+BG+CG=AE+DH+BE+CH=AB+CD=10, ∴.四边形ABCD的周长为：AD+BC+AB+CD=10+10=20, 故选：C 35.(25-26九年级上江苏盐城期中)如图，AC,AB,BD是⊙O的切线，切点分别为C,E,D点，若 AB=12,BD=3,则AC的长为 C E B 【答案】9 【详解】解：，AC,AB,BD是⊙O的切线， ∴.AC=AE,BE=BD=3, AE=AB-BE=12-3=9, 32/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AC=AE=9 故答案为：9. 36.(2526九年级上山东聊城期中)如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B,点 C是弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E,若PA=20,则△PDE的周长为 【答案】40 【详解】解：，PA、PB分别⊙O相切于点A、B,且PA=20, .PA=PB=20, 过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E, ∴.DC=DA,EC=EB, ..PD+DE+PE=PD+DC+PE+EC=PD+DA+PE+EB=PA+PB=20+20=40 ∴.△PDE的周长为40 故答案为：40 37.(25-26九年级上山东东营期中)如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B,C是弧 AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E,若△PDE的周长为16，则PA长为 B 【答案】8 【详解】解：由切线长定理得：PA=PB,DA=DC,EC=EB, ∴△PDE的周长为： PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE =PD+DA+EB+PE 33/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =PA+PB, 已知周长为16，且PA=PB,故2PA=16, 解得PA=8. 故答案为：8. 38.(24-25九年级下四川自贡期中)如图1，已知⊙O内切于四边形ABCD,与 AB,BC,CD,AD分别相切于点E,F,G,H. 图1 图2 (1)求证：AD+BC=AB+CD: (2)如图2，连接HF,与EG交于点P,若HF⊥EG,求证：∠A+∠C=180° 【详解】(1)证明：根据切线长定理可得：AH=AE,BE=BF,CF=CG,DH=DG, .'AH+HD=AE+DG.BF+CF=BE+CG. ..AD=AE+DG,BC=BE+CG, .AB=AE+BE,CD=DG+CG. ..AD+BC=BE+CG+AE+DG=AB+CD. (2)证明：如图，连接OE,OF,OH,OG,GH ,四边形ABCD的内切圆⊙O与边AB,BC,CD,AD分别相切于点E,F,G,H, ∴∠AEO=∠CFO=∠AHO=∠CGO=90°， ∴.∠EOH+∠A=180°，∠FOG+∠C=180°， .HF⊥EG, .∠EGH+∠FHG=90°， 34/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠EOH=2∠EGH,∠FOG=2∠FHG, ∴.∠EOH+∠FOG=180°， .∠A+∠C=180° 39.(25-26九年级上·黑龙江大庆期中)本题是《测圆海镜》第二卷的第8题的一道弦外容圆问题：指在 勾股形（直角三角形）外与弦（斜边）相切的旁切圆，如图所示，△ABC是直角三角形，∠C=90°， CB=48步，CA=90步，AB正好与⊙O相切于点D,CE,CF也与⊙O相切，切点分别为点E,F,求 ⊙O的直径， E A D F B C (1)小军解决本题时，认为线段CF的长就是⊙O的半径，请你说明理由： (2)请你帮小军计算⊙O的直径 【详解】(1)解：如图1，连接OE,OF, E A..CE CF⊙O F B C 图1 是 的切线， .∴.OE⊥CE,OF⊥CF, ∴.∠OFC=∠OEC=90°， .∠C=90°， .四边形OECF是矩形， OE=OF, ∴四边形OECF是正方形， ∴.CF=OE=OF, ∴.CF的长就是⊙O的半径： 35/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：.∠C=90°，CB=48步，CA=90步， AB=BC2+CA2=482+902=102步， 设⊙O的半径为x步，则CE=CF=X步， BF,BD是⊙O的切线， ∴.BD=BF=CF-CB=x-48步， .AD,AE是⊙O的切线， ∴.AD=AE=CE-CA=x-90步， BD+AD=AB ∴.x-48+x-90=102, 解得：x=120, ∴.⊙0的直径为2×120=240步， ∴.⊙0的直径为240步， 40.(25-26九年级上江苏宿迁期中)已知：如图，AB,AC是⊙O的切线，B,C是切点，过BC上的 任意一点P作⊙O的切线与AB,AC分别交于点D,E. D (1)连接OD和OE,若∠A=40°，则∠DOE=°： (2)已知AB=5,求△ADE的周长， 【答案】(1)70° (210 【详解】(1)解：如图所示，连接OB,OC,OD,OE,OP, :AB,AE,DE都是⊙O的切线， .OB=OP=OC,∠OBA=∠OCA=∠OPD=∠OPE=90°， ,∠A=40°， 36/66 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠B0C=360°-90°-90°-40°=140°： 又：OD=OD,OE=OE, ∴.Rt△BOD≌Rt△POD,Rt△POE≌Rt△COE, ∠BOD=∠POD∠POB,∠POE=∠COE=3<POC :∠D0E=∠POD+∠POE=∠POB+∠POC=3<BOC=0 (2)解：，AB,AE,DE都是⊙O的切线， ..AB=AC,DB=DP,EP=EC, ∴△ADE的周长=AD+DE+AE =AD+DP+EP+AE =AD+BD+AE+EC =AB+AC =2AB =10 41.(25-26九年级上江苏无锡，期中)如图1，在矩形ABCD中(AB>AD),对角线AC,BD相交于点 O,点A关于BD的对称点为A.连接AA交BD于点E,连接CA. A E E B 图1 图2 (1)求证：AA⊥CA: 37/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)以点0为圆心，OE为半径作圆. ①如图2，若⊙O与CD相切于点F,求∠BAC的度数； ②若AD=2,⊙O与CA相切，则⊙O的面积为_. 【详解】(1)证明：，点A关于BD的对称点为A, ∴点E是AA'的中点，∠AEO=90°， 又，四边形ABCD是矩形， ∴.O是AC的中点， ∴.OE是△ACA的中位线， ..OE A C .∠AAC=∠AEO=90°， .AA⊥CA (2)①连接AD,OF,AB, :⊙O与CD相切于点F, OF⊥CD AD⊥CD, ∴.OF‖AD ∴.OF是△ACD的中位线，AD=2OF ,EO是△ACA的中位线，AC=2OE=2OF, ..AD=A C ∴.AO是CD的垂直平分线，也是矩形ABCD的对称轴， ..AA=A B. 根据轴对称的性质，AB=AB, ∴.△ABA是等边三角形， .∠AAB=60° 38/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,AA⊥CA,CB⊥AB,A'C=AD=BC ∴，AC是∠AAB的角平分线， ∠BAC=1∠AAB=300 ②如图，设⊙O与AC相切于点Q,连接AD,AO, 根据切线长定理得到AE=AQ, 由(1)可知，AA⊥CA,则∠EAQ=∠AEQ=∠AQ0=90°， .四边形AEOQ是正方形， ·AE=AE=EO ∴△AEO是等腰直角三角形， 设AE=E0=m,则A0=OD=R2m'DE=D0-E0=R2-1m 在Rt△ADE中，AD2=DE2+AE2,则2=R2-1m2+m: 解得m2=2+V2, soo=0E2=元m=2+2m 故答案为：2+只2π 题型5三角形的内切圆（共16小题） 【模型】内心为三条角平分线的交点，到三边距离相等且等于内切圆半径：用面积法S一求。 【步骤】①确定内心与内切圆半径r:②用面积法S=之a+b+c:回已知面积与周长反解，或由 直角三角形公式直接求。 39/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【易错】内心是角平分线交点（到三边距离相等），不要与外心（垂直平分线交点，到三顶点距离相 等)混淆：面积法公式中1是周长而非单边。 42. (25-26九年级上北京期中)如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F.若 CF=8,AB=10,则△ABC的周长为() B A.8 B.10 C.20 D.36 【答案】D 【详解】解：：⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F, ∴AD=AE,BD=BF,CE=CF, CF=8,AB=10, .AD+BD=10,CE=8, ∴△ABC的周长=AD+BD+AE+BF+CE+CF=10+10+8+8=36, 故选：D 43.(25-26九年级上江苏盐城期中)如图，将三角形纸片ABC沿EF折叠，点C恰好与△ABC的内心I 重合，若∠ACB=40°，则∠EIA+∠FIB=() B A.210° B.220° C.230° D.240° 【答案】A 【详解】解：，在△ABC中，∠ACB=40°， ∴∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB=140°， ,△ABC沿EF折叠，点C恰好与△ABC的内心I重合， 40/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠EIF=∠ACB=40°，AI平分∠BAC,BI平分∠ABC, :∠IAB=号∠BAC,∠IBA=号∠ABC, ∠AB+∠IBA=∠BAC+∠ABC=3×140=70, .∠AIB=180°-∠IAB+∠IBA=180°-70°=110°， .∠EIA+∠FIB=360°-∠EIF-∠AIB=360°-40°-110°=210°， 故选：A. 44.(25-26九年级上江苏扬州期中)如图，点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，连接OB、 OC、IA,若∠CAI=35°，则∠OBC的度数为() A.18° B.19° C.20° D.22 【答案】C 【详解】解：，点O是△ABC的外心， ∴OC=OB ,点I是△ABC的内心，∠CAI=35°， ∴.A平分∠BAC, .∠BAI=∠CAI, ∴.∠BAC=2∠CAI=70°， ∴.∠BOC=2∠BAC=140°， :∠OCB=∠OBC,且∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°， ∴.2∠0BC+140°=180°， ∴.∠OBC=20°， 故选：C 45.(25-26九年级上山东临沂期中)如图，边长为2a的正六边形ABCDEF内接于⊙O,则它的内切圆 41/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 半径为() E A.a B.2a c.V2a D.V3a 【答案】D 【详解】解：如图，连接OA,OB,过点O作OM⊥AB,垂足为点M, E D ,六边形ABCDEF是正六边形，点O是它的中心， .∠A0B=360°×1=60， 6 .OA=OB, ∴.△AOB是等边三角形， ∴.OA=AB=2a, .OM⊥AB, .AM-BM-AB-*2a-0. :在Rt△AOM中，OM=VOA2-AM=2aP-a=3a' 即它的内切圆半径为V3a, 故选：D 46.(25-26九年级上江苏徐州期中)如图，在△ABC中，AB=6,AC=10,点0为△ABC的内心. 若△ACO的面积为25，则△ABO的面积为() 42/66 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B.10 C.15 D.20 【答案】C 【详解】解：，O为△ABC的内心， 点O是三条角平分线的交点， ∴，点O到AB,AC的距离相等， ∴.△ABO、△ACO面积的比=AB:AC=6:10=3:5. :△ACO的面积为25， .△AB0的面积为15 故选：C 47.(25-26九年级上江苏淮安，期中)在△ABC中，∠A=50°，⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、 OC,则∠BOC的度数为() A.105° B.110° C.115° D.125° 【答案】c 【详解】解：，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=50°， ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°， ,⊙O是△ABC的内切圆， ∴.∠ABO=∠CBO,∠ACO=∠BCO, .∠BCO=∠ACB,∠CBO=号∠ABC, 43/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 '.∠BOC=180°-∠CBO-∠BCO =180-号∠ACB-号∠ABC =180°-（∠ABC+∠ACB 180°-5×130°=115° 故选：C 48.(25-26九年级上.福建福州，期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的内切圆的半径为 2,三个切点分别为D,E,F,若AB=10,则△ABC的面积是() B F D A.14 B.24 C.28 D.10+10/2 【答案】B 【详解】解：连接DO,EO, B H ---。O D ,⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F, ∴.OE⊥BC,OD⊥AC,CD=CE,BE=BF,AF=AD 又.∠C=90°， .四边形OECD是矩形， 又EO=DO .矩形OECD是正方形， ∴.CE=CD=OD=2, 44/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE=BF=x,AF=AD=10-x,BC=x+2,AC=2+10-x=12-x 在Rt△ABC中BC2+AC=AB ∴.x+22+12-x2=102 解得：X1=6,X2=4, ∴.BC=6,AC=8,或BC=8,AC=6, .S△ABc= 1×6×8=24. 故选：B 49.(25-26九年级上江苏宿迁期中)如图，点I为△ABC的内心，若∠BAC=80°，则∠BAI的度数 为 B 【答案】40° 【详解】解：：点I为△ABC的内心， .∠BAI=∠CAI=∠BAC, .∠BAC=80°， ∴.∠BAI=5×80°=40°， 故答案为：40° 50.(25-26九年级上江苏无锡，期中)如图，I是△ABC的内心，∠A=56°，则∠BIC= A 【答案】118 45/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：，I为△ABC的内心， :∠ABI=∠CBI=∠ABC,∠ACI=∠BCI=∠ACB, .∠ABC+∠ACB=180-∠A=124°， ∠BIC=180-∠CBI+∠BCI=180°-∠ABC+∠ACB=Π 故答案为：118 51.(25-26九年级上广东惠州期中)如图，Rt△ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，若 BD=1cm,AD=4cm,则CE的长为 C 【答案)0m 【详解】解：记CA与⊙O相切于点F,连接EO,FO,DO,如图所示： -0 D 设CE=xcm, ,Rt△ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点， BD=BE=1cm'BC=x+1cm'CF=CE=xcm,AF=AD=4cm' 则AC=AD+CE=4+xcm, 在Rt△ABC中，AB+BC2=AC2, ..AC=AD+CE=4+x cm, 解得x 3 46/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 即CE的长度为亏cm, 故答案为： 5 cm. 52.(25-26九年级上.甘肃兰州期末)如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为M,N,Q,已知 ∠ABC=90°，CM=2,AM=3,则⊙O的半径为 0 B 【答案】1 【详解】解：如图，连接ON,OQ M DB ,BC,AB为⊙O切线， ∴.ON⊥AB,OQ⊥BC, ∴，∠ONB=∠OQB=90°， ∠B=90°， ∴四边形ONBQ为矩形， .ON=OQ, .∴矩形ONBQ为正方形. 设⊙O的半径为r,则BN=BQ=ON=r. ⊙O为Rt△ABC的内切圆， ∴.CM=CQ=2,AM=AN=3, ∴在Rt△ABC中，根据勾股定理得r+2?+r+3P=2+32, 47/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得r1=1,r2=-6(舍去). ∴.⊙O的半径为1， 故答案为：1 53.(25-26九年级上浙江期中)如图，在△ABC中，∠A=80°，⊙O截△ABC三条边所得的弦长相 等，连结OB,OC,则∠BOC= 【答案】130 【详解】解：如图， ,在△ABC中，∠A=80°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等， ∴.O到三角形三条边的距离相等，则O是△ABC的三条角平分线的交点，即O是△ABC的内心， ∠1=∠2=3∠ABC,∠3=∠4=3<ACB, :∠1+∠3=号∠ABC+∠ACB)=2(180°-∠A)=号180-80=50， .∠B0C=180°-（∠1+∠3）=180°-50°=130° 故答案为：130° 54.(25-26九年级上江苏南京期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90,AC=4,BC=3.点O是 △ABC内切圆的圆心，连接AO,则AO= 48/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】V10 【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90,AC=4,BC=3,连接OA,OB,OC,过O点作 OE⊥AC于E点，OD⊥BC于D点，OF⊥AB于F点， ∴，四边形CDOE为正方形， B 由勾股定理得 AB=VAC2+BC2=32+4=5 设内切圆的半径为r,OE=OF=OD=r, :SAABC=S△A0c+S△AOB+S△B0C, ÷号AB×AC=ACx0E+号AB×OP+号BC×OD. 2 2×3×4= ×4r+x5r+号 1 1 ×3r, 2 2 解得：r=1, ∴CE=1, ∴.AE=AC-CE=3, 在直角三角形AE0中，A0=AE2+0E=10 故答案为：10， 49/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 55.(25-26九年级上江苏扬州·期中)如图，在扇形ABC中，∠ABC=60°，AB=2,动点P沿弧AC从 A运动到C,作PD⊥BC于点D,则△PBD内切圆圆心O的运动路径长是 【容案] 3 【详解】解：如图，连接OB、OC、OP,过B、O、C三点作⊙O1,连接BO1、CO1, 在优弧BC上取点P1,连接BP1、CP, P ,在扇形ABC中，AB=2,动点P沿弧AC从A运动到C, .'PB=AB=BC=2, “.O点是△PBD内切圆圆心， .∠OBP=∠OBC,∠OPB=∠OPD, ∠BOP=180-∠OBP-∠OPB=180-∠DBP+∠DPB, PD⊥BC, .∠PDB=90°， ∠B0P=180-∠DBP+∠DP8=I80-80-∠PD8=135, 50/66 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .在△OBP和△OBC中， OB=OB ∠OBP=∠OBC PB=BC ∴.△OBP≌△OBC SAS, ∴.∠BOC=∠BOP=135°， 根据圆内接四边形的性质可得，∠BOC+∠BP1C=180°， ∴.∠BP1C=45°， ∴.∠BO1C=90°， .BC=2, ..OB=0 C= BC=2∠0，BC=∠0，CB=45 又当点P和点A重合时，连接OO1,如下图： A(P) 此时∠PBC=∠ABC=60°， ∠OBC=∠PBC=30°，∠0，B0=∠0，BC+∠OBC=45+30=75°， .O1B=001, .∠O1OB=∠O1B0=75°，∠O1OC=∠B0C-∠01OB=135°-75°=60°， .010=01C, ∴.△O1OC是等边三角形， 51/66 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠001C=60°， 综上，点O在以OC为弦，并且所对的圆周角是60的一段劣弧上运动， ,劣弧BC的弧长= 60°×2x2-2元 360° 3 ∴.△PBD内切圆圆心O的运动路径长是 2 3 2 故答案为： t. 56.(25-26九年级上江苏苏州期中)如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点 D、E、F,∠D0E=120°，∠EOF=150°. (1)求△ABC的三个内角的大小： (2)设⊙O的半径为1，求AB+AC-BC的值. 【答案】(1)∠A=90°，∠B=60°，∠C=30° (2)2 【详解】(1)解：，相切， ∴∠ADO=∠BDO=∠AFO=∠CFO=∠BEO=∠CEO=90°， 在四边形BDOE中，∠DOE=120°， ∴∠B=360°-∠BD0-∠BE0-∠D0E=360°-90°-90°-120°=60°， 同理，∠C=360°-∠CF0-∠CE0-∠E0F=360°-90°-90°-150°=30°， 在△ABC中，∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-30°=90°， .∠A=90°，∠B=60°，∠C=30: (2)解：，∠A=∠AD0=∠AFO=90°，OD=OF=1, ∴四边形ADOF是正方形， ..AD=AF=OD=OF=1, 设BD=BE=X,则AB=AD+BD=X+1, 52/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△ABC中，∠C=30 :.BC=2AB=2x+1,AC=3AB=3x+1, ..CE=BC-BE=2x+1-x=x+2=CF, .AC=CF+AF=x+2+1=X+3, :.3x+1=x+3, 解得，x=3, .BD=BE=3. :.AB=x+1=3+1,BC=2AB=23+2,AC=3AB=3+3, ·AB+AC-BC=3+1+3+93-2V3-2=2. 57.(25-26九年级上江苏镇江期中)如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的直径，BD平 分∠ABC. D (1)若∠ACB=25°，求∠BDC的度数： (2)若点E是弦BD上一点，且点E是△ABC的内心，求证：DA=DE. 【详解】(1)解：：AB=AB, ∴.∠ADB=∠ACB=25· AC是⊙O的直径， .∠ADC=90°， ∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=65: (2)证明：：BD平分∠ABC,点E是△ABC的内心， .∠ABD=∠CBD,∠CAE=∠BAE .CD=CD. ∴.∠DAC=∠CBD, ∴.∠DAC+∠CAE=∠ABD+∠BAE, .∠DAE=∠DEA, 53/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..DA=DE 拔高压轴破难 题型6综合压轴（切线+内切圆综合）（共5小题） 【模型】将切线长定理、内切圆、勾股定理、面积法串联，先由切线长相等列方程，再结合直角三角 形求未知量。 【步骤】①设切点与未知线段；②由切线长定理把各边用同一字母表示并列出等量关系；③联立 沟股定理或面积法求解；④检验结果是否符合几何意义。 【易错】设元后注意每条边的表示是否完整；解出后要回到图形验证（如线段长应为正、点在边上 等)。 58. (25-26九年级上·重庆期中)如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O,点I为△ABC的内心， 连接CI并延长交⊙O于点D,E是BC上任意一点，连接AD,BD,BE,CE.当∠ABC=a度，则 ∠CEB= 度：当CI=22,DI=132,则△ABC的周长为 【答案】 90+a/a+90 30 【详解】解：，AB是⊙O的直径， ∠ADB=∠ACB=90°， 又∠ABC=a°， .∠CAB=90-a°， ,四边形ABEC是⊙O内接四边形， ∴.∠CEB+∠CAB=180°， ∴.∠CEB=180°-∠CAB=180°-90-a°=90+a°： 过点D作DG⊥BC于点G,连接AI, 54/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B △ABC :点I为 的内心， ∠CAI=∠BM,∠ACI=∠BC=克∠ACB=45e, ..AD=BD. ∴.∠DAB=∠DCB=∠ACI,AD=BD, ,∠DAI=∠DAB+∠BAI,∠DIA=∠ACI+∠CAI, ∴∠DAI=∠DIA, ..DI=DA: :DI=132, 2 DI=DA=132, 2 ,∠ADB=90°， ..AB=2 DA=13. :CI=22, ÷CD=CI+DI=72, 2 ,∠BCI=45°，∠DGC=90°， CG-DG-CD-17 :∠DGB=90°，BD=AD=13/2, BG-YBD-DG-3 .BC=BG+CG=12, 六AC=R√AB-BC=5 55/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴△ABC的周长为AC+BC+AB=5+12+13=30 故答案为：90+a,30 59.(25-26九年级上.福建福州期中)如图，△ABC为⊙O内接三角形，D为弧AB的中点，过点D作 DE‖AB.交CB的延长线于点E. B 图1 图2 (1)求证：DE与⊙O相切： (2)如图2，连接CD、BD,I是△ABC的内心. ①求证：DI=DB: ②经过A、I、C三点能否确定一个圆？理由是 若能确定圆，请仅用无刻度的直尺找出圆心 P. 【详解】(1)证明：连接OD, .0 E D为弧AB的中点， .OD⊥AB DE‖AB, OD⊥DE, 又OD是⊙O的半径， ∴.DE与⊙O相切： (2)①证明：，I是△ABC的内心， 56/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.CI平分∠ACB,BI平分∠ABC, ∴.∠ACI=∠BCI,∠CBI=∠ABI, ,∠ACI=∠ABD. ∴.∠ABD=∠BCI 又∠DIB=∠BCI+∠CBI,∠DBI=∠ABD+∠ABI, ∴∠DIB=∠DBI, ..DI=DB: ②能，不在同一直线上的三个点可唯一确定一个圆， 作图如下： D ②：，I是△ABC的内心， ∴.CI平分∠ACB,AI平分∠CAB, ∠ACI-∠ACB,∠CAl=∠CAB. ÷∠ACI+∠CI=克∠ACB+∠CAB=∠ACB+∠CB. .0°<∠ACB+∠CAB<180°， ∴.0°<∠ACI+∠CAI<90°，即∠ACI+∠CAI≠0°， ∴.A、、C三点不共线， ∴A、、C三点能确定一个圆，（不在同一直线上的三个点可唯一确定一个圆） 理由：连接AP、CP, 同①可证PA=PI,PI=PC, .PA=PI=PC, ∴.点A、、C在以P为圆心，PA为半径的圆上. 60.(23-24九年级上江苏镇江期中)如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径；PA与⊙O相切于点A,点C 57/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在⊙O上，且PC=PA. B D (1)求证：PC是⊙O的切线： (2)过点C作CD⊥AB于点E,交⊙O于点D,若CD=PA=2V3, ①图中阴影部分面积是； ②连接AC,若△PAC的内切圆圆心为I,则线段IE的长为 【详解】(1)证明：连接OC、OP, B 点C在⊙O上， .OC为半径 .'PA与⊙O相切于点A, .∴.OA⊥PA ∴.∠PA0=90 在△PCO和△PAO中， OC=OA OP=OP PC=PA ∴.△PCO≌△PAO ∴.∠PCO=∠PAO=90°. .∴.PC⊥OC. PC是⊙O的切线 58/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)①作CM⊥AP于点M, B D E M .CD⊥AB ∴.CE=DE=3,∠CEA=90°. ∴.四边形CMAE是矩形. .AM=3. ∴.PM=AM. ∴.PC=AC. PC=PA, ∴.△PCA是等边三角形. .∠PAC=60°. .∴.∠CAB=30° ∴.∠C0E=60°. ∴.∠C0D=120°. 在△c0中，∠0cf-30则0E-C0, 「CE=VC02-0E2=30E CE=3 ∴.0E=1, Ss=Sa5ocm-S60m=120X2-5×2R5×1=号L-5. 360 2 3 ②如图所示 59/66 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D .'△PCA 是等边三角形， AP=2 3 ,AM=CE=3 ∴.CM=V3AM=3 又.I为正△PAC的内心，则PI=CI,∠API=30° 3=1PI=ICI 2 2 CM=2 ∴.IE=CE2+CI=3+4=7 61.(25-26九年级上·安徽阜阳·期中)如图，已知AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O,点I为△ABC 的内心，连接CI并延长交⊙O于点D,点E是BC上任意一点，连接AD,BD,BE,CE. (1)若∠ABC=25°，求∠CEB的度数： (2)求证：AD=DI: (3)若CI=42,DI=132,请直接写出△ABC的周长. 【详解】(1)解：AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=∠ADB=90 ,∠ABC=25°， ∴.∠CAB=90°-∠ABC=90°-25°=65°. ,四边形ABEC是⊙O的内接四边形， ∴.∠CEB+∠CAB=180°， 60/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠CEB=180°-∠CAB=180°-65°=115°. (2)证明：如图，连接AI. .点I为△ABC的内心，∠ACB=90°， ∠CAW=∠BA,∠ACI=∠BCI=3∠ACB=45, ∴.AD=BD, ∴.∠DAB=∠DCB=∠ACI .:∠DAI=∠DAB+∠BAI,∠DIA=∠ACI+∠CAI, ∴.∠DAI=∠DIA, ∴.AD=DI. (3)解：如图，过点I分别作IQ⊥AB,IF⊥AC,IP⊥BC,垂足分别为Q,F,P. ,'点I为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆的圆心， ∴.Q,F,P分别为该内切圆与△ABC三边的切点， ∴.AQ=AF,CF=CP,BQ=BP .∠IFC=90°，∠ACI=45°， ∴.CF=FI. 在Rt△CFI中，由勾股定理得CF+FI=CI, .2CF2=(422 解得CF=4(负值已舍去)， ∴.CP=4. AD=BD,AD=DI, ∴.DI=AD=BD=13V2 在Rt△ADB中，由勾股定理得AB=AD2+BD-13V2+132了=26 .△ABC的周长为 AB+AC+BC=AB+AF+CF+CP+BP=AB+AQ+BQ+2CF =2AB+2CF=2×26+2×4=60. 61/66 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 62.(25-26九年级上·湖南长沙期中)定义：若一个圆的内接三角形的内心关于这个三角形一条边的对称 点恰好在该圆上，则称这个三角形为该圆的“梦之三角形”. ●0 D 图1 图2 图3 (1)如图1，等边△ABC为⊙O的内接三角形，过点O做OE⊥BC交BC于点D,交⊙O于点E,判断 △ABC (填“是”或“不是”)⊙O的“梦之三角形”，请说明理由： (2)如图2，已知△ABC是⊙O的“梦之三角形”，其内心I关于BC的对称点F在⊙O上，若BC=6,求 ⊙O的半径： 3)如图3，已知⊙O的半径为7V3,弦BC=24,点A在⊙0上，若△ABC为⊙O的“梦之三角形”， 求AC的长度， 【详解】(1)解：是. 理由：如图，连接OB,OC, A D .'△ABC为⊙O的内接等边三角形， ∴.∠BAC=60°，点O为△ABC的内心即外心， 62/66 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BOC=2∠BAC=120°， .OE⊥BC,且OB=OC, ∴.∠BOD=60°， ∴.∠OBD=90°-∠BOD=30°， ..OD=1OB. .OB=OE, .OD-DE-OE. .等边△ABC的内心O关于BC的对称点E在⊙O上， ∴.△ABC是⊙O的“梦之三角形”. (2)解：如图，连接IB,IC,FB,FC, 设∠ABI=C,∠ACI=B, .I是△ABC的内心， ∴.IB平分∠ABC,IC平分∠ACB, ∴.∠ABI=∠CBI=a,∠ACI=∠BCI=β， 点I和点F关于BC对称， ∴.∠FBC=∠CBI=a,∠FCB=∠BCI=B, ∴.∠ABF=3a,∠ACF=3B, .∠ABF+∠ACF=180°， 即3a+3β=180°， ∴.a+B=60°， .∠ABC+∠ACB=2a+2B=120°， ∴.∠BAC=60°： 63/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 连接OB,OC,过点O作OG⊥BC于点G, A G F BG-CG=BC, .:∠BOC=2∠BAC=120°， .∴.∠OBG=∠OCG=30°， ∴.OG=5B0, 2 .BG=B02-0G2- 3 BO, 2 ∴.BC=V3B0, .BC=6 ∴.6=3B0, 解得BO=2V3. 即⊙O的半径为23， (3)解：由(2)知若△ABC为⊙O的“梦之三角形”，则△ABC必有一个角为60°， 若∠BAC=60°，如图，连接OB,OC, 可知∠B0C=120°， ∴.BC=V30B=21≠24， 因此，∠BAC≠60°」 G 64/66 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分两种情况进行讨论： ①当∠ACB=60°时，当A1在优弧BC上时，如图，连接OB,OA1, A B A N ∴.∠B0A1=120°， ∴.A1B=3OB=21' 过B作BM⊥A,C于点M, .∠BCA1=60°， .CM=BC=12, BM=BC2-CM2=123 在Rt△A,BM中，A1M=A1B-BM=212-123=3 ∴.A1C=A1M+CM=15: 当A2在劣弧BC上时，过B作BN⊥A2C,此时CN=12,A2N=3, ∴.A2C=CN-A2N=9, ②当∠ABC=60°时， 此时A3C为60°对边， 如图，当A3在优弧BC上时，连接OA3,OC, 可知∠A30C=120°， 65/66 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 14 ∴.A3C=V30C=211 ∴.A3C=21; 当A4在劣弧BC上时，同理可求A4C=21, 综上，AC可能的值为9或15或21. 66/66