第3章 位置与坐标 点坐标规律探究问题、坐标系中的动点问题专项训练-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

点坐标规律探究问题、坐标系中的动点问题专项训练 点坐标规律探究问题、坐标系中的动点问题专项训练 考点目录 点坐标规律探究问题 坐标系中的动点问题 考点一 点坐标规律探究问题 例1．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）在平面直角坐标系中，若干个等腰直角三角形按如图所示的规律摆放．已知，，，，，⋯，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察已知点坐标，发现横坐标等于下标，纵坐标呈现周期性变化规律，根据周期性求解即可． 【详解】解：由，，，，及图形可知， 点的横坐标为， 纵坐标依次为， ∴纵坐标每6个数为一个循环周期， ∵， ∴的纵坐标与的纵坐标相同，即为0， ∴的坐标为． 例2．（26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点M从原点O出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点…按这样的运动规律，经过2026次运动后，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察点的坐标变化规律，发现每5次运动为一个循环，每个循环横坐标增加4，纵坐标依次为，即可确定点的位置． 【详解】解：，，，，， … ∴每5次运动为一个循环，每个循环横坐标增加4，纵坐标依次为， ， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标是． 例3．（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）如图，台球从点出发，沿图示方向运动，每当台球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（），当台球第1次碰到长方形的边时，记为点，第2次碰到长方形的边时，记为点，…，第次碰到长方形的边时，记为点，假设台球一直运动下去，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每次反弹为一个循环组依次循环，用除以，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，    根据图形可以得到：每次反弹为一个循环组依次循环，经过次反弹后动点回到出发点， ， ∴点的坐标与点坐标相同，即为． 变式1．（25-26八年级下·广东揭阳·期中）如图所示，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④，……，若连续作旋转变换，则第2025次旋转后的三角形的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察不难发现，每三次旋转为一个循环组依次循环，并且每组的最后一个三角形的直角顶点是落在轴上的，求出一个循环组旋转过的距离，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 由原图到图，相当于向右平移了个单位长度，三角形的直角顶点的坐标为， ∵每三次旋转为一个循环组依次循环， 又∵， ∴在第2025次旋转后正好是第组的最后一个三角形，即如图③的三角形的位置， ∵， ∴直角顶点的坐标为． 变式2．（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，…，的坐标依次为，，，，，，…按此规律排列．设点(为正整数），则 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标变化规律，重难点在于通过观察前几个点的坐标，发现每个点为一个循环周期，并计算出每个周期内坐标和的增量，从而利用周期性规律求解问题． 【详解】解：由题意得，点，，，的坐标和为：， ，与，纵坐标相同，横坐标分别加，，与，纵坐标相同，横坐标分别加， ，，，的坐标和为：， 同理可得，，，的坐标和为：，… 变式3．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，一机器人从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从原点到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到…则第15次运动到的点的坐标是_________． 【答案】 【分析】通过观察可知右下标是（除外）：数字4的倍数的点在第三象限，4的倍数余1的点在第四象限，4的倍数余2的点在第一象限，4的倍数余3的点在第二象限，由此判断即可． 【详解】解：∵， ∴点在第二象限， 由变化规律可得：、、、等等在第二象限， 且坐标分别为、、、， ∴点的坐标是． 考点二 坐标系中的动点问题 例1．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）在平面直角坐标系中．三个顶点的位置如图所示． (1)直接写出点、、的坐标． (2)求的面积． (3)在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点的坐标：若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)， 【分析】（1）根据图像直接写出坐标即可； （2）先过点、分别作轴于点，轴于点，再根据即可求解； （3）先根据点在轴上，设，过点分别作轴于点，再求出，结合三角形面积公式以及列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图形可知：，，． （2）解：如图，过点、分别作轴于点，轴于点， ∴， ∵，，， ∴． （3）解：由点在轴上，设， ∵， ∴， 如图，过点分别作轴于点， ∵点、点在轴上，且轴 ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴点的坐标为，． 例2．（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）如图，在平面直角坐标系中点，的坐标分别为，，且，满足：，点的坐标为． (1)求，的值． (2)求三角形的面积． (3)若，两点位置不变，点在轴的什么位置时，三角形的面积是原三角形面积的倍． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用绝对值和算术平方根的非负性，求出、； （2）先算出轴上的长，以为底，点纵坐标为高，用三角形面积公式求面积； （3）设，结合面积倍数列含绝对值的方程，求出点坐标． 【详解】（1）解：， ，， ，． （2）解：据（1）可知点，的坐标分别为，， 则，， 故． （3）解：设， 当三角形的面积是原三角形面积的倍， 可得， 解得，即或， 故点坐标为或． 例3．（26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，动点从坐标原点出发以每秒1个单位长度的速度沿轴向右运动，连接，设点运动的时间为秒，的面积为． (1)①当时，______________； ②当时，______________． (2)①当点在点左侧时，______________；（用含的式子表示） ②当点在点右侧时，______________．（用含的式子表示） (3)当时，求出此时的值． (4)如图点的坐标为，连接，当四边形的面积等于面积的倍时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)①； ② (2)①； ② (3)的值为或 (4)的值为或 【分析】（1）①根据题意可得，，，即可求得，结合三角形面积公式求解即可． ②根据题意可得，，，即可求得，结合三角形面积公式求解即可． （2）①由题意可得，，当点在点左侧时，即可求得． ②由题意可得，，当点在点右侧时，即可求得． （3）根据题意可得，代入数据到中，求解即可． （4）根据题意可得，，分别代入数据到，，中，求得，四边形的面积为，结合四边形的面积等于面积的倍，列式求解即可． 【详解】（1）解：①当时，， ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴，， ∴， ∴． ②当时， ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴， ∴， ∴． （2）解：由题意可得， ①当点在点左侧时，； ②当点在点右侧时，． （3）解：∵，， ∴， ∴， 当时，即， 整理可得， 解得：，． （4）解：∵点的坐标为，点的坐标为 ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的面积为， 当四边形的面积等于面积的倍时，即， 整理可得， 解得：，． 变式1．（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，对于点，，记；，将称为点，的横纵偏差，记为，即．若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的横纵偏差，记为． (1)，， ①的值是_____； ②点在轴上，若，则点的坐标是_____． (2)点，在轴上，点在点的左侧，，点的坐标为，求线段在轴上运动时，算出的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1)或 (2)的最小值为，点的坐标为或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的坐标运算、绝对值的概念与性质、新定义问题的理解与应用，解题关键是通过设点P的坐标表示出线段上点的范围，将转化为绝对值函数的最值问题，再利用绝对值的几何意义求解最小值． （1）先计算和，再计算; 设，根据定义计算，再由列方程求解； （2）设，则，设点在线段上，由是的最大值，分三种情况：讨论，确定的最小值及此时点的坐标． 【详解】（1）解：，， ，， ; 设，则，， ， ，解得或， 或； 故答案为：或； （2）设，则，设点在线段上， ， ，， ； 又，， ； 是的最大值, 是线段的两个端点， ， 当时，有最小值， 当时，，解得； 当时，，解得， 当时，，，， 此时存在，使，但， 不合题意，舍去； 当时，，解得， 将或代入或，， 点的坐标为或． 变式2．（25-26八年级上·重庆·期中）如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，过C作轴于点B． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)如图②，若过点B作交y轴于点D．且，分别平分，．求的度数： (3)如图②，若点P从原点出发以每秒2个单位长度的速度在y轴上沿某一方向匀速运动，与此同时点Q从点B出发在射线上以每秒3个单位长度的速度匀速运动，是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为 (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，非负数的性质，坐标与图象性质． （1）根据非负数的性质易得，，从而得出点A，C的坐标，然后根据轴交x轴于点B得出点B的坐标； （2）过点E作，根据平行线性质得，且，，所以，然后把代入计算即可； （3）分类讨论：设P，Q点运动的时间为t，①当点P在y轴正半轴上，设，；②当点P在y轴负半轴上时，设点P的坐标为，，利用可得到关于t的方程，再解方程求出t，从而求得点P的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，， 解得，， 又∵，， ∴点A坐标为，点C坐标为， ∵轴交x轴于点B， ∴点B的坐标为， 即点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为． （2）解：如图，过点E作， ∵轴， ∴轴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，分别平分，， ∴，， ∴． （3）解：由题意知，设P，Q点运动的时间为t， 当点P在y轴正半轴上，如图： 设点P的坐标为，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得（负值舍去）， ∴点P的坐标为； ②当点P在y轴负半轴上时，如图： 设点P的坐标为，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 变式3．（25-26八年级上·辽宁锦州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空： ， ； (2)若在第三象限内有一点，连接交y轴于点，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)点P的坐标为或 【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性、三角形的面积、列代数式、坐标与图形，熟练掌握坐标与图形、分类讨论是解题的关键． （1）利用算术平方根和平方的非负性，得出，，求出、的值即可； （2）先求出的面积，进而得到的面积，再利用求出的长度，再对点P在点C的下方和点P在点C的上方时，进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵的面积是的面积的2倍， ∴， ∴， ∴， 当点P在点C的下方时，，∴， 当点P在点C的上方时，，∴， ∴综上，点P的坐标为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $点坐标规律探究问题、坐标系中的动点问题专项训练 点坐标规律探究问题、坐标系中的动点问题专项训练 考点目录 点坐标规律探究问题 坐标系中的动点问题 考点一 点坐标规律探究问题 例1．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）在平面直角坐标系中，若干个等腰直角三角形按如图所示的规律摆放．已知，，，，，⋯，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 例2．（26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点M从原点O出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点…按这样的运动规律，经过2026次运动后，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 例3．（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）如图，台球从点出发，沿图示方向运动，每当台球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（），当台球第1次碰到长方形的边时，记为点，第2次碰到长方形的边时，记为点，…，第次碰到长方形的边时，记为点，假设台球一直运动下去，则点的坐标是________． 变式1．（25-26八年级下·广东揭阳·期中）如图所示，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④，……，若连续作旋转变换，则第2025次旋转后的三角形的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，…，的坐标依次为，，，，，，…按此规律排列．设点(为正整数），则 ． 变式3．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，一机器人从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从原点到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到…则第15次运动到的点的坐标是_________． 考点二 坐标系中的动点问题 例1．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）在平面直角坐标系中．三个顶点的位置如图所示． (1)直接写出点、、的坐标． (2)求的面积． (3)在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点的坐标：若不存在，说明理由． 例2．（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）如图，在平面直角坐标系中点，的坐标分别为，，且，满足：，点的坐标为． (1)求，的值． (2)求三角形的面积． (3)若，两点位置不变，点在轴的什么位置时，三角形的面积是原三角形面积的倍． 例3．（26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，动点从坐标原点出发以每秒1个单位长度的速度沿轴向右运动，连接，设点运动的时间为秒，的面积为． (1)①当时，______________； ②当时，______________． (2)①当点在点左侧时，______________；（用含的式子表示） ②当点在点右侧时，______________．（用含的式子表示） (3)当时，求出此时的值． (4)如图点的坐标为，连接，当四边形的面积等于面积的倍时，请直接写出此时的值． 变式1．（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，对于点，，记；，将称为点，的横纵偏差，记为，即．若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的横纵偏差，记为． (1)，， ①的值是_____； ②点在轴上，若，则点的坐标是_____． (2)点，在轴上，点在点的左侧，，点的坐标为，求线段在轴上运动时，算出的最小值及此时点的坐标． 变式2．（25-26八年级上·重庆·期中）如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，过C作轴于点B． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)如图②，若过点B作交y轴于点D．且，分别平分，．求的度数： (3)如图②，若点P从原点出发以每秒2个单位长度的速度在y轴上沿某一方向匀速运动，与此同时点Q从点B出发在射线上以每秒3个单位长度的速度匀速运动，是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26八年级上·辽宁锦州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空： ， ； (2)若在第三象限内有一点，连接交y轴于点，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点P的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $