第一章集合与逻辑（期中知识清单）高一数学上学期沪教版

第1章 集合与逻辑　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 集合的概念 1.1 集合与元素 把一些确定的对象的全体叫做集合，简称集。集合通常用大写字母 、、……表示。 集合所含的各个对象叫做该集合的元素。元素通常用小写字母 、、……表示。 示例：申辉中学高一（1）班的全体学生组成一个集合，其中每一位学生都是这个集合的元素。 1.2 元素与集合的关系——属于 如果 是集合 的元素，就记作 ，读作” 属于 “；如果 不是集合 的元素，就记作 ，读作” 不属于 “。 示例：若 是由数 、、、、 组成的集合，则 ，。 1.3 集合中元素的特征 集合的元素是确定的。也就是说，给定一个集合，一个对象在不在这个集合中就确定了。一些不确定的对象不能组成一个集合。 一个给定集合中的各个元素是互不相同的，即一个元素在同一个集合中是不能重复出现的。 在讨论集合时，不考虑其元素的顺序。 示例：”我国的直辖市”组成一个集合；“我们班里高个子的同学”不能组成一个集合，因为”高个子”的标准不够明确、具体。 1.4 集合相等 如果两个集合 与 的组成元素完全相同，就称这两个集合相等，记作 。 示例： 与 组成元素完全相同，所以 。 1.5 有限集与无限集 元素个数有限的集合称为有限集，否则就称为无限集。 示例：” 的正约数组成的集合”是有限集；“ 的正整数倍组成的集合”是无限集。 1.6 常用数集 数集 符号 自然数集 整数集 有理数集 实数集 1.7 空集 不含有任何元素的集合称为空集，记作 。 示例：方程 没有实数解，它的实数解组成的集合是空集。 2. 集合的表示方法 2.1 列举法 将集合中的元素不重复地一一列举出来并写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法。 示例：方程 的所有解组成的集合可以表示为 ，也可以表示为 。 2.2 描述法 在大括号内先写出这个集合中元素的一个记号，再画一条竖线，并在竖线的右边写上集合中所有元素具有的共同特征，即 满足性质 。这种表示集合的方法叫做描述法。 示例：方程 的所有解组成的集合可以表示为 。 2.3 区间 当 、 且 时，规定： 区间 记法 含义 闭区间 满足 的全体实数 组成的集合 开区间 满足 的全体实数 组成的集合 半开半闭区间 满足 的全体实数 组成的集合 半开半闭区间 满足 的全体实数 组成的集合 这里的实数 、 统称为这些区间的端点。 此外，满足 ，， 或 的全体实数 所组成的集合可分别用区间表示为 ，， 或 。实数集 可用区间表示为 。 3. 集合之间的关系 3.1 子集 对于两个集合 与 ，如果集合 的每个元素都是集合 的元素，那么集合 叫做集合 的子集，记作 （或 ），读作” 包含于 “（或” 包含 “）。 对任何集合 ，规定 。 示例：，，则 且 。 3.2 子集的性质 1. ； 1. 若 且 ，则 ； 1. 传递性：若 且 ，则 。 3.3 真子集 对于两个集合 与 ，如果 ，且 中至少有一个元素不属于 （即 不是 的子集），那么称集合 是集合 的真子集，记作 （或 ），读作” 真包含于 “（或” 真包含 “）。 对于常用的数集，有如下的包含关系：。 4. 集合的运算 4.1 交集 由既属于集合 又属于集合 的所有元素组成的集合，叫做集合 与 的交集，记作 （读作” 交 “），即 且 。 示例：，，则 。 4.2 并集 由所有属于集合 或属于集合 的元素所组成的集合，叫做集合 与 的并集，记作 （读作” 并 “），即 或 。 示例：，，则 。 4.3 全集与补集 所研究的对象往往是某个确定集合的一个子集或元素，这个确定的集合称为全集，常用符号 表示。 设 为全集， 是 的子集。由 中所有不属于 的元素组成的集合称为集合 在全集 中的补集，记作 （读作” 补”），即 且 。 示例：设全集 ，，则 。 5. 命题与推出关系 5.1 命题 用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫做命题。命题通常用陈述句表述。其含义判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题。 示例：” 能被 整除”是真命题，“ 能被 整除”是假命题。 5.2 “若 α，则 β”与推出关系 在形如”若 ，则 “的命题中，陈述句 称为条件， 称为结论。 如果命题”若 ，则 “是真命题，那么就称 推出 ，记作 （或 ）。 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若 且 ，则 。 示例：”若一个三角形是等腰三角形，则它的两个底角相等”是真命题，所以”一个三角形是等腰三角形”推出”它的两个底角相等”。 6. 充分条件与必要条件 6.1 充分条件与必要条件 对于两个陈述句 与 ，如果 ，就称 是 的充分条件，亦称 是 的必要条件。 示例：”一个三角形是等腰三角形”是”一个三角形有两个角相等”的充分条件，“两个角相等”是”两个角是对顶角”的必要条件。 6.2 充要条件 对于两个陈述句 与 ，如果既有 ，又有 ，就称 是 的充分必要条件，简称充要条件，记作 ，读作” 与 等价”或” 成立当且仅当 成立”。 示例：”三角形的两个内角相等”是”三角形的两条边相等”的充要条件。 7. 反证法 7.1 反证法 首先假设命题的结论不成立（即否定命题的结论），然后经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而说明”结论不成立”是不可能发生的，即结论是正确的。这样的证明方法叫反证法。 示例：要证”若 ，则 或 “，先假设 且 ，则 ，与已知 矛盾，故原结论成立。 7.2 一些常用的否定形式 陈述句 的否定形式 或 且 至少有两个 最多有一个 所有的 满足性质 至少存在一个 不满足性质 所有的 不满足性质 至少存在一个 满足性质 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 子集个数 含 个元素的集合的子集个数为 ，真子集有 个，非空子集有 个，非空真子集有 个。如含 个元素的集合 有 个子集。 1.2 空集的特殊性 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集； 只有一个子集（它本身）。 1.3 证明两集合相等 要证 ，只需证 且 （由”若 且 ，则 “）。如证 ，分别验证两个包含关系即可。 1.4 交、并运算的包含关系 ，； 的充要条件是 ，也是 。如 ，，则 ，。 1.5 补集的运算性质 ，；。 1.6 集合语言与推出关系的对应 命题”若 ，则 “是真命题，等价于 满足 满足 。即” 是 的充分条件”对应集合的包含关系。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 含参集合求参数（先定归属，再验互异） 由”元素属于集合”列出等式求出参数后，必须回代检验集合中元素是否互异，出现重复元素的值要舍去。如 且 ：由 得 ，由 得 或 ，其中 使 出现重复元素，舍去，故 。 2.2 由包含关系求参数（勿忘空集） 求参数时，先讨论 （当 随参数变化时），再讨论 时列不等式，最后取并集。如 ， 且 ： 时 ，即 ； 时 且 、，得 ；综上 。 2.3 充分必要条件判定四步法 ① 分清谁是条件 、谁是结论 ；② 判断 是否成立（充分性）；③ 判断 是否成立（必要性）；④ 下结论：都成立为充要，只有 为充分不必要，只有 为必要不充分，都不成立为既不充分也不必要。如 ：，：， 真、 假（ 是反例），故 是 的充分不必要条件。 2.4 由充分/必要条件求参数范围 “ 是 的充分条件”转化为 满足 满足 ，再解含参不等式，注意临界端点是否取等号（开闭区间）。如 ：，：， 是 的充分条件，则 ，故 。 2.5 反证法证明的步骤 ① 否定结论（正确写出结论的否定，注意”或/且”与量词的否定）；② 从否定出发进行正确推理，得出与已知条件、公理、定理或假设矛盾的结论；③ 断定原结论成立。如证”若 ，则 或 “：假设 且 ，则 ，与已知矛盾。 3. 集合运算与表示技巧 技巧 要点 示例 数轴法求交、并、补 把数集（区间）画在同一数轴上，交看公共部分、并看合并部分、补看”全集减去自身”；含参时把临界端点代入检验是否取等号 ，，则 ， 文氏图辅助抽象集合运算 涉及抽象集合（尤其补集）的运算时，画文氏图标出各区域，直观确定结果 ，，，则 ， 集合语言转化 把”满足……的所有对象”等文字表述转化为集合的包含、相等或运算关系再求解 “”可转化为”” 列举法、描述法的选择 元素有限且个数少用列举法；元素有共同特征或为无限集用描述法；有规律的无限集可用列举法加省略号 全体正偶数可表示为 ，也可表示为 4. 常见考试模型 4.1 子集个数模型 公式：含 个元素的集合的子集个数为 ，真子集为 个，非空真子集为 个。 限定： 为集合的元素个数（非负整数）；空集 时有 个子集。 示例：如集合 有 个子集、 个真子集。 4.2 含参集合模型（空集讨论） 公式： 且 随参数变化时，分 与 两类讨论，最后取并集。 限定：当 用区间 表示时， 即 ，须单列。 示例：如 ， 且 ，得 。 4.3 充分必要条件判定模型 公式： 是 的充分条件即 ； 是 的必要条件即 ；两者都成立为充要条件。 限定：判定一个蕴含关系为假，用”举反例”（找一个满足条件但不满足结论的对象）。 示例：如 ：，：， 真、 假（如 ），故 是 的充分不必要条件。 4.4 反证法模型 公式：证”若 ，则 “：假设 不成立，推出矛盾，从而 成立。 限定：第一步必须先正确写出 的否定（注意”或/且”与量词互变）。 示例：如证”若 ，则 或 “：假设 且 ，则 ，矛盾。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：求参数时忽视集合元素的互异性 典例：已知集合 ，且 ，求 的值。 错解：由 ，得 或 。由 得 ；由 得 ，即 ，得 或 。所以 或 。 正解：由 ，得 或 ，解得 或 。检验：当 时，，，集合 出现两个相同元素 ，违反互异性，舍去；当 时，，， 满足互异性。所以 。 原因：忽视集合元素的互异性。由”“列方程求出的参数，可能使集合中出现两个相同的元素（这里 时 与 都等于 ），此时集合不再满足”元素互不相同”。凡涉及集合求参数，求出后必须回代检验互异性，重复的值要舍去。 易错点 2：含参子集问题漏讨论空集 典例：已知集合 ，，且 ，求实数 的取值范围。 错解：由 ，得 且 ，即 且 ，所以 。 正解：① 当 时，，即 ，此时 恒成立；② 当 时，，且需 、（即 ），与 联立得 。综合①②得 。 原因：忽视”空集是任何集合的子集”。当 用区间 表示时，一旦 ， 就是空集，此时 无条件成立。学生默认 非空直接列不等式，漏掉了 这一整段解。 易错点 3：数集与点集混淆 典例：已知集合 ，，，判断这三个集合是否相等。 错解：三个集合都由 确定，所以是同一个集合，。 正解： 中元素是 （自变量），； 中元素是 （函数值），； 中元素是点 ，即抛物线 上的所有点。三个集合各不相同。 原因：混淆集合中”“左边记号的含义。 的元素是数 ， 的元素是点 ，二者本质不同；即便同为数集，还要看清竖线左边是自变量还是函数值。学生常被”竖线右边都是 “迷惑，忽略了元素形式的差异。 易错点 4：充分条件与必要条件方向颠倒 典例：设 ：，：，则 是 的什么条件？ 错解：由 得 ，所以 ，即 是 的必要条件；又 时 ，所以 也成立，故 是 的充要条件。 正解：由 ： 可得 ，即 成立；但由 ： 可得 或 ，不能推出 （如 ），即 不成立。所以 是 的充分不必要条件。 原因：充分、必要方向颠倒。充分条件是”有它即可”（， 是 的充分条件），必要条件是”没它不行”（ 中 是 的必要条件）。学生把 成立误当成 是 的必要条件，又忽略了 实际上不成立（漏掉 ）。判方向时先明确”谁推出谁”，再套定义。 易错点 5：反证法第一步否定结论时，“或”“且”及量词否定错误 典例：用反证法证明”若 ，则 或 “，第一步应假设什么？ 错解：假设 或 。 正解：结论” 或 “的否定是” 且 “，所以应假设 且 。再由 、 得 ，与已知 矛盾，从而原结论成立。 原因：混淆”或”与”且”的否定。命题” 或 “的否定是”非 且非 “（” 或 “意为”、 中至少一个大于 “，其否定是”、 都不大于 “，即” 且 “）。学生常把”或”的否定仍写成”或”，导致第一步假设错误、后续推理失去意义。 易错点 6：求并集时忽视闭区间端点，临界值漏取 典例：已知集合 ，，若 ，求实数 的取值范围。 错解： 需 ，所以 。 正解：，。当 时，，，成立；当 时也成立；当 时，区间 既不在 也不在 ，不成立。所以 。 原因：忽视闭区间端点。 的右端点是闭的（含 ），当 时 仍在 中， 恰好覆盖整个 ；学生凭”“的直觉作答，漏掉了 这个临界值。含参区间问题中，临界端点是否取等号必须逐一代入检验。 学科网（北京）股份有限公司 $