专题01 一元二次方程全章26大题型（期中专项训练·冲刺版）九年级数学上学期新教材人教版

专题01 一元二次方程 题型1 一元二次方程的相关概念 题型14 利用根与系数的关系求参（重点） 题型2 一元二次方程的一般式 题型15 根的判别式与根与系数关系的综合（难点） 题型3 一元二次方程的解的估算（常考点） 题型16 一元二次方程中的新定义问题（难点） 题型4 由一元二次方程的解求代数式的值（常考点） 题型17 利用一元二次方程求最值（难点） 题型5 直接开平方法（常考点） 题型18 由实际问题列一元二次方程（常考点） 题型6　配方法 （常考点） 题型19 一元二次方程的实际应用---传播问题（常考点） 题型7 公式法（常考点） 题型20 一元二次方程的实际应用---增长率问题（重点） 题型8 因式分解法（重点） 题型21 一元二次方程的实际应用---面积问题（重点） 题型9 用适当的方法解方程（重点） 题型22一元二次方程的实际应用---数字问题（常考点） 题型10 换元法解一元二次方程（难点） 题型23一元二次方程的实际应用---商品销售问题（重点） 题型11 根据判别式判断一元二次方程根的情况（重点） 题型24一元二次方程的实际应用---行程问题（常考点） 题型12 根的判别式确定字母的取值或范围（重点） 题型25 一元二次方程的实际应用---循环问题（常考点） 题型13 利用根与系数的关系降次求值（难点） 题型26一元二次方程的实际应用---动点运动问题（难点） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 一元二次方程的相关概念 （共3小题） 1．（26-27九年级上·河南郑州·阶段检测）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数且未知数最高次为2的整式方程）逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、原方程整理得，不是一元二次方程，故本选项不合题意； C、方程不是整式方程，故本选项不符合题意； D、是一元二次方程，故本选项符合题意． 2．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项即可． 【详解】解：A．方程中含两个未知数x和y，不符合一元二次方程的定义，故该选项不符合题意； B．方程中最高次项的系数时，不符合一元二次方程的定义，故该选项不符合题意； C．方程中未知数的最高次数是3，不符合一元二次方程的定义，故该选项不符合题意； D．方程中只含未知数x，最高次项为，是整式方程，符合一元二次方程的定义，故该选项符合题意． 3．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把A、B、C、D各选项中可以化简的方程化简，再根据一元二次方程的定义分别对各个方程进行判断即可得答案. 【详解】解：A.化简得：，故不是一元二次方程，A错误. B.方程 只有一个未知数，且的最高次数为2，是关于的一元二次方程，不是关于的一元二次方程，故B错误. C.方程 只有一个未知数，且的最高次数为2，是关于的一元二次方程，故C正确. D. 把化简为，当时，不是一元二次方程，故不一定是关于的一元二次方程，故D错误. 题型二一元二次方程的一般式（共3小题） 4．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）将一元二次方程化成一般形式，则一次项系数和常数项的和是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将移项，得， ∴一次项系数为，常数项为， ∴一次项系数和常数项的和为． 5．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）把一元二次方程化为一般形式，结果是___________． 【答案】 【分析】把原方程化为的形式即可． 【详解】解： ． 6．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）把一元二次方程化成一般形式是__________． 【答案】 【分析】先展开方程左右两边，再移项合并同类项，整理得到一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ， ， ， ∴． 题型三 一元二次方程的解的估算（共3小题） 7．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）根据表格中的数据，判断关于的方程的根是（     ） … … … … A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据表格找到的值为6时x的值即可得到答案． 【详解】解：由表格可知，当和时，， ∴关于的方程的根是，． 8．（25-26九年级上·山东青岛·期末）下表是随着的不同取值，代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） ．．． -1 4 5 6 ．．． ．．． 8 0 0 8 ．．． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程等价于，从表格中直接找出时对应的值即可． 【详解】解：∵等价于， 从表格中，当时，；当时，， ∴方程的根为，． 故选：C． 9．（25-26八年级上·福建福州·期末）已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的解一元二次方程，从表格中直接读取代数式的值为时对应的值，即为方程的根． 【详解】解：当时，代数式的值为；当时，代数式的值也为， 方程的根为或． 故选：C． 题型四 由一元二次方程的解求代数式的值（共3小题） 10．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知为一元二次方程的根，那么的值为（     ） A． B． C．0 D．2048 【答案】D 【分析】根据方程的解的定义可推出，再根据可得答案． 【详解】解：∵为一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴． 11．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】D 【分析】先根据方程根的定义得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ 是关于的方程的一个根， ，即， ． 12．（25-26九年级下·山东淄博·期末）已知是方程的一个根，试求的值． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴． 题型五 直接开平方法 （共3小题） 13．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）若关于x的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可以用直接开平方法求解意味着等式的右边非负，据此列不等式即可求解． 【详解】解：根据题意有：， ∴， 则k的取值范围是． 14．（26-27九年级上·云南曲靖·阶段检测）用直接开平方法解方程，下列结果正确的是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：由， 得或， 所以或． 15．（2026九年级上·河北·专题练习）用直接开平方法解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ，． （2）解：， ， ， ，． （3）解：， ， ， ，． （4）解：， ， ，． 题型六 配方法（共3小题） 16． （26-27九年级上·山西朔州·阶段检测）亮亮用配方法求解一元二次方程，其步骤 如下： 解：原方程变形为．    ① ，即．    ② ．        ③ ，．        ④ 在进行最终验算时，发现所得结果有误，上面计算步骤出现错误的步骤是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据用配方法求解一元二次方程的步骤解答即可； 【详解】解：步骤①将常数项移到等号右侧，得到，变形正确； 步骤②，给左侧加1凑完全平方，根据等式的性质，右侧的4也必须同步加1，才能保证等式成立，但亮亮只给左侧加了1，右侧没有加，错误得到，实际正确结果应该是，所以出错的是步骤②； 步骤③、④都是基于步骤②的错误推导的连锁结果，但最初的错误出在步骤②． 17．（26-27九年级上·全国·课后作业）设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】作差后配方，利用平方的非负性判断差的符号，比较M与N的大小． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．（2026九年级上·全国·专题练习）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 移项，得． 配方，得， 即． 两边开平方，得， 解得，． （2） 移项，得． 配方，得， 即． 两边开平方，得， 解得，． （3） 原方程移项，得． 配方，得， 即． 两边开平方，得， 解得，． （4）， 整理，得， 方程两边同时除以，得． 配方，得． 两边开平方，得：， 解得，． 题型七 公式法 （共3小题） 19．（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对比一元二次方程求根公式的结构，对应确定方程的各项系数． 【详解】解：∵ 一元二次方程的求根公式为，题中方程的根为， ∴ 对比分母得，即， ∴ 对比分子不含根号的项得，即， ∴ 对比根号内的表达式得，代入得， ∴ 该一元二次方程为. 20．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解一元二次方程时，下列代入求根公式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在方程中，，，， ， ∴ ． 21．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先找出，，并判断的正负，再代入公式求解即可； （2）先找出，，并判断的正负，再代入公式求解即可． 【详解】（1）解：，，，且， ∴，即，． （2）解：∵，，，且， ，即，． 题型八 因式分解法（共3小题） 22．（26-27九年级上·湖北黄冈·阶段检测）一元二次方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ∴ 或， ∴． 23．（2026九年级上·全国·专题练习）已知三角形两边的长分别是4和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是（     ） A．15 B．19 C．15或19 D．18或20 【答案】C 【分析】先求出一元二次方程的根，再结合三角形三边关系确定第三边的长，最后计算周长． 【详解】解：∵三角形两边的长分别是4和6， ∴ 第三边的长 ， 解方程 得 或 ， ∵ ，， ∴ 第三边的长为5或9， ∴ 该三角形的周长为 或 ． 24．用因式分解法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键． （1）根据提取公因式法，可分解因式，可得方程的解； （2）根据平方差公式，可分解因式，可得方程的解． 【详解】（1）解：， ； ， ∴或， ∴，； （2）解：． ， ∴或， 解得，． 题型九 用适当的方法解方程（共3小题） 25．（26-27九年级上·河南郑州·阶段检测）解一元二次方程： (1)（运用适当的方法）； (2)（公式法）； (3)（分解因式法）； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ∴或 解得 （2）解： ∵， ∴ 解得 （3）解： 或 解得 26．（26-27九年级上·全国·课后作业）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴， 解得． 27．（26-27九年级上·全国·课后作业）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1） 解： 开平方得 解得，； （2）解： 整理得 则或、 解得； （3）解： 则或 解得． （4）解： 整理得 则 或 解得． 题型十 换元法解一元二次方程（共3小题） 28．（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）若，则的值 是（     ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】将视为整体换元，转化为一元二次方程求解，结合的非负性筛选结果． 【详解】解：设，则， 原方程化为， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵ ， ∴ ，即． 29．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为．① 解：由方程①，得，． 当时，即，此方程无解； 当时，即，， 原方程的解为， 【解决问题】 (1)在由原方程到方程①的过程中，是利用换元法达到_________．（选填“降次”或“消元”）的目的，体现了数学的转化思想； (2)请仿照材料的方法，解下列方程：． 【答案】(1)降次 (2)， 【详解】（1）略 （2）解：对于方程， 设， 原方程化为， 因式分解得， 解得，， 当时，， 整理得， 因式分解得， 解得，； 当时，， 整理得， ，方程没有实数根， 综上，原方程的解为，． 30．（26-27九年级上·安徽阜阳·阶段检测）【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①． 解方程①可得． 当时，，即，； 当时，，即，． 原方程的解为． 【解决问题】 (1)方程的解为___________； (2)已知，则的值为___________； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）设，则原方程可化为，根据提供方法求解即可； （2）设，则原方程可化为，根据提供方法求解即可； （3）设，则原方程可化为，根据提供方法求解即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解方程，得． 当时，，，故； 当时，，无意义． 原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 整理，得， 解得， ， 不符合要求，舍去； ， ， ． （3）解：设，则原方程可化为， 解方程，得． 当时，，解得； 当时，， 整理，得， 解得． 原方程的解为． 题型十一 根据判别式判断一元二次方程根的情况（共3小题） 31．（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】先整理方程为一般式，再根据一元二次方程根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：原方程变形为， 这里，，， 则， ∴原方程有两个不相等的实数根． 32．（安徽铜陵市部分学校2026-2027学年上学期10月学情自测九年级数学试卷）下列方程中有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：，因此该方程没有实数根． 选项B：，因此该方程没有实数根． 选项C：，因此该方程没有实数根． 选项D：，因此该方程有两个不相等的实数根． 33．（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】判断一元二次方程根的情况的核心方法是计算判别式Δ，确定该方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c．代入一元二次方程判别式公式计算判别式的值．依据判别式的取值与根的对应关系：如果，那么方程有两个不相等的实数根；如果，那么方程有两个相等的实数根；如果，那么方程没有实数根，对应判断根的情况． 【详解】本题方程 中对应系数：，，， 代入根的判别式计算：， ∵ ， ∴这个一元二次方程没有实数根． 题型十二 根的判别式确定字母的取值或范围（共3小题） 34．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）关于的一元二次方程有实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据一元二次方程定义，二次项系数，一元二次方程有实数根即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 整理得， ， ∴且． 35．（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是另一个根的2倍，求的值. 【答案】(1)证明：∵关于的方程， 其中，，， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根； (2)或． 【分析】（1）根据根的判别式的意义即可证明； （2）先利用公式法解得方程的两个根，然后结合已知条件列出方程解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：解方程得， ∴，， ∵方程的一个根是另一个根的2倍， ∴或， ∴或． 36．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程． (1)当时，求方程的根； (2)试判断方程的根的情况； (3)若该方程有一个根大于2，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，，该方程有两个相等的实数根； 当时，，该方程有两个不相等的实数根 (3)若该方程有一个根大于2，则k的取值范围为 【分析】（1）把代入方程，求出一元二次方程的根即可； （2）计算根的判别式，再分情况判断即可； （3）先求出，再分情况：当时，或当时，分别求解即可； 【详解】（1）解：当时，原方程为， ， ∴方程的根为． （2）解：． ． 故当时，，该方程有两个相等的实数根； 当时，，该方程有两个不相等的实数根． （3）解：， 当时，解得，不符合题意； 当时，解得． 要使该方程有一个根大于2， 则，解得． 综上所述，若该方程有一个根大于2，则k的取值范围为． 题型十三 利用根与系数的关系降次求值（共3小题） 37．（26-27九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）一元二次方程 的两个实数根为，，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根与系数的关系，，，转化为，转化为． 【详解】解：对于一元二次方程， ，，， 由根与系数的关系得，，， 所以，A、B选项不符合题意； ， C选项不符合题意； ， D选项符合题意． 38．（26-27九年级上·安徽淮南·阶段检测）如果，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，那么代数式的值为（     ） A．2026 B．2027 C．2035 D．2037 【答案】D 【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得，，由一元二次方程的定义可得，整体代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，，， ∴， ∴ ． 39．已知，是方程的两根，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值． 【详解】∵a与b是方程的两根 ∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0 ∴a2=a+1，b2=b+1 ∵，同理： ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键． 题型十四 利用根与系数的关系求参（共3小题） 40．（26-27九年级上·全国·单元复习）若关于x的一元二次方程的两根互为相反数，则m的值为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由两根互为相反数得两根之和为0，结合根与系数的关系列方程求解． 【详解】解：设方程的两根为，． ∵ 两根互为相反数， ∴ ． 由根与系数的关系得， ∴ ，解得． 当时，，符合题意． 41．（26-27九年级上·山东日照·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】首先需要利用根与系数的关系将条件转化为关于的方程，再结合判别式验证即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴，整理得， 解得或， ∵ ， ∴， ∴舍去， ∴的值为． 42．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的3倍，则_________． 【答案】或 【分析】设其中一根为，则另一根为，由根与系数的关系得两根之积为12，求出两根，再由两根之和等于求． 【详解】解：设其中一根为，则另一根为． ∵方程的两根之积为12， ∴， ∴， ∴． ①当时，另一根为6， ∴， ∴； 检验：当时，，方程有两个不相等的实数根，符合题意； ②当时，另一根为， ∴， ∴． 检验：当时，，方程有两个不相等的实数根，符合题意． 综上所述，的值为或． 题型十五 根的判别式与根与系数关系的综合（共3小题） 43．（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）已知关于x的一元二次方程 (1)若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若该方程的两个根分别为，，当时，求的值． 【答案】(1)且 (2)3 【分析】（1）根据题意得到，进而求解即可； （2）首先得到方程，然后利用根与系数的关系得到，，然后利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得． ∵该方程有两个不相等的实数根， ，即， 解得， 故m的取值范围为且． （2）解：当时，原方程为， ，， ． 44．（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）关于的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； (2)若方程有两个实数根且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用根的判别式，求解即可； （2）利用根与系数关系，完全平方公式的变形计算，解答即可． 【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根 ， ； （2）解：根据题意，得， ， ， ， 整理得： 解得或 方程有两个实数根， ， 故， 舍去， 故符合要求． 45．（26-27九年级上·天津红桥·阶段检测）已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若是该一元二次方程的一个根，求的值； (2)判断该一元二次方程的实数根的情况，并说明理由； (3)若的两边，的长是该一元二次方程的两个实数根，当为何值时，是菱形？求此时菱形的边长． 【答案】(1) (2)解：该一元二次方程总有两个实数根，理由如下： ∵关于的一元二次方程（为常数）， ∴，，， ∴， ∴该一元二次方程总有两个实数根． (3)当时，是菱形，此时菱形的边长为 【分析】（1）把代入方程求解即可； （2）根据一元二次方程根情况的判别式求解即可； （3）由菱形的性质得，可知该一元二次方程有两个相等实数根，即，进而可求出的值，再把的值代入方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵是该一元二次方程的一个根， ∴把代入方程得：， 解得：． （2）略 （3）解：若是菱形，则， ∵，的长是该一元二次方程的两个实数根， ∴， 解得：， 把代入方程得：，即， 解得：， ∴此时菱形的边长为2． 题型十六 一元二次方程中的新定义问题（共3小题） 46．（26-27九年级上·甘肃白银·阶段检测）新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为_____． 【答案】或 【分析】根据“倍根方程”的定义，设方程的两个根为和（），将方程表示为 ，展开后与原方程比较系数，得到关于的方程，解出的值，再代入关系式求，最后计算代数式的值． 【详解】解：∵方程 是“倍根方程”， ∴设两根为和 （）， 则方程可写为，即， 与原方程比较系数得： ①， ，即②， 将②代入①得：， 两边除以（）：， 即，解得或． ， 当时，由 ②得，此时， ∴． 当 时，由② 得，此时， ∴． 综上，代数式的值为或． 47．（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）定义：如果关于x的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由： (2)已知是关于x的“黄金方程”，若是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； (3)已知是关于x的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求m的值． 【答案】(1)该一元二次方程是“黄金方程”，理由如下： ∵方程中，，，， ∴，满足“黄金方程”的定义． (2) (3)的值为或 【分析】（1）根据“黄金方程”的定义即可判断； （2）先根据“黄金方程”的定义可得，再根据是此方程的一个根得出，然后求解即可； （3）先根据“黄金方程”的定义可得，再根据m是此方程的一个根得出，然后求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵是关于x的“黄金方程”， ∴， ∵是此方程的一个根， ∴， 即，解得：， ∴此方程是． （3）解：∵是关于x的“黄金方程”， ∴，即， ∵m是此方程的一个根， ∴，即， ∴，解得：或． 48．（26-27九年级上·云南文山·阶段检测）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若m是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2)2011 【分析】（1）直接根据定义把二次项系数和常数项交换即可； （2）先根据定义写出原方程的倒方程，然后根据方程的解的定义得到，接着代入所求代数式即可求解． 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程 的倒方程是， ∴把代入方程， 得 ， ∴， ∴ ． 题型十七 利用一元二次方程求最值（共3小题） 49．（24-25九年级上·福建莆田·阶段检测）已知x，y为实数，且满足，设，记的最大值为，最小值为，则（） A． B．8 C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查配方法的应用，乘法公式；由已知条件变形得到，再通过配方法求出的取值范围，进而得到u的最值，计算即可． 【详解】解：， 由①得，，代入②中，得 ， 把①的两边同时加，得， 解得， 把①的两边同时减，得 解得， ∴， ， 即， ∴的最大值为，最小值为， ∴， 故选：C． 50．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，10是“和谐数”，理由：因为，所以10是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断40是否为“和谐数”，并说明理由． 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值___________． 【拓展应用】 (3)已知实数满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 【答案】(1)40是“和谐数”，理由如下： ，且6，2都是整数， 是“和谐数”； (2) (3)时，取得最小值，最小值为1 【分析】（1）利用题中定义判断即可； （2）利用配方法得，则可求得m、n，进而可求解； （3）由已知，结合配方法得到，根据求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴，，则， 当时，； 当时，， 综上，的值为； （3）解：， 对于任意实数，都有， 当，即时，取得最小值，最小值为1． 51．（26-27九年级上·河南鹤壁·阶段检测）配方法是数学中重要的一种方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 【解决问题】 我们定义：一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“美丽数”． 例如，是“美丽数”．∵，∴是“美丽数”． (1)已知是“美丽数”，请将它写成的形式； (2)已知，求的值； (3)【拓展提高】如图，用长的铝材做一个“日”字形窗框（铝材的宽度不计）．设窗框的宽为，窗框的透光面积为．试问：当为多少时，最大？最大是多少？ 【答案】(1)； (2)； (3)，． 【分析】（1）根据“美丽数”的定义即可求解； （2）由配方得，求出和的值，再求的值即可； （3）由题意得，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：【拓展提高】由题意得：， 则， ∵， ∴， 此时，最大为． 题型十八 由实际问题列一元二次方程（共3小题） 52．（26-27九年级上·山西吕梁·阶段检测）化学课代表跟李老师学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课他手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49名同学恰好都学会了做这个实验．设一个人每节课手把手教会x名同学，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设一个人每节课手把手教会了x名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设一个人每节课手把手教会x名同学，则可列方程为 ，即． 53．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）某厂八月份生产某机器120台，计划九、十月份共生产280台．设九、十月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意直接列方程即可． 【详解】解：设九、十月份每月的平均增长率为x， 根据题意得：． 54．（26-27九年级上·云南曲靖·阶段检测）某校九年级同学在“数学与生活”实践活动中了解到：某商店销售一种文创产品，每件进价为元，售价为元时，每月可售出件．为了促销，商店决定降价销售．经调查发现，每降价1元，每月可多售出件．若要使每月利润达到元，设每件降价x元，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】总利润等于单价利润乘以销量，单件利润等于售价减去进价． 【详解】解：每件利润为元，销售量为件， 由题意得． 题型十九 一元二次方程的实际应用---传播问题（共3小题） 55．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）某种流感病毒传播很快，开始有 2 人感染，经过两轮传染后共有 128 人感染（含最初的 2 人）． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人； (2)按照这样的传播速度，第三轮传染后共有多少人感染？ 【答案】(1)7人 (2)1024人 【分析】（1）设平均一人传染了人，根据有2人感染，经过两轮传染后共有128人感染，列出方程求解； （2）根据（1）所求数据，进而表示出经过三轮传染后感染的人数． 【详解】（1）解：设平均一人传染了人， 根据题意得：， 化简得：， 解得：，（不符合题意舍去） 故每轮传染中平均一个人传染了7个人； （2）解：由（1）知：经过三轮传染后感染的人数为：（人）； 答：经过三轮传染后共有1024个人感染． 56．（23-24九年级上·甘肃平凉·阶段检测）某班一物理科代表在老师的培训后学会了某个物理实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个实验：求1人每次能教会几名同学？ 【答案】1人每次能教会5名同学 【分析】设1人每次都能教会x名同学，根据两节课后全班共有36人会做这个实验，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】设1人每次都能教会x名同学，根据题意得： ． 变形得： ∴（负值不合题意，舍去） 故1人每次能教会5名学生． 57．（24-25九年级上·广东江门·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 依题意得： 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给人； （2）第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：（人）． 答：从小王开始计算，三轮后会有人有此短信． 题型二十 一元二次方程的实际应用---增长率问题（共3小题） 58．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）某地区2023年投入教育经费1000万元，2025年投入教育经费1210万元． (1)求2023年至2025年该地区投入教育经费的年平均增长率； (2)根据（1）所得的年平均增长率，预计2026年该地区将投入教育经费多少万元． 【答案】(1) (2)1331万元 【分析】（1）一般用增长后的量增长前的量增长率，2024年要投入的教育经费是万元，在2024年的基础上再增长，就是2025年的教育经费数额，即可列出方程； （2）利用2025年的经费（1+增长率）即可． 【详解】（1）解：设增长率为x， 根据题意则， 解得，（不合题意舍去）． 答：2023年至2025年投入教育经费的平均增长率为． （2）解：由题意知：预计2026年该地区将投入教育经费万元. 87．（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）某品牌汽车第一季度的销售量为万辆，第二季度的销售量下降了，经销商从第三季度起加强管理，改善经营，使销售量稳步上升，第三、四季度的销售量共达到了万辆． (1)求第二季度的销售量； (2)求第三、四季度的销售量的平均增长率． 【答案】(1)第二季度的销售量为50万辆 (2)第三、四季度销售量的平均增长率为 【分析】（1）根据题意直接计算即可； （2）设第三、四季度销售的平均增长率为x．根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：(万辆)， 答:第二季度的销售量为50万辆； （2）解：设第三、四季度销售的平均增长率为x， 依题意,得， 解得， (不合题意,舍去)， 答:第三、四季度销售量的平均增长率为． 60．（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）第33届世界大学生冬季运动会将于2027年1月15日至25日在长春市举办，本届大冬会的吉祥物“吉冰”和“吉雪”已于2026年3月21日正式对外发布，并深受大家的喜爱．某饰品店出售吉祥物毛绒挂件，据店长统计，6月份的销售量为350个，8月份的销售量为504个；求吉祥物毛绒挂件6月份到8月份销售量的月平均增长率． 【答案】 吉祥物毛绒挂件6月份到8月份销售量的月平均增长率为 【分析】设吉祥物毛绒挂件6月份到8月份销售量的月平均增长率为，根据6月销售量经2次增长后等于8月销售量列方程求解． 【详解】解：设吉祥物毛绒挂件6月份到8月份销售量的月平均增长率为， ∵6月份销售量为350个，8月份销售量为504个，共经过2个月增长， ∴， ∴， ∴ ， ∵增长率为正数， ∴， 解得， 答：吉祥物毛绒挂件6月份到8月份销售量的月平均增长率为． 题型二十一 一元二次方程的实际应用---面积问题（共3小题） 61．（26-27九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，在出现禽流感前，某农场主拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为． (1)设的长为，若建成的饲养室总占地面积为，求的长； (2)假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，问每天传染中平均一只鸡传染了几只鸡？ 【答案】(1)饲养室总占地面积为时，的长为或 (2)每天传染中平均一只鸡传染了7只鸡 【分析】（1）根据题意得到之间的距离，进而列方程求解即可； （2）设每天传染中1只鸡传染了只鸡，根据“经过两天传染后，共有64只鸡受到感染”列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可知之间的距离为 根据题意，得， 整理，得， 解得，． 答：饲养室总占地面积为时，的长为或； （2）解：设每天传染中1只鸡传染了只鸡， 依题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：每天传染中平均一只鸡传染了7只鸡． 62．（26-27九年级上·山东枣庄·阶段检测）草莓是姜屯镇张园村的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 随着草莓产量的提高，部分草莓商铺开始进行打折销售，根据A商铺的市场调查显示：若每斤草莓15元，每天可售出200斤；若每斤降低1元，则可多售出40斤． (1)依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率： (2)现有长60cm，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高： (3)某天，A商铺以9元每斤的价格购进一批草莓，当草莓每斤降价多少元时，A商铺的日利润能达到1320元？如果能，请计算出每斤草莓的定价；若不能，请说明理由． 【答案】(1)草莓产量的年平均增长率为 (2)纸盒的高为 (3)不能；理由： 若设每斤草莓降价元，则每斤草莓获利元，每天可售出斤，根据题意得： ， 整理得：， ∵， ∴此方程无解， ∴A商铺的日利润不能达到1320元． 【分析】（1）设草莓产量的年平均增长率为，根据“2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率相同”列出方程求解即可； （2）设此时纸盒的高为，根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可； （3）若设每斤草莓降价元，由题意得每斤草莓获利元，每天可售出斤，根据日利润为1320元列方程，判断方程是否有解即可． 【详解】（1）解：设草莓产量的年平均增长率为，由题意得： ， 解得，（舍去）， 答：草莓产量的年平均增长率为； （2）解：设此时纸盒的高为， ， 解得，（舍去）， 答：此时纸盒的高为； （3）略 63．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为90平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米． (1)这个车棚的长和宽分别应为多少米？ (2)如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为64平方米，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】(1)车棚长10米，宽9米 (2)小路宽度为1米 【分析】（1）设垂直于墙的边长为米，则平行墙的边长为米，根据计划建造车棚的面积为90平方米列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）设小路宽米，根据停放自行车的面积为64平方米列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设垂直于墙的边长为米，则平行墙的边长为米， 由题意得， 整理得， 解得，， 当时，此时平行墙长米，墙长只有12米，，舍去； 当时，平行墙长米，，符合题意．     故车棚长10米，宽9米． （2）解：设小路宽米， 由题意得， 整理得， 解得，（舍去） 故小路宽度为1米． 题型二十二一元二次方程的实际应用---数字问题（共3小题） 64．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图是2026年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为240，求最小数； (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为61吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)12 (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为61； 理由如下：设最小数为，则另外三个数分别是，，， 由题意，得， 整理，得， 解得（不符合题意，舍去），， 在最后一列， ∴虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为61． 【分析】（1）设最小数为，则最大数为，根据“最大数与最小数的乘积为240”，列出一元二次方程，求解取其符合题意的值即可； （2）设最小数为，则另外三个数分别是，，，根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为61，列出一元二次方程，求解得出的值，即可解决． 【详解】（1）解：设最小数为，则最大数为， 由题意，得， 整理，得， 解得（不符合题意，舍去），， ∴最小数为12． （2）略． 65．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个新两位数，且这两个新两位数分别与它们对应的原数不同，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如：，所以13和62是“幸福数对”． (1)请判断21与48是否是“幸福数对”，并说明理由； (2)有一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为x，另一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为．若这两个两位数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 【答案】(1) 解： 21与48是“幸福数对”． 理由： ，． ． 与48是“幸福数对”． (2)42和36 【分析】本题考查新定义的判断，运用方程解决问题，理解题意是解题的关键； （1）根据“幸福数对”的定义计算即可； （2）根据“幸福数对”的定义计算得，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，各数位上的数字均为0到9的整数，且十位数字不为0， 这两个两位数，分别为，． 将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到的新两位数为，． 这两个数为“幸福数对”， ． 化简，得． 解得 ，． 经检验，符合题意， ∴这两个两位数分别为42和36． 66．（2025·福建龙岩·二模）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份． (1)把八进制数换算成十进制数是_________； (2)小聪设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于的一元二次方程是解题的关键． （）根据八进制换算成十进制的方法即可作答； （）根据进制换算成十进制的方法可列出关于的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的值为． 题型二十三 一元二次方程的实际应用---商品销售问题（共3小题） 67．火爆开赛的“苏超”联赛，使扬州赛区吉祥物“包赢”文创周边深受球迷喜爱．这款融合扬州包子、足球与运河元素的萌趣摆件，每件进价30元．市场调研发现：售价定为40元时，每月可卖出100件；售价每上涨2元，每月就少卖出10件． (1)若店家某月想要总利润达到1120元，每件摆件应定价多少元？ (2)店家计划单月获利1300元，该计划能否实现？请通过计算说明理由． 【答案】(1)每件摆件应定价44元或46元 (2)该计划不能实现 【分析】（1）设每件摆件应定价为x元，根据总利润达到1120元，列出方程，解方程即可； （2）设每件摆件应定价为y元，根据单月获利1300元，列出方程，判断方程解的情况，即可得出答案． 【详解】（1）解：设每件摆件应定价为x元，根据题意得： ， 解得：，， 答：每件摆件应定价44元或46元； （2）解：设每件摆件应定价为y元，根据题意得： ， 整理得：， ∵， ∴此方程无解， ∴该计划不能实现． 68．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】(1)日平均增长率为 (2)每个玩偶降价元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； （2）解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 69．某商店用元购买一批新款书包进行销售． (1)当该款书包每个的进价降低元后，商店又用元购买了相同数量的书包，该书包原来每个的进价是多少元？ (2)根据（1）中的进价，把每个书包按元的定价销售，平均每天可售出个．调查发现，若每个书包每降价元，销量就增加个．若该商店希望每天的销售利润为元，但又能让顾客得到实惠，则每个书包的定价应为多少元？ 【答案】(1) 该书包原来每个的进价是元 (2) 每个书包的定价应为元 【分析】（1）利用两次购买书包数量相同的等量关系列分式方程求解，解分式方程后需要检验； （2）利用总利润单个利润销售量的等量关系列一元二次方程求解，结合要让顾客得到实惠的条件，选择降价更多的定价即可； 【详解】（1） 解：设该书包原来每个的进价是元， 根据题意，可得， 解得， 检验：当时，，因此是原方程的解， 答：该书包原来每个的进价是20元； （2）解：设每个书包降价元， 由（1）可知每个书包进价为20元，此时单个书包利润为元，销售量为个， 根据题意得 ， 解得：，， 因为需要让顾客得到实惠，因此选择更大的降价幅度，即，此时定价为（元）， 答：每个书包的定价应为30元． 题型二十四 一元二次方程的实际应用---行程问题（共3小题） 70．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，某海关缉私艇在点处发现其正北方向的处有一艘可疑船只，测得它正以的速度向正东方向航行，随即调整方向，以的速度准备将其拦截．问：需要多长时间缉私艇能在处拦截住可疑船只？ 【答案】 【分析】设需要缉私艇能在处拦截住可疑船只，则，，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：设需要缉私艇能在处拦截住可疑船只，则，， 在中，，由勾股定理得， 即， 解得，． 因为， 所以． 故需要缉私艇能在处拦截住可疑船只． 71．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 72．甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． (1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ (2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ 【答案】(1)7分钟 (2)15分钟 【分析】（1）根据题意先设n分钟后第1次相遇，利用数列求和知识得到关于n的方程，解此方程即可得甲、乙开始运动后几分钟相遇； （2）先设n分钟后第2次相遇，依路程关系得到一个关于n的方程，解方程即得第2次相遇是在开始后多少分钟． 【详解】（1）解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有+5n＝70， 整理得n2+13n﹣140＝0， 解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去） 第1次相遇是在开始后7分钟． 答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置； （2）解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有 5n＝3×70， 整理得n2+13n﹣420＝0， 解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去） 故第2次相遇是在开始后15分钟． 答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，设恰当未知数，列出方程是解题的关键． 题型二十五 一元二次方程的实际应用---循环问题（共3小题） 73．（26-27九年级上·云南文山·阶段检测）要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）．根据场地和时间等条件，一共举行了28场比赛． (1)组织者应邀请多少支球队参赛？ (2)若干球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300．他算得对吗？为什么？ 【答案】(1)比赛组织者应邀请8支球队参赛； (2)不对，理由如下： 假设这个人算得对，设有支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300， 那么； 解得 由于1201不是完全平方数，所以不可能为整数， 因此，总场数不可能为300，这个人算得不对． 【分析】（1）设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他支球队各赛1场，则可列方程，解方程即可，注意球队数为正整数； （2）假设支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，则可列方程，根据方程有无正整数解进行判断即可． 【详解】（1）解：设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他支球队各赛1场， 则可列得方程， 解得，（不合题意，舍去） 因此，比赛组织者应邀请8支球队参赛． （2）略 74．列方程解决下列问题． 2023年7月6日～8日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创展示在“世界人工智能大会”张江分会场正式举行．假设参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程安排3天，每天安排145场比赛，求共有多少支队伍参赛？ 【答案】共有30支队伍参赛 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用． 设共有支队伍参赛，根据赛程安排3天，每天安排145场比赛，建立一元二次方程求解即可． 【详解】解：设共有支队伍参赛， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）或． 答：共有30支队伍参赛． 75．（24-25九年级上·广东江门·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 依题意得： 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给人； （2）第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：（人）． 答：从小王开始计算，三轮后会有人 题型二十六 一元二次方程的实际应用---动点运动问题（共3小题） 76．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．若，两点同时出发，当点运动到点时，，两点同时停止运动．求： (1)几秒后，的长度等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)秒后，的长度等于； (2)的面积不能等于，理由如下： 依题意得， 整理得， ， ∴该方程没有实数根， 的面积不能等于 【分析】（1）根据题意可得，，利用勾股定理列方程即可解答； （2）根据三角形面积公式列方程即可解答． 【详解】（1）解：， 当运动时间为 时，，， 在中，，由勾股定理得 即 整理得， 解得，（不符合题意，舍去） 答：秒后，的长度等于； 77．（26-27九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒，． (1)当为何值时，点在的垂直平分线上？ (2)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，点在的垂直平分线上 (2)解：存在， 由题意得，， 的面积等于， ， ， 化简得   或     不符合题意，舍去  ， 当时，使得的面积等于． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得到关于t的方程，即可求解； （2）根据的面积等于，可得到关于t的方程，即可求解． 【详解】（1）解：设运动时间为秒， ，， ， ， 在的垂直平分线上， ， ，解得， 当时，点在的垂直平分线上 （2）略 78．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）在中，，，． (1)如图，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动．如果点，分别从点，同时出发，经过几秒，的面积等于？ (2)在（1）的条件下，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． (3)若点沿射线方向从点出发，以的速度运动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，点同时出发，问：经过几秒，的面积为？ 【答案】(1)或时，的面积为； (2)线段不能将分成面积相等的两部分， 理由如下：设经过秒，线段能将分成面积相等的两部分， 依题意得，， 整理得，， ， 此方程无实数根， 线段不能将分成面积相等的两部分； (3)经过秒或秒后，的面积为； 【分析】（1）设经过秒后，的面积为，根据三角形面积公式列出关于的方程，求解即可； （2）设经过秒，线段能将分成面积相等的两部分，根据题意，列方程，求解即可； （3）设经过秒后，的面积为，分两种情况，当点在线段上和点在射线上，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设经过秒后，的面积为，， 由题意可得：， 整理得，， 解得，， 或时，的面积为； （2）解：略 （3）解：设经过秒后，的面积为， 点在线段上，点在射线上， 由题意可得：， 整理得，， 解得， 时，的面积为； 点在射线上，点在射线上， 由题意可得：， 整理得， 解得，， 当时，不合题意，舍去， 综上所述，经过秒或秒后，的面积为． $专题01 一元二次方程 题型1 一元二次方程的相关概念 题型14 利用根与系数的关系求参（重点） 题型2 一元二次方程的一般式 题型15 根的判别式与根与系数关系的综合（难点） 题型3 一元二次方程的解的估算（常考点） 题型16 一元二次方程中的新定义问题（难点） 题型4 由一元二次方程的解求代数式的值（常考点） 题型17 利用一元二次方程求最值（难点） 题型5 直接开平方法（常考点） 题型18 由实际问题列一元二次方程（常考点） 题型6　配方法 （常考点） 题型19 一元二次方程的实际应用---传播问题（常考点） 题型7 公式法（常考点） 题型20 一元二次方程的实际应用---增长率问题（重点） 题型8 因式分解法（重点） 题型21 一元二次方程的实际应用---面积问题（重点） 题型9 用适当的方法解方程（重点） 题型22一元二次方程的实际应用---数字问题（常考点） 题型10 换元法解一元二次方程（难点） 题型23一元二次方程的实际应用---商品销售问题（重点） 题型11 根据判别式判断一元二次方程根的情况（重点） 题型24一元二次方程的实际应用---行程问题（常考点） 题型12 根的判别式确定字母的取值或范围（重点） 题型25 一元二次方程的实际应用---循环问题（常考点） 题型13 利用根与系数的关系降次求值（难点） 题型26一元二次方程的实际应用---动点运动问题（难点） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 一元二次方程的相关概念 （共3小题） 1．（26-27九年级上·河南郑州·阶段检测）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 题型二一元二次方程的一般式（共3小题） 4．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）将一元二次方程化成一般形式，则一次项系数和常数项的和是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）把一元二次方程化为一般形式，结果是___________． 6．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）把一元二次方程化成一般形式是__________． 题型三 一元二次方程的解的估算（共3小题） 7．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）根据表格中的数据，判断关于的方程的根是（     ） … … … … A．， B．， C．， D．， 8．（25-26九年级上·山东青岛·期末）下表是随着的不同取值，代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） ．．． -1 4 5 6 ．．． ．．． 8 0 0 8 ．．． A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·福建福州·期末）已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 题型四 由一元二次方程的解求代数式的值（共3小题） 10．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知为一元二次方程的根，那么的值为（     ） A． B． C．0 D．2048 11．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 12．（25-26九年级下·山东淄博·期末）已知是方程的一个根，试求的值． 题型五 直接开平方法 （共3小题） 13．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）若关于x的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 14．（26-27九年级上·云南曲靖·阶段检测）用直接开平方法解方程，下列结果正确的是（     ） A． B． C．或 D．或 15．（2026九年级上·河北·专题练习）用直接开平方法解下列方程 (1) (2) (3) (4) 题型六 配方法（共3小题） 16． （26-27九年级上·山西朔州·阶段检测）亮亮用配方法求解一元二次方程，其步骤 如下： 解：原方程变形为．    ① ，即．    ② ．        ③ ，．        ④ 在进行最终验算时，发现所得结果有误，上面计算步骤出现错误的步骤是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 17．（26-27九年级上·全国·课后作业）设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 18．（2026九年级上·全国·专题练习）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型七 公式法 （共3小题） 19．（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（     ） A． B． C． D． 20．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解一元二次方程时，下列代入求根公式正确的是（     ） A． B． C． D． 21．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： (1)； (2)． 题型八 因式分解法（共3小题） 22．（26-27九年级上·湖北黄冈·阶段检测）一元二次方程的解是（     ） A． B． C． D． 23．（2026九年级上·全国·专题练习）已知三角形两边的长分别是4和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是（     ） A．15 B．19 C．15或19 D．18或20 24．用因式分解法解下列方程 (1)； (2)． 题型九 用适当的方法解方程（共3小题） 25．（26-27九年级上·河南郑州·阶段检测）解一元二次方程： (1)（运用适当的方法）； (2)（公式法）； (3)（分解因式法）； 26．（26-27九年级上·全国·课后作业）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 27．（26-27九年级上·全国·课后作业）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十 换元法解一元二次方程（共3小题） 28．（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）若，则的值 是（     ） A．或 B． C．或 D． 29．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为．① 解：由方程①，得，． 当时，即，此方程无解； 当时，即，， 原方程的解为， 【解决问题】 (1)在由原方程到方程①的过程中，是利用换元法达到_________．（选填“降次”或“消元”）的目的，体现了数学的转化思想； (2)请仿照材料的方法，解下列方程：． 30．（26-27九年级上·安徽阜阳·阶段检测）【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①． 解方程①可得． 当时，，即，； 当时，，即，． 原方程的解为． 【解决问题】 (1)方程的解为___________； (2)已知，则的值为___________； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 题型十一 根据判别式判断一元二次方程根的情况（共3小题） 31．（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 32．（安徽铜陵市部分学校2026-2027学年上学期10月学情自测九年级数学试卷）下列方程中有实数根的是（    ） A． B． C． D． 33．（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 题型十二 根的判别式确定字母的取值或范围（共3小题） 34．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）关于的一元二次方程有实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C．且 D．且 35．（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是另一个根的2倍，求的值. 36．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程． (1)当时，求方程的根； (2)试判断方程的根的情况； (3)若该方程有一个根大于2，求k的取值范围． 题型十三 利用根与系数的关系降次求值（共3小题） 37．（26-27九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）一元二次方程 的两个实数根为，，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 38．（26-27九年级上·安徽淮南·阶段检测）如果，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，那么代数式的值为（     ） A．2026 B．2027 C．2035 D．2037 39．已知，是方程的两根，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 题型十四 利用根与系数的关系求参（共3小题） 40．（26-27九年级上·全国·单元复习）若关于x的一元二次方程的两根互为相反数，则m的值为（     ） A．1 B． C． D． 41．（26-27九年级上·山东日照·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 42．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的3倍，则_________． 题型十五 根的判别式与根与系数关系的综合（共3小题） 43．（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）已知关于x的一元二次方程 (1)若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若该方程的两个根分别为，，当时，求的值． 44．（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）关于的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； (2)若方程有两个实数根且满足，求的值． 45．（26-27九年级上·天津红桥·阶段检测）已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若是该一元二次方程的一个根，求的值； (2)判断该一元二次方程的实数根的情况，并说明理由； (3)若的两边，的长是该一元二次方程的两个实数根，当为何值时，是菱形？求此时菱形的边长． 题型十六 一元二次方程中的新定义问题（共3小题） 46．（26-27九年级上·甘肃白银·阶段检测）新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为_____． 47．（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）定义：如果关于x的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由： (2)已知是关于x的“黄金方程”，若是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； (3)已知是关于x的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求m的值． 48．（26-27九年级上·云南文山·阶段检测）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若m是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 题型十七 利用一元二次方程求最值（共3小题） 49．（24-25九年级上·福建莆田·阶段检测）已知x，y为实数，且满足，设，记的最大值为，最小值为，则（） A． B．8 C． D．10 50．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，10是“和谐数”，理由：因为，所以10是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断40是否为“和谐数”，并说明理由． 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值___________． 【拓展应用】 (3)已知实数满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 51．（26-27九年级上·河南鹤壁·阶段检测）配方法是数学中重要的一种方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 【解决问题】 我们定义：一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“美丽数”． 例如，是“美丽数”．∵，∴是“美丽数”． (1)已知是“美丽数”，请将它写成的形式； (2)已知，求的值； (3)【拓展提高】如图，用长的铝材做一个“日”字形窗框（铝材的宽度不计）．设窗框的宽为，窗框的透光面积为．试问：当为多少时，最大？最大是多少？ 题型十八 由实际问题列一元二次方程（共3小题） 52．（26-27九年级上·山西吕梁·阶段检测）化学课代表跟李老师学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课他手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49名同学恰好都学会了做这个实验．设一个人每节课手把手教会x名同学，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 53．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）某厂八月份生产某机器120台，计划九、十月份共生产280台．设九、十月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（     ） A． B． C． D． 54．（26-27九年级上·云南曲靖·阶段检测）某校九年级同学在“数学与生活”实践活动中了解到：某商店销售一种文创产品，每件进价为元，售价为元时，每月可售出件．为了促销，商店决定降价销售．经调查发现，每降价1元，每月可多售出件．若要使每月利润达到元，设每件降价x元，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 题型十九 一元二次方程的实际应用---传播问题（共3小题） 55．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）某种流感病毒传播很快，开始有 2 人感染，经过两轮传染后共有 128 人感染（含最初的 2 人）． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人； (2)按照这样的传播速度，第三轮传染后共有多少人感染？ 56．（23-24九年级上·甘肃平凉·阶段检测）某班一物理科代表在老师的培训后学会了某个物理实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个实验：求1人每次能教会几名同学？ 57．（24-25九年级上·广东江门·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 题型二十 一元二次方程的实际应用---增长率问题（共3小题） 58．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）某地区2023年投入教育经费1000万元，2025年投入教育经费1210万元． (1)求2023年至2025年该地区投入教育经费的年平均增长率； (2)根据（1）所得的年平均增长率，预计2026年该地区将投入教育经费多少万元． 87．（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）某品牌汽车第一季度的销售量为万辆，第二季度的销售量下降了，经销商从第三季度起加强管理，改善经营，使销售量稳步上升，第三、四季度的销售量共达到了万辆． (1)求第二季度的销售量； (2)求第三、四季度的销售量的平均增长率． 60．（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）第33届世界大学生冬季运动会将于2027年1月15日至25日在长春市举办，本届大冬会的吉祥物“吉冰”和“吉雪”已于2026年3月21日正式对外发布，并深受大家的喜爱．某饰品店出售吉祥物毛绒挂件，据店长统计，6月份的销售量为350个，8月份的销售量为504个；求吉祥物毛绒挂件6月份到8月份销售量的月平均增长率． 题型二十一 一元二次方程的实际应用---面积问题（共3小题） 61．（26-27九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，在出现禽流感前，某农场主拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为． (1)设的长为，若建成的饲养室总占地面积为，求的长； (2)假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，问每天传染中平均一只鸡传染了几只鸡？ 62．（26-27九年级上·山东枣庄·阶段检测）草莓是姜屯镇张园村的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 随着草莓产量的提高，部分草莓商铺开始进行打折销售，根据A商铺的市场调查显示：若每斤草莓15元，每天可售出200斤；若每斤降低1元，则可多售出40斤． (1)依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率： (2)现有长60cm，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高： (3)某天，A商铺以9元每斤的价格购进一批草莓，当草莓每斤降价多少元时，A商铺的日利润能达到1320元？如果能，请计算出每斤草莓的定价；若不能，请说明理由． 63．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为90平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米． (1)这个车棚的长和宽分别应为多少米？ (2)如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为64平方米，那么小路的宽度是多少米？ 题型二十二一元二次方程的实际应用---数字问题（共3小题） 64．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图是2026年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为240，求最小数； (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为61吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 65．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个新两位数，且这两个新两位数分别与它们对应的原数不同，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如：，所以13和62是“幸福数对”． (1)请判断21与48是否是“幸福数对”，并说明理由； (2)有一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为x，另一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为．若这两个两位数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 66．（2025·福建龙岩·二模）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份． (1)把八进制数换算成十进制数是_________； (2)小聪设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 题型二十三 一元二次方程的实际应用---商品销售问题（共3小题） 67．火爆开赛的“苏超”联赛，使扬州赛区吉祥物“包赢”文创周边深受球迷喜爱．这款融合扬州包子、足球与运河元素的萌趣摆件，每件进价30元．市场调研发现：售价定为40元时，每月可卖出100件；售价每上涨2元，每月就少卖出10件． (1)若店家某月想要总利润达到1120元，每件摆件应定价多少元？ (2)店家计划单月获利1300元，该计划能否实现？请通过计算说明理由． 68．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 69．某商店用元购买一批新款书包进行销售． (1)当该款书包每个的进价降低元后，商店又用元购买了相同数量的书包，该书包原来每个的进价是多少元？ (2)根据（1）中的进价，把每个书包按元的定价销售，平均每天可售出个．调查发现，若每个书包每降价元，销量就增加个．若该商店希望每天的销售利润为元，但又能让顾客得到实惠，则每个书包的定价应为多少元？ 题型二十四 一元二次方程的实际应用---行程问题（共3小题） 70．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，某海关缉私艇在点处发现其正北方向的处有一艘可疑船只，测得它正以的速度向正东方向航行，随即调整方向，以的速度准备将其拦截．问：需要多长时间缉私艇能在处拦截住可疑船只？ 71．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 72．甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． (1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ (2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ 题型二十五 一元二次方程的实际应用---循环问题（共3小题） 73．（26-27九年级上·云南文山·阶段检测）要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）．根据场地和时间等条件，一共举行了28场比赛． (1)组织者应邀请多少支球队参赛？ (2)若干球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300．他算得对吗？为什么？ 74．列方程解决下列问题． 2023年7月6日～8日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创展示在“世界人工智能大会”张江分会场正式举行．假设参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程安排3天，每天安排145场比赛，求共有多少支队伍参赛？ 75．（24-25九年级上·广东江门·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 题型二十六 一元二次方程的实际应用---动点运动问题（共3小题） 76．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．若，两点同时出发，当点运动到点时，，两点同时停止运动．求： (1)几秒后，的长度等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． 77．（26-27九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒，． (1)当为何值时，点在的垂直平分线上？ (2)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 78．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）在中，，，． (1)如图，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动．如果点，分别从点，同时出发，经过几秒，的面积等于？ (2)在（1）的条件下，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由． (3)若点沿射线方向从点出发，以的速度运动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，点同时出发，问：经过几秒，的面积为？ $