精品解析：山东临沂第三十五中学2026-2027学年上学期九年级数学学情自测卷（10月）

九年级上学期数学阶段性学情调研（1） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，当时，随的增大而减小的是（　） A. B. C. D. 2. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线，，的共同性质是： 都是开口向上； 都以点为顶点； 都以轴为对称轴； 都关于轴对称． 其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 对于抛物线，以下说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 5. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 设等边三角形的边长为x（x＞0），面积为y，则y与x的函数关系式是（　　） A. y＝x2 B. y＝ C. y＝ D. y＝ 7. 某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ） A. 1 B. C. D. 1或 10. 如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（ ） A. B. C. 对任意实数，总成立 D. 若点，在抛物线上，则 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 二次函数的最小值为__________． 12. 将抛物线向右平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为______． 13. 若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是__________． 14. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_______． 15. 如图，与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，当时，则___________． 三、解答题 16. 用适当的方法解方程． （1）； （2）． 17. 已知关于的一元二次方程有两个实数根， （1）求的取值范围； （2）其中一个根是另一个根的平方，求的值． 18. 已知二次函数． … 0 1 2 3 4 … 3 0 0 3 （1）二次函数的顶点坐标是_______； （2）完成表格并在如图所示的直角坐标系内画出该函数的大致图象； （3）当时，的取值范围是___________． 19. 如图，四边形和均为矩形，，休闲区的储水量为3． （1）种菜区的面积为 ,休闲区能接的雨水量为 L（用含有x的代数式表示）； （2）若种菜区每平方米需要水，休闲区接的水恰好够灌溉种菜区，求x的值． 20. 为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． （1）求与的函数表达式； （2）文旅公司在销售这款文创产品时，要使每天盈利最大，求该款文创产品每件的售价为多少元． 21. 如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． （1）求的值； （2）点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值． 22. 政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： （1）设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； （2）求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 23. 已知二次函数，其中a，b为两个不相等的实数． （1）当，时，求此函数图象的对称轴． （2）当时，若该函数在时，y随x的增大而减小；在时，y随x的增大而增大，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期数学阶段性学情调研（1） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，当时，随的增大而减小的是（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数、正比例函数图像的性质，根据各函数的解析式，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、正比例函数的图像，随的增大而增大， 故此选项不符合题意； B、一次函数的图像，随的增大而增大， 故此选项不符合题意； C、二次函数的图像，开口向上，对称轴为轴， 当时，y随x的增大而增大，故此选项不符合题意； D、二次函数的图像，开口向下，对称轴为轴， 当时，随的增大而减小，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程没有实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式为． 选项A：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项B：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项C：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项D：方程为，， ，方程没有实数根． 3. 抛物线，，的共同性质是： 都是开口向上； 都以点为顶点； 都以轴为对称轴； 都关于轴对称． 其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的性质直接回答即可． 【详解】解：抛物线，的开口向上，的开口向下，故错误； 抛物线，，的顶点为，对称轴为y轴，故正确，错误； 其中正确的个数有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解形如的抛物线的性质． 4. 对于抛物线，以下说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 5. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 6. 设等边三角形的边长为x（x＞0），面积为y，则y与x的函数关系式是（　　） A. y＝x2 B. y＝ C. y＝ D. y＝ 【答案】D 【解析】 【分析】作出三角形的高，利用直角三角形的性质及勾股定理可得高，利用三角形的面积＝底×高，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：作出BC边上的高AD． ∵△ABC是等边三角形，边长为x， ∴CD＝x， ∴高为h＝x， ∴y＝x×h＝． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了三角形的面积的求法，找到等边三角形一边上的高是难点，求出三角形的高是解决问题的关键. 7. 某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5月份实际产量列出等式即可． 【详解】解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 8. 2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，即可列出对应方程． 【详解】解：∵共有支球队参赛，单循环赛制要求每两支球队之间比赛场， ∴每支球队需要和除自身外的支球队各比赛场， 又∵每一场比赛会被两支球队重复计算次，需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 9. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ） A. 1 B. C. D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（舍） 故选：C． 10. 如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（ ） A. B. C. 对任意实数，总成立 D. 若点，在抛物线上，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则.   顶点的坐标为，   对称轴为直线，即，  ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方，  ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 二次函数的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题二次函数为顶点式，根据二次函数的性质，开口向上的二次函数，顶点纵坐标即为函数的最小值． 【详解】解：由二次函数解析式可知，该解析式为顶点式，二次项系数， 因此抛物线开口向上，函数存在最小值， 该二次函数的顶点坐标为， 因此当时，二次函数取得最小值． 12. 将抛物线向右平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移；根据二次函数“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为，即， 故答案为：． 13. 若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数图象与轴有两个交点，对应一元二次方程有两个不相等的实数根，因此判别式大于0，代入二次函数系数，解不等式即可得到的取值范围。 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个交点， 故一元二次方程有两个不相等的实数根， 即判别式， 将，，代入得：， 化简得， 解得． 14. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程有两个相等的实数根时，可得，进一步可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得： 解得，， ∴. 15. 如图，与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，当时，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】设点的纵坐标为，先分别求出点的坐标，再根据求出的值，由此即可得． 【详解】解：由题意，设点的纵坐标为， 令得：， 解得或， ∴，， ∴， ∵与关于轴对称， ∴点与点关于轴对称，点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 16. 用适当的方法解方程． （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，关键是选择恰当的方法解方程； （1）把方程整理成一般形式，用因式分解法解方程即可： （2）移项后用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：整理得：， ， 解得：； 【小问2详解】 解：整理得：， 解得：． 17. 已知关于的一元二次方程有两个实数根， （1）求的取值范围； （2）其中一个根是另一个根的平方，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原方程有两个实数根，则判别式大于等于0，据此求解即可； （2）设关于的一元二次方程的两个实数根为，根据根与系数的关系得到，解方程求出t的值，进而可求出m的值． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设关于的一元二次方程的两个实数根为， 由根与系数的关系可得， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴符合题意． 18. 已知二次函数． … 0 1 2 3 4 … 3 0 0 3 （1）二次函数的顶点坐标是_______； （2）完成表格并在如图所示的直角坐标系内画出该函数的大致图象； （3）当时，的取值范围是___________． 【答案】（1） （2） … 0 1 2 3 4 … 3 0 0 3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据所给解析式即可得到答案； （2）根据顶点坐标可得当时，，据此填表画图即可； （3）求出时的函数值，结合函数图象可得答案． 【小问1详解】 解：由题意得，二次函数的顶点坐标是； 【小问2详解】 解：由（1）得当时，， 表格见答案，函数图象见答案； 【小问3详解】 解：当时，， ∴由函数图象可得当时，的取值范围是． 19. 如图，四边形和均为矩形，，休闲区的储水量为3． （1）种菜区的面积为 ,休闲区能接的雨水量为 L（用含有x的代数式表示）； （2）若种菜区每平方米需要水，休闲区接的水恰好够灌溉种菜区，求x的值． 【答案】（1）； （2）3 【解析】 【分析】（1）根据矩形的面积公式求出种菜区的面积，用总面积减去种菜区的面积求出休闲区的面积，再乘以休闲区每平米的储水量，求出接水量； （2）根据题意，列出方程进行求解即可. 【小问1详解】 解：由题意，种菜区的面积为； 休闲区能接的雨水量为； 【小问2详解】 解：由题意，， 解得，（不合题意，舍去）； 故的值为3. 20. 为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． （1）求与的函数表达式； （2）文旅公司在销售这款文创产品时，要使每天盈利最大，求该款文创产品每件的售价为多少元． 【答案】（1） （2）45元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设每天盈利为W元，列出W关于x的函数表达式，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设与的函数表达式为， 由题意得，， 解得， ∴与的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设每天盈利为W元， 由题意得，， ∵， ∴当时，W有最大值， 答：该款文创产品每件的售价为45元． 21. 如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． （1）求的值； （2）点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值． 【答案】（1）的值分别为 （2）或2 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）分三种情况考虑即可； 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与轴分别交于点， ， 解得， 即的值分别为； 【小问2详解】 解：抛物线的解析式为，其对称轴为直线，最大值为， 当时，；当时，； ①当时，， 则此时当时，函数值随自变量的增大而增大， 当时，有最大值3， ， 解得（舍去）或； ②当时，，函数值随自变量先增加后减小，从而在顶点处取得最大值4，不符合题意； ③当时，函数值随自变量的增大而减小，此时函数当时取得最大值， ， 解得（舍去）或； 综上，满足题意的值为或2． 22. 政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： （1）设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； （2）求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 【答案】（1）， （2）米 【解析】 【分析】（1）抛物线经过，对称轴为直线，再由待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的平移求出平移后的抛物线的表达式，再令，求出，即可求解半径． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线经过，对称轴为直线， ∴ 解得； ∴，； 【小问2详解】 解：由（1）可得原抛物线的表达式为， 配方可得， ∵现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变 ∴新抛物线的表达式为，即， 当时，， 解得，（舍去）， ∴（米） ∴改造后圆形喷水池的直径至少米． 23. 已知二次函数，其中a，b为两个不相等的实数． （1）当，时，求此函数图象的对称轴． （2）当时，若该函数在时，y随x的增大而减小；在时，y随x的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1）直线 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、因式分解的应用等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． （1）把 ，代入 化简，然后根据二次函数的性质即可解答； （2）把代入化简可得，然后根据二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：当，时， 二次函数可化为， 此函数图象的对称轴为直线． 【小问2详解】 解：当时， 二次函数可化为， 抛物线的对称轴为直线． ， 抛物线开口方向向上． 在时，y随x的增大而减小， ． 在时，y随x的增大而增大， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $