第三章幂、指数与对数（期中知识清单）高一数学上学期沪教版

第三章 幂、指数与对数　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 幂与指数 1.1 正整数指数幂的定义 如果 是一个实数， 是一个正整数，那么称 （ 个 相乘）为 的 次幂。称 为幂的底数（简称为底）， 为幂的指数。 示例：，其中 是底数， 是指数。 1.2 正整数指数幂的运算性质 对任意给定的实数 、 及正整数 、，有 1. ； 1. ； 1. 。 注意：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。 示例：。 1.3 整数指数幂的定义 为了定义整数指数幂，在保证幂的运算性质仍然成立的条件下定义 及 （ 为正整数）。当 时，可以定义 示例：；。 1.4 次方根 一般地，如果 为大于 的整数，且 ，那么 叫做 的 次方根。 条件 的 次方根 为奇数 唯一存在，可用 表示 为偶数， 有两个，互为相反数，可合并简写成 为偶数， 负数没有偶数次方根 的任何次方根都是 ，记作 示例：因为 ，所以 ；因为 ，所以 ； 的 次方根是 。 1.5 次根式及其性质 式子 叫做 的 次根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数。 当 为奇数时，；当 为偶数时，。 示例：；。 1.6 分数指数幂（有理数指数幂） 设 ， 为有理数，定义 。当 ，而 是大于 的整数时，定义 ，即为 的 次根式，它是方程 的唯一正数解。当 ，而 是一个整数， 是一个大于 的整数时，定义 也可以把 等价地定义为 。 示例：（）；；。 注意：当 且 是正奇数时， 能被定义；当 且 是正偶数时，不能定义 ；当 且 是正整数时，可定义 。一般地，在 为大于 的整数、 为整数时，对所有使 有意义的实数 ，都可定义 。 1.7 实数指数幂 对任意一个正数 与任意一个无理数 ，可确定一个唯一的实数，记作 ，使得有理数指数幂的三条运算性质与幂的基本不等式对所有的实数 都成立。我们把这个实数 定义为 的 次幂。当指数幂从正整数拓展到实数时，要求底 是一个正数。 示例： 是一个确定的实数。 1.8 幂的运算性质与幂的基本不等式 性质 对任意给定的正数 、 及实数 、，有 定理（幂的基本不等式）当 ， 时，。 示例：；；。 2. 对数 2.1 对数的定义 在 ，，且 的条件下，唯一满足 的数 ，称为 以 为底的对数，并用符号 表示，而 称为真数。 示例：因为 ，所以 ；因为 ，所以 。 注意：对数的底是不等于 的正数，真数是正数。 2.2 对数恒等式与基本性质 由定义， 表示满足方程 的唯一确定的数 ，因此有对数恒等式 若两个正数 、 的对数 与 相等，则 。此外，因为 ，，易见 示例：；；。 2.3 常用对数与自然对数 以 为底的对数称为常用对数， 通常记为 。 以无理数 （ 的值约为 ）为底的对数称为自然对数， 通常记为 。 示例：；。 2.4 对数的运算性质 对数性质 1 当 ， 时，。 对数性质 2 当 ， 时，。 对数性质 3 当 时，对任何给定的实数 ，。 示例：；。 注意：对数把乘除运算转化为加减运算，把乘方、开方运算分别转化为乘、除运算。 2.5 对数的换底公式 换底公式 当 时（、 均为不等于 的正数）， 示例：；。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 换底公式的两个推论 ；（）。如 ，。 1.2 对数链式换底 （、、 均为不等于 的正数）。如 。 1.3 底数互为倒数的对数 。如 。 1.4 幂的基本不等式的推论 当 ， 时，。如 。 1.5 解指数方程的依据 若 （，），则 。据此把方程两边化成同底幂再比较指数。如 ，即 ，得 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 根式与分数指数幂的化简步骤 先把根式统一化为分数指数幂，再按幂的运算性质（同底相乘指数相加、幂的乘方指数相乘）化简，最后按需化回最简根式或分数指数幂。如 。 2.2 对数求值的一般方法 把各对数化为同底，再用对数性质（积、商、幂）与对数恒等式 逐步化简求值。如 。 2.3 换底公式的选底策略 有不同底的对数时，用换底公式统一成同一个底，通常换成题目已给的底或常用对数 ，便于用 、 等已知值。如 。 2.4 指数式与对数式的互化求值 给出指数式求对数式（或反之）时，先互化为同一种形式再求值。如 ，则 。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 常用对数值 ，， 凑十 ，据此由 求 底数统一 幂或对数混合运算先把底统一，再配对指数、真数 对数大小估算 用相邻整数幂夹逼定区间 ，故 4. 常见考试模型 4.1 复利增长模型 公式：本金 按年利率 计复利， 年后本利和为 。 限定：求”经过几年超过某值”时，比较 与目标值，可两边取对数解 。 示例：如 ，两边取 得 ，再求 。 4.2 声强级模型 公式：声强级 （单位 ），其中 为声强度， 为基准值。 限定：；比较两个声强的倍数时，用对数性质把差化为真数的商。 示例：如 ，则 ，得 。 4.3 里氏震级模型 公式：里氏震级 ，其中 为地震释放的相对能量。 限定：比较两次地震能量比时，两式相减后解 方程。 示例：如 ，代入震级差即可求能量比 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：根式化简忽略根指数的奇偶性，漏加绝对值 典例：化简 。 错解：。 正解：因为根指数 是偶数，所以 ；只有当 时才等于 ，当 时等于 。 原因：概念理解错误。学生只记得”开方与乘方互逆”，忽略了 的化简必须分 的奇偶讨论：当 为偶数时，偶次方根是非负数，必须先取绝对值。漏掉取绝对值这一步，是根式化简的高频错误。 易错点 2：对数运算性质对”和、差”误用 典例：计算 。 错解：。 正解：对数性质只对积、商成立，对和、差不成立。先算真数：。 原因：公式混淆。学生把”对数把乘法化为加法”错误迁移为”把加法也拆开”，误以为 。事实上 只适用于积，和式必须先算出真数再取对数。 易错点 3：忽略对数的定义域（真数与底数的范围） 典例：求 中 的取值范围。 错解：因为 是二次式， 取任意实数即可。 正解：对数的真数必须大于 ，即 ，解得 或 。 原因：条件遗漏。学生看到式子就默认”总有意义”，忘记了对数的底数必须是不等于 的正数、真数必须为正这两个隐含条件。涉及对数式的取值范围问题，第一步就应先列出定义域条件。 易错点 4：恒等变形 缩小定义域导致丢解 典例：解方程 。 错解：，所以 ，即 。 正解：由 得 ，所以 或 （此时 ，均满足原方程）。若用 变形，则漏掉了 。 原因：忽略使用前提。 在 时成立，而 中 只需 ， 却要求 。这一变形缩小了定义域，导致负值解丢失。恒等变形前后要核对自变量范围是否一致。 易错点 5：负底数分数指数幂约分改变根指数奇偶 典例：化简 。 错解：。 正解：负底数的根式不能先把指数约分再化为分数指数幂。应先算被开方数：。 原因：概念理解错误。分数指数幂 的定义以 为前提；对负底数，只有 为奇数时才可直接定义。把 约分为 时，根指数由偶数变为奇数，符号性质改变，结果出错。负底数根式化简必须先算被开方数的值。 学科网（北京）股份有限公司 $