精品解析：山东淄博市张店区龙凤苑中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段学情检测数学试卷

初四上月考数学试卷-龙凤苑中学 【2026.10.8】 一．选择题（共10小题，每题4分） 1. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦的定义得到，则可设BC=，AB=，通过勾股定理算出AC，再计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴设BC=，AB=， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角函数的定义，熟练掌握三角函数在直角三角形中的边角关系是解题的关键． 2. 对于抛物线，下列说法正确的是（　　） A. 抛物线的开口向下 B. 有最大值，最大值是 C. 抛物线的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，正确理解二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质即可判断答案． 【详解】， 抛物线开口向上， A选项不正确； 二次函数的图象的顶点坐标是， 抛物线有最小值，且最小值是， B选项和C选项都不正确； ， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而增大， D选项正确． 故选：D． 3. 直升飞机在离地面米的上空测得上海东方明珠底部的俯角为，此时直升飞机与上海东方明珠底部之间的距离是( ) A. 2000米 B. 2000米 C. 4000米 D. 4000米 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，在直角三角形中，已知角的对边求斜边，可以用正弦函数来计算． 【详解】根据题意得：直升飞机与上海东方明珠底部之间的距离是==4000米． 故选C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形． 4. 抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的（ ） A. 向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 B. 向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度 C. 向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 D. 向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的性质得到两个抛物线的顶点坐标，即可得到平移的规律． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线是由抛物线向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度得到的， 故选：D． 【点睛】此题考查了抛物线的平移，二次函数的图象及性质，正确确定抛物线的顶点坐标理解平移是解题的关键． 5. 已知某抛物线上有三点，分别为，，，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则，，由小到大的顺序排列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据题意求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数对称性和增减性即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴关于直线的对称点为， ∵抛物线上有三点，分别为，，，且， ∴， 故选：A． 6. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论． 【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误； B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a>0，b<0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误； C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确； D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键． 7. 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ） A. 米 B. 12米 C. 米 D. 6米 【答案】A 【解析】 【分析】延长交延长线于点D，作于点E，则即为的影长，先利用三角函数和30度角所对的直角边等于斜边一半求出米，米，根据题意可知物长和影长的比值为，求出米，进而求出米，即可求出树的高度． 【详解】解：如图，交延长线于点D，作于点E， 在中，，米， 米，米， 同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米， ， 米， 米， 米， 米， 故选A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、相似三角形的性质，三角函数，解题关键是作出辅助线得到的影长． 8. 如图是由全等的含角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点，，在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，正切等知识．如图，连接，交于点由菱形的性质可得，，设菱形的边长为，则，，，勾股定理求得，进而根据，计算求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，交于点 由菱形的性质可得，， 设菱形的边长为，由图形为全等的含角的小菱形组成的网格， ∴，，，． ∴． 故选：B． 9. 如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点和之间，则当时， ，然后代入可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线 ，即，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到，则可对③进行判断；由于抛物线的顶点为，则抛物线与直线有两个公共点，于是可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点和之间，而抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点和之间． ∴当时，，即，所以①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，即， ∵ ∴，所以②错误； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴，所以③正确； ∵抛物线的顶点为， ∴抛物线与直线有两个公共点， ∴一元二次方程有两个实数根，所以④错误． 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系、根据函数图像求方程的根的情况等知识点，掌握二次函数图像与性质是解题的关键． 10. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ） A. 或 B. 3或 C. 或 D. 或3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，然后分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当，即时，时，的最小值为， ∴，解得：； 当，即时，时，的最小值为， ∴，解得：（舍去）； 当，即时，的最小值为， ∴，解得：或（舍去）； 综上所述，的值为或． 故选：A 【点睛】本题考查二次函数的性质，对对称轴进行分类讨论是解题关键． 二．填空题（共5小题，每题4分） 11. 如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2,1)，则tanα的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设（2，1）点是B，作BC⊥x轴于点C，根据三角函数的定义即可求解． 【详解】设（2，1）点是B，作BC⊥x轴于点C． 则OC=2，BC=1， 则． 故答案为 【点睛】考查了三角函数的定义，理解正切函数的定义是关键． 12. 在体育测试时，九年级的一名高个男同学推铅球，已知铅球所经过的路径是某个二次函数图象的一部分（如图所示）．如果这个男同学出手处A点的坐标是，铅球路线的最高处B点的坐标是，则这名男同学比赛时的成绩_____________． 【答案】 【解析】 【分析】运用待定系数法求出抛物线的解析式为，令，求出的值即可． 【详解】解：∵，． ∴设抛物线解析式为， 在抛物线上， ∴代入得， ∴抛物线的解析式为． 令得，（舍负）， 所以，这名男同学比赛时的成绩为． 13. 在中，，，，则的面积为___． 【答案】或 【解析】 【分析】由已知利用余弦定理可求的值，进而根据三角形面积公式即可计算的解． 本题考查了余弦定理，三角形面积公式． 【详解】解： ∵在中，，，， ∴，即， 整理可得：， ∴，， ， 当时，． 当时，． 故答案为：或． 14. 红酒具有软化血管，促进血液循环的功能，中国人的生活提高以后，喝红酒成为一种时尚，如图1所示是一种喝红酒的高脚杯，其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分，图2为其杯肚的截面图，已知杯口，杯深．如图3，若将盛有部分液体的高脚杯倾斜（即与液面所在直线相交，所夹较小角为），液面与交于点，且点距杯口的距离，则此时液面宽________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，建立如图所示平面直角坐标系，作于点H，作于点Q，则，求解二次函数解析式为，FG所在直线解析式为，再进一步求解即可． 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，作于点H，作于点Q， 则， 则各点坐标为：，，，，． 设抛物线的表达式为， 把点A坐标代入解析式，得， 解得， ∴． ∵，E点坐标为， ∴直线与x轴的交点为． 设所在直线解析式为， 把点，代入解析式，得． 令， 得， 解得，． ∴， ∴． 故答案为：． 15. 将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______．   【答案】 【解析】 【分析】当直线经过点时，直线与新函数的图象有个公共点，把点的坐标代入解析式求出，当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是，当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点，根据一元二次方程根的判别式求出的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：解方程， 分解因式可得， 可得，， 点的坐标为，点的坐标为， 当直线经过点时， 可得， 解得， 此时，直线与新函数的图象有个公共点， 直线再往下平移，则直线与新函数的图象有个公共点， ， 把抛物线整理成顶点坐标式， 可得， 抛物线的顶点坐标是， 点关于轴对称的点的坐标是， 当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是， 当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点， 方程有两个相等的实数根， 整理可得， ， 解得， 当时，直线与新函数的图象恰有个公共点． 三．解答题（共9小题） 16. 计算： （1）． （2）已知是锐角，且，计算的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）先逐项化简，再算加减即可； （2）先根据求出，然后代入所给代数式计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：是锐角，且， ， ， ． 17. 如图，中，，． （1）求的长： （2）是边上的高，请你补全图形，并求的长． 【答案】（1）8 （2） 补全图形如图， 【解析】 【分析】（1）过点A作，垂足为D，利用等腰三角形的性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义可求出的长，从而进行计算即可解答； （2）利用（1）的结论可得，然后中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【小问1详解】 过点作于， ∴． ∴． 由勾股定理得，． ∵， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴ ∴． ∵于E， ∴ 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 18. 如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节与的仰角与的大小来达成个人舒适的高度，已知调节杆，，的最大仰角为． （1）当点离桌面高度大约时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？ （2）在（1）的条件下，求点到桌面的最大高度．（参考数据：） 【答案】（1）调整，使得 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． （1）过点B作于点F，求出，根据，即可得出； （2）过点A作于点G，则，根据，的最大仰角为求出的最大值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：过点B作于点F，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∵， ∴应该调整，使得． 【小问2详解】 解：如图，过点A作于点G，则， ∵，的最大仰角为 ∴的最大值为：， ∴点到桌面的最大高度为． 19. 某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，再代入进行求解，即可作答． （2）理解题意，得出，再结合抛物线，的函数表达式分别为，，代入，整理得，再解方程，可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ∵， ∴结合二次函数的对称性得， 将代入， 得 则， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的函数表达式， ∵，，．，且抛物线的函数表达式为， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得， ∴． 20. 小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下， 当1号杯和2号杯中都有mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度（单位：cm）和2号杯的水面高度（单位：cm），部分数据如下： /mL 0 40 100 200 300 400 500 /cm 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 /cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8 （1）补全表格（结果保留小数点后一位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为___________cm（结果保留小数点后一位）； ②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为___________cm（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1）1.0 （2） 如图所示，即为所画图像， （3）1.2，8.7 【解析】 【分析】本题考查了函数的图像与性质，描点法画函数图像，求一次函数解析式，已知函数值求自变量，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设V与的函数关系式为：，由表格数据得：，则可求，代入即可求解； （2）画与之间的关系图象时，描点，连线即可，画与的关系图像时，由于是正比例函数，故只需描出两点即可； （3）①当时，，由图象可知高度差；②在左右两侧找到等距的体积所对应的高度相同，大致为． 【小问1详解】 解：由题意得，设V与的函数关系式为：， 由表格数据得：， 解得：， ∴， ∴当时，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当时，，由图象可知高度差， 故答案为：1.2； ②由图象可知当两个水杯的水面高度相同时，估算高度约为， 故答案为：． 21. 某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件.市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件. (1)求出每天所得的销售利润w(单位：元)与每件涨价x(单位：元)之间的函数关系式； (2)求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大； (3)商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案. 方案A：每件商品涨价不超过5元； 方案B：每件商品的利润至少为16元. 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由. 【答案】（1）w=-10（x-10）2+2250（0≤x≤25）（2）销售单价为35元时，该商品每天的销售利润最大．（3）方案B最大利润更高 【解析】 【分析】（1）利用销量×每件利润=总利润，进而求出即可； （2）利用二次函数的性质得出销售单价； （3）分别求出两种方案的最值进而比较得出答案． 【详解】解：（1）根据题意得：， 即：， 故答案为：； （2）∵-10＜0，∴抛物线开口向下，二次函数有最大值， 当x＝时，销售利润最大 此时销售单价为：10+25=35（元） 答：销售单价为35元时，该商品每天的销售利润最大． （3）由（2）可知，抛物线对称轴是直线x=10，开口向下，对称轴左侧w随x的增大而增大，对称轴右侧w随x的增大而减小 方案A：根据题意得，x≤5，则0≤x≤5 当x=5时，利润最大,最大利润为w=-10×52+200×5+1250=2000（元）， 方案B：根据题意得，25+x-20≥16， 解得：x≥11 则11≤x≤25， 故当x=11时，利润最大， 最大利润为w=-10×112+200×11+1250=2240（元）， ∵2240＞2000， ∴综上所述，方案B最大利润更高． 22. 阅读下列材料： 如图1.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到： 证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D． 在Rt△ABD中， ∴ ∴ 同理： ∴ （1）通过上述材料证明： （2）运用（1）中的结论解决问题： 如图2，在中，，求AC的长度． （3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积． （本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数） 【答案】 （1）证明：∵absinCacsinB， ∴bsinC=csinB， ∴， 同理得：， ∴； （2）12 （3）38 【解析】 【分析】（1）根据材料中的S△ABCabsinCacsinBbcsinA，化为比例式可得结论； （2）根据公式，直接代入可得结论； （3）先根据公式计算AC的长，由S△ABCAC×BC×sin∠ACB可得结论． 【详解】（1）略 （2）由题意得：∠B=15°，∠C=60°，AB=20，∴，即，∴，∴AC=40×0.3=12； （3）由题意得：∠ABC=90°﹣75°=15°，∠ACB=90°﹣45°=45°，∠A=180°﹣15°﹣45°=120°，由得：，∴AC=6，∴S△ABCAC×BC×sin∠ACB6×18×0.7≈38． 【点睛】本题是阅读材料问题，考查了解直角三角形、三角形面积、比例的性质，关键是理解并运用公式S△ABCabsinCacsinBbcsinA解决问题． 23. 如图1，抛物线的顶点为D，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于点B及点C． （1）求抛物线解析式； （2）在直线上方（不和点B、C重合）抛物线上有一动点P． ①点P的纵坐标的取值范围为_____________； ②过点P作x轴的平行线，交直线于点Q，求的最大值； （3）如图2当P在抛物线上运动时（不和点A、B、C重合），过点P作x轴的垂线，交直线于点E，交x轴于点F，当时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）①；②的最大值为：； （3）点P的坐标为：或． 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①观察函数图象即可求解； ②设点，则点，则，即可求解； （3）设，则点，则，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线与抛物线交于点B及点C， 当时；当时，， ∴点B、C的坐标分别为：、， 由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：由抛物线的表达式可知点， ①当点P在上方时，则点P的纵坐标的取值范围为：， 故答案为：； ②如图，设点，则点， 则， ，故有最大值， 当时，的最大值为：； 【小问3详解】 解：如图2，设，则点， 则，， ， 即， 解得：（舍去）或2或， 故点P的坐标为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四上月考数学试卷-龙凤苑中学 【2026.10.8】 一．选择题（共10小题，每题4分） 1. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 对于抛物线，下列说法正确的是（　　） A. 抛物线的开口向下 B. 有最大值，最大值是 C. 抛物线的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 3. 直升飞机在离地面米的上空测得上海东方明珠底部的俯角为，此时直升飞机与上海东方明珠底部之间的距离是( ) A. 2000米 B. 2000米 C. 4000米 D. 4000米 4. 抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的（ ） A. 向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 B. 向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度 C. 向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 D. 向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度 5. 已知某抛物线上有三点，分别为，，，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则，，由小到大的顺序排列的是（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ） A. 米 B. 12米 C. 米 D. 6米 8. 如图是由全等的含角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点，，在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ） A. 或 B. 3或 C. 或 D. 或3 二．填空题（共5小题，每题4分） 11. 如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2,1)，则tanα的值是__________． 12. 在体育测试时，九年级的一名高个男同学推铅球，已知铅球所经过的路径是某个二次函数图象的一部分（如图所示）．如果这个男同学出手处A点的坐标是，铅球路线的最高处B点的坐标是，则这名男同学比赛时的成绩_____________． 13. 在中，，，，则的面积为___． 14. 红酒具有软化血管，促进血液循环的功能，中国人的生活提高以后，喝红酒成为一种时尚，如图1所示是一种喝红酒的高脚杯，其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分，图2为其杯肚的截面图，已知杯口，杯深．如图3，若将盛有部分液体的高脚杯倾斜（即与液面所在直线相交，所夹较小角为），液面与交于点，且点距杯口的距离，则此时液面宽________． 15. 将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______．   三．解答题（共9小题） 16. 计算： （1）． （2）已知是锐角，且，计算的值． 17. 如图，中，，． （1）求的长： （2）是边上的高，请你补全图形，并求的长． 18. 如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节与的仰角与的大小来达成个人舒适的高度，已知调节杆，，的最大仰角为． （1）当点离桌面高度大约时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？ （2）在（1）的条件下，求点到桌面的最大高度．（参考数据：） 19. 某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 20. 小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下， 当1号杯和2号杯中都有mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度（单位：cm）和2号杯的水面高度（单位：cm），部分数据如下： /mL 0 40 100 200 300 400 500 /cm 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 /cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8 （1）补全表格（结果保留小数点后一位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为___________cm（结果保留小数点后一位）； ②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为___________cm（结果保留小数点后一位）． 21. 某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件.市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件. (1)求出每天所得的销售利润w(单位：元)与每件涨价x(单位：元)之间的函数关系式； (2)求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大； (3)商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案. 方案A：每件商品涨价不超过5元； 方案B：每件商品的利润至少为16元. 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由. 22. 阅读下列材料： 如图1.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到： 证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D． 在Rt△ABD中， ∴ ∴ 同理： ∴ （1）通过上述材料证明： （2）运用（1）中的结论解决问题： 如图2，在中，，求AC的长度． （3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积． （本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数） 23. 如图1，抛物线的顶点为D，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于点B及点C． （1）求抛物线解析式； （2）在直线上方（不和点B、C重合）抛物线上有一动点P． ①点P的纵坐标的取值范围为_____________； ②过点P作x轴的平行线，交直线于点Q，求的最大值； （3）如图2当P在抛物线上运动时（不和点A、B、C重合），过点P作x轴的垂线，交直线于点E，交x轴于点F，当时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $