第二章等式与不等式（期中知识清单）高一数学上学期沪教版

第二章 等式与不等式　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 等式的性质与方程的解集 1.1 等式的定义 用等号”＝“把两个表达式连接起来，所得的式子称为等式。 示例：、 都是等式。 1.2 等式的性质 设 、、 均为实数，等式具有以下性质： 性质 内容 传递性 如果 ，且 ，那么 加法性质 如果 ，那么 乘法性质 如果 ，那么 示例：由 且 ，得 ；由 ，得 。 注意：当一个等式成立时，由上面的性质，在等式两边减去同一个数，或除以同一个不等于零的数，该等式仍然成立。 1.3 方程、方程的解与解集 含有未知数的等式称为方程。使得方程左右两边相等的未知数的值，称为方程的解。以方程的所有解为元素组成的集合称为方程的解集。 示例：方程 的解集为 。 注意：方程的解和未知数的取值范围有关，同一方程在未知数的不同取值范围内求解，其解集不一定相同。本章均在实数集中求解方程。 1.4 一元二次方程的解集与判别式 一元二次方程的解习惯上叫做该方程的根。如果一元二次方程的两个根相等，那么这两个根叫做重根，重根在解集中只能出现一次。 一元二次方程 的解的情况由其判别式 的符号决定： 的取值 根的情况 解集 两个不相等的实根 两个相等的实根（重根） 无实根 示例：方程 中 ，解集为 。 1.5 根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程 的两个根为 、，则 示例：方程 的两根 、 满足 ，。 2. 不等式的性质 2.1 实数大小的比较 对于两个实数 、，如果 是正数，就称 大于 ，记为 ；如果 是负数，就称 小于 ，记为 ；如果 是零，就称 等于 ，记为 。这就是说 这是研究一切不等式的基础。 示例：，所以 。 2.2 不等式与不等号 符号 （读作 大于等于 ）表示 或 ；符号 （读作 小于等于 ）表示 或 。 大于号 、小于号 、大于等于号 、小于等于号 都称为不等号。用不等号将两个表达式连接起来，就得到一个不等式。 2.3 不等式的基本性质 设 、、 均为实数，不等式具有以下基本性质： 性质 内容 传递性 如果 ，且 ，那么 加法性质 如果 ，那么 乘法性质 如果 ，且 ，那么 ；如果 ，且 ，那么 示例：由 且 ，得 ；由 且 ，得 。 注意：不等式的加法性质表明：在不等式的两边加上（或减去）同一个实数，不等号的方向不变；乘法性质表明：在不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，但乘（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变。 2.4 不等式的常用性质 性质 内容 同向可加性 如果 ，，那么 倒数性质 如果 ，那么 同向正数相乘 如果 ，，那么 乘方性质 如果 ，那么 ，其中 是正整数 示例：， 时，。 2.5 重要不等式 对任意的实数 和 ，总有 且等号当且仅当 时成立。 示例：，当 时取等号。 2.6 比较大小的方法（作差法） 为比较两个实数的大小，常用的方法是判定这两个数的差的符号。要比较两个表达式 及 的大小：要证明 ，只需证明 ；要证明 ，只需证明 。 示例：比较 与 的大小，作差得 ，故 时 ， 时相等， 时 。 3. 不等式的求解 3.1 不等式的解与解集 在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解。一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集。求不等式解集的过程称为不等式的求解或解不等式。 将含有相同未知数的多个不等式联立起来，就得到不等式组。解不等式组就是求不等式组中的所有不等式的解集的交集。 3.2 一元一次不等式（组）的求解 解不等式时，常常通过等价变形，将原不等式化为较简单的不等式或不等式组，从而求得原不等式的解集。含参数的一元一次不等式需按参数符号分类讨论。 示例：解不等式 ：当 时解集为 ；当 时解集为 ；当 时解集为 。 3.3 一元二次不等式的定义 设 、、 为实数，且 ，形如 的不等式统称为一元二次不等式。 3.4 一元二次不等式的求解（） 一元二次不等式的求解与相应的一元二次方程的求解密切相关。当 时，先在不等式两边同乘 并改变不等号方向，即可化为 的情形。设 ，结果如下表： 不等式（） （两根 ） （重根 ） （无实根） 示例：解 ：因式分解得 ，解集为 。 3.5 分式不等式的求解 分式不等式利用”分子、分母同号（或异号）“转化为不等式组求解，或利用 等价于 化为整式不等式求解，并注意分母不为零。 示例： 等价于 ，即 ，解集为 。 3.6 含绝对值不等式的求解 设 ： 不等式 等价形式 解集 或 示例： 等价于 ，即 ，解集为 。 注意：对含有两个及以上绝对值符号的不等式，可先求出各绝对值内式子等于零的根，用这些根把数轴划分为若干区间，再分段讨论去掉绝对值符号。 4. 基本不等式及其应用 4.1 算术平均值与几何平均值 对于正数 、，称 是 、 的算术平均值，称 是 、 的几何平均值。 4.2 平均值不等式 两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数 、，有 且等号当且仅当 时成立。 示例： 时，，当且仅当 时取等号。 注意：在 及 有可能为零时，平均值不等式也显然成立，因此对于任意的非负实数 、，平均值不等式都成立。 4.3 常用不等式 对于任意的实数 、，有 且等号当且仅当 时成立。 4.4 求最值的两个基本结论 根据平均值不等式 ：当乘积 为定值时，和 有最小值；当和 为定值时，乘积 有最大值；当且仅当 时，才取得相应的最小值或最大值。 示例： 时 ，当 时 取最大值 。 4.5 三角不等式 两个实数和的绝对值小于等于它们绝对值的和，即对于任意给定的实数 、，有 且等号当且仅当 时成立。 示例：，等号当且仅当 即 时成立。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 一元二次方程的特殊值根判定 方程 ：若 ，则有一根 ，另一根 ；若 ，则有一根 ，另一根 。 1.2 两根对称式速算公式 设 ，，则 ；；；。 【使用提醒】使用前先验证 ，方程确有两个实数根。 1.3 两根符号判定 方程 ：两根异号的条件是 （此时 恒正）；两根同正的条件是 且 且 ；两根同负的条件是 且 且 。 1.4 逆用韦达定理构造方程 以 、 为两根、二次项系数为 的一元二次方程可取 。 1.5 等式恒成立与对应项系数相等 两个二次三项式 与 恒等（对任意实数 都相等）的充要条件是 ，，。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 解含参数的一次方程与一次不等式的分类讨论 对 型方程： 时解集为 ； 时看 —— 解集为 ， 解集为 。对 型不等式：按 、、 分类讨论。如 中 、 时解集为 。 2.2 解一元二次不等式四步法 化 （若 两边同乘 并变号）→ 求对应方程两根（或判断 ）→ 由”大于取两边、小于取中间”（）或配方法（）定解集 → 写成区间。如解 ，先化为 ，再因式分解求解。 2.3 解分式不等式（化整式，注意分母不为零） 先移项使一边为 ，再化为 型，利用”分子、分母同号”化为整式不等式 求解，并务必排除使分母为零的值。如 移项化为 ，等价于 且 。 【使用提醒】分母恒正（如 ）时，可直接两边同乘分母去分母，不等号方向不变。 2.4 解含绝对值不等式 （）型化为 ； 型化为 或 ；多重绝对值用零点分段法——求出各绝对值零点、划分区间、逐段去掉绝对值符号。如 化为 或 。 2.5 由不等式的解集反求参数 已知二次不等式解集时，解集端点即对应方程的两根，用韦达定理（两根之和、两根之积）反求系数。如 的解集为 ，则两根为 、，，。 2.6 二次不等式恒成立问题（判别式法） 时， 恒成立的条件是 ； 恒成立的条件是 。如 恒成立：，解得 。 【使用提醒】二次项系数含参数时，须先讨论二次项系数是否为零，再讨论 。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 作差配方判非负 比较大小先作差，再配方成”平方 正数”或分解因式判符号 ，故 配方法求二次函数最值 ，由平方项非负定最值 ，最大值为 判别式防错顺序 先化一般形式、确认系数符号，再算 ； 为负时 加括号 ： 换元降次 同一式子重复出现时设其为 ，先解 的方程，再回代解 设 ，得 或 ，再解 4. 常见考试模型 4.1 平均值不等式求最值模型 公式： 时 ；积定（ 为定值）求和最小、和定（ 为定值）求积最大，等号当 时成立。 限定：须”一正、二定、三相等”； 时不能直接用，须先变号。 示例：如 ，，当 时取最小值 。 4.2 二次不等式恒成立模型 公式： 时， 恒成立的条件是 ； 恒成立需 且 。 限定：二次项系数含参数时，须先讨论系数是否为零。 示例：如 对一切实数 成立，须 且 。 4.3 矩形面积 / 周长最值模型 公式：周长一定的矩形中正方形面积最大、面积一定的矩形中正方形周长最小，均用 求解。 限定：边长须为正，等号当 （即正方形）时成立。 示例：如周长为 的矩形，，当 时面积最大。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：解含参一元二次不等式时，未讨论二次项系数符号 典例：解关于 的不等式 。 错解：因式分解得 ，两根为 与 ，故解集为 。 正解：因式分解得 ，需按二次项系数 分类讨论：① 当 时，两根为 与 （），解集为 ；② 当 时，不等式化为 ，解集为 ；③ 当 时，两根为 与 ，解集在两根之间： 时为 ， 时为 ， 时为 。 原因：忽略隐含条件。解一元二次不等式须先保证二次项系数 （或按 的符号分类讨论），学生习惯性地默认 而漏掉 、 的情形。凡含参数的一元二次不等式，二次项系数的符号、两根的大小关系都会随参数变化，必须分类讨论并取各自范围。 易错点 2：不等式两边同乘（除）负数时，漏改不等号方向 典例：解不等式 。 错解：两边同乘 得 ，即 ，解集为 。 正解：两边同乘 得 （不等号方向改变），即 ，解集为 。 原因：概念理解错误。不等式两边乘同一个负数，不等号方向要改变，学生常因”移项习惯”或图省事而漏变号。用因式分解法解二次不等式前，务必先化二次项系数为正，并同步改变不等号方向。 易错点 3：解分式不等式去分母时，漏掉分母不为零或未讨论符号 典例：解不等式 。 错解：两边同乘 ，得 ，故解集为 。 正解：原不等式等价于 且 ，即 或 ，且 ，故解集为 。 原因：忽略隐含条件。分式的分母不能为零，且 的符号随 变化，两边同乘含未知数的式子不能保证不等号方向。正确做法是把分式不等式化为”分子、分母同号”的整式不等式 ，并排除使分母为零的点。 易错点 4：用平均值不等式求最值时，忽略”一正、二定、三相等” 典例：求 时， 的最大值。 错解：，故最大值为 。 正解： 时不能直接用平均值不等式。令 ，则 ，当 即 时取等号，故最大值为 。 原因：忽略使用前提。平均值不等式要求两个数都是正数，学生一看到 就套公式，忽略 时须先变号；同时还要验证等号是否真的能取到。“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可。 易错点 5：用韦达定理求值前，不验证方程有实数根 典例：已知方程 的两根为 、，求 的值。 错解：由韦达定理得 ，，故 。 正解：先看根是否存在：，方程无实数根，故 、 不存在， 的值无从谈起。 原因：忽略使用前提。根与系数的关系成立的前提是方程有实数根（），学生看到含 、 的式子就直接套公式，跳过”方程是否有实数根”的验证。这类题常凑出 ，错的不是计算而是第一步。 易错点 6：解含绝对值不等式时，漏掉”或”的另一半解 典例：解不等式 。 错解：，即 ，解集为 。 正解： 等价于 或 ，即 或 ，解集为 。 原因：漏解。（）型的解是” 或 “两个方向，学生受解一元一次不等式惯性影响，只写了”大于”一个方向，漏掉”小于”方向。凡 型都要成对写出两个不等式。 学科网（北京）股份有限公司 $