26.1 二次函数的概念 知识清单2026-2027 学年人教版九年级数学上册

26.1 二次函数的概念 知识清单 人教版（2024）九年级数学上册　第二十六章　二次函数　26.1 二次函数的概念 知识地图 ① 本节定位　26.1 是《二次函数》章的第 1 节，教材约 P28—P31，一课时。这一节只做一件事：认识「二次函数」这种新函数。 ② 一般形式　形如 （ 是常数， ≠ 0）。 ③ 引入三问题　围矩形 ；球队 ；产量 。 ④ 识别判定　一化（化为一般式）· 二看（是否整式、最高次是否为 2）· 三判（ 是否 ≠ 0）。 ⑤ 列关系式　实际问题 → 找等量关系 → 列解析式，并标出自变量的取值范围。 ⑥ ★ 必记　 ≠ 0 是核心；写系数要连同前面的符号一起写；自变量默认是任意实数，实际问题要受实际意义限制。 一、学习目标与重难点 学习目标：① 通过实际问题，理解二次函数的意义，能说出二次函数的定义；② 会给一个函数「判身份」——先化一般式，再看是否满足「整式、最高次 2、二次项系数不为 0」；③ 能从实际问题列出二次函数关系式，并写出自变量的取值范围；④ 会求二次函数的值，能指出二次项系数、一次项系数和常数项。 重　　点：二次函数的定义；判定一个函数是二次函数；从实际问题列二次函数关系式。 难　　点：★★ 判定时容易忽略「 ≠ 0」这一条件；列实际问题关系式时，容易漏掉自变量的取值范围；含字母系数的函数要会分类讨论。 二、从三个实际问题看「二次函数」 1. 教材引入的三个问题 二次函数和我们学过的正比例函数、一次函数一样，也是刻画现实世界中变量关系的数学模型。教材先用三个生活里的问题，让我们「看」到这种新函数的样子。 图 1　教材 26.1 用三个实际问题引入：围矩形、球队比赛、产量增长 2. 三个问题，一种结构 问题 1（围矩形）：用长 40 m 的细绳围矩形，设一边长为 x m，则邻边长为 (20 − x) m，面积。 问题 2（球队比赛）：n 支球队单循环，每两队赛一场，总场次数。 问题 3（产量增长）：产品现年产量 20 t，每年都比上一年增产 x 倍，两年后产量。 ★ 共同点：三个式子的右边都是关于自变量的「二次整式」——化简后自变量的最高次都是 2，都可以写成 的样子。 三、二次函数的定义与三要素 1. 定义 一般地，形如 （ 是常数，且 ≠ 0）的函数，叫做二次函数。其中 是自变量， 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。 图 2　二次函数的定义与三要素：二次项 a、一次项 bx、常数项 c，且 a ≠ 0 2. 三个系数怎么认 看一般形式 ： 项 写法和例子 名称 系数怎么写 二次项，如 二次项 系数 （带符号） 一次项，如 一次项 系数 常数项，如 常数项 就是 3. 三种特殊形式（缺项） 二次函数可以缺一次项或常数项，但 ≠ 0 不能缺（否则就不是二次了）： ① 当 时，（只含二次项，如 ）。 ② 当 时，（缺一次项，如 ）。 ③ 当 时，（缺常数项，如 ）。 4. ★★ a ≠ 0 为什么不能少 如果 ，一般形式就变成 ，这是一次函数（或常数函数），不再具备「二次」的特征。所以判定二次函数，最后一定要确认二次项系数不为 0——尤其是函数式里含有字母系数时，常常要先列方程（或不等式）求出字母的值，再检查 是否为 0。 四、如何判断一个函数是二次函数 1. 判定三步法 遇到「判断下列函数是不是二次函数」这类题，不要凭感觉，按下面三步来： 图 3　判定二次函数的三步：一化（化为一般形式）· 二看（整式、最高次 2）· 三判（a ≠ 0） 2. 例 1（教材）：判断并指出系数 下列函数中，哪些是二次函数？若是，指出二次项系数、一次项系数和常数项。 函数式 化简后 判定 a, b, c (①) 是 3，−6，4 (②) 不是 — (③) 是 −2，0，3 (④) 不是 — (⑤) 不是 — (⑥) 是 8π，0，0 要点：② 含 不是整式；④ 表面有平方，但展开后二次项 抵消了，最高次变成 1，所以不是二次函数。 五、从实际问题列二次函数关系式 1. 列关系式的三步 把实际问题「翻译」成二次函数，和前面列方程一样，也是找等量关系。步骤是： ① 审：弄清已知量和未知量，确定哪个是自变量、哪个是函数。 ② 找：抓住题目中的公式（面积、周长、体积、增长率……）写出相等关系。 ③ 列：用自变量表示出函数，化为一般形式，并标出自变量的取值范围。 2. 例 2（教材 P31）：圆柱的表面积 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式。 分析：圆柱表面积 = 2 个底面积 + 侧面积。底面积是 ，侧面积是底面周长乘高 = 。 解：。即 （S 是 r 的二次函数，）。 练一练：高等于底面半径，所以侧面积 里的第二个 就是高；若高不等于底面半径，应写为 。 3. 例 3（教材）：用铁丝围矩形 用一根长为 40 cm 的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为 x cm，面积为 y 平方厘米，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出 x 的取值范围。 解：矩形周长为 40 cm，一边长为 x cm，则另一边长为 cm。 由面积公式，得 ，即 。 由边长必须为正数，得 且 ，所以自变量取值范围是 。例如 时，（平方厘米）。 ★ 对比 25.3：同样一根 40 m 的绳子，在 25.3 是用来「列方程求面积等于某个定值的边长」；在这里是「写出面积随边长变化的函数关系」。一个是方程思维，一个是函数思维——这正是本章和上一章的联系与区别。 4. 例 4（教材 P31）：产品年销售量下降 一种产品某年的销售量为 8 万件，由于其他新产品出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是 x。写出两年后产品的年销售量 y（单位：万件）关于 x 的函数解析式。 解：一年后销售量为 万件；两年后为 万件，即 。 ★ 想一想：这里 表示「保留的比例」，所以 的实际范围是 （下降率不能是负数，也不能达到 100%）。 六、求函数值与自变量取值范围 1. 例 5（教材）：代入求函数值 已知二次函数 ，当 时，求 的值。 解：把 代入解析式，得 。 ★ 提醒：求函数值就是把自变量的值代入解析式「算出来」，和一次函数、正比例函数的做法一样，只是这里的运算多了一个平方项。 2. 例 6：边长增加后的面积增量 一个正方形的边长为 5 cm。若边长增加 x cm，面积增加 y 平方厘米。(1) 写出 y 与 x 之间的函数解析式；(2) 当 x = 2 时，面积增加了多少？ 解：(1) 原面积 = 25，新边长为 ，新面积为 ，所以面积增加量 （）。 (2) 当 时，（平方厘米）。 七、易错清单与错解辨析 1. 七个高频失分点 ① 漏掉 ≠ 0：一看到 就说是二次函数，却没确认 是否真的不为 0。 ② 没先化简就判断：像 这类式子，表面有平方，必须先展开、合并同类项，再看最高次。 ③ 含字母系数时忘讨论：已知 是二次函数，只需 ，即 ；错写成「a 为任意实数」就错了。 ④ 写系数忘带符号： 的二次项系数是 ，不是 1；一次项系数是 ，常数项是 。 ⑤ 把分式、根号当整式：像 、 的右边都不是整式，因此不是二次函数。 ⑥ 列实际问题时漏写范围：矩形的边长、时间、下降率都要受实际意义限制（如 ），不写范围会扣分。 ⑦ 混淆函数与方程：二次函数是一个「关系式」（描述 y 随 x 怎么变），不是求某个特定的解；列方程才是求特定值。 2. 错解辨析 （一）把 当成二次函数 题目： 是二次函数吗？ 错解：式子里有 ，所以是二次函数。 错在哪里：只看「表面有平方」就下结论，没有先化简。 正解：，二次项抵消，最高次是 1，它是一次函数，不是二次函数。 （二）字母系数题漏掉 ≠ 0 的限制 题目： 是二次函数，求 的取值范围。 错解：二次项存在，所以 为任意实数。 正解：二次项系数 必须不为 0，即 ，所以 。 八、方法总结 1. 本节知识结构 图 4　26.1 知识结构：概念 → 识别 → 列关系式 → 求函数值，以及三种特殊形式 2. 一句话方法 判定走「三步」、列式走「三步」： 判定三步：① 化（化为一般形式） → ② 看（是否整式、最高次是否为 2） → ③ 判（ 是否 ≠ 0）。 列式三步：① 审（确定自变量与函数） → ② 找（用公式写出等量关系） → ③ 列（化为一般形式并标范围）。 九、课后巩固 （一）对接教材 P31 练习 题 题目 答案 1 写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项：　　　 (1) 8, −16, 8；(2) 1, 0, 0；(3) , 5, 0；(4) 展开为 , 故 2, −4, −3 2 矩形绿地长 30 m、宽 20 m，两边长各增加 x m，扩充后面积 y = ，即 。 （已是二次函数，a=1, b=50, c=600） 3 提出一个变量间关系可用二次函数表示的问题（答案不唯一）。 示例：正方形边长增加 x cm，面积增量 （见例 6）。 4 商品原价 2 元，每次降价率 x，两次降价后价格 y = 。 （，a=2, b=−4, c=2） 5 边长 10 cm 的正方形，中间挖去边长 x cm 的正方形，剩余面积 y = （）。 （只有二次项与常数项，a=−1, b=0, c=100） （二）自编巩固（含答案，★ 不超纲） (6) 圆心半径为 的圆，面积 。它是二次函数吗？系数各是多少？当 时面积多少？ 　　答：（），是二次函数； 时 。 (7) 已知二次函数 ，求 时的函数值。 　　答：。 (8) n 支球队单循环比赛，总场数 。当 时，共赛多少场？ 　　答：（场）。 十、技能自查 能否独立做到 自检 ① 背出二次函数的定义与一般形式，并说出 a、b、c 的名称 □ 能　□ 还不太熟 ② 见到一个函数式，能按「化、看、判」三步判断是不是二次函数 □ 能　□ 还不太熟 ③ 遇到含字母系数的函数，会先让二次项系数 ≠ 0 求参数范围 □ 能　□ 还不太熟 ④ 能从实际问题（面积、比赛、增长）列出二次函数并标范围 □ 能　□ 还不太熟 ⑤ 会给一个 x 的值求对应的 y □ 能　□ 还不太熟 ⑥ 分清三种特殊形式（只含二次项、缺一次项、缺常数项） □ 能　□ 还不太熟 十一、知识追问（想清楚再合上本子） ① 为什么二次函数要求 ≠ 0？若 ，它退化成了什么函数？ ② 、、 都是二次函数吗？它们的系数分别是什么？ ③ 列实际问题关系式时，为什么一定要写自变量的取值范围？不写会怎样？ ④ 表面有平方，为什么不是二次函数？ ⑤ 一次函数 和二次函数 在形式上最大的区别是什么？ 十二、本节在章中的位置与中考对接 图 5　26.1 是《二次函数》章的第 1 节（章首）：先认识「什么是二次函数」，26.2 再深入研究它的性质 1. 往两头看 ★ 往前看：二次函数和正比例函数、一次函数同属「函数家族」，区别只在于自变量的最高次——一次是 1 次，二次是 2 次。它也是前面「整式、代数式化简」的直接应用：判定时先要会去括号、合并同类项。 ★ 往后看：本节只做「认识」这一件事——弄清二次函数的表达式与判定方法。它的图形、性质以及实际应用，分别在 26.2、26.3 学习。所以这一节只研究「式」，不研究「图」，先把「定义、识别、列式」这三件事练扎实。 2. 中考对接 二次函数概念是中考的「送分题」，难度多在 ★ ~ ★★，常考三类：① 辨认二次函数；② 给字母系数求参数（ ≠ 0 是灵魂）；③ 从实际情境列二次函数并求函数值。只要按本节「三步判定、三步列式」走，基本不会失分。 3. 三个必背 ① 定义：（ 常数，）；a、b、c 分别是二次项、一次项、常数项系数。 ② 判定三步：化（一般形式）→ 看（整式、最高次 2）→ 判（）。 ③ 列式三步：审（定自变量与函数）→ 找（等量关系）→ 列（一般形式 + 范围）。 4. 一句话总结 二次函数，就是「右边是关于自变量的二次整式、且二次项系数不为 0」的那一类函数——它把「平方」第一次带进了函数的世界。 学科网（北京）股份有限公司 $