26.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质 学案 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦二次函数y=ax²的图象与性质，通过知识回顾画函数图象的步骤和一次函数图象，搭建新旧知识支架，引导学生从一次函数过渡到二次函数，从最简单的y=x²开始逐步探究。 资料通过多个探究活动让学生动手列表描点连线，观察归纳抛物线性质，培养几何直观和空间观念，通过对比不同a值函数的推理过程发展推理意识，学习检测题层次分明，帮助学生用数学语言表达和应用知识，提升学习效率。

26.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质 【知识回顾】 1.画一个函数图象的一般过程是 ① ；② ；③ . 2.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是 . 【新知学习】 1.探究二次函数的性质要先画出图象，从图象中观察得出性质。因此从最简单的二次函数开始研究： 当b=c=0时，二次函数y=ax2+bx+c就变成最简单的y=ax2. 2.探究一：画二次函数y=x2的图象，并观察图像找出它的性质。 ①列表：先取原点(0，0)，然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表. ②描点：根据表中x，y的数值在坐标平面中描点(x，y)； ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点，就得到y=x2的图象. 请你在图中，正确描点和连线. 注意：在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可.连线成图象时，要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序用平滑的曲线连接起来，并且是向两侧无限延伸的. 由图象可知二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做抛物线. 从图中我们可以看出这条抛物线是轴对称图形，对称轴是y轴，对称轴与图像的交点叫抛物线的顶点。 从上面画出的y=x2的图像，我们可以看出y=x2的性质有： (1)开口方向：___________ (2)对称轴：_____________ (3)顶点坐标：____________ (4)最值：顶点是图像的最____点，因此当x=_______时，y有最____值是______. (5)增减性：从图像中可以看出，图像在对称轴的两侧不同， 在对称轴的左侧，图像从左到右_______，即x______时，y随x的增大而________; 在对称轴的右侧，图像从左到右_______，即x______时，y随x的增大而________; 3.探究二：在图中，画出函数，，的图象. 解：列表： 归纳：抛物线，，的性质： ①图象都是 ； ②二次项系数a____0，开口都 ； ③对称轴都是______； ④顶点都是_______；顶点都是抛物线的最____点(填“高”或“低”).当x= 时，y最 值= . ⑤在对称轴( )的左侧，即x 0时，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 0时，y随x的增大而 . ⑥当a越大，抛物线的开口越____； 4.探究三：画出函数y=-x2的图象. 归纳：二次函数y=-x2的图象有哪些性质？ ①的图像是 ； ②图象开口_______； ③对称轴是 ； ④顶点坐标是 ；它是抛物线的最_____点(填“高”或“低”)，即当x= 时，y有最 值等于 . ⑤在对称轴的左侧，图象从左往右 ，在对称轴的右侧，图象从左往右 ；即<0时，y随x的增大而 ，>0时，y随x的增大而 . 5.探究四：请在图中画出函数，， 的图象. 解：列表： 归纳：抛物线，，的性质： ①图象都是 ； ②二次项系数a____0，开口都 ； ③对称轴都是________； ④顶点都是______；顶点都是抛物线的最____点(填“高”或“低”).当x= 时，y最 值= . ⑤在对称轴( )的左侧，即x 0时，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 0时，y随x的增大而 . ⑥当 越大，抛物线的开口越小. 6.归纳：抛物线y=ax2的性质 ①图象是 ； ②(开口方向)当__0，开口都 ；当__0，开口都 ； ③(对称轴)对称轴是_______(或者直线x=0)； ④(顶点坐标)顶点是________； (最值)当a>0时，顶点是抛物线的最_____点(填“高”或“低”).即当x= 时，y最 值= . 当a<0时，顶点是抛物线的最_____点(填“高”或“低”).即当x= 时，y最 值= . ⑤(增减性)当a>0时， 在对称轴( )的左侧，即x 0时，y随x的增大而 ；在对称轴( )的右侧，即x 0时，y随x的增大而 . 当a<0时， 在对称轴( )的左侧，即x 0时，y随x的增大而 ；在对称轴( )的右侧，即x 0时，y随x的增大而 . ⑥当 越大，抛物线的开口越小. 7.试一试： (1)函数y=4x2的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 . (2)函数y=-3x2的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ，顶点是抛物线的最 点. (3)函数y=3x2的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；顶点是抛物线的最 点. (4)函数y=-0.2x2的图象的开口 ，对称轴是_ __，顶点是 . 8.探究五：观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2(a>0)的关系是什么？ 归纳： ①二次项系数互为 ； ②开口方向 ； ③形状大小 ； ④它们关于 对称. 由此可知抛物线y=ax2关于轴对称的抛物线是 . 【学习检测】 1.二次函数y=5x2的图象是( ) A.直线 B.双曲线 C.抛物线 D.不确定 2.关于抛物线y=4x2，下列说法错误是( ) A.开口向上 B.对称轴是y轴 C.函数有最大值 D.在x>0时，函数y随x的增大而增大 3.抛物线y=x2，y=-3x2，y=x2开口最大的是( ) A.y=x2 B.y=-3x2 C.y=x2 D.无法确定 4.在同一坐标系中，作出①y=3x2，②y=x2，③y=x2的图象，则从里到外的二次函数的图象对应的函数依次是( ) A.①②③ B.①③② C.②③① D.②①③ 5.函数y=的图象顶点是______，对称轴是_____，开口向___，当x=___时，有最___值是____.在对称轴左侧，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，y随x的增大而 . 6.函数y=-6x2的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 . 7.不画图象， 按照下列内容，逐题回答 开口 对称轴 顶点 最值 增减性 y=3x2 y=-3x2 y= y=- y=-x2 y=(1-)x2 8.若抛物线y=ax2(a≠0)，过点(-2，-8). (1)则a的值是 ； (2)对称轴是 ，开口 . (3)顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 点. 抛物线在x轴的 方(除顶点外). (4)判断点B(-1，-4)是否在此抛物线上. (5)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标. 参考答案 【知识回顾】 1.列表 描点 连线 2.一条直线 【新知学习】 2.9 4 1 0 1 4 9 (1)向上; (2)y轴 (3)(0,0)；(4)低；0；小；0； (5)下降；x<0；减小；上升；x>0；增大. 3.①抛物线 ② ③y轴 ④(0,0)；低；0；小；0 ⑤ ⑥小 4.-9 -4 -1 0 -1 -4 -9 (1)向下; (2)y轴 (3)(0,0)；(4)高；0；大；0； (5)上升；x<0；增大；下降；x>0；减小. 5.①抛物线 ②；向下 ③y轴④(0,0)；高；0；大；0 ⑤y轴；；增大； ⑥a的绝对值 6.①抛物线 ② ③y轴 ④原点；低；0；小；0；高；0；大；0； ⑤y轴； ⑥a的绝对值 7.(1)向上，y轴，(0，0) (2)向下，y轴，(0，0)，高 (3)向上，y轴，(0，0)，低 (4)向下，y轴，(0，0) 8.①相反数②相反③相同④x轴；y=-a 【学习检测】 1-4.CCAB 5.(0，0)，y轴，上，0，小，0，减小，增大. 6.向下，y轴，(0，0)，增大，减小. 7.(1)上；y轴；(0，0)；=0，小，0；x>0增大,x<0减小. (2)下；y轴；(0，0)；=0，大，0；x>0减小,x<0增大. (3)上；y轴；(0，0)；=0，小，0；x>0增大,x<0减小. (4)下；y轴；(0，0)；=0，大，0；x>0减小,x<0增大. (5)下；y轴；(0，0)；=0，大，0；x>0减小,x<0增大. (6)下；y轴；(0，0)；=0，大，0；x>0减小,x<0增大. 8.解:(1)∵抛物线y=ax2经过点A(-2，-8)， ∴a⋅(-2)2=-8， ∴a=-2. ∴此抛物线的函数解析式为y=-2x2. (2)y轴，向下 (3)(0，0)，高；下 (4)不在 (5)把x=-1代入y=-2x2.得y=-2×1=-2， 所以点B(-1，-4)不在此抛物线上； (6)把y=-6代入y=-2x2得-6=-2x2，解得x=±， 所以纵坐标为-6的点的坐标为 (，-6)或(，-6). 学科网（北京）股份有限公司 $