数学广角 植树问题（教案）-2026-2027学年人教版数学五年级上册

数学广角　植树问题 植树问题 教学目标 1．引导学生通过观察、猜测、试验、推理等活动，感悟和理解植树问题的数量关系，理解并掌握“两端都种”“一端种”“两端都不种”“封闭图形植树问题”中棵数和间隔数之间的关系，渗透模型思想。 2．经历直观手段分析问题、解决问题的过程，体会数形结合、化繁为简、转化、一一对应等思想方法，形成几何直观，提升分析问题、解决问题的能力。 3．感受数学与生活的联系，体会数学的价值，激发探究数学的兴趣，培养科学严谨的思维习惯和良好的学习习惯。 教学重难点 1．发现并理解两端都种的植树问题中间隔数与棵数的数量关系。 2．运用“植树问题”的解题思想解决生活中的实际问题。 教学准备 课件、合作学习任务单。 目标落实 教师活动 学生活动 二次备课 通过最熟悉的手导入新课，经历发现手指间到棵数间的数量关系，发现和感悟棵数与段数的加减关系，初步感知植树问题，为后面学习奠定基础。 一、情境导入 1． 同学们，我们每个人都有一双手，手里蕴藏着数学知识呢。今天的学习就从研究“手”开始。每两个手指间都有一个空隙，这个空隙数学上称为间隔，能提出什么数学问题？三个手指间有几个间隔？四个手指间有几个间隔？一只手的5个手指间有几个间隔？ 2．手指数与间隔数之间的关系有什么规律？数量关系是什么吗？为什么加1？ 3．手指数与间隔数的关系在生活中有广泛应用，特别是植树问题。如果将手指数换成棵数、间隔数换成段数，棵数与段数有什么关系？这就是我们今天要研究的植树问题。板书课题：植树问题。 一、发现问题 活动、准备活动 引导学生观察手指和每两个手指间的间隔，思考手指数与间隔数的关系。 预设1：三个手指间有2个间隔；四个手指间有3个间隔；五个手指间有4个间隔。 预设2：手指数与间隔数是加减关系。手指数＝间隔数＋1，从拇指开始，一个手指对应一个间隔，一一对应，最后一根小指没有对应的间隔了，加1补上。所以间隔数＝手指数－1。 认真读题，提升审题能力。 用已有经验尝试解决，积累经验。 通过系列合作探究活动，经历解决问题的全过程，层层递进，理解每类植树问题的数量关系。掌握棵数、段数的规律，体会数形结合、化曲为直、一一对应的解决策略和方法，培养科学严谨的思维习惯，进一步增强推理意识和模型意识。 二、引导合作 （课件出示116页例题） 活动一：阅读理解 仔细阅读，题目中包含哪几个数量？求什么问题？ 引导学生独立阅读，画出关键词，厘清已知条件和问题。 活动二：初步感知植树问题 想一想，怎么求种树棵数？三个数量间是什么关系？尝试一下吧。 学生根据自己已有经验，自主思考和尝试解答。 追问，能确定这样的解答正确吗？ 活动三：解决植树问题 1．这位同学解答得正确吗，你想怎么检验？ 小组合作学习，探讨检验方法，探究植树问题中蕴含的规律，完成合作学习任务单。合作学习后分享学习成果。 2．每个间距5 m不变，总长是多少？棵数是多少？ 段数：15÷5＝3 棵数＝段数＋1，3＋1＝4（棵） 15 m的小路一边可以种4棵树。 3．还有不同的小路总长吗？可以种多少棵树？ 段数：20÷5＝4 棵数＝段数＋1，4＋1＝5（棵） 20 m的小路一边可以种5棵树。4．发现了什么规律？现在需要几步解答，先求什么？再求什么？ 引导学生梳理解决问题的思路。 5．我们研究的是两端都种树的情况，还有其他情况吗？只种一端什么意思？封闭情况的种树是什么样子？两端都不种呢？ 引导学生发散思维，思考路边植树可能有的实际情况。 6．给大家的推理点赞，一共有几类不同情况？植树的棵数和段数之间分别有什么关系？如果在100 m长的路上植树，每隔5 m种一棵，每种情况分别需要种多少棵？ 两端都种：100÷5＝20，20＋1＝21（棵） 两端都不种：100÷5＝20，20－1＝19（棵） 只种一端：100÷5＝20（棵） 封闭：100÷5＝20（棵） 活动四：梳理归纳活动 1．为什么开始的解答不正确？ 进一步巩固思路，明确数量关系。 2．生活中还有类似的情况吗？ 举一反三，了解场景不同，但解决问题思路相同的问题。 二、探究问题 活动一：阅读理解 预设： 生1：题中包含三个数量，分别是总路长100 m、每个间距长度是5 m，种树棵数未知。 生2：问题是求小路的一边要种多少棵树。 活动二：初步感知植树问题 预设： 生1：求棵数就是求总长100 m里面包含几个5 m。总长100 m、间隔5 m及未知的棵数是除法关系。即总长÷间隔＝棵数，所以列式100÷5＝20（棵）。 生2：我感觉不对，但说不出理由。 活动三：解决植树问题 预设1：合作探究，完成任务单： 合作学习任务单 总长度／m 每段长／m 段数／段 棵数／棵 发现的规律： 预设2：我是计算间距为5 m，总长为15 m，能种几棵树，先求段数，就是求总长15里面包含几个5，是除法关系，15÷5＝3，3段。因为段数与棵数是加法关系，棵数＝段数＋1，所以3＋1＝4（棵）才是15 m种的棵数。 预设3： 生1：路的总长20 m，一棵树对应一个段数，再加上最后一棵，可以种5棵树。 生2：我是计算能种几棵树，也是先求段数，先求20里面包含几个5，20÷5＝4。棵数＝段数＋1，4＋1＝5（棵）。所以20 m小路可以种5棵树。预设4： 生1：发现的规律是先求段数，再求棵数。 生2：两步解答，第一步：总长÷间距长＝段数；第二步：段数＋1＝棵数。 预设5： 生1：还有可能一端种，另一端不种。 生2：这类只种一端的情况，比较简单，棵数与段数一一对应，数值相等，不用加1，只用除法解决就可以。 生3：还有封闭的情况，如圆形、长方形、正方形等封闭图形植树。这类情况同只种一端相似，只用除法一步计算，因为棵数与段数一一对应，数值相等。 生4：还有两端都不种的情况。直接用除法一步解答好像也不对，从棵数与段数的一一对应思考，棵数比段数少1，所以第二步应该是减1。 预设6：学生汇报，随着学生的回答，填写完善表格： 活动四：梳理归纳活动 预设1：100 m是总长度，5 m是间距，100÷5＝20算出的是段数，两端都种，需要段数加1，才是棵数，所以解答错误。 预设2：锯木板时，只要锯3次就可以分成4段；路灯安装、钟声、排队等有类似情况。 通过练习，培养学生灵活利用规律解决类似植树问题，进一步培养推理意识和应用意识。 三、辅导练习 1．基础练习 张伯伯准备在圆形池塘周围种树。池塘的周长是120 m，如果每隔10 m种一棵，一共要种多少棵树？ 2．变式练习 在一条公路的一侧安装路灯，每隔20 m安装一盏，从这条路的起点到终点正好安装了36盏。这条公路有多长？ 3．提升练习 学校运动会开幕式上，五年级代表队站成了一个方阵，这个方阵的最外层每边站了9人。最外层一共站了多少人？这个方阵共有多少人？ 三、解决问题 1．基础练习 预设：理解圆形即封闭环形。 段数＝棵数， 总棵数＝周长÷间距。 120÷10＝12（棵） 2．变式练习 预设：理解直线两端都装路灯题时，段数＝数量－1， 总长＝段数×间距 段数：36－1＝35 公路总长：35×20＝700（米） 3．提升练习 预设：引导学生理解题意，可以借助画图理解，每边站9人，把每条边都看成一端植树问题，每条边上有9－1＝8（人），8×4＝32（人）。 梳理全课学习过程，提升归纳反思的能力。 四、引导反思 引导学生交流分享本节课的收获。 全课梳理中，进一步明确解决植树问题的思路、方法及渗透的数学思想方法，养成善于运用所学数学知识解决实际问题，养成自我反思的良好学习习惯 四、提升问题 预设1：我知道了几种植树问题的数量关系和解答方法。 预设2：当路很长，问题复杂时，可以利用化繁为简、数形结合、一一对应等的策略解决问题。 预设3：可以把封闭图形转化成一端植树问题解决。 板书设计 植树问题 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $