专题01 集合中的五类综合问题（压轴题专项训练）数学沪教版2020必修第一册

专题01 集合中的五类综合问题 目录 典例详解 类型一、集合个数问题 类型二、由集合间的关系求参数（范围） 类型三、集合交、并、补的综合运算 类型四、利用集合的运算求参数的值(范围) 类型五、集合中的创新问题 压轴专练 类型一、集合个数问题 求集合子集、真子集个数的3个步骤 【例1】已知集合.若存在的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集，则的最大值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-1】已知集合，则集合中的子集个数为（   ） A．18 B．16 C．32 D．64 【变式1-2】集合，那么的真子集个数有（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】若，，则集合B的非空真子集的个数为 . 类型二、由集合间的关系求参数（范围） 由集合间的包含关系求参数的方法 （1）当集合为不连续数集时，常根据集合间包含关系的意义，转化为方程或方程组求解，此时应注意分类讨论； （2）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点. 【例2】已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】若集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】若集合，，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一上·上海静安·期中）已知，则与的推出关系是（　　） A． B． C． D．且 解决集合交、并、补综合运算的技巧 （1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解； （2）如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算. 【例3】已知全集，集合，，则正确的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知为全集，集合、非空，且，则下列式子中一定是空集的为（ ） A． B． C． D． 【变式3-4】（24-25高一·浙江·期末）已知集合，则（   ） A． B．或 C． D．或 类型四、利用集合的运算求参数的值(范围) 由集合的运算求解参数的方法 (1)对于由集合运算求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用定义并结合集合知识求解． (2)对于与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解． 【例4】已知集合，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知或，，若，则m的取值范围是 . 类型五、集合中的创新问题 解决集合新定义问题的关键 解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆. 【例5】已知，是的子集，定义集合且，若，则称集合是的恰当子集. (1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求的值并说明理由. 【变式5-1】定义集合运算:且．若集合，则集合的子集个数为 ． 【变式5-2】若，则，就称A自倒集合，集合的所有非空子集中，自倒集合的个数为 【变式5-3】已知，，、、、，满足：对任意，则，如果，则的最小元素不等于中的最大元素，也不等于中的最大元素. (1)当时，列出，，； (2)当时，求出的最大值并说明理由. 压轴专练 一、单选题 1．已知全集，，，则集合的真子集个数为（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 6．已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．设集合，若非空集合同时满足：①；② (其中表示中元素的个数，表示集合中最小的元素)，称集合为的一个“好子集”，则的所有“好子集”的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中不符合题意的整数x为（    ） A．23 B．38 C．128 D．233 二、填空题 9．已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 10．已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 11．已知集合，集合，若中有三个元素，则的取值为 ． 12．设集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 13．已知集合，，若，，则的值等于 ． 14．集合展拓在信息学中具有重要应用，定义为集合T中的元素个数，对于元集合，其展拓集合记为，满足，其中．已知集合，若的展拓集合满足，则的最大值为 ． 三、解答题 15.对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则. (1)若，求； (2)若，，，，求的最大值，并写出取最大值时的一组，，. 16．已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 17．（24-25高一上·上海·期中）设为实数集，若非空集合满足条件：（1）；（2）对任意，都有且，则称集合为封闭集. (1)判断集合，是否为封闭集，并说明理由； (2)设全集为，已知集合是封闭集，求证：不是封闭集. 18．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合P为非空数集，定义，． (1)若集合，请直接写出集合和； (2)若且，集合满足，求的最小值； (3)若集合，，且，求证：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合中的五类综合问题 目录 典例详解 类型一、集合个数问题 类型二、由集合间的关系求参数（范围） 类型三、集合交、并、补的综合运算 类型四、利用集合的运算求参数的值(范围) 类型五、集合中的创新问题 压轴专练 类型一、集合个数问题 求集合子集、真子集个数的3个步骤 【例1】已知集合.若存在的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集，则的最大值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】集合的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集， 那么这个集合中至多含有3个元素，比如1、2、3. 那么这个集合可能是：，，，，，，.故的最大值为7. 故选：C 【变式1-1】已知集合，则集合中的子集个数为（   ） A．18 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【解析】由题意，则， 所以集合中的子集个数为. 故选：C. 【变式1-2】集合，那么的真子集个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，又，易知， 当时，，当时，，当时，，当时，， 当时，， 所以，所以的真子集个数为， 故选：D. 【变式1-3】若，，则集合B的非空真子集的个数为 . 【答案】6 【解析】由题意，当，或时，或； 当，或时，或； 当，或时，或； 综合以上可知，； 所以集合B的非空真子集的个数为， 类型二、由集合间的关系求参数（范围） 由集合间的包含关系求参数的方法 （1）当集合为不连续数集时，常根据集合间包含关系的意义，转化为方程或方程组求解，此时应注意分类讨论； （2）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点. 【例2】已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当为空集时，时.解不等式，可得. 因为空集是任何集合的子集，所以当时，. 当不为空集时，时，解不等式，可得. 此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.    已知，，所以需满足. 解不等式，可得. 综合可得，又因为前提是，所以取交集得. 综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得. 能使成立的所有组成的集合为，故选： C. 【变式2-1】若集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，或， 当时，显然不成立，即，满足，因此； 当时，，由，得，解得； 当时，，由，得，解得， 所以实数的取值范围为，故选：A 【变式2-2】若集合，，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合，，且， 当时，则，解得； 当时，则，或，解得； 综上所述，的取值范围是.故选：D. 【变式2-3】（24-25高一上·上海静安·期中）已知，则与的推出关系是（　　） A． B． C． D．且 【答案】C 【解析】因为，所以，即：， 因为，所以，即：，所以.故选：C 解决集合交、并、补综合运算的技巧 （1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解； （2）如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算. 【例3】已知全集，集合，，则正确的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，当，，所以， 当，，所以，所以，故A错误； ，故B正确；由，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 故选：B. 【变式3-1】已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 且全集，可得， 所以.故选：C. 【变式3-2】已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 又，，所以， 又， 所以，故选：D. 【变式3-3】（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知为全集，集合、非空，且，则下列式子中一定是空集的为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意作出文氏图： 由图象可知：，， ，， 故选：B 【变式3-4】（24-25高一·浙江·期末）已知集合，则（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】由集合， 可得：或， 故选：C. 类型四、利用集合的运算求参数的值(范围) 由集合的运算求解参数的方法 (1)对于由集合运算求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用定义并结合集合知识求解． (2)对于与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解． 【例4】已知集合，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为或，解得或 即， 因为，所以 当时，，满足要求. 当时，则，由， 可得，即 当时，则，由， 可得，即 综上所述， 故选:B. 【变式4-1】已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， ，所以，所以，故选C. 【变式4-2】已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得，解得， 所以，由，可得， 又，所以， 所以实数 的取值范围是.故选A. 【变式4-3】已知或，，若，则m的取值范围是 . 【答案】 【解析】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 类型五、集合中的创新问题 解决集合新定义问题的关键 解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆. 【例5】已知，是的子集，定义集合且，若，则称集合是的恰当子集. (1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求的值并说明理由. 【解】（1）若，有， 由，则， 满足，集合是的恰当子集. （2）若（）是的恰当子集，则 得到，由，则或 当时，，此时，，满足题意， 当时，，此时，，满足题意， 综上可得，或，. 【变式5-1】定义集合运算:且．若集合，则集合的子集个数为 ． 【答案】 【解析】由题设中新集合的定义可得： ，，故， 故其子集个数为， 【变式5-2】若，则，就称A自倒集合，集合的所有非空子集中，自倒集合的个数为 【答案】15 【解析】根据新定义，集合中的元素1和倒数等于本身，2和，3和互为倒数， 故满足条件的自倒集合与集合的非空子集的个数相同， 则其个数为. 【变式5-3】已知，，、、、，满足：对任意，则，如果，则的最小元素不等于中的最大元素，也不等于中的最大元素. (1)当时，列出，，； (2)当时，求出的最大值并说明理由. 【解】（1），，； （2）， 一方面，考虑为的非空子集，令，显然满足要求， . 另一方面，所有的子集中，去除和，剩下所有集合分两类， 类：最大元素为，1任取，：最大元素为，1到取法与互补. 两类集合一一对应，且不能同时取. 举例：，，因此. 综上所述. 压轴专练 一、单选题 1．已知全集，，，则集合的真子集个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，， 则集合的真子集个数为7个. 故选：C. 2．已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为有3个真子集，所以中有2个元素，故中有两个元素， 故且，则，解得且.故选：C. 3．已知集合，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，所以或， 所以或，所以， 当时，，解得，满足； 当时，要使，则，解得， 综上，，即的取值范围是.故选：D 4．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，且， 当时，，则，合乎题意； 当时，，因为，则. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 5．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为或， 所以， 故选：C． 6．已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得或．又，所以，故． 7．设集合，若非空集合同时满足：①；② (其中表示中元素的个数，表示集合中最小的元素)，称集合为的一个“好子集”，则的所有“好子集”的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解析】当，即集合中元素的个数为1时，的可能情况为,,,； 当，即集合中元素的个数为2时，的可能情况为,,； 当，即集合中元素的个数为3时，的可能情况为， 综上所述，的所有“好子集”的个数为8. 故选：B 8．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中不符合题意的整数x为（    ） A．23 B．38 C．128 D．233 【答案】B 【解析】解法1  因为，所以，故A符合；因为，所以，故B不符合；因为，所以，故C符合；，所以，故D符合. 解法2  因为，所以且，则且（k，），所以，即，所以.又，所以（c，），即，即，所以.当时，；当时，；当时，. 二、填空题 9．已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 【答案】 【解析】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 1.当时，解为，满足题意； 2.当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 3.当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 10．已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由方程，解得或，可得集合， 若，则满足，解得，此时满足； 若，当，即时，，满足，符合题意； 当，即时，中有两个元素，，则满足无解， 综上可得，实数的取值范围是． 11．已知集合，集合，若中有三个元素，则的取值为 ． 【答案】 【解析】由题得， 不等式，即， 则． 若中有三个元素，则必为，，， 则有，又， 所以， 12．设集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】，且B为A的子集．当时，，解得．当时，若，即，此时的解为，即，符合题意．若，即，当，即时，此时，即，解得，即，不符合题意；当，即时，由此时集合，得，解得，与矛盾，不符合题意．综上所述，实数a的取值范围为． 13．已知集合，，若，，则的值等于 ． 【答案】 【解析】因为， 而,, 所以，即是方程的根， 因此，即 所以， 14．集合展拓在信息学中具有重要应用，定义为集合T中的元素个数，对于元集合，其展拓集合记为，满足，其中．已知集合，若的展拓集合满足，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】记，由，解得，又， 所以，则； 当时，，又，所以，此时的最大值为； 当时，，此时或， 于是，此时的最大值为； 综上可得的最大值为. 三、解答题 15.对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则. (1)若，求； (2)若，，，，求的最大值，并写出取最大值时的一组，，. 【解】（1）由集合，知，，所以. （2）因为，，，，由此可知集合，，中各有3个元素，且完全不相同，根据定义要让取到最大值，则只需，，中元素不同且7，8，9分布在3个集合中，4，5，6分布在3个集合中，1，2，3分布在3个集合中，这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以的最大值为，所以有一组，，满足题意. 16．已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 【解】（1）且为闭集知：，成立， 故而，从而命题成立. （2）取， 知不一定是闭集合. （3）若或，且均是的真子集，命题显然成立， 故不妨设存在满足，且存在满足, 取知，否则 或者而得出矛盾，故命题成立. 17．（24-25高一上·上海·期中）设为实数集，若非空集合满足条件：（1）；（2）对任意，都有且，则称集合为封闭集. (1)判断集合，是否为封闭集，并说明理由； (2)设全集为，已知集合是封闭集，求证：不是封闭集. 【解】（1）对于集合，，，故为封闭集， 对于集合，，，故不是封闭集. （2）证明：非空集合是封闭集， 易得，假设是封闭集， 设，在中任取一个元素，则， 否则，此时，与矛盾， 因此，，而，与矛盾， 则当时，则不是封闭集， 同理当时，不是封闭集， 所以不是封闭集. 18．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合P为非空数集，定义，． (1)若集合，请直接写出集合和； (2)若且，集合满足，求的最小值； (3)若集合，，且，求证：． 【解】（1）根据和的定义，有，. （2）当时，由于，故. 所以，，这与矛盾； 当时，对任意，由于，故，. 这就意味着，，所以. 综上，的最小值是. （3）由于，. 故，. 显然中不包含负数，且一定包含，故由知. 再由，，知，即. 进一步有，故，即. 再进一步有，故，即. 所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$