暑假预习：坐标系中的规律探究问题、坐标系中的动点综合问题 -2026年北师大版数学七升八专项训练

**基本信息** 聚焦坐标系中规律探究与动点综合，通过精选各地期末真题，构建从坐标概念到动态应用的逻辑链条，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |坐标系中的规律探究问题|4例+4变式|含图形循环、坐标变换、路径跳动等，需归纳周期性或递推关系|从具体点坐标观察到抽象规律提炼，体现数学眼光的几何直观与空间观念| |坐标系中的动点综合问题|3例+3变式|涉及运动路径分析、面积动态计算、方程求解，融合代数与几何|以坐标为纽带，连接图形性质与数量关系，培养模型意识与应用意识|

暑假预习：坐标系中的规律探究问题、坐标系中的动点综合问题专项训练 暑假预习：坐标系中的规律探究问题、坐标系中的动点综合问题专项训练 考点目录 坐标系中的规律探究问题 坐标系中的动点综合问题 考点一 坐标系中的规律探究问题 例1．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，，表示，则顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“每个点为一个循环”的规律，通过求余确定点的位置和象限，再结合第个正方形第二象限顶点为，得出​的坐标． 【详解】解：正方形有个顶点， 每个点为一个正方形循环， ， 为第个正方形位于第二象限的点， 根据题意可知，第个正方形位于第二象限的点为， 故为． 例2．（25-26七年级下·陕西西安·期中）法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”，在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：，已知点的坐标为，则经过2025次笛卡尔变换后得到的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各点坐标得出每4次变换为一个循环，即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴经过第一次变换后为：，即， 经过第二次变换后为：，即， 经过第三次变换后为：，即， 经过第四次变换后为：，即， ∴变换周期为， ∵， ∴次变换后得到的坐标与第次变换后的坐标相同，即． 例3．（25-26七年级下·山东临沂·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，以此类推．则点经过次运算后得到点____________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算法则，依次计算前几次运算得到的点坐标，找出循环规律，再利用规律求解次运算后的结果即可． 【详解】解：根据题意，计算得：点经过第次运算后得到的点为，即为点， 经过第次运算后得到点为，即为点， 经过第次运算后得到点为，即为点， …… 可得规律：点每经过次运算为一个循环， ， 点经过次运算后得到点． 例4．（25-26七年级下·河南周口·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫作点的“友好点”．已知点的“友好点”为，点的“友好点”为，点的“友好点”为，……，这样依次得到各点．若点的坐标为，则点的“友好点”是____________． 【答案】 【分析】根据友好点的定义，计算前几个点的坐标，发现序列每个点循环一次，再确定的坐标，并计算其友好点． 【详解】解：∵， ∴为的友好点：； 为的友好点：； 为的友好点：； 为的友好点：相同； ∴观察可知，每四次循环一次， ∵， ∴， ∴的友好点为． 变式1．（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，……依此规律跳动下去，点A第2026次跳动至的坐标是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形及已知点坐标，分别找出下标为奇数和偶数时点的坐标规律，即可求解． 【详解】解：由题意得：，，，，，，， 归纳可得：当为正整数时，点的坐标为，点的坐标为， ， 点的坐标符合的规律，其中， 点的横坐标为，纵坐标为， 即 ． 变式2．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）如图，平面直角坐标系中，点，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒3个单位长度，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒1个单位长度，记点与点在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为…，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点坐标计算长方形的周长为，设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为，根据题意列方程，即可求出经过2秒第一次相遇，进一步求出第一次、第二次、第三次……相遇点的坐标，直到找出四次相遇一循环，再用的余数即可求出第2001次相遇点的坐标． 【详解】解：长方形的周长为， 设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为， 根据题意得， 解得， ∴当时，P、Q第一次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，P、Q第二次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，P、Q第三次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，P、Q第四次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，P、Q第五次相遇，此时相遇点坐标为， ∴四次相遇一循环， ∵， ∴的坐标为． 变式3．（25-26七年级下·四川泸州·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，如，，，，，，，……，根据这个规律探索可得第个点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，通过观察前几层点的坐标变化，归纳出纵坐标与层数的关系、每层点的个数规律以及横坐标的排列方向，利用完全平方数确定第2026个点所在的层数及具体位置是解题关键． 【详解】解：观察点的坐标规律可知：第1层纵坐标为，有个点，总点数为； 第2层纵坐标为，有个点，总点数为，该层点从左向右排列，横坐标从到； 第3层纵坐标为，有个点，总点数为，该层点从右向左排列，横坐标从到； ……， 由此可得，第层纵坐标为，有个点，前层共有个点． 当为偶数时，该层点从左向右排列，起始横坐标为； 当为奇数时，该层点从右向左排列，起始横坐标为． ，，， 第个点是第层的最后一个点， 第个点是第层的第个点． 为偶数， 第层的点从左向右排列， 第层第个点的横坐标为，纵坐标为， 第个点的坐标为． 变式4．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，动点在平面直角坐标系中第一次运动到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，…，按照这样的规律，经过2026次运动后，点的坐标是_______． 【答案】 【分析】观察图象，结合运动特点得出点的横坐标为，纵坐标依次按照，，，，，循环变化，再根据变化特点解答即可． 【详解】解：观察图象，结合运动后的点的坐标特点可知，点的横坐标为，纵坐标依次按照，，，，，循环变化， 点的横坐标为． ， 点的纵坐标为， 点的坐标为． 考点二 坐标系中的动点综合问题 例1．（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）如图，在平面直角坐标系中点，的坐标分别为，，且，满足：，点的坐标为． (1)求，的值． (2)求三角形的面积． (3)若，两点位置不变，点在轴的什么位置时，三角形的面积是原三角形面积的倍． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用绝对值和算术平方根的非负性，求出、； （2）先算出轴上的长，以为底，点纵坐标为高，用三角形面积公式求面积； （3）设，结合面积倍数列含绝对值的方程，求出点坐标． 【详解】（1）解：， ，， ，． （2）解：据（1）可知点，的坐标分别为，， 则，， 故． （3）解：设， 当三角形的面积是原三角形面积的倍， 可得， 解得，即或， 故点坐标为或． 例2．（25-26七年级下·黑龙江黑河·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、且实数a，b满足，过点B作轴交y轴于点C．点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向x轴负方向运动．点Q从O点出发，以每秒2个单位长度的速度向y轴正方向运动． (1)直接写出点A的坐标_________，点B的坐标_________； (2)动点P、Q分别在射线、上运动，连接、，当时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据偶次方和绝对值的非负性求出、的值，从而得到点、的坐标； （2）表示出秒时点和点的坐标，用含的式子表示出和的面积，根据题意列出关于的方程，求出的值即可确定点的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴的坐标，的坐标； （2）解：∵轴交轴于点，， ∴，， 设运动时间为秒，则，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得或， ∴或， ∴或， ∴点的坐标为或． 例3．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在以为原点的平面直角坐标系中，有一个长方形，，且．是边上的一点，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，最终到达点．设点运动的时间为秒． (1)填空：_____，_____； (2)求出点在运动过程中的面积（用含的式子表示）； (3)是否存在一点，使的面积等于20？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8，6 (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）因为绝对值和算术平方根都具有非负性，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，所以可据此求出m、n的值． （2）先根据长方形的性质确定各点坐标，再按动点P的运动路径分两种情况：P在上、P在上，分别确定不同时间段t的取值范围，结合三角形面积公式或割补法表示出的面积S． （3）针对不同阶段的S的表达式，分别令，求解对应的t值，再根据t的取值范围判断解是否有效，进而求出对应P点的坐标． 【详解】（1）解：根据非负数的性质：绝对值和算术平方根都是非负数， 若和为0， 则绝对值和算术平方根均为0， 可得：，， ∴， 解得，． （2）解：，，点运动速度为每秒2个单位，分两种情况讨论： ①当点在上（）：，的底为，高为的纵坐标， ∴ ②当点在上（）：坐标为， 长方形面积减去周围三个三角形面积， 可得： ． 综上，． （3）解：存在，点的坐标为或，推导如下： 若，令， 解得，符合范围， 此时； 若，令， 解得，符合范围， 此时． 变式1．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义：对于平面直角坐标系中的点，若点N的坐标为（其中为大于0的常数），则称点N为点M的k伴随点，请完成下列各题． (1)点的2伴随点的坐标为_________，点的5伴随点的坐标为_________； (2)如图，若点在y轴的正半轴上，点B为点A的k伴随点，连接，，若，三角形的面积为9，求m的值； (3)在（2）的条件下，过点B作轴于点C，点D为x轴正半轴上的动点，直线与直线相交于点E，以O、A、E、C为顶点的四边形的面积记为，三角形的面积记为，是否为定值，如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)是定值，定值为 【分析】（1）根据定义计算即可得出结果； （2）由题意可得，点的坐标为，从而得出，，结合，得出，再由三角形面积公式计算即可得出结果； （3）分两种情况：当在上时，过作于，当在延长线上时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：点的2伴随点的坐标为，即， 点的5伴随点的坐标为，即； （2）解：∵点在y轴的正半轴上，点B为点A的k伴随点， ∴，点的坐标为，即， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵三角形的面积为9， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）可得，，， 当在上时，过作于， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ； 当在延长线上时， 则 ∴ ， 综上所述，是定值，这个定值为． 变式2．（25-26七年级下·云南昆明·期末）如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，点C在y轴上，且轴，a，b满足．点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线运动（回到O为止）． (1)求出点A，B的坐标； (2)点P运动t秒后，是否存在点P到x轴的距离为个单位长度的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，即可得出答案； （2）分四种情况：当点P运动到上时，当点P运动到上时，当点P运动到上时，当点P运动到上时，分别列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ，， ，， ∴，； （2）解：存在． ①当点P运动到上时，，根据题意得： ，解得，不符合题意，舍去； ②当点P运动到上时，，根据题意得： ，解得， ∴点P的坐标为； ③当点P运动到上时，，根据题意得： ，解得， ∴点P的坐标为； ④当点P运动到上时，，根据题意得： ，解得，不符合题意，舍去； 综上所述，满足条件的点P的坐标为：或． 变式3．（25-26七年级下·河北邢台·期末）如图，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，过点A作x轴的垂线，过点C作y轴的垂线，两垂线交于点B，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动． (1)点B的坐标为_______； (2)当点P移动了4秒时，求点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． 【答案】(1) (2) (3)2.5秒或5.5秒 【分析】（1）根据点的坐标的定义即可得出； （2）先求出点P移动了4秒时的路程，再结合坐标即可推断点P此时的位置并求出其坐标； （3）根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度求出，再根据时间=路程÷速度列式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为， ∴点B的横坐标为4， 又∵点C的坐标为， ∴点B的纵坐标为6， ∴点B的坐标为． （2）解：由题意知，，， 当点P移动了4秒时，点P共移动了个单位， ∴， ∴此时点P在线段的中点处，点P的坐标为． （3）解：点P到x轴距离为5个单位长度时，点P的纵坐标为5， 当点P在上时，则， ∴（秒）； 当点P在上时，则， ∴（秒）， 综上所述，点P移动的时间为2.5秒或5.5秒． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：坐标系中的规律探究问题、坐标系中的动点综合问题专项训练 暑假预习：坐标系中的规律探究问题、坐标系中的动点综合问题专项训练 考点目录 坐标系中的规律探究问题 坐标系中的动点综合问题 考点一 坐标系中的规律探究问题 例1．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，，表示，则顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26七年级下·陕西西安·期中）法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”，在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：，已知点的坐标为，则经过2025次笛卡尔变换后得到的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26七年级下·山东临沂·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，以此类推．则点经过次运算后得到点____________． 例4．（25-26七年级下·河南周口·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫作点的“友好点”．已知点的“友好点”为，点的“友好点”为，点的“友好点”为，……，这样依次得到各点．若点的坐标为，则点的“友好点”是____________． 变式1．（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，……依此规律跳动下去，点A第2026次跳动至的坐标是（） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）如图，平面直角坐标系中，点，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒3个单位长度，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒1个单位长度，记点与点在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为…，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26七年级下·四川泸州·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，如，，，，，，，……，根据这个规律探索可得第个点的坐标是__________． 变式4．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，动点在平面直角坐标系中第一次运动到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，…，按照这样的规律，经过2026次运动后，点的坐标是_______． 考点二 坐标系中的动点综合问题 例1．（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）如图，在平面直角坐标系中点，的坐标分别为，，且，满足：，点的坐标为． (1)求，的值． (2)求三角形的面积． (3)若，两点位置不变，点在轴的什么位置时，三角形的面积是原三角形面积的倍． 例2．（25-26七年级下·黑龙江黑河·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、且实数a，b满足，过点B作轴交y轴于点C．点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向x轴负方向运动．点Q从O点出发，以每秒2个单位长度的速度向y轴正方向运动． (1)直接写出点A的坐标_________，点B的坐标_________； (2)动点P、Q分别在射线、上运动，连接、，当时，求点P的坐标． 例3．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在以为原点的平面直角坐标系中，有一个长方形，，且．是边上的一点，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，最终到达点．设点运动的时间为秒． (1)填空：_____，_____； (2)求出点在运动过程中的面积（用含的式子表示）； (3)是否存在一点，使的面积等于20？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义：对于平面直角坐标系中的点，若点N的坐标为（其中为大于0的常数），则称点N为点M的k伴随点，请完成下列各题． (1)点的2伴随点的坐标为_________，点的5伴随点的坐标为_________； (2)如图，若点在y轴的正半轴上，点B为点A的k伴随点，连接，，若，三角形的面积为9，求m的值； (3)在（2）的条件下，过点B作轴于点C，点D为x轴正半轴上的动点，直线与直线相交于点E，以O、A、E、C为顶点的四边形的面积记为，三角形的面积记为，是否为定值，如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 变式2．（25-26七年级下·云南昆明·期末）如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，点C在y轴上，且轴，a，b满足．点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线运动（回到O为止）． (1)求出点A，B的坐标； (2)点P运动t秒后，是否存在点P到x轴的距离为个单位长度的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26七年级下·河北邢台·期末）如图，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，过点A作x轴的垂线，过点C作y轴的垂线，两垂线交于点B，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动． (1)点B的坐标为_______； (2)当点P移动了4秒时，求点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． 2 学科网（北京）股份有限公司 $