专题03 基本不等式（3知识&10题型）（期中知识清单）高一数学上学期沪教版必修第一册

专题03基本不等式（3知识&10题型） 【清单01】平均值不等式 1.算术平均值与几何平均值 对于正数、，称______是、的算术平均值，并称______是、的几何平均值． 2.平均值不等式 定理（平均值不等式）两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数、，有______，且等号当且仅当______时成立 1.平均值不等式的常见变形：. 2.平均值不等式的常用结论： （1）同号），当且仅当时取等号；异号)，当且仅当时取等号．特别地，，当且仅当时取等号； （2），当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号．特别地，，当且仅当时取等号． 【清单02】利用平均值不等式及常用不等式求代数式的最大(小)值 1.最值定理 已知，则 （1）若（常数），则当且仅当时，有最小值______．简记：积定和最______． （2）若（常数），则当且仅当时，ab有最大值______．简记:和定积最______. 利用平均值不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件-一正、二定、三相等 (1)“一正”就是各项必须为正数。(2)“二定”就是要求和的最小值;必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值，(3)“三相等”是利用平均值不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易出错的地方 2.重要不等式链 （1）若，则． （2）若，则，其中叫做a、b的调和平均值，叫做a、b的平方平均值．此不等式链常以的形式出现． 平均值不等式的其他应用形式 （1），当且仅当时取等号． （2），当且仅当时取等号． （3），当且仅当时取等号． （4），当且仅当时取等号． 【清单03】绝对值三角不等式 当、两数至少有一个为0时，可得．当、两数所表示的点在原点的同侧时，可得． 当、两数所表示的点在原点的两侧时，可得． 定理（三角不等式）两个实数和的绝对值小于等于它们绝对值的和，即对于任意给定的实数、，有___ _ ______________，且等号当且仅当______时成立. 推论2：如果、、是实数，那么，当且仅当时，等号成立． 题型一、由基本不等式证明不等关系 1．（23-24高一上·上海·期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海金山·期中）已知a为正数，比较大小：4. 3．（24-25高一上·上海·期中）设、是正实数． (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)若，求的最小值，并指出等号成立的条件． 题型二、基本不等式求积的最大值 4．（24-25高一上·上海·期中）已知实数a，b满足，则的最大值为. 5．（24-25高一上·上海·期中）已知，，且，则的最小值为. 6．（23-24高一上·上海徐汇·期中）定义为个实数中的最小数，为个实数中的最大数. (1)设，都是正实数，且，求； (2)设，都是正实数，求的最小值. 题型三、基本不等式求积的最大值 7．（24-25高一上·上海闵行·期中）函数的最小值是. 8．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，则代数式的最小值是. 9．（24-25高一上·上海·期中）将在区间上的最大值记为，则的最小值为. 题型四、二次与二次（或一次）的商式的最值 10．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知，且，则的最小值是 11．（22-23高一上·上海浦东新·期中）函数的值域是． 12．设函数的最大值是. （1）求的值； （2）若正实数满足求最小值及此时的值； （3）若正实数满足，求的最小值及此时的值. 题型五、二次与二次（或一次）的商式的最值 13．（2023·上海金山·二模）已知正实数a，b满足，则的最小值为. 14．已知，，则的最小值为（   ） A．13 B．16 C．3 D．6 15．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知. (1)若a与b均为正数，求的最大值，并指出取最大值时a与b的值； (2)若a与b均为负数，求的最小值. 题型六、条件等式求最值 16．已知a>0，b>0，且a+2b=2，则的最小值为 17．已知a＞0，，若x＞0时，关于x的不等式恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C．4 D． 18．已知且 (1)求证： (2)求的最小值，并求此时与的值. 题型七、本不等式的恒成立问题 19．设函数. (1)解关于x的不等式； (2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围. 20．已知. （1）取什么实数时，关于的不等式：解集为； （2）取什么实数时，关于的不等式：在恒成立. 21．（24-25高一上·上海·期中）已知实数满足． (1)若满足，求证：且． (2)求证：并将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数p，使得对任意的恒成立，求的值． (3)从另一角度推广，自然数满足什么条件时，不等式对任意恒成立． 题型八、分类讨论解绝对值不等式 22．（24-25高一上·上海·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)． 23．（2024·上海杨浦·一模）已知，则实数的取值范围为. 24．（24-25高一上·上海·期中）已知，则方程的解集为. 题型九、基本（均值）不等式的应用 25．（24-25高一上·上海宝山·期中）如图，嘉文计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.若菜园面积S为72m2，则所用篱笆总长C最小值是m. 26．（24-25高一上·上海·期中）某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为， (1)用、表示文字宣传区域面积和； (2)如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？ 27．（23-24高一上·上海普陀·期中）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米.    (1)要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围？ (2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值. 28．（24-25高一上·上海普陀·期中）某地方政府准备建造一个面积为平方米的矩形运动场地（如图所示，包括阴影部分和中间三个矩形区域），其中阴影部分为走道，走道宽度均为米，中间的三个矩形区域设计铺设塑胶地面（其中两个小场地形状大小相同），塑胶地面总面积为平方米． (1)设矩形相邻的两边分别米和米（如图），试写出关于的关系式，并给出的取值范围； (2)怎样设计能使取得最大值，并求出最大值． 29．（24-25高一上·上海·期中）为实现节能减排，绿色生态的目标，某单位进行技术攻关，采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理总成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月处理量为多少吨时，每月的总获利最大，并求这个最大获利值． 题型十、绝对值三角不等式 30．（24-25高一上·上海·期中）设，方程的解集是． 31．（24-25高一上·上海·期中）对任意给定的实数，有，且等号当且仅当实数的取值范围为时成立. 32．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为． 33．“且”是“”（x、y、a、，且）的（    ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件； D．既非充分又非必要条件． 34．（24-25高一上·上海·期中）已知，，，，则的最大值为． 35．（24-25高一上·上海松江·期中）在平面直角坐标系中，设点，，定义：．若点，点B为直线上的动点，则的最小值为． 36．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设，若，则的取值范围为 2/22 1/22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03基本不等式（3知识&10题型） 【清单01】平均值不等式 1.算术平均值与几何平均值 对于正数、，称是、的算术平均值，并称是、的几何平均值． 2.平均值不等式 定理（平均值不等式）两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数、，有，且等号当且仅当时成立 1.平均值不等式的常见变形：. 2.平均值不等式的常用结论： （1）同号），当且仅当时取等号；异号)，当且仅当时取等号．特别地，，当且仅当时取等号； （2），当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号．特别地，，当且仅当时取等号． 【清单02】利用平均值不等式及常用不等式求代数式的最大(小)值 1.最值定理 已知，则 （1）若（常数），则当且仅当时，有最小值．简记：积定和最小． （2）若（常数），则当且仅当时，ab有最大值．简记:和定积最大. 利用平均值不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件-一正、二定、三相等 (1)“一正”就是各项必须为正数。(2)“二定”就是要求和的最小值;必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值，(3)“三相等”是利用平均值不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易出错的地方 2.重要不等式链 （1）若，则． （2）若，则，其中叫做a、b的调和平均值，叫做a、b的平方平均值．此不等式链常以的形式出现． 平均值不等式的其他应用形式 （1），当且仅当时取等号． （2），当且仅当时取等号． （3），当且仅当时取等号． （4），当且仅当时取等号． 【清单03】绝对值三角不等式 当、两数至少有一个为0时，可得．当、两数所表示的点在原点的同侧时，可得． 当、两数所表示的点在原点的两侧时，可得． 定理（三角不等式）两个实数和的绝对值小于等于它们绝对值的和，即对于任意给定的实数、，有，且等号当且仅当时成立. 推论2：如果、、是实数，那么，当且仅当时，等号成立． 题型一、由基本不等式证明不等关系 1．（23-24高一上·上海·期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】直接由基本不等式验证即可，注意取等条件. 【详解】由题意，所以直接由基本不等式可得， 等号成立当且仅当，即，此时满足题意. 故选：A. 2．（23-24高一上·上海金山·期中）已知a为正数，比较大小：4. 【答案】 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·期中）设、是正实数． (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)若，求的最小值，并指出等号成立的条件． 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、由基本不等式证明不等关系 【分析】（1）根据基本不等式可得证； （2）根据基本不等式“1”的妙用可得最值及取等条件. 【详解】（1）由， 所以，当且仅当时等号成立； （2）由， 则， 当且仅当，即时等号成立． 题型二、基本不等式求积的最大值 4．（24-25高一上·上海·期中）已知实数a，b满足，则的最大值为. 【答案】/ 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】根据基本不等式可求的最大值. 【详解】因为，故， 当且仅当时等号成立，故的最大值为， 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海·期中）已知，，且，则的最小值为. 【答案】/ 【知识点】基本不等式求积的最大值、条件等式求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】由题意，根据基本不等式的应用可得，结合计算即可求解. 【详解】由，得，当且仅当时等号成立， 所以， 即的最小值为. 故答案为： 6．（23-24高一上·上海徐汇·期中）定义为个实数中的最小数，为个实数中的最大数. (1)设，都是正实数，且，求； (2)设，都是正实数，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】基本不等式求积的最大值、条件等式求最值 【分析】（1）由基本不等式即可求解； （2）设出后由基本不等式进行求解. 【详解】（1）由题意得，得，即，当且仅当时等号成立， 故； （2）设，由题意得，， 则，得， 当且仅当，即时等号同时成立. 故的最小值为. 题型三、基本不等式求积的最大值 7．（24-25高一上·上海闵行·期中）函数的最小值是. 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式可求最小值. 【详解】, 当且仅当时等号成立，故所求最小值为， 故答案为：. 8．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，则代数式的最小值是. 【答案】4 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当时，等号成立， 所以代数式的最小值为. 故答案为： 9．（24-25高一上·上海·期中）将在区间上的最大值记为，则的最小值为. 【答案】/0.5 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】构造函数，由题意利用绝对值不等式性质即可得到在区间上的最小值. 【详解】设， 由题意知：， 可得 , 当且仅当同号或有两个为0时，取等号， 所以. 故答案为：. 题型四、二次与二次（或一次）的商式的最值 10．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知，且，则的最小值是 【答案】1 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值、绝对值的三角不等式应用 【分析】利用绝对值三角不等式得，讨论、并结合基本不等式求最小值. 【详解】由. 当时，，当且仅当等号成立 ，即此时的最小值为3； 当时，，当且仅当等号成立 ，即此时的最小值为1； 综上：的最小值是1. 故答案为：1 11．（22-23高一上·上海浦东新·期中）函数的值域是． 【答案】 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值、基本不等式求和的最小值 【分析】分三种情况讨论，运用基本不等式求值域. 【详解】当时， 当，. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时 ，即. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即. 综上所述，函数的值域为. 故答案为： 12．设函数的最大值是. （1）求的值； （2）若正实数满足求最小值及此时的值； （3）若正实数满足，求的最小值及此时的值. 【答案】（1）；（2）最小值为此时；（3）最小值为此时. 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【解析】（1）根据绝对值三角不等式：即可求出的最大值为1，即得出； （2）由（1）可知，所以利用乘“1”法求出最小值； （3）由（1）得，，，所以，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：（1）根据绝对值三角不等式：即可求出的最大值为1，即得出； （2）由（1）可知，因为，， 所以 当且仅当，即，又，所以，时取等号； 所以最小值为，此时，； （3）由（1）得，，，所以 当且仅当，即时取等号； 【点睛】考查绝对值不等式的性质：，以及基本不等式的应用，属于中档题． 题型五、二次与二次（或一次）的商式的最值 13．（2023·上海金山·二模）已知正实数a，b满足，则的最小值为. 【答案】8 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】由及，则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为8. 故答案为：8. 14．已知，，则的最小值为（   ） A．13 B．16 C．3 D．6 【答案】B 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用常数代换法求解可得. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为16. 故选：B 15．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知. (1)若a与b均为正数，求的最大值，并指出取最大值时a与b的值； (2)若a与b均为负数，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值 【分析】（1）根据等式直接利用基本不等式即可得出所求的答案； （2）灵活运用1的代换，并结合基本不等式即可得出所求的答案． 【详解】（1）因为与均为正数， 所以由基本不等式可得：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以的最大值为． （2）因为与均为负数， 所以，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 题型六、条件等式求最值 16．已知a>0，b>0，且a+2b=2，则的最小值为 【答案】 【知识点】条件等式求最值 【分析】根据基本不等式，结合代数式的恒等变形进行求解即可. 【详解】因为a>0，b>0，且a+2b=2，所以有： ， 当且仅当时取等号，即时取等号， 故答案为： 17．已知a＞0，，若x＞0时，关于x的不等式恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【知识点】函数不等式恒成立问题、条件等式求最值 【分析】根据题意：，，由一次函数以及不等式分析变形后带入，然后利用基本不等式求解. 【详解】解：设， 当时， 当时， 根据不等式可知或 对于，必有即 则当时， 当且仅当时等号成立，的最小值为. 故选：C 18．已知且 (1)求证： (2)求的最小值，并求此时与的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)的最小值为，此时 【知识点】由基本不等式证明不等关系、条件等式求最值 【分析】（1）将已知等式变形可得，，即可判断，，利用基本不等式即可证得结论． （2）由（1）中结论及可得，计算可得的取值范围，从而得解． 【详解】（1）证明：因为，，， 所以，， 所以，， 所以，当且仅当时等号成立， 所以． （2）解：由（1）得， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，此时． 题型七、本不等式的恒成立问题 19．设函数. (1)解关于x的不等式； (2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】基本不等式的恒成立问题、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）对a分类讨论：当时；当时；当时.分别求出对应的解集； （2）利用分离参数法得到，再利用基本不等式求出的最小值，即可求出a的取值范围. 【详解】（1） 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2） 因为，所以由可化为：， 因为（当且仅当，即时等号成立）， 所以.所以a的取值范围为. 20．已知. （1）取什么实数时，关于的不等式：解集为； （2）取什么实数时，关于的不等式：在恒成立. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、基本不等式的恒成立问题 【解析】（1）由一元二次不等式的解得且的解为，再由韦达定理即可得解； （2）由条件得在恒成立，再由即可得解. 【详解】（1）由的解为，可得 且的解为， 所以，解得； （2）， 由在恒成立，可得在恒成立， 又，所以， 所以. 【点睛】关键点点睛，本题的第一问关键点是由二次不等式的解得且的解为；第二问的关键点是参变分离在恒成立，转化为最值求参即可. 21．（24-25高一上·上海·期中）已知实数满足． (1)若满足，求证：且． (2)求证：并将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数p，使得对任意的恒成立，求的值． (3)从另一角度推广，自然数满足什么条件时，不等式对任意恒成立． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析；； (3). 【知识点】由不等式的性质证明不等式、基本不等式的恒成立问题 【分析】（1）根据不等式的性质即可证明； （2）展开，利用基本不等式即可证明； （3）由题意可得恒成立，展开即可证明. 【详解】（1）因为且， 所以，且， 所以且. （2）由，可得，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即， 则. 因为对任意的恒成立， 即为恒成立， 而，所以. 又为自然数，所以或. （3）不等式对任意恒成立， 即为恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即， 所以当自然数满足时，不等式对任意恒成立． 题型八、分类讨论解绝对值不等式 22．（24-25高一上·上海·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2). 【知识点】分类讨论解绝对值不等式、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】（1）化分式不等式的右边为0，通分转化为一元二次不等式求解. （2）分段去绝对值符号求解不等式. 【详解】（1）不等式，则，解得， 所以原不等式的解集为. （2）不等式化为：或或， 解得；不等式组无解；解得， 所以原不等式的解集为. 23．（2024·上海杨浦·一模）已知，则实数的取值范围为. 【答案】 【知识点】分类讨论解绝对值不等式 【分析】讨论去绝对值求解. 【详解】由， 当时，上式为，解得（舍）， 当时，上式为，解得（舍）， 当时，上式为. 所以实数的的取值范围为. 故答案为：. 24．（24-25高一上·上海·期中）已知，则方程的解集为. 【答案】或， 【知识点】分类讨论解绝对值不等式 【分析】分类讨论去绝对值，即可求解. 【详解】当时，方程为，解得， 当时，方程为，解得， 当时，方程为，解得，不符合，舍去， 当时，方程为，解得，不符合，舍去， 综上可得解集为或， 故答案为；或， 题型九、基本（均值）不等式的应用 25．（24-25高一上·上海宝山·期中）如图，嘉文计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.若菜园面积S为72m2，则所用篱笆总长C最小值是m. 【答案】24 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】根据给定条件，列出篱笆总长表达式，再利用基本不等式求解即得. 【详解】令垂直于墙的矩形边长为，平行于墙的矩形边长为，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以所用篱笆总长C最小值是24. 故答案为：24 26．（24-25高一上·上海·期中）某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为， (1)用、表示文字宣传区域面积和； (2)如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)长和宽分别为时，面积取得最大值. 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）利用矩形的面积公式列式即得. （2）由（1）的结论，利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1）依题意，三个栏目的文字宣传区域拼在一起，相当于长宽分别为的矩形， 所以. （2）依题意，，由（1）知， 当且仅当时取等号，由，解得， 所以纸张的长和宽分别为时，面积取得最大值. 27．（23-24高一上·上海普陀·期中）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米.    (1)要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围？ (2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值. 【答案】(1)的长应在 (2)当的长为米，矩形花坛的面积最小，最小值平方米 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）设出米，则米，求出矩形面积的表达式，根据矩形的面积大于32平方米解不等式可得答案； （2）利用基本不等式求解可得答案. 【详解】（1）设，则由与相似得 ，整理得， 矩形的面积， 即， 当时，得，整理得， 解得，或，又， 所以的长应在； （2）时，， 当且仅当即时等号成立， 所以， 所以，当的长为米，矩形花坛的面积最小，最小值平方米. 28．（24-25高一上·上海普陀·期中）某地方政府准备建造一个面积为平方米的矩形运动场地（如图所示，包括阴影部分和中间三个矩形区域），其中阴影部分为走道，走道宽度均为米，中间的三个矩形区域设计铺设塑胶地面（其中两个小场地形状大小相同），塑胶地面总面积为平方米． (1)设矩形相邻的两边分别米和米（如图），试写出关于的关系式，并给出的取值范围； (2)怎样设计能使取得最大值，并求出最大值． 【答案】(1) (2)当时，取得最大值为 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）根据已知条件求得关于的关系式，并给出的取值范围. （2）利用基本不等式求得的最大值. 【详解】（1）依题意，，，得， ，而，所以. ，， （2）由（1）得， 所以 ， 当且仅当，时等号成立. 所以当时，取得最大值为. 29．（24-25高一上·上海·期中）为实现节能减排，绿色生态的目标，某单位进行技术攻关，采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理总成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月处理量为多少吨时，每月的总获利最大，并求这个最大获利值． 【答案】(1)该单位每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. (2)该单位每月处理量为吨时，每月的总获利最大，为元. 【知识点】求二次函数的值域或最值、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）根据基本（均值）不等式可求最小值，并确定对应的的值. （2）列出函数解析式，根据二次函数的性质求最大值. 【详解】（1）因为（当且仅当时取“”）. 所以该单位每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. （2）设该单位每月处理吨时，获得的利润为， 则. 所以当时，最大，为：. 故该单位每月处理量为吨时，每月的总获利最大，为元. 题型十、绝对值三角不等式 30．（24-25高一上·上海·期中）设，方程的解集是． 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】利用绝对值三角不等式等号的成立条件可求解. 【详解】因为， 又， 当且仅当时，等号成立， 解得， 所以方程的解集是， 故答案为：. 31．（24-25高一上·上海·期中）对任意给定的实数，有，且等号当且仅当实数的取值范围为时成立. 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】根据绝对值三角不等式的取等条件即可求解. 【详解】，即， 所以当，即或时等号成立. 故答案为：. 32．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为． 【答案】 【知识点】求绝对值不等式中参数值或范围、绝对值三角不等式 【分析】根据三角不等式得到，再由可求的取值范围. 【详解】因为，当且仅当时，取得等号， 即的最小值为， 所以或即或 故答案为：． 33．“且”是“”（x、y、a、，且）的（    ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件； D．既非充分又非必要条件． 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、绝对值三角不等式 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合绝对值三角不等式分析判断即可. 【详解】因为，，所以， 因为， 当且仅当时取等号， 所以， 若，则， 若取，，则满足上式， 而且不成立， 所以“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A 34．（24-25高一上·上海·期中）已知，，，，则的最大值为． 【答案】4 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】利用绝对值三角不等式求解. 【详解】解：因为，，，， 所以， ， 故答案为： 35．（24-25高一上·上海松江·期中）在平面直角坐标系中，设点，，定义：．若点，点B为直线上的动点，则的最小值为． 【答案】3 【知识点】距离新定义、求点到直线的距离、绝对值三角不等式 【分析】根据定义，结合三角绝对值不等式即可求解最值. 【详解】设， 则．当且仅当同号时取等号. 故答案为：3. 36．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设，若，则的取值范围为 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式、利用不等式求值或取值范围 【分析】先利用三角不等式得到所以时，满足，，然后利用不等式的基本性质求解. 【详解】解：因为， ， 当且仅当，，即，时，等号成立， 所以，又， 所以时，满足，， 则，，， 所以， 故的取值范围为， 故答案为： 2/22 1/22 学科网（北京）股份有限公司 $