第8单元《数学广角——植树问题》（教案）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

该教案聚焦封闭图形植树问题，以围棋最外层棋子计数为核心。通过围棋情境导入，衔接已学线段植树（两端栽、只栽一端、两端不栽）知识，用“化繁为简”策略将每边19个简化为6个，搭建从具体到抽象的学习支架。 特色在于情境教学与转化思想结合，通过动手圈画、小组合作呈现多种算法（如6×4-4、(6-1)×4），培养几何直观（数学眼光）、推理意识（数学思维）和说理表达（数学语言）。帮助学生建立“每边间隔数×边数”模型，教师可分层教学，提升学生问题解决能力与知识迁移能力。

人教版五年级数学上册第八单元《数学广角——植树问题》教案 教学内容： 人教版五年级数学上册第八单元《数学广角——植树问题》练习二十四第13题： 教材分析和学情分析      “围棋中的数学问题”是人教版教科书五年级上册第八单元练习中的内容。教材中安排了三个植树问题的典型问题，而例3探讨的是关于一个封闭图形的植树问题。学生已经探究了关于一条线段的植树问题（两端都栽、只栽一端和两端都不栽三种情况）。在此基础上，教材借助围棋盘的最外层每边能放19颗棋子，求围棋盘最外层一共能放多少颗棋子的问题，其实也就是研究类似的植树问题。       五年级学生已掌握线段植树中棵数与间隔数的关系，具备简单动手操作、数形结合的学习经验，但存在思维短板：正方形四个顶点棋子隶属于两条邻边，直接用“每边数量×边数”会重复计算顶点，学生很难自主发现重复计数的核心矛盾。同时学生习惯直接套用算式，缺少“化繁为简”转化研究问题的意识，推理、归纳能力有待系统培养。结合新课标分层育人要求，本课依托动手圈画、小组合作、多元说理，兼顾不同思维水平学生，逐步建立封闭图形通用计数模型。 教学目标      1.通过研究“围棋外层棋子个数”的问题，引导学生从多种角度思考问题，运用多种策略、方法来解决问题；      2.初步培养学生从实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力；      3.让学生经历“复杂问题简单化”的解决问题的策略与方法，培养学生数学思维方式。 教学重难点     教学重点：解决问题算法多样化。    教学难点：在解决问题的过程中抓住关键——角上的点不能重复。 教学过程 一、谈话引入 1.师：有谁会下围棋？ 学生回答。 师：你知道围棋的最外层每边最多可以放几个棋子？ 生：19个棋子. 2.师：围棋的最外层一共有多少个棋子呢 揭题：这节课我们就来研究“围棋中的数学问题”. 【设计意图：依托生活情境激发探究兴趣，制造答案冲突引发思考，自然渗透转化思想，培育学生用数学眼光观察现实生活的核心素养。】 二、探究新知 1.出示 师：想一下，最外层一共可以摆放多少个棋子？ 生答:76或者72 师：你想的对吗？我们应该验证一下，你认为要怎么验证呢？ 师：是呀，每边19个，验证起来太麻烦了，我们可以化繁为简，来研究一下。 2.出示：一个正方形每边能放6个棋子。最外层一共可以摆放多少个棋子？ 师：请同学们数一下，最外层一共摆放了多少个棋子？ 生：20个。 师：明明每边有6个，为什么总共才20个呢？你能通过圈一圈的方法来计算一下最外层的棋子数吗？ 出示合作要求： （1）想一想：你有几种不同的方法求出最外层的棋子数； （2）写一写：用圈一圈、算一算的方法写出最外层一共有多少个棋子； （2）说一说：和同桌交流自己的想法。 学生在练习纸上操作，师巡视。 【设计意图：简化大数降低操作难度，借助数量冲突聚焦“顶点重复”难点，通过动手操作、小组合作发展几何直观，突出学生课堂主体地位。】 3.投影逐一展示学生作品 生1：6+5+5+4=20； 生2：6×2+4×2=20； 生3：6×4- 4=20； 生4：4×4+4=20； 生5：5×4=20或（6—1）×4=20； 生6:6×6-4×4=20. 分别让学生说说自己的思路，特别是第3、5种要引导学生说出这种方法是如何避免重复的。 师：其实6×4- 4和（6—1）×4这两种方法的思路是一样的，采用了乘法分配律的方法，其实都是把重复的棋子去掉。 【设计意图：落实算法多样化，借助数形结合引导学生说理，发展数学语言与推理意识，让学生理解算法背后统一的数学逻辑，避免机械记公式。】 4.师：如果最外层每边7个呢，一共有多少个棋子？每边10个呢？每边19个呢？ 指名学生分别列式，师一一板书。 师：看来，刚才猜测72个的同学是对的。根据这些板书算式，你有什么发现？ 引导学生说出把每边的个数减1，再乘4，就是最外层的总和。 5.师：为什么只要把“每边的个数－1”再×4就可以呢？ 师：同学们想一下，今天学习的问题和前面学习的植树问题有什么联系呢？ 生：就是封闭图形植树问题。 师：想一下，我们把6×6的方阵的最外层展开后，它的个数就等于间隔数。 （课件演示原来的方法，要去掉重复的4个）我们只要求出这个方阵最外层有多少个间隔，就会有多少个棋子，这样就能完美的避开重复的棋子，做到了快速的求出最外层的总数。 师：所以每边的个数－1就是间隔数，这条公式还可以写成：每边间隔数×4（板书） 【设计意图：通过不完全归纳推理提炼规律，回归原题完成验证，打通植树知识体系，引导学生从“数棋子”转向“数间隔”，建立基础数学模型。由正方形推广到任意封闭多边形，拓展模型适用范围，提升知识迁移与归纳概括能力，实现学一题、通一类。】 三、巩固提高 1.师：如果每边还摆6个棋子（每个顶点也摆），摆好下面的图形后，最外层有多少个棋子？ 课件出示： 学生在练习单上完成，指名反馈。 师：现在你又有什么发现呢？ 引导学生说出：每边间隔数×边数＝最外层总颗数（板书） 2.课件出示：把35个棋子摆放在正五边形的边上，要使每边一样多，且每个角上都放一个。请想一想，每边应该放几个棋子？ 学生汇报，说清楚每种算法的算理。 【设计意图：习题分层设计，顺向、综合、逆向层层递进，兼顾全体学生，在真实场景中运用模型，发展应用意识与逆向推理能力。】 四、课堂小结 这节课你有什么收获？还能提出什么问题？ 板书设计              围棋中的数学问题   6×4－4＝20  （6－1）×4＝20                      （8－1）×4＝28                     （19－1）×4＝72        （ 每边个数－1）×4＝最外层总数           每边间隔数×4＝最外层总数                每边间隔数×边数＝最外层总数 课后反思      1.情境教学落实核心素养，具象化建模降低认知门槛。本课以围棋真实生活情境为载体，契合新课标 “综合与实践” 情境化教学要求，借助直观棋子图形开展操作活动，把抽象的封闭图形间隔模型转化为看得见、数得出的直观素材，贴合五年级学生从直观走向抽象的认知发展规律，有效发展学生几何直观素养。      2.坚持算法多样化，聚焦说理发展数学语言。课堂摒弃单一公式灌输，尊重学生多元思考路径，将教学重心放在“说理表达”上，让每位学生结合图形讲清各类算法处理顶点重复的逻辑，抓住本课核心难点，引导学生知其然更知其所以然，持续锻炼学生数学语言表达与逻辑推理意识。      3.“化繁为简”贯穿全过程，渗透转化思想。本课没有把转化思想当作一句口号，而是完整落地为探究流程：面对19枚大数方阵，主动简化为6、7、10枚小数模型研究，归纳规律后再类推解决原题，让学生完整掌握复杂问题的通用研究方法，帮助学生形成稳定的数学探究思维。      4.知识螺旋拓展，构建结构化模型体系。教学遵循从特殊正方形到通用多边形的递进逻辑，打通整条封闭图形植树知识脉络，实现“一题带一类”，帮助学生建立完整、连贯的间隔计数知识结构，提升知识迁移能力。      5.习题分层设计，兼顾全员发展。三层梯度习题覆盖顺向、综合、逆向思维训练，兼顾学困生基础巩固与优等生思维拓展，落实新课标面向全体、分层育人的教学要求，在练习中持续发展学生模型意识与应用意识。      小小的围棋棋盘，承载间隔、方阵、封闭图形植树整套数学模型。新课标下的数学教学，不能只停留在让学生记忆计算公式，更要依托情境、操作、说理、迁移的完整路径，培育学生观察、转化、归纳的数学思维，真正落实三会核心素养。 学科网（北京）股份有限公司 $