专题02 等式与不等式（15知识&15题型）（期中知识清单）高一数学上学期沪教版必修第一册

专题02 等式与不等式（15知识&15题型） 【清单01】等式的性质 用等号“=”把两个表达式连接起来,所得的式子称为等式 等式具有以下性质: （1）传递性 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 ． （2）加法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． （3）乘法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． 【清单02】方程的解、方程的解集与一元一次方程的解 含有未知数的等式称为方程.使得方程左右两边相等的未知数的值,称为方程的解,以方程的所有解为元素组成的集合称为方程的解集. 一元一次方程是只含有一个未知数、未知数的最高次数为1 且两边都为整式的等式 方程的解一般指能使一个含未知 数的等式成立的未知数的值，是一个数.而方程的解集是该等式所有解组成的集合，是一个集合. 根本概念是不一样的. 【清单03】二元一次方程组的解集 由两个二元一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.二元一次方程组中两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解 对二元一次方程组的理解 (1) 方程组各方程中,相同的字母必须代表同一数量 (2)通过解方程组得到一组数值，将这组数值分别代入方程组中的每个方程，当这组数值满足其中的所有方程时，该组数值是此方程组的解(其解可能有无数多组解、无解或一组解);否则它就不是此方程组的解 【清单04】恒等式的概念 数学上，恒等式是无论其变量如何取值，等式永远成立的算式．例如 与 ，对于任一组实数 ，都有 ，所以 与 是恒等的 【清单05】一元二次方程的解集 一元二次方程的解习惯上叫做该方程的根.如果一元二次方程的两个根相等,那么这两个根叫做重根 (1)应用根的判别式时必须先将一元二次方程化成一般形式,然后确定a、b、c的值, (2)此判别式只适用于一元二次方程,当无法判断方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论 （3）当 时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根． 【清单06】韦达定理 . 应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形 变形一 变形二 变形三 变形四 【清单07】一元一次不等式的求解 在含有未知数的不等式中,能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解.一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集,求一元一次不等式解集的过程称为一元一次不等式的求解或解一元一次不等式. 形如 的式子叫做一元一次不等式，有四种形式：、、 、 . 【清单08】 一元一次不等式组的求解 将含有相同未知数的多个不等式联立起来,就得到不等式组，求一元一次不等式组解集的过程称为一元一次不等式组的求解. 最简单的一元一次不等式组的四种解集的情况 不等式组 图示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大 中间找 大大小小 是空集 【清单09】 含参一元一次不等式(组)的求解 含参不等式求解通常需要对参数进行分类讨论，引起分类讨论的原因在于不等式的性质，注意讨论时要考虑周全. 【清单10】 特殊一元二次不等式的求解 定义 设a , b , c为实数，且 ，形如 或 的不等式统称为一元二次不等式． 特别地，形如 的求解，遵循＂大于分两边，小于夹中间＂的原则． （1）＂元＂是指不等式中所要求解的未知数．一元就是指未．知数个数为 1 ，这里即 ，但不等式中也可以包含其他字母，如 、、 等，这里的 、、 为系数，即为常数． （2） ＂次＂是指不等式的最高次项的次数，这里的最高次项为 ，次数为 2 ，即二次．注意二次项系数不为 0 ，即 ．若 ，则二次项不存在，不等式实质为一元一次不等式 （其中 ）．在解题的要注意，若未说明二次项系数不为 0 ，则需分类讨论，求不等式的解集． 【清单11】利用一元二次方程的判别式讨论一元二次不等式的解集 设方程 的判别式 0 或 ，其两根记为 、 ，且 ，一元二次不等式的求解结果总结成下表： 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 【清单12】二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系 一元二次方程 的两根为 、 且 ，其解按照 可分三种情况．相应地，二次函数 的图像与 轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式 或 的解集． 类别 . 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 . 【清单13】 分式不等式与基本不等式 形如 或 （其中 、 为整式且 不为 0) 的不等式称为分式不等式． 解分式不等式先将分式不等式通过移项、通分把右边化为零，左边化为 、 是关于 的表达式且 0）的形式，然后同解变形．分式不等式的同解变形如下表： 分式不等式 同解不等式(组) 与 同解; 与同解 与 同解; 与同解 与 同解 与 同解 【清单14】 绝对值不等式 一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式． 例如， 都是绝对值不等式． 代数意义：|x|= 几何意义：|x|表示数轴上表示数 的点到原点的距离． 【清单15】 含绝对值不等式的解法 1．含绝对值的不等式 与 的解集 一般地，当 时，有 ，因此，不等式 的解集是 ； 或 ，因此，不等式 的解集是 ． 2． 和 型不等式的解法 （1）若 ，则 等价于 等价于 或 ，然后根据 、 的值求解即可． （2）若 ，则 的解集为 的解集为 ． 类型 数轴表示 解集 或 或 3． 和 型不等式的解法 法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 法二:利用“分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 法三:通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想 题型一、等式的性质与方程的解集 【例1】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知等式恒成立，则 ． 【变式1-1】（24-25高一上·上海青浦·期中）设，求方程的解集（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·上海·期中）设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为 . 【变式1-3】（23-24高三上·上海静安·阶段练习）已知方程的两个根为，则= . 【变式1-4】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则 题型二、解含参数的一元一次不等式 【例2】（23-24高一上·上海浦东新·期中）设关于x的不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【变式2-1】不等式的解为 ． 【变式2-2】）设，已知关于的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数a的值为 . 题型三、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【例3】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知方程的两个根为，，则 ． 【变式3-1】（24-25高一上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程．若方程的两根为，且满足，则m的值为 【变式3-2】（24-25高一上·上海·期中）方程的两个实数根为，若，则实数 ． 【变式3-3】已知方程的两个根为和，则 . 【变式3-4】（23-24高一上·上海浦东新·期中）若、是一元二次方程的两根，的值为 ． 题型四、由已知条件判断所给不等式是否正确 【例4】（24-25高一上·上海·期中）若下列不等式中：① ②；③；④， 成立的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】（24-25高一上·上海·期中）已知，则下列不等式正确的是 （  ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·上海·期中）若、、，则下列条件中，使“”成立的充分非必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一上·上海·期中）若，且满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知，，，则之间的大小关系是（   ）. A． B． C． D． 题型五、由不等式的性质比较数（式）大小 【例5】（24-25高一上·上海·期中）已知都是实数，则下列命题中，真命题是（   ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 【变式5-1】（24-25高一上·上海·期中）已知、、，则下列推理中正确的是（   ） A． B． C．， D．， 【变式5-2】（24-25高一上·上海闵行·期中）如果实数a，b，c满足且.那么下列选项中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一上·上海·期中）下列结论成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式5-4】（24-25高一上·上海·期中）对于任意实数a，b，c，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型六、作差法比较代数式的大小 【例6】（24-25高一上·上海黄浦·期中）设，，，是四个正数． (1)已知，比较与的值的大小； (2)若，求证：，，，中至少有一个小于1． 【变式6-1】（24-25高一上·上海·期中）设为实数，比较与的值的大小； 【变式6-2】（24-25高一上·上海·期中）若，设 ,则的大小关系为 . 【变式6-3】（24-25高一上·上海浦东新·期中）（1）对于实数x，比较与的大小； （2）对于实数x，比较与4的大小. 题型七、利用不等式求值或取值范围 【例7】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，，则的范围是 . 【变式7-1】（24-25高一上·上海杨浦·期中）若实数x，y均在[-2，1]的区间内，则xy的取值范围为 . 【变式7-2】（24-25高一上·上海·期中）已知，则的取值范围为 . 【变式7-3】（24-25高一上·上海·期中）若，，则的取值范围是 . 【变式7-4】（24-25高一上·上海·期中）已知，，则的最大值为 题型八、解不含参数的一元二次不等式 【例8】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是 . 【变式8-1】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为 ． 【变式8-2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，则 ． 【变式8-3】[高次方程、穿针引线法]（24-25高一上·上海·期中）若x满足，则x的取值范围为 ． 【变式8-4】（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式（，，均为实数）的解集为，则关于的不等式解集为 ． 【变式8-5】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知关于的不等式解集为，则实数的取值范围是 . 题型九、解含有参数的一元二次不等式 【例9】（24-25高一上·上海杨浦·期中）若方程有唯一的实数根2，则不等式的解集为 . 【变式9-1】（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集 ． 【变式9-2】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知，，关于的不等式． (1)若，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式（解集用表示）． 【变式9-3】（24-25高一上·上海·期中）设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 题型十、由一元二次不等式的解确定参数 【例10】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知命题：关于的方程在上有解；命题：只有一个实数满足不等式．若命题和中有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是 ． 【变式10-1】（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 【变式10-2】（24-25高一上·上海·期中）已知不等式 的解集是，则 ①； ②若不等式的解集为，则； ③若不等式的解集为，则； ④若不等式的解集为，且，则． 其中正确的是（   ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③ 【变式10-3】（24-25高一上·上海浦东新·期中）若关于x的一元二次不等式的集解为，则不等式的解集为 【变式10-4】（24-25高一上·上海普陀·期中）关于的不等式的解集为，则 ． 题型十一、一元二次方程根的分布问题 【例11】（24-25高一上·上海·期中）已知，关于的方程； (1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 【变式11-1】（24-25高一上·上海·期中）已知关于的方程的两根一个比2大，另一个比2小，则实数的范围是 . 【变式11-2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）函数 (1)若，求的解集； (2)若关于x的方程只有一个根，求a的值； (3)关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围. 【变式11-3】已知关于的一元二次方程， (1)若，求证：； (2)若时方程有两个不相等的正实数根，求实数的取值范围. 题型十二、分式不等式 【例12】（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 【变式12-1】（24-25高一上·上海松江·期中）不等式的解集为 ． 【变式12-2】（24-25高一上·天津·阶段练习）不等式 的解集为 【变式12-3】（24-25高一上·上海·期中）下列不等式中，与不等式解集相同的是（   ） A． B． C． D． 【变式12-4】[穿针引线法]（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 . 【变式12-5】（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集是 ． 题型十三、绝对值不等式 【例13】（24-25高一上·上海·期中）不等式的解为 【变式13-1】（2024秋•上海期中）若不等式的解集为，则实数的取值范围是 　 　． 【变式13-2】（2024秋•宝山区校级期中）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 　 　． 【变式13-3】（2024秋•闵行区校级期中）设、，若，则的取值范围为 　 　． 题型十四、绝对值三角不等式 【例14】（2024秋•闵行区校级期中）不等式对一切都成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式14-1】若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式14-2】（2024秋•宝山区期中）代数式的最小值是　 　． 【变式14-3】（2024秋•静安区校级期中）已知，，则的最大值为　 　． 【变式14-4】（2023秋•普陀区期中）对所有实数恒成立，则的取值范围是 　 　． 题型十五、绝对值不等式的解法 【例15】（2024秋•浦东新区校级期中）设，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式15-1】（2025春•普陀区校级期末）设，方程的解集为 　 　． 【变式15-2】（2024秋•普陀区校级期末）不等式的解集为 　 　． 【变式15-3】（2024秋•宝山区校级期末）已知集合对任意恒成立，，则 　 　． 试卷第1页，共3页 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等式与不等式（15知识&15题型） 【清单01】等式的性质 用等号“=”把两个表达式连接起来,所得的式子称为等式 等式具有以下性质: （1）传递性 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 ． （2）加法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． （3）乘法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． 【清单02】方程的解、方程的解集与一元一次方程的解 含有未知数的等式称为方程.使得方程左右两边相等的未知数的值,称为方程的解,以方程的所有解为元素组成的集合称为方程的解集. 一元一次方程是只含有一个未知数、未知数的最高次数为1 且两边都为整式的等式 方程的解一般指能使一个含未知 数的等式成立的未知数的值，是一个数.而方程的解集是该等式所有解组成的集合，是一个集合. 根本概念是不一样的. 【清单03】二元一次方程组的解集 由两个二元一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.二元一次方程组中两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解 对二元一次方程组的理解 (1) 方程组各方程中,相同的字母必须代表同一数量 (2)通过解方程组得到一组数值，将这组数值分别代入方程组中的每个方程，当这组数值满足其中的所有方程时，该组数值是此方程组的解(其解可能有无数多组解、无解或一组解);否则它就不是此方程组的解 【清单04】恒等式的概念 数学上，恒等式是无论其变量如何取值，等式永远成立的算式．例如 与 ，对于任一组实数 ，都有 ，所以 与 是恒等的 【清单05】一元二次方程的解集 一元二次方程的解习惯上叫做该方程的根.如果一元二次方程的两个根相等,那么这两个根叫做重根 (1)应用根的判别式时必须先将一元二次方程化成一般形式,然后确定a、b、c的值, (2)此判别式只适用于一元二次方程,当无法判断方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论 （3）当 时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根． 【清单06】韦达定理 . 应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形 变形一 变形二 变形三 变形四 【清单07】一元一次不等式的求解 在含有未知数的不等式中,能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解.一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集,求一元一次不等式解集的过程称为一元一次不等式的求解或解一元一次不等式. 形如 的式子叫做一元一次不等式，有四种形式：、、 、 . 【清单08】 一元一次不等式组的求解 将含有相同未知数的多个不等式联立起来,就得到不等式组，求一元一次不等式组解集的过程称为一元一次不等式组的求解. 最简单的一元一次不等式组的四种解集的情况 不等式组 图示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大 中间找 大大小小 是空集 【清单09】 含参一元一次不等式(组)的求解 含参不等式求解通常需要对参数进行分类讨论，引起分类讨论的原因在于不等式的性质，注意讨论时要考虑周全. 【清单10】 特殊一元二次不等式的求解 定义 设a , b , c为实数，且 ，形如 或 的不等式统称为一元二次不等式． 特别地，形如 的求解，遵循＂大于分两边，小于夹中间＂的原则． （1）＂元＂是指不等式中所要求解的未知数．一元就是指未．知数个数为 1 ，这里即 ，但不等式中也可以包含其他字母，如 、、 等，这里的 、、 为系数，即为常数． （2） ＂次＂是指不等式的最高次项的次数，这里的最高次项为 ，次数为 2 ，即二次．注意二次项系数不为 0 ，即 ．若 ，则二次项不存在，不等式实质为一元一次不等式 （其中 ）．在解题的要注意，若未说明二次项系数不为 0 ，则需分类讨论，求不等式的解集． 【清单11】利用一元二次方程的判别式讨论一元二次不等式的解集 设方程 的判别式 0 或 ，其两根记为 、 ，且 ，一元二次不等式的求解结果总结成下表： 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 【清单12】二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系 一元二次方程 的两根为 、 且 ，其解按照 可分三种情况．相应地，二次函数 的图像与 轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式 或 的解集． 类别 . 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 . 【清单13】 分式不等式与基本不等式 形如 或 （其中 、 为整式且 不为 0) 的不等式称为分式不等式． 解分式不等式先将分式不等式通过移项、通分把右边化为零，左边化为 、 是关于 的表达式且 0）的形式，然后同解变形．分式不等式的同解变形如下表： 分式不等式 同解不等式(组) 与 同解; 与同解 与 同解; 与同解 与 同解 与 同解 【清单14】 绝对值不等式 一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式． 例如， 都是绝对值不等式． 代数意义：|x|= 几何意义：|x|表示数轴上表示数 的点到原点的距离． 【清单15】 含绝对值不等式的解法 1．含绝对值的不等式 与 的解集 一般地，当 时，有 ，因此，不等式 的解集是 ； 或 ，因此，不等式 的解集是 ． 2． 和 型不等式的解法 （1）若 ，则 等价于 等价于 或 ，然后根据 、 的值求解即可． （2）若 ，则 的解集为 的解集为 ． 类型 数轴表示 解集 或 或 3． 和 型不等式的解法 法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 法二:利用“分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 法三:通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想 题型一、等式的性质与方程的解集 【例1】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知等式恒成立，则 ． 【答案】5 【知识点】数与式、等式的性质与方程的解集 【分析】由题意列出方程组，即可得答案． 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 所以． 故答案为：5 【变式1-1】（24-25高一上·上海青浦·期中）设，求方程的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等式的性质与方程的解集 【分析】根据绝对值的定义去掉绝对值，分类讨论，求解即可． 【详解】当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得，舍去； 当时，方程为，解得，舍去； 当时，方程为，解得 综上，方程的解集为 故选：D 【变式1-2】（24-25高一上·上海·期中）设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为 . 【答案】且 【知识点】等式的性质与方程的解集、方程组的解集 【分析】由题意方程组消元后所得方程无解即可. 【详解】因为方程组的解集为， 所以消元后无解， 所以且， 解得且. 故答案为：且 【变式1-3】（23-24高三上·上海静安·阶段练习）已知方程的两个根为，则= . 【答案】3 【知识点】等式的性质与方程的解集 【分析】将所求式子适当变形结合韦达定理即可求解. 【详解】由题意结合韦达定理有，所以. 故答案为：3. 【变式1-4】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则 【答案】 【知识点】等式的性质与方程的解集 【分析】结合已知等式进行变形，然后结合等式恒成立，对应项系数相等可建立关于，，的方程，从而可求． 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 解得，，，， 所以． 故答案为：． 题型二、解含参数的一元一次不等式 【例2】（23-24高一上·上海浦东新·期中）设关于x的不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】D 【知识点】判断命题的充分不必要条件、解含参数的一元一次不等式 【分析】根据题意，结合不等式的解法，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当时，此时，但不满足，即充分性不成立； 反之：当时， 此时，不等式的解集为，的解集为， 所以，即必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也必要条件. 故选：D. 【变式2-1】不等式的解为 ． 【答案】 【知识点】解含参数的一元一次不等式 【分析】根据不等式的性质求解． 【详解】因为，所以原不等式的解为． 故答案为：． 【变式2-2】）设，已知关于的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解含参数的一元一次不等式 【分析】由题意可得的解集为，故有，从而求得的值． 【详解】关于，即的解集为， ，求得， 故选：． 【变式2-3】（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数a的值为 . 【答案】 【知识点】解含参数的一元一次不等式 【分析】由给定的解集确定关于的方程的根及一次项的系数正负，再代入解方程即得. 【详解】由关于x的不等式的解集为， 得1是关于的方程的根，且， 因此，即，而，解得， 所以实数a的值为. 故答案为： 题型三、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【例3】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知方程的两个根为，，则 ． 【答案】3 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】由已知结合方程的根与系数关系即可求解 【详解】因为方程的两个根为，， 所以， 则． 故答案为：3 【变式3-1】（24-25高一上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程．若方程的两根为，且满足，则m的值为 【答案】/ 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】根据韦达定理可得的表示，化简条件结合韦达定理形式可求结果. 【详解】因为的两根为， 所以， 所以，解得，符合条件， 故答案为：. 【变式3-2】（24-25高一上·上海·期中）方程的两个实数根为，若，则实数 ． 【答案】 【知识点】方程与不等式、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程中根与系数的关系求解即可. 【详解】由根与系数的关系知，， 所以， 解得， 故答案为： 【变式3-3】已知方程的两个根为和，则 . 【答案】14 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】根据给定条件，利用韦达定理列式计算即得. 【详解】方程有实根，则， 所以. 故答案为：14 【变式3-4】（23-24高一上·上海浦东新·期中）若、是一元二次方程的两根，的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】利用韦达定理可求得所求代数式的值. 【详解】因为、是一元二次方程的两根， 由韦达定理可得，， 因此，. 故答案为：. 题型四、由已知条件判断所给不等式是否正确 【例4】（24-25高一上·上海·期中）若下列不等式中：① ②；③；④， 成立的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】①，作差法比较大小；②，先得到，，作差法得到，故，即；③，由不等式性质得到，，得到③正确；④，由同号可加性得到. 【详解】对于①，因为，所以，故， 所以，①正确； 对于②，因为，所以，， 由得，故，即，②错误； 对于③，两边同乘以得， 两边同乘以得，故，③正确； 对于④，由②知，，又，由不等式性质得，④正确. 故选：C 【变式4-1】（24-25高一上·上海·期中）已知，则下列不等式正确的是 （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小 【分析】对于A，当时不成立；对于B，举例即可判断；对于C，当时和没有意义可判断；对于D，作差计算，根据差值即可判断得解. 【详解】已知， 对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，和没有意义，故C错误； 对于D，因为， 所以，故D正确. 故选：D. 【变式4-2】（24-25高一上·上海·期中）若、、，则下列条件中，使“”成立的充分非必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质逐项分析判断； 【详解】选项A：可以推出，充要条件，选项错误； 选项B：解得，推不出，是“”成立的必要不充分条件，选项错误； 选项C：可以推导出，但是时不成立，是“”成立的充分非必要条件，选项正确； 选项D：,当时，不成立，选项错误； 故选：C. 【变式4-3】（24-25高一上·上海·期中）若，且满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】由不等式的基本性质和特殊值法即可判断结果. 【详解】当时，，A选项错误； 当，时，，，，B选项错误； ∵且，∴，C选项正确； 当时，，D选项正确. 故选：C. 【变式4-4】（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知，，，则之间的大小关系是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据绝对值的定义对分类讨论，首先对有一个为0进行分析，然后按同号、异号进行分析可得． 【详解】，时，，，时，，， 同号时，，因此， 时，，时，，或，因此， 异号时，时，，时，，或， ，，因此有， 综上，， 故选：D． 题型五、由不等式的性质比较数（式）大小 【例5】（24-25高一上·上海·期中）已知都是实数，则下列命题中，真命题是（   ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 【答案】D 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】特殊值验证A，B，C；不等式性质验证D. 【详解】对于A，若时，不成立，故A错误； 对于B，若时，不成立，故B错误； 对于C，若时，无意义，不成立，故C错误； 对于D，因为，所以，所以成立，故D正确. 故选：D 【变式5-1】（24-25高一上·上海·期中）已知、、，则下列推理中正确的是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的基本性质或取特殊值依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，由，又， 所以，即，故C正确； 对于D，当时，满足，， 而，故D错误. 故选：C. 【变式5-2】（24-25高一上·上海闵行·期中）如果实数a，b，c满足且.那么下列选项中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的性质判断ABD成立，取特殊值及不等式性质可分析C不一定成立. 【详解】由且，可知， 因为，所以成立， 因为，，所以成立， 当时，显然不成立，当时，成立， 因为，，所以成立.\ 由以上分析知，C不一定成立，ABD成立. 故选：C 【变式5-3】（24-25高一上·上海·期中）下列结论成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】由不等式的性质及特例逐个判断即可. 【详解】对于A，当时，不成立； 对于B，取，满足，显然不成立； 对于C，取，满足，显然不成立； 对于D，由，可得，所以成立. 故选：D 【变式5-4】（24-25高一上·上海·期中）对于任意实数a，b，c，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选:C. 题型六、作差法比较代数式的大小 【例6】（24-25高一上·上海黄浦·期中）设，，，是四个正数． (1)已知，比较与的值的大小； (2)若，求证：，，，中至少有一个小于1． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】作差法比较代数式的大小、反证法证明 【分析】（1）利用作差比较即可判断； （2）利用反证法即可证明． 【详解】（1）因为， 则， 所以； （2）假设，，，都不小于1，即，，，， 则，，，， 所以，与已知矛盾， 故，，，中至少有一个小于1． 【变式6-1】（24-25高一上·上海·期中）设为实数，比较与的值的大小； 【答案】 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】根据作差比较法即可得解. 【详解】因为 ，当时等号成立， 所以. 【变式6-2】（24-25高一上·上海·期中）若，设 ,则的大小关系为 . 【答案】 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】作差计算，根据差值即可比较大小. 【详解】由题恒成立， 所以. 故答案为：. 【变式6-3】（24-25高一上·上海浦东新·期中）（1）对于实数x，比较与的大小； （2）对于实数x，比较与4的大小. 【答案】（1）；（2） 【知识点】作差法比较代数式的大小、分类讨论解绝对值不等式 【分析】（1）根据题意，由作差法代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分类讨论去掉绝对值符号，即可得到大小关系. 【详解】（1）， 即； （2）， 令， 当时，， 当时，； 当时，； 当时，， 当时，； 综上所述，. 题型七、利用不等式求值或取值范围 【例7】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，，则的范围是 . 【答案】 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出范围. 【详解】由，，得. 所以的范围是. 故答案为： 【变式7-1】（24-25高一上·上海杨浦·期中）若实数x，y均在[-2，1]的区间内，则xy的取值范围为 . 【答案】 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据的符号分类讨论，再利用不等式的性质求范围. 【详解】由题意得，； 当，时，； 当，时，，，此时； 当，时，，所以，即； 当，时，，所以，即； 当或时，； 综上所述： 故答案为： 【变式7-2】（24-25高一上·上海·期中）已知，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据不等式的性质得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为： 【变式7-3】（24-25高一上·上海·期中）若，，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据不等式的性质直接得出结果. 【详解】由， 得，即. 故答案为： 【变式7-4】（24-25高一上·上海·期中）已知，，则的最大值为 【答案】3 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】由绝对值不等式的性质求解即可； 【详解】由，可得 ， 当时等号成立. 故答案为：3. 题型八、解不含参数的一元二次不等式 【例8】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是 . 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】先根据一元二次不等式的解集求出的值，代入到不等式中可求得解集. 【详解】由一元二次不等式的解集为， 所以方程的两根为和，则，， ，， 所以不等式为， 解得，即不等式的解集为. 故答案为：. 【变式8-1】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为 ． 【答案】． 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由已知结合二次不等式及一次不等式的求法即可求解． 【详解】由可得， 由可得， 若不等式组没有实数解， 则． 故答案为：． 【变式8-2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，则 ． 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】求出集合，再根据交集的运算法则求两个集合的交集. 【详解】因为或. 所以. 故答案为： 【变式8-3】[高次方程、穿针引线法]（24-25高一上·上海·期中）若x满足，则x的取值范围为 ． 【答案】或 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、高次不等式 【分析】将给定不等式转化为不等式组求解. 【详解】由，得或， 解，得，解，得， 所以x的取值范围为或. 故答案为：或 【变式8-4】（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式（，，均为实数）的解集为，则关于的不等式解集为 ． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由已知可得是方程的两根且，可求得，可求不等式的解集. 【详解】因为不等式的解集为， 所以是方程的两根且， 所以，所以， 由不等式，可得，因为， 所以，所以，解得或， 所以不等式解集为. 故答案为：. 【变式8-5】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知关于的不等式解集为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】依题意可得关于的不等式等价于，分和两种情况讨论，当时，解得即可. 【详解】因为， 所以关于的不等式等价于， 依题意关于的不等式解集为， 当时，解集为，符合题意； 当时，则，解得， 综上可得实数的取值范围是. 故答案为： 题型九、解含有参数的一元二次不等式 【例9】（24-25高一上·上海杨浦·期中）若方程有唯一的实数根2，则不等式的解集为 . 【答案】或或或 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】首先根据方程的类型分类讨论，再根据一次函数和二次函数的图象求解即可. 【详解】①时，由题意知方程有唯一的实数根2，此时，且， 得不等式，即， 则当时，；当时，. ②当时，由题意知方程有唯一的实数根2， 即二次函数的图象与轴只有一个交点， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 综上所述，不等式的解集为或或或； 故答案为：或或或 【变式9-1】（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集 ． 【答案】 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由题意可知：的根为，且，利用韦达定理可得之间的关系，代入运算即可. 【详解】由题意可知：的根为，且， 则，可得， 不等式即为， 且，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式9-2】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知，，关于的不等式． (1)若，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式（解集用表示）． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）由恒成立，转化为恒成立，结合二次函数的性质对的范围进行分类讨论即可求解； （2）由恒成立，不等式可化为，然后结合二次不等式的求法对的范围进行分类讨论即可求． 【详解】（1）若，且不等式对一切恒成立， 又恒成立， 所以恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为； （2）当时，又恒成立， 不等式可化为， 即， 当时，， 当时，不等式可化为， 解得， 当时，不等式可化为， 当时，解得或； 当时，； 当时，解得或， 故当时，解集为； 当时，解集为， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【变式9-3】（24-25高一上·上海·期中）设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)2 (2)： (3)答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】（1）由二次不等式与二次方程的关系，得到方程的解，即可求出实数的值； （2）整理不等式，将不等式左边看成关于的一次函数，代入两端点不等式成立即可解出的解集； （3）整理不等式，讨论参数的取值，得到相应不等式的解集即可. 【详解】（1）由题意知，是方程的两个根， 则，则. （2）， 则对于实数时恒成立， 则，即， 解得，∴ 则的取值范围为. （3）依题意，等价丁， 当时，不等式可化为，解集为. 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为. 题型十、由一元二次不等式的解确定参数 【例10】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知命题：关于的方程在上有解；命题：只有一个实数满足不等式．若命题和中有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】． 【知识点】根据或且非的真假求参数、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据题意，分别求出、为真命题时的取值范围，再分“真假”和“假真”两种情况讨论，求出的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，对于方程，变形可得，解可得或， 若为真命题，则或，则有， 对于，只有一个实数满足不等式，则有，解可得或， 若命题和中有且仅有一个是真命题，有2种情况， ①假真，为假时，或；为真时，或， 假真不能同时成立，此时无解； ②真假，为真时，；为假时，且， 此时或； 综合可得：或，即的取值范围为． 故答案为：． 【变式10-1】（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由不等式的解集求出的关系，再把不等式化为可以解答的一元二次不等式，求出解集即可． 【详解】因为不等式的解集为， 所以 和是的两根，且， 所以即， 所以可化为， 所以， 解得. 故答案为： 【变式10-2】（24-25高一上·上海·期中）已知不等式 的解集是，则 ①； ②若不等式的解集为，则； ③若不等式的解集为，则； ④若不等式的解集为，且，则． 其中正确的是（   ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理进行求解. 【详解】由题意，不等式的解集是， 所以，，所以①正确； 变形为，其解集为， 所以，得，故成立，所以②正确； 若不等式的解集为，由韦达定理知： ，所以③错误； 若不等式的解集为，即的解集为， 由韦达定理知：， 则，解得， 所以④正确. 综上，正确的为：①②④ 故选：C 【变式10-3】（24-25高一上·上海浦东新·期中）若关于x的一元二次不等式的集解为，则不等式的解集为 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由韦达定理得到，，求出不等式解集. 【详解】由题意得为方程的两根， 故，解得， ，解得， 故解集为. 故答案为： 【变式10-4】（24-25高一上·上海普陀·期中）关于的不等式的解集为，则 ． 【答案】 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据一元二次不等式的解集求得，进而求得. 【详解】由于不等式的解集为， 所以，解得， 所以. 故答案为： 题型十一、一元二次方程根的分布问题 【例11】（24-25高一上·上海·期中）已知，关于的方程； (1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 【答案】(1)或 (2)1或3 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次方程根的分布问题 【分析】（1）根据方程有两个正根列出不等式组求解； （2）根据根与系数的关系，结合根及为整数，求出根即可得解. 【详解】（1）因为关于的方程有两个正实数根， 所以，即， 解得或. （2）由方程有两个整数根， 所以且，， 由，所以或， 当时，，， 所以或，所以， 当时，，， 所以或，所以， 综上，的值为1或3 【变式11-1】（24-25高一上·上海·期中）已知关于的方程的两根一个比2大，另一个比2小，则实数的范围是 . 【答案】 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】由题意，利用一元二次方程实根的分布规律列式求解即可. 【详解】设，显然函数的图象开口向上， 又的两根一个比2大，另一个比2小，则， 即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 【变式11-2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）函数 (1)若，求的解集； (2)若关于x的方程只有一个根，求a的值； (3)关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或1； (3) 【知识点】一元二次方程根的分布问题、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、解不含参数的一元一次不等式 【分析】（1），解一元一次不等式，求出解集； （2）分和，结合根的判别式得到不等式，求出a的值； （3）解集为R，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】（1）时，，解得， 故的解集为； （2）只有一个根， 若，，解得，只有1个解，满足要求， 若，，解得， 综上，或1； （3），解集为R， 当时，，解得，不合要求， 当时，需满足，无解， 综上，实数a的取值范围为. 【变式11-3】已知关于的一元二次方程， (1)若，求证：； (2)若时方程有两个不相等的正实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】由不等式的性质证明不等式、解不含参数的一元二次不等式、一元二次方程根的分布问题 【分析】（1）根据已知条件，结合不等式的性质，即可求证． （2）关于的方程有两个不相等的正实数根，则，且，即可求解的取值范围. 【详解】（1），， ，，． （2）关于的方程有两个不相等的正实数根， 则，且， ，， 解得：． 题型十二、分式不等式 【例12】（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】根据分式不等式的解法计算即可求解. 【详解】由，得， 解得或， 原不等式的解集为. 故答案为： 【变式12-1】（24-25高一上·上海松江·期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】将分式不等式移项通分，解不等式即可 . 【详解】，则. 故不等式解集为. 故答案为：. 【变式12-2】（24-25高一上·天津·阶段练习）不等式 的解集为 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】通过移项通分，把分式不等式转化为整式不等式，解一元二次不等式即可. 【详解】由可得，即，即， 解得或. 所以不等式 的解集为. 故答案为：. 【变式12-3】（24-25高一上·上海·期中）下列不等式中，与不等式解集相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式不等式 【分析】易得，再结合不等式的性质即可得出答案. 【详解】因为， 所以不等式等价于不等式. 故选：D. 【变式12-4】[穿针引线法]（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】分式不等式、高次不等式 【分析】利用不等式的等价变形可得，再利用数轴标根法可求得不等式的解集. 【详解】由， 可得， 所以 方程的根为， 由数轴标根法可得. 故答案为：. 【变式12-5】（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式、高次不等式 【分析】由函数定义域解不等式即可得，对在不同区间内的取值进行分类讨论即可求得不等式的解集. 【详解】根据题意可知，解得； 当时，易知，满足题意； 当时，，所以，符合题意； 当时，当时，，原不等式成立； 当时，，若要满足题意只需，解得，所以可得； 综上可知，原不等式的解集为. 故答案为： 题型十三、绝对值不等式 【例13】（24-25高一上·上海·期中）不等式的解为 【答案】 【知识点】分式不等式 【分析】由，所以，解分式不等式转化为一元二次不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 即，解得， 所以不等式的解集为：. 故答案为：. 【变式13-1】（2024秋•上海期中）若不等式的解集为，则实数的取值范围是 　 　． 【答案】，． 【分析】利用三角不等式得到，再解绝对值不等式即可． 【解答】解：由题意可知，不等式对任意的恒成立， 由三角不等式可得， 则，即，解得， 因此，实数的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的性质，考查计算能力，属于基础题． 【变式13-2】（2024秋•宝山区校级期中）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 　 　． 【答案】，． 【分析】令，将函数写成分段函数，即可求出，从而求出参数的取值范围． 【解答】解：设，， 结合一次函数的单调性，可得， 由题意，不等式对一切恒成立， ，即实数的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了绝对值不等式，属于基础题． 【变式13-3】（2024秋•闵行区校级期中）设、，若，则的取值范围为 　 　． 【答案】，． 【分析】利用三角绝对值不等式得到，，再利用不等式的性质求解即可． 【解答】解：因为，， 当且仅当，时取等号． 所以，又， 所以成立， 则，， ，， 所以， 故， 所以，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查三角绝对值不等式公式，属于中档题． 题型十四、绝对值三角不等式 【例14】（2024秋•闵行区校级期中）不等式对一切都成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】不等式对一切都成立，由于，因此有，解不等式即可． 【解答】解：对一切都成立， 即对一次都成立， ， 只需， ，， 的取值范围为：，． 故选：． 【点评】本题考查了绝对值三角不等式恒成立问题，属基础题． 【变式14-1】若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】可以考虑设，然后分类讨论去绝对值号，求解出函数的最小值，然后求解出的取值范围． 【解答】解：设， 当时，， 当时，， 当时，， 故有最小值3．对一切恒成立，，即． 故选：． 【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，属于基础题． 【变式14-2】（2024秋•宝山区期中）代数式的最小值是　 　． 【答案】4． 【分析】根据已知条件，结合绝对值三角不等式的公式，即可求解． 【解答】解：，当且仅当时，等号成立， 故所求最小值为4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查绝对值三角不等式的公式，属于基础题． 【变式14-3】（2024秋•静安区校级期中）已知，，则的最大值为　 　． 【答案】3． 【分析】由绝对值不等式的性质求解即可； 【解答】解：由，可得， 当，时等号成立， 故的最大值为3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，属于基础题． 【变式14-4】（2023秋•普陀区期中）对所有实数恒成立，则的取值范围是 　 　． 【答案】． 【分析】利用三角不等式求得的最小值，根据不等式恒成立的意义即可求得答案． 【解答】解：因为， 当且仅当时等号成立，即， 故不等式对所有实数恒成，则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题． 题型十五、绝对值不等式的解法 【例15】（2024秋•浦东新区校级期中）设，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 【分析】解出绝对值不等式，根据充分条件、必要条件概念判断即可． 【解答】解：由，当时，，可得，当时，，可得，当时，方程无解， 由绝对值的几何意义可知或， 不能推出，能推出， “”是“”的必要不充分条件． 故选：． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，充要条件的判定，是基础题． 【变式15-1】（2025春•普陀区校级期末）设，方程的解集为 　 　． 【答案】． 【分析】利用零点分段法去绝对值，由此求得方程的解集． 【解答】解：依题意， 当时，方程化为，，恒成立， 当时，方程化为，不符合题意， 当时，方程化为，，解得， 当时，方程化为，，恒成立， 综上所述，程的解集为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查零点分段去绝对值，属于基础题． 【变式15-2】（2024秋•普陀区校级期末）不等式的解集为 　 　． 【答案】． 【分析】根据已知条件，结合绝对值不等式的解法，即可求解． 【解答】解：不等式， 则，解得， 故所求解集为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题． 【变式15-3】（2024秋•宝山区校级期末）已知集合对任意恒成立，，则 　 　． 【答案】或． 【分析】求出的最小值解不等式得出集合，解不等式得集合，再求． 【解答】解：因为不等式，当且仅当时取等号， 所以集合对任意恒成立， 又因为， 所以因为或， 所以或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题． 试卷第1页，共3页 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $