培优专题05 导数中的双变量问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

2027 届高三数学一轮复习培优专题 05　导数中的双变量问题 （详细解析版） 满分 100 分　·　建议用时 90 分钟　·　适用：2026—2027 学年高三一轮复习（中档题及以上） 本专题聚焦导数中的双变量问题，围绕“导函数对称性读出极值点之和—二阶导定对称中心—对称差构造函数判偏移方向—极值点比值换元化单变量—和值或积定值消元”五条主线命制，共 16 题，数据简单、运算量适中，突出减元划归与对称构造思想。建议先限时完成学生版，再逐题对照解析复盘。 方法导航 导函数对称法　二次导函数的图象是抛物线，其对称轴由一次项系数唯一确定；两根之和等于对称轴横坐标的二倍，据此可由对称性直接读出极值点之和，无需解无理方程。 中心对称法　三次函数的图象必为中心对称图形，对称中心就是拐点；中心横坐标由二阶导的零点确定，且关于中心对称的两点满足自变量之和为定值、函数值之和为定值。 对称差函数法　判断极值点偏移方向，就看对称差 的符号： 说明极值点右侧图象更高，等值两点被推向左侧；反之被推向右侧。 极值点比值换元法　把两根之比记为参数，联立等值条件解出两根与参数的关系式，将双变量目标化为单变量函数，再用导数求其值域或证明不等式。 定值消元法　题目给出和值或积为定值时，直接用该关系消去一个变量，把双变量式化为单变量式；含参恒成立问题先分离参数，再对单变量函数求最值，注意等号成立的检验。 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知函数 ，， 是 的两个极值点，则 A． B． C． D． 【答案】B　（难度：中档） 【解析】先求导：。， 是 的极值点，故它们是 的两个实根，即 的两根。 由韦达定理 。 回验：，根为 与 ，在两根两侧 均变号，确认两者都是极值点，故 。故选 B。 【方法点睛】这是本专题的起点：导函数 的图象是抛物线，抛物线关于直线 对称，于是 ，恰为对称轴横坐标的二倍。即两个极值点之和不用解无理方程就能读出，本结论将在第 12 题反向使用。 2．已知函数 满足 ，且 ，，则 A． B． C． D． 【答案】B　（难度：中档） 【解析】，令 得 ，且 ，故图象的对称中心为 。 由中心对称，对任意实数 恒有 。 由 可设 ，（）；再由 得 ，与 联立即得 。 对照干扰值：、，而 ， 并不取 与 （），故选 B。 【易错警示】条件 “ 且 ” 中，和值为 只说明两点关于 对称，等值还要与中心对称恒等式一起使用。切勿把 误读为 ： 是 的值，而 与 这组自变量并不满足等值条件。 3．已知函数 ，若 ， 且 ，则 的最小值为 A． B． C． D． 【答案】C　（难度：中档） 【解析】由 与 ， 得 ，这是一个单变量问题。 于是 。注意到 时 ，故 等号成立当且仅当 ，即 ，，此时 ，两变量都在定义域内。故最小值为 。故选 C。 【方法点睛】题目直接给出乘积为定值，用 消元，把双变量式化为单变量式，再凑基本不等式。检验等号时务必确认两变量都落在定义域内：本题 ，最小值 可以达到。 4．已知函数 ，若 （），则下列结论正确的是 A． B． C． D． 【答案】A　（难度：中档偏难） 【解析】，故 在 上单调递增、在 上单调递减，最大值 。由 且 知 。 记 ，则 ，问题化为比较 与 。 比较 与 （）：两者之差等于 。记 ，则 ，，故 时 ，即 。 取 得 。因 、，而 在 上单调递减，故 ，即 ，所以 。故选 A。 【方法点睛】极值点偏移的标准套路：先用单调性把两个自变量安置在极值点两侧，再构造对称差 并判断其符号。本题 且 ，说明极值点右侧的图象更高，等值点 被推到了对称位置的右边，于是和值大于 。判断 的符号时，先把 因子提出来，剩下的 求导即知符号。 5．已知函数 ，若方程 （）有三个不同的实根 ，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A　（难度：中档偏难） 【解析】，故 在 上递增、在 上递减、在 上递增，且 ，。当 时水平直线 与曲线有三个交点，三根必分居三段单调区间：。 由三次方程 的韦达定理，三根之和为 （等于负的二次项系数与三次项系数之比），故 。 落在 的第三段递增支上，故它随 增大而增大： 趋于 时 趋于 （因为 ）； 趋于 时 趋于 （因为 ）。故 ，从而 。 两端均取不到（ 时 ， 时 ，都不是三个不同实根），故 的取值范围是 。故选 A。 【方法点睛】“三根之和为定值”是三次函数双变量问题的利器：方程 的三根之和恒等于负的二次项系数与三次项系数之比，与 的取值无关。于是求 的范围就转化为求第三根 的范围，而 的范围由它所在单调支的端点值确定——端点处恰好出现重根，正是区间开闭的来源。 6．已知函数 在 上的两个零点为 ，，则 与 的大小关系是 A． B． C． D．与 的取值有关 【答案】A　（难度：中档偏难） 【解析】令 得 。记 （），则 ，故 在 上递减、在 上递增，最小值 ，且 。 要有两个零点，须 。此时两根分居 两侧；又 在 上仍为负、在 处才取零，而 ，故两根都小于 。 比较 与 ：当 时，，即 。 取 得 。又 ，故 ；而 且 ， 在 上严格递增，故 ，即 。故选 A。 【方法点睛】含对数与分式的双零点问题，通法是先把它化为“两式相等”的形式 ，再用 的单调性把两根夹在极值点两侧。判断两根之积与 的关系时，构造 ：本题该差恰为 ，符号完全由 决定，一步到位。 7．已知函数 满足 ，且 ，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 【答案】A　（难度：中档偏难） 【解析】，故 在 上递减、在 上递增，最小值 。当 且 时必有 ，且 。 记 ，则 。比较 与 （）：两者之差为 ，其导数为 （仅 取等），故该差函数在 上严格递增， 时 。 取 得 。若 ，由 在 上单调递增得 ，矛盾。故 ，即 。 再看 D：由 知 ，故 D 错误。故选 A。 【方法点睛】处理 与和值方向的判断，通法是构造对称差 并判其单调性： 严格递增说明离原点越远函数值越大，据此可以否决 。这类构造把双变量的比较转化为单变量单调性，是本专题的标志性手法。 8．已知函数 ，， 满足 （），则 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C　（难度：较难） 【解析】，，图象的对称中心横坐标为 ，且极值点为 与 。 记 ，（因 ，），则 ，。展开等值条件 得 。 由 得 。因 ，故 ，于是 。 两端都取不到： 趋于 或 时 趋于 ，两点趋于重合，与 矛盾。故取值范围是 。故选 C。 【方法点睛】求等值双变量之和的范围，标准做法是把两根改写为关于中点 对称的 与 ，代入等值条件后因式分解，再由 的范围（本题 ）反解 的范围。特别注意 的临界情形不可取，正是它决定了区间的开闭；若把条件换成 ，端点便会归入范围。 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。） 9．已知函数 ，则下列结论正确的是 A． 的图象关于点 对称 B． 在 上单调递增 C．若 ，则 D．对任意实数 ，恒有 【答案】ABD　（难度：中档） 【解析】，。令 得 ，，且 两侧凸性相反，故 是图象的对称中心，A 正确。 当 时 且 ，故 ， 在 上单调递增，B 正确。（注意 在 上是递减的，不能写成 。） 对 C：取 ，，则 ，，满足 ，但 ，故 C 错误。 对 D：，，两式之和恒为 ，D 正确。故选 ABD。 选项 A．， 处凸性改变，，对称中心为 ，正确。 选项 B． 时 ， 递增；但在 上 ，故递增区间不能写成 ，本项表述正确。 选项 C．反例 ，：，但 ，错误。 选项 D．由 得 恒成立，正确。 【方法点睛】对称中心 上有两条代数结论：自变量关于 对称的两点函数值互为相反数，即 ；中心在图象上时 。由这两条可迅速判定 A、D。C 项的反例提醒我们：函数值相等并不意味着两点关于中心对称，也可能落在同一“水平线”的另一组位置上。 10．已知函数 ，则下列结论正确的是 A． 的单调递减区间为 B．若 （），则 C．若 ，则 D．对任意实数 ，， 的充要条件是 【答案】AC　（难度：中档偏难） 【解析】，当 时 ，故单调递减区间为 ，A 正确。 对 B：，，即 且 ，但 ，故 B 错误。 对 C：，故 对任意实数 恒成立，即图象关于点 中心对称。当 时 ，故 ，C 正确。 对 D：由 得 ，即 或 。取 ，，则 ，此时 而 ，说明 不是必要条件，D 错误。故选 AC。 选项 A．， 上 ，递减区间为 ，正确。 选项 B．反例 ，：，但 ，错误。 选项 C． 恒成立， 即 ，故和为 ，正确。 选项 D．反例 ，： 但 ，充分性成立而必要性不成立，错误。 【易错警示】三次函数 满足 ，只有 时才是常数。本题 恰好关于点 中心对称，于是“自变量互为相反数”只是“函数值和为 ”的充分条件而非充要条件：等值条件还包含 这一支。 11．已知函数 ，则下列结论正确的是 A． 在 上单调递增，在 上单调递减 B． 的最大值为 C．若 （），则 D．若 （），则 【答案】ABC　（难度：较难） 【解析】，当 时 ，当 时 ，故 在 上递增、在 上递减，最大值为 。A、B 都正确。 设 （），则 且 。 对 C：作代换 （即 ），则 ，条件化为 ，且 。设 ，由 得 ，，于是 。 记 （）：，，，，故 ，，即 。于是 ，C 正确。 对 D：由 与基本不等式得 ，故“小于 ”不成立，D 错误。故选 ABC。 选项 A．， 时为正、 时为负，单调性判断正确。 选项 B．最大值 ，正确。 选项 C．令 化为 ，由比值换元与 得 ，故 ，正确。 选项 D．由 得 ，故 错误。 【方法点睛】曲线 与曲线 通过换元 相互转化，最大值都是 ： 的两根之积大于 ，等价于 的两根之和大于 （即第 4 题的结论）。这类“指对同源”的双变量结论，在一轮复习中值得放在一起记忆。 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。） 12．已知函数 的两个极值点为 ，，且 ，则实数 ________。 【答案】　（难度：中档） 【解析】。， 是 的极值点，故它们是 的两个实根。 导函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为 ，两根之和等于对称轴横坐标的二倍，故 。 由 得 ，解得 。 回验： 时 ，判别式 ，两根 相异，且在各自两侧 变号，确实是两个极值点。故填 。 【易错警示】含参极值点问题必须回代检验：由韦达定理求得的 若使判别式不大于零，则两根重合、导数不变号，函数并不存在两个相异极值点。本题解得 ，判别式为正，条件自洽。作为对照：若把和值改成 ，对应的 使 ，函数严格单调递增，此时无解——审题时要区分“两个极值点”与“重根”。 13．已知函数 ，若 ， 满足 ，则 的最小值为________。 【答案】　（难度：中档偏难） 【解析】由 得 ，即 ，且 ，。 设 ，则 ，于是 由基本不等式 （两项之积恒为 ），等号成立当且仅当 ，即 ，，此时 。 检验： 时 ，满足条件，且 。故填 。 【方法点睛】和值条件 提供的是乘积定值 。目标式 中分母含变量，用积定值消元后化为 ，凑成两项之积为常数后基本不等式立即起效。检验等号时两变量相等且满足原条件，最值可取；答案写成 或 均可。 14．已知函数 ，若 （），则 的取值范围是________。 【答案】　（难度：较难） 【解析】函数定义域为 。，故 在 上单调递减、在 上单调递增，最小值 。当 时方程 有两个不同实根，且 。 比较 与 ：记 （），则 ，求导得 ，故 在 上单调递减；又 ，故 时 ，即 。 取 得 。由 得 ；而 且 ， 在 上单调递增，故 ，即 。 再看两端趋势：当 无限增大时， 趋于 、 趋于 ， 无限增大；当 趋于 （且大于 ）时，、 都趋于 ， 趋于 （取不到）。故 的取值范围是 。故填 。 【方法点睛】双变量问题的标准两步：先由单调性把两个自变量安置在极值点两侧（本题 ），再构造 比较函数值，把“函数值的大小”翻译成“自变量的大小”。本题极值点在 ，故比较式为 与 ；若极值点在 ，则应构造 与 。 四、解答题（本大题共 2 小题，共 27 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知函数 （）有两个极值点 ，（）。(1) 求 的取值范围；(2) 证明：。 【答案】(1) ；(2) ，证明见解析　（难度：较难） 【解析】(1) 函数定义域为 ，。因 ， 的零点与 的零点一致。 有两个极值点，即 有两个正的相异实根。 由韦达定理， 的两根之积为 、之和为 ，故两根同号且为正；再由判别式 得 （）。故 的取值范围是 。 (2) 由 (1) 与韦达定理得 ，，于是 其中 ，，故 由 得 ，故 ，结论得证。 【方法点睛】本题展示了极值点问题的通用骨架：先把“有两个极值点”翻译成“导函数的分子是二次式且有两个正的相异实根”，由判别式与两根之积、之和的符号定出参数范围；再把目标式用韦达定理整体代入，化为参数的单变量表达式。注意 中并不出现 、 的个别信息，只有和与积，这正是韦达代换能一步到位的原因。 16．已知函数 （）有两个零点 ，（）。(1) 求 的取值范围；(2) 证明：。 【答案】(1) ；(2) ，证明见解析　（难度：较难） 【解析】(1) 等价于 （），故零点个数等于直线 与曲线 的交点个数。 ，令 得 。当 时 ， 递增且由 升到 ；当 时 ， 递减且趋近于 。故 的最大值为 由图象可知，当且仅当 时直线 与曲线 有两个不同交点，即 有两个零点。故 的取值范围为 。 (2) 由 得 ，，且 。设 ，两式相减得 ；又 ，代入消去 得 ，即 ，于是 从而 。要证 ，只需证 ，即 。 记 （）。，，，，故 在 上递增，从而 ；进而 递增，，即 恒成立。 所以 ，即 ，结论得证。 检验：取 ，由 数值解得 ，，，与结论一致。 【方法点睛】第 (1) 问用分离参数法把零点个数化为水平线 与曲线 的交点个数，最大值在 处取 ，得 。第 (2) 问的核心是比值换元：设 ，由两对数式相减解出 ，从而 、，于是 。比较 与 就转化为比较 与 ，构造函数 用两次求导判定其符号即可。【易错警示】本题有两个易错点：一是误把 与 当作两个独立条件重复使用；二是由 就断定 ，把结论弱化了。要证的是 ，须在取对数后比较，不能只比较底数。 专题结语 导数中的双变量问题，核心是减元：或由导函数的对称性读出两变量之和，或由对称差函数的符号定出偏移方向，或用比值换元把两根之比设为参数化为单变量。抓住这一主线，函数值相等、和值定值、中点与中心的大小比较、含参范围与不等式证明都可统一处理。复盘时优先重温第 4、8、11、15、16 题，体会对称构造与比值换元的完整流程。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027 届高三数学一轮复习培优专题 05　导数中的双变量问题 （学生版） 满分 100 分　·　建议用时 90 分钟　·　适用：2026—2027 学年高三一轮复习（中档题及以上） 本卷共 16 题（8 单选、3 多选、3 填空、2 解答），围绕导数中的双变量问题命制，均为中档题及以上，建议 90 分钟限时独立完成。完成后对照《详细解析版》逐题复盘，重点体会导函数对称法、对称差函数法与极值点比值换元法的转化路径。 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知函数 ，， 是 的两个极值点，则 A． B． C． D． 2．已知函数 满足 ，且 ，，则 A． B． C． D． 3．已知函数 ，若 ， 且 ，则 的最小值为 A． B． C． D． 4．已知函数 ，若 （），则下列结论正确的是 A． B． C． D． 5．已知函数 ，若方程 （）有三个不同的实根 ，则 的取值范围是 A． B． C． D． 6．已知函数 在 上的两个零点为 ，，则 与 的大小关系是 A． B． C． D．与 的取值有关 7．已知函数 满足 ，且 ，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 8．已知函数 ，， 满足 （），则 的取值范围是 A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。） 9．已知函数 ，则下列结论正确的是 A． 的图象关于点 对称 B． 在 上单调递增 C．若 ，则 D．对任意实数 ，恒有 10．已知函数 ，则下列结论正确的是 A． 的单调递减区间为 B．若 （），则 C．若 ，则 D．对任意实数 ，， 的充要条件是 11．已知函数 ，则下列结论正确的是 A． 在 上单调递增，在 上单调递减 B． 的最大值为 C．若 （），则 D．若 （），则 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。） 12．已知函数 的两个极值点为 ，，且 ，则实数 ________。 13．已知函数 ，若 ， 满足 ，则 的最小值为________。 14．已知函数 ，若 （），则 的取值范围是________。 四、解答题（本大题共 2 小题，共 27 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知函数 （）有两个极值点 ，（）。(1) 求 的取值范围；(2) 证明：。 16．已知函数 （）有两个零点 ，（）。(1) 求 的取值范围；(2) 证明：。 1 学科网（北京）股份有限公司 $