精品解析：山东滕州市龙泉街道滕东中学2026-2027学年上学期九年级第一次质量检测数学试题

2026-2027学年度九年级第一次质量检测 数学试题 一、选择题：每题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案填涂在答题卡上． 1. 下列方程，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组图形中，一定相似的是（　　） A. 任意两个正五边形 B. 任意两个平行四边形 C. 任意两个菱形 D. 任意两个矩形 4. 对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 如图，点是矩形的边上一点，将沿着对折，点恰好折叠到边上的点处，若，，那么的长为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 6. 如图，在菱形中，交于O点，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分AFC的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 8 D. 12 8. 如图，正方形的对角线，交于点O，M是边上一点，连接，过点O作，交于点N．若四边形的面积是1，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 9. 如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为【 】 A. 3 B. ﹣3 C. 13 D. ﹣13 10. 如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论： ①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：每题3分，共18分，将答案填在答题卡的相应位置 11. 已知，则______． 12. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为48，则的长为______． 13. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为______． 14. 如图，在一块长，宽为的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为，设小路宽为，可列方程为______． 15. 已知关于x的方程有实数根，则m的取值范围是______． 16. 如图，在边长为的正方形中，以点B为圆心，为半径作弧，交于点M，交的延长线于点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点K，作射线．点E在边上，且，连结并延长，交于点F，连结，交于点G，则的长为______． 三、解答题：共7小题，满分72分，解答应写出文字说明，说理过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）（公式法） （2）（配方法） （3）（因式分解法） （4） 18. 如图，在中，平分，点E是线段的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）判断四边形的形状并说明理由． 19. 如图，在中，，点、分别在、上，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 20. 某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆． （1）求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该公司计划下调售价，使平均每周的销售利润为万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆新能源汽车的售价． 21. 如图，在中，，为的中点，四边形为平行四边形，，相交于点． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若四边形为正方形，应添加什么条件?并证明你的结论． 22. 如图，点，，连接，动点M、N分别同时从点A、O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，设运动时间为t秒． （1）当四边形的面积恰好为76时，求此时t的值； （2）试求t为何值时，与相似？ 23. 探究下列问题： （1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接，，判断与的数量关系： ． （2）【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，写出与的数量关系： ． （3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且，连接，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度九年级第一次质量检测 数学试题 一、选择题：每题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案填涂在答题卡上． 1. 下列方程，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．该方程不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．该方程是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意； C．含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，掌握定义进行判断是解题的关键．含有一个未知数，含有未知数的项的最高次数是2，这样的整式方程是一元二次方程． 2. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程有实数根的条件，利用实数平方的非负性即可求解，整理方程后根据平方的非负性列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：对原方程移项整理得 ∵方程有实数根，任意实数的平方都大于等于 ∴ 解得． 3. 下列各组图形中，一定相似的是（　　） A. 任意两个正五边形 B. 任意两个平行四边形 C. 任意两个菱形 D. 任意两个矩形 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似多边形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、任意两个正五边形对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，符合题意； B、任意两个平行四边形对应角不一定相等，对应边的比也不一定相等，故不一定相似，不符合题意， C、任意两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似； D、任意两个矩形对应边的比不一定相等，故不一定相似； 故选：A 【点睛】本题考查的是相似多边形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键． 4. 对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目给出的新定义，将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 5. 如图，点是矩形的边上一点，将沿着对折，点恰好折叠到边上的点处，若，，那么的长为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠性质，得，设，则，根据折叠的性质，得，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：四边形是矩形，，， ∴，，， 根据折叠性质，得， ∴， ∴， 设，则， 根据折叠的性质，得， 根据勾股定理，得， 解得， 故， 故． 6. 如图，在菱形中，交于O点，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用菱形的对角线互相垂直平分求出菱形边长，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，解题关键是掌握菱形的性质． 7. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分AFC的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由折叠可知，AD＝AD'，∠D'＝90°，先证明△AD'F≌△CBF（AAS），则有BF＝D'F，设BF＝x，则D'F＝x，则AD'＝4，AF＝8﹣x，在Rt△AD'F中，由勾股定理可得（8﹣x）2＝x2+，解得x＝2，则AF＝6，所以S△ACF＝×AF×BC＝12． 【详解】解：由折叠可知，AD＝AD'，∠D'＝∠D=90°， 又∵四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC，∠B＝∠D=90°, ∴AD'＝BC，∠B＝∠D' 又∵∠AFD'＝∠CFB， ∴△AD'F≌△CBF（AAS）， ∴BF＝D'F， 设BF＝x，则D'F＝x， ∵AB＝8，BC＝4， ∴AD'＝4，AF＝AB-BF=8﹣x， 在Rt△AD'F中，AF2＝AD'2+D'F2， ∴（8﹣x）2＝x2+， 解得x＝2， ∴AF＝6， ∴S△ACF＝×AF×BC＝×6×4＝12， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形中的折叠问题，熟练掌握折叠的性质、全等三角形形的判定和性质、应用勾股定理是解题的关键． 8. 如图，正方形的对角线，交于点O，M是边上一点，连接，过点O作，交于点N．若四边形的面积是1，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质，可证，然后即可发现四边形的面积等于的面积，从而求得正方形的面积，最后利用勾股定理求得的长． 【详解】解：四边形是正方形， ，，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形的面积的面积的面积的面积， 的面积是1， 正方形的面积是4， ， ． 9. 如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为【 】 A. 3 B. ﹣3 C. 13 D. ﹣13 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根， ∴x1+x2=﹣4，x1x2=a． ∴x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2（x1+x2）﹣5=a﹣2×（﹣4）﹣5=0， 即a+3=0，解得，a=﹣3． 故选B 10. 如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论： ①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】延长，交于点，交于点，连接，交于点，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，再根据矩形的判定与性质可得，由此可判断①；先根据三角形全等的性质可得，再根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，由此可判断③；根据直角三角形的性质可得，从而可得，由此可判断②；先根据垂线段最短可得当时，取得最小值，再解直角三角形可得的最小值，从而可得的最小值，由此可判断④． 【详解】解：如图，延长，交于点，交于点，连接，交于点， 四边形是正方形，， ， 在和中，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，即结论①正确； ， ， ，即结论③正确； ， ， ， ，即，结论②正确； 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时在中，， 又， 的最小值与的最小值相等，即为，结论④错误； 综上，正确的结论为①②③，共有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 二、填空题：每题3分，共18分，将答案填在答题卡的相应位置 11. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用比例的性质可得，代入已知条件即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 12. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为48，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，由菱形的面积可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵菱形的面积为48， ∴， ，， ． 13. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】利用方程根的定义整体代换得到的值，再用根与系数的关系求出，整体代入代数式计算． 【详解】解：是一元二次方程的两个根， 由一元二次方程根的定义得，即， 由根与系数的关系得， ∴ 14. 如图，在一块长，宽为的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为，设小路宽为，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意种植花草部分的面积等同于长，宽的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出一元二次方程． 【详解】解：设小路宽为， 根据平移可得，种植花草部分的面积等同于长，宽的矩形的面积， 依题意可得：． 15. 已知关于x的方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由于m的值不能确定，故应分和两种情况进行讨论． 【详解】解：当时，原方程可化为，解得； 当时， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是：， 故答案为. 【点睛】本题考查的是根的判别式，在解答此题时要注意分类讨论． 16. 如图，在边长为的正方形中，以点B为圆心，为半径作弧，交于点M，交的延长线于点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点K，作射线．点E在边上，且，连结并延长，交于点F，连结，交于点G，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长，交于，过作于，根据正方形的性质得到，，由作图知，平分，推出是等腰直角三角形，得到，求得，根据相似三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到． 【详解】解：如图，延长，交于点，过点作于点， 四边形是正方形， ，， 由作图知，平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 三、解答题：共7小题，满分72分，解答应写出文字说明，说理过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）（公式法） （2）（配方法） （3）（因式分解法） （4） 【答案】（1），； （2），； （3），． （4），． 【解析】 【分析】（1）方程整理为一般形式，利用公式法求出解即可； （2）方程利用配方法求出解即可； （3）方程整理后，利用提公因式法进行因式分解法求出解即可． （4）方程移项后，利用平方差公式进行因式分解法求出解即可． 【小问1详解】 方程整理得：， 这里，，， ， ， 解得：，； 【小问2详解】 方程整理得：， 配方得：， 即， 开方得：， 解得：，； 【小问3详解】 方程整理得：， 分解因式得：， 所以或， 解得：，． 【小问4详解】 方程整理得：， 分解因式得：， 整理得：， 所以或， 解得：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，以及配方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 18. 如图，在中，平分，点E是线段的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）判断四边形的形状并说明理由． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴； 在和中， ， ∴； （2）解：四边形是矩形，理由如下： ∵在中，平分， ∴， ∴； 由（1）得， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，由线段中点的定义可得，即可证得结论； （2）由三线合一定理得到，可得，结合全等三角形的性质可得，由已知可得，可得四边形是平行四边形，结合矩形的判定即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，，点、分别在、上，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ，， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角，得出，即可证明； （2）先求出的长度，再根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质．有两个内角相等的两个三角形相似，相似三角形对应边成比例． 20. 某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆． （1）求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该公司计划下调售价，使平均每周的销售利润为万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆新能源汽车的售价． 【答案】（1） （2）万元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为，根据月份和月份的销售量建立方程求解即可； （2）设汽车的售价下调万元，根据总利润等于每辆汽车的利润乘以销售量建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得，（舍去）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设新能源汽车的售价下调万元， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∵此次销售尽量让利于顾客， ∴， ∴． 答：下调后每辆新能源汽车的售价为万元． 21. 如图，在中，，为的中点，四边形为平行四边形，，相交于点． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若四边形为正方形，应添加什么条件?并证明你的结论． 【答案】（1） 四边形是菱形． 理由如下： ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∵为的中点， ∴.， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵ ， ∴，即， ∴四边形 为菱形； （2） 当时，四边形 为正方形． 证明：∵，为的中点， ∴，即， 又由（1）知四边形 为菱形 ∴四边形 为正方形． 【解析】 【分析】（）利用平行四边形的判定先证明四边形为平行四边形，再由即可证到结论； （）添加条件，由推导出可，又结合（）四边形是菱形，故可以得到四边形 为正方形． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【点睛】此题考查了平行四边形、菱形、正方形的判定，熟悉和掌握这些定理是解题的关键． 22. 如图，点，，连接，动点M、N分别同时从点A、O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，设运动时间为t秒． （1）当四边形的面积恰好为76时，求此时t的值； （2）试求t为何值时，与相似？ 【答案】（1）4或6 （2）2或5 【解析】 【分析】（1）先根据点坐标得到，，由运动速度表示线段：，，运动范围．利用四边形面积等于面积减去面积，建立一元二次方程求解； （2）两个直角三角形直角对应相等，分两种对应边成比例情况分类讨论，列方程求出t． 【小问1详解】 解：， ， ． 由题意得：，， ． 四边形的面积， ， 整理得：， 因式分解得， 解得，． 两个解均满足． 的值为或． 【小问2详解】 解：， 与相似分两种情况： ①当时， ， 即， 化简得，解得． ②当时， ， 即， ， 解得． 、都符合题意， 的值为或． 23. 探究下列问题： （1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接，，判断与的数量关系： ． （2）【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，写出与的数量关系： ． （3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且，连接，，求的值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明，即可得解． （2）根据等腰直角三角形的性质，直角边与斜边的关系，证明，再根据相似三角形的性质，对应边的比等于相似比，即可求解． （3）根据，，可证，可得 ，在中，求出，在中，求出，再证，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∵， ， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵和都是等腰直角三角形， 根据勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴或． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 设，， 在中，根据勾股定理得， 设，， 在中，根据勾股定理得， ∴，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $