专题04 可化为一元一次方程的分式方程及其应用（专项训练）数学新教材湘教版八年级上册

专题04 可化为一元一次方程的分式方程及其应用 常考题型·精准突破 题型1 分式方程的定义（重） 题型2 可化为一元一次方程的分式方程的解法 题型3 根据分式方程解的情况确定参数的范围（难） 题型4 含参分式方程无解确定参数值（难） 题型5 分式方程与不等式综合（难） 题型6 分式方程的行程问题（高频） 题型7 分式方程的工程问题（高频） 题型8 分式方程的经济问题 题型9 分式方程的和差倍分问题（高频） 题型10 分式方程的其他实际问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 分式方程的定义 1．下列方程中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 2．有下列方程：①；②；③；④．其中是关于的分式方程的有（    ） A．① B．② C．②③ D．②④ ◆题型2 可化为一元一次方程的分式方程的解法 3．解方程 (1) (2) 4．解分式方程： (1)； (2) 5．解下列分式方程： (1)； (2)． 6．解方程： (1) (2) 7．解方程： (1) (2) 8．解方程： (1) ； (2)． ◆题型3 根据分式方程解的情况确定参数的范围 9．关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 10．关于的方程的解为正数．则的取值范围为（     ） A．且 B． C． D．且 11．若关于x的分式方程的解为正整数，则满足条件的正整数k的值为_____． 12．已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围为_____． ◆题型4 含参分式方程无解确定参数值 13．若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C． D． 14．若关于x的分式方程无解，则m的值为（     ） A． B． C．或 D．或 15．若关于x的分式方程无解，则a的值为_______． 16．若关于x的分式方程无解，那么实数m的值是______ ◆题型5 分式方程与不等式综合 17．若关于的方程的解为正数，关于的不等式组有解，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 18．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．5 B．8 C．12 D．15 19．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于x的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 20．若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为___________． ◆题型6 分式方程的行程问题 21．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（     ） A． B． C． D． 22．津潍高铁2027年通车后，东营正式融入首都“2小时经济圈”．由东营南站到北京南站，高铁线路总长约，自驾线路总长约，预计乘坐高铁比自驾少用．已知高铁列车的平均速度约是自驾平均速度的3倍．设自驾的平均速度为，依题意所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 23．一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等．设江水的流速为，根据题意，下面所列方程正确的是（） A． B． C． D． 24．某地铁线路全长约，若选择地上交通，私家车行驶同样的路线比乘坐地铁多耗时约分钟，地铁的平均速度是私家车平均速度的倍，问地铁和私家车的平均速度分别是多少？ 25．徐州地铁6号线于2025年9月开通后，甲、乙两人从某地同时出发，分别乘坐地铁6号线、72路公交车去徐州东站，路程均为，已知甲、乙的平均速度比是，甲比乙提前到达目的地，求甲所用的时间． ◆题型7 分式方程的工程问题 26．甲、乙两人搬运货物，甲每小时比乙多搬运20件，甲搬运300件货物的时间与乙搬运200件货物的时间相同．设乙每小时搬运件货物，列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 27．甲、乙两个植树队参加植树造林活动．已知乙队每小时比甲队多种棵树．甲队种棵树与乙队种棵树所用的时间相同．求甲队每小时种多少棵树？ 28．随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用小时，求智能机器人每小时可以装载多少吨货物？ 29．某施工队承包了修建7000米公路的工程项目，由甲工程队修建3000米后，因另有其它任务离开，调来乙工程队接着修建直至修完，已知甲、乙两工程队修建这段公路共用50天，乙工程队每天修路的长度是甲工程队每天修路长度的2倍，求甲工程队每天修路多少米？ 30．为了迎接即将到来的“科技创新节”，学校创客社团计划加工一批机器人零件．若由社团的“编程组”单独做，刚好能在规定的时间内完成；若由“机械组”单独做，则要超过规定时间3天才能完成．现在，两组决定先合作2天，剩下的部分由“机械组”单独完成，恰好能在规定时间内全部搞定．问原计划完成这批零件的时间是多少天？ 31．用计算机处理数据，为防止数据出错，某研究室安排两位程序操作员各输入一遍，比较两个人的输入是否一致．两人各输入个数据，已知甲的输入速度是乙的倍，结果甲比乙提前个小时输完，求乙每小时能输入多少个数据？ ◆题型8 分式方程的经济问题 32．列方程解以下问题： “书山有路勤为径，学海无涯苦作舟”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“状元书历”和“金榜手环”．若购买本“状元书历”和个“金榜手环”需花费元，购买本“状元书历”和个“金榜手环”需花费元． (1)请问每本“状元书历”和每个“金榜手环”的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“状元书历”的售价降低元，“金榜手环”的售价降低元．经测算，学校花元购进“状元书历”的数量比花元购进“金榜手环”的数量还少个，求出的值． 33．重庆某特产商铺售卖奉节脐橙礼盒与合川桃片，两款本地特产销量可观．已知一盒奉节脐橙礼盒的售价比一盒合川桃片售价高15元，且购买三盒奉节脐橙礼盒和两盒合川桃片共需100元． (1)求一盒奉节脐橙礼盒和一盒合川桃片的售价分别是多少元？ (2)店庆促销期间，奉节脐橙礼盒每盒降价元，合川桃片每盒降价元，促销后奉节脐橙礼盒总销售额为3500元，合川桃片总销售额为1000元，且奉节脐橙礼盒的销量比合川桃片多，求的值． 34．某水果商从批发市场用8万元购进一批大樱桃若干千克，很快销售一空．于是该水果商又用17.6万元购进第二批大樱桃，所购质量是第一批的3倍，但每千克便宜了4元．求该水果商购进第一批大樱桃每千克多少元？ 35．今年以来受各种因素的影响，猪肉的市场价格仍在不断上升．据调查，今年5月份一级猪肉的价格是1月份猪肉价格的1.25倍．小英同学的妈妈同样用20元钱在5月份购得一级猪肉比在1月份购得的一级猪肉少0.4斤，那么今年1月份的一级猪肉每斤是多少元？ 36．2026年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中A、B两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知B款手表的进价比A款手表每块多40元．该商店用7800元购进A款手表的数量，与用9000元购进B款手表的数量相等．求A款、B款手表每块的进价分别为多少元？ ◆题型9 分式方程的和差倍分问题 37．某手工社团开展纸艺作品制作活动，已知折叠型纸花比折叠型纸花平均每小时少做个，折叠个型纸花所用的时间，是折叠个型纸花所用时间的倍． (1)求平均每小时分别折叠型纸花和型纸花多少个？ (2)若社团安排名同学参与，要求每小时至少完成个纸艺作品，每名同学每小时只能做一种纸艺作品，则最多安排多少名同学来折叠型纸花？ 38．社区开展便民“图书驿站”建设活动，原计划投资8000元建设若干便民“图书驿站”，为提升配套设施，实际每间便民“图书驿站”建设费用增加了，实际总投资为11520元，并且实际建设间数比原计划多2间便民“图书驿站”，求原计划每间便民“图书驿站”的建设费用是多少元？ 39．某非遗工坊的两位匠人制作传统油纸伞，匠人甲比匠人乙每天多制作10把油纸伞，匠人甲制作300把油纸伞所用的时间是匠人乙制作120把油纸伞所用时间的2倍，求匠人甲和匠人乙每天各制作多少把油纸伞． 40．某校开展校园系列经典诵读分享活动，每场经典诵读活动分成若干个小队进行分享．第一场共有80名学生参与诵读，第二场参与诵读学生人数比第一场增加30人；第二场组建的诵读小队数量比第一场多2个，且平均每个小队的人数比第一场增加10%．求第二场组建的诵读小队数量． 41．某印刷厂原计划印制套某种图书．在实际生产过程中，由于订单追加，生产任务增加了套，工厂通过优化流程，每天比原计划多印制套．最终，实际完成全部生产任务的天数是原计划完成 套图书所需天数的倍．求原计划每天印制多少套图书． 42．科技创新是推动高质量发展的核心动力，吉林省重点研发计划涵盖新能源、智能制造、医药健康、新材料、现代农业、生态环保六大领域，尽显吉林老工业基地转型升级、生态产业提质发展的风貌．某科技企业助力省内产业智能化升级，计划批量生产智能巡检设备，总共需完成180台生产任务，开工后技术团队升级工艺，实际每月生产数量为原计划的1.5倍，最终提前2个月完工，求企业原计划每月生产设备的数量． ◆题型10 分式方程的其他实际问题 43．古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固．工匠们制作了一种特定的榫卯结构，该结构中，一个榫需要的木材比一个卯需要的木材多1千克．已知用35千克木材制作的该种榫的数量与用30千克木材制作该种卯的数量相同．设制作1个这样的榫需要木材千克，根据题意，得（     ） A． B． C． D． 44．为提升配送效率，某快递公司引入两款无人机开展业务测试.甲款无人机配送150件包裹，与乙款无人机配送120件包裹所用的总时间相同（每件包裹大小、重量一样），已知甲款无人机平均每小时比乙款无人机多配送10件包裹，求甲、乙两款无人机平均每小时各配送多少件包裹，若小明列出的方程为：，则小明设的代表的是（     ） A．甲款无人机配送150件包裹所用的时间 B．乙款无人机配送120件包裹所用的时间 C．甲款无人机平均每小时配送的包裹件数 D．乙款无人机平均每小时配送的包裹件数 45．【问题呈现】随着科技事业的不断发展，国产无人机大量应用于快递行业．现有A、B两种型号的无人机应用于运送快递，其中A型机比B型机平均每小时多运送30件，A型机运送800件所用时间与B型机运送600件所用时间相同．求B型机平均每小时运送多少快递？ 【解法分析】 找到的等量关系 列出的方程 解法一 A型机运送800件所用时间型机运送600件所用时间 解法二 A型机平均每小时运送的数量型机平均每小时运送的数量 【问题解决】 (1)在解法一所列方程中，x表示的是：B型机平均每小时运送快递的数量． 在解法二所列方程中，y表示的是：_____________________． (2)请按照“解法一”提供的思路，完成解决原问题的完整过程． 46．低空经济赋能乡村振兴，在广东某地万亩高标准农田里，农业无人机旋翼轰鸣，稻种精准洒落，科技助农的场景让农户们连连感叹．现有A，B两种型号的无人机可用来播种． (1)如果购买1台A型无人机和3台B型无人机需9万元，购买3台A型无人机和1台B型无人机需11万元，求两种型号的无人机单价分别是多少万元． (2)每台A型无人机比B型无人机日均播种面积多200亩，每台A型无人机播种1500亩所用时间与B型无人机播种900亩所用时间相等，求两种型号的无人机每台日均分别播种多少亩． 综合攻坚·知能拔高 1．下列方程中，是分式方程的是（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．①③ C．②③ D．①②③④ 2．将方程去分母，得（     ） A． B． C． D． 3．已知分式方程的解为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．7 D．12 4．若关于的方程无解，则的值是（     ） A． B．或 C．或1 D． 5．《九章算术》中记载这样一道问题：现将一份文书送往距离里处的城池，若用慢马递送，所需时间比规定时间多天；若用快马递送，所需时间比规定时间少天．已知快马速度是慢马速度的倍，求规定的递送时间．设规定的递送时间为天，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 6．有一个“分钱问题”是这样的：一组人平分235元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分550元钱，则第二次每人所得的钱比第一次多3元．设第一次分钱的人数为人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 7．______时，关于的方程的解为． 8．已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是________． 9．若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为_______． 10．解分式方程： (1)； (2)． 11．在解分式方程时，李明的解法如下： 解：            …… 第①步     ……第②步            ……第③步     ……第④步 检验：当时，          …… 第⑤步 所以是原分式方程的解． (1)上面运算过程中第_______步开始出现了错误； (2)请你写出正确的解答过程． 12．近日，长春市教育局发布了《2027年长春市初中毕业生体育考试实施方案》，其中男生1000米和女生800米的考核标准调整为“达到良好即满分”，即男生跑进4分05秒、女生跑进3分55秒即可得到满分．一次测试中，一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完800米所用时间比这名男生跑完1000米所用时间少50秒．按照2027年中考考核标准来看，这名女生能否拿到满分？ 13．学校计划购买，两种书架，已知购买个种书架比个种书架的价格高，用元购买种书架的数量比用元购买种书架的数量多个．每个种书架、每个种书架的价格分别是多少元？ 14．随着科技创新，人形机器人融合多种先进技术，极具发展潜力与应用前景．为了提高工作效率，某工厂使用A，B两种型号机器人搬运货物．已知A型机器人每小时搬运货物的质量是B型机器人的1.5倍，A型机器人搬运货物的时间比B型机器人搬运货物的时间少，A，B两种机器人每小时分别搬运多少货物？ 15．某手工社团开展纸艺作品制作活动，已知折叠型纸花比折叠型纸花平均每小时少做个，折叠个型纸花所用的时间，是折叠个型纸花所用时间的倍． (1)求平均每小时分别折叠型纸花和型纸花多少个？ (2)若社团安排名同学参与，要求每小时至少完成个纸艺作品，每名同学每小时只能做一种纸艺作品，则最多安排多少名同学来折叠型纸花？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 可化为一元一次方程的分式方程及其应用 常考题型·精准突破 题型1 分式方程的定义（重） 题型2 可化为一元一次方程的分式方程的解法 题型3 根据分式方程解的情况确定参数的范围（难） 题型4 含参分式方程无解确定参数值（难） 题型5 分式方程与不等式综合（难） 题型6 分式方程的行程问题（高频） 题型7 分式方程的工程问题（高频） 题型8 分式方程的经济问题 题型9 分式方程的和差倍分问题（高频） 题型10 分式方程的其他实际问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 分式方程的定义 1．【答案】B 2．【答案】C ◆题型2 可化为一元一次方程的分式方程的解法 3．【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：方程两边同乘，得 ， 去括号得 ， 解得． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． （2）解：方程两边同乘，得 ， 去括号及合并得 ， 解得． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 4．【答案】(1) (2) 【分析】解分式方程的关键是去分母，将分式方程转化成整式方程求解，最后必须检验，排除增根． 【详解】（1）解：两边同乘，得 检验：当时，， 所以是原分式方程的解； （2）解：方程两边同乘，得 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 5．【答案】(1) (2)原分式方程无解 【分析】（1）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为、检验即可得到答案； （2）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为、检验即可得到答案． 【详解】（1）解： 去分母得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解． （2）解： 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原分式方程的增根，原分式方程无解． 6．【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边同时除以，得， 经检验，是原分式方程的解． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 经检验，是原分式方程的解． 7．【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可； （2）先利用去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解， ， ， ， ． 经检验：是原分式方程的解． （2）解：， ， ， ． 经检验：是原分式方程的解． 8．【答案】(1) (2)原方程无解 【详解】（1）解：方程去分母，得， 整理，得， 解得， 检验，当时，， ∴原方程的解为； （2）解：方程去分母，得， 解得， 检验，当时，， 故是原方程的增根，舍去， ∴原方程无解. ◆题型3 根据分式方程解的情况确定参数的范围 9．【答案】B 10．【答案】A 11．【答案】1或3 12．【答案】且 ◆题型4 含参分式方程无解确定参数值 13．【答案】B 14．【答案】C 15．【答案】0或1 16．【答案】或 ◆题型5 分式方程与不等式综合 17．【答案】B 18．【答案】D 19．【答案】B 20．【答案】35 ◆题型6 分式方程的行程问题 21．【答案】A 22．【答案】A 23．【答案】B 24．【答案】地铁的平均速度为，私家车的平均速度为 【分析】根据速度=路程时间，设未知数，找等量关系，列分式方程求解． 【详解】解：设私家车速度为． . 解得.                                                    经检验是原方程的解，且符合题意． 地铁速度为． 答：地铁的平均速度为，私家车的平均速度为． 【点睛】分式方程的解要注意检验，要符合实际意义． 25．【答案】甲所用的时间为 【分析】设甲的速度为，乙的速度为，得出方程解方程，最后求出所用时间即可． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为， 由题意得：，解得， 经检验：是原方程的解， ∴， 答：甲所用的时间为． ◆题型7 分式方程的工程问题 26．【答案】A 27．【答案】甲队每小时种棵树 【分析】利用甲队种棵树与乙队种棵树所用时间相同的等量关系，列分式方程求解即可． 【详解】解：设甲队每小时种棵树，则乙队每小时种棵树． 由题意得，， 解得， 检验：当时，，是原分式方程的解． 答：甲队每小时种30棵树． 28．【答案】9吨货物 【分析】设普通机器人每小时可以装载吨货物，则智能机器人每小时可以装载吨货物，根据“两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用小时”列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设普通机器人每小时可以装载吨货物，则智能机器人每小时可以装载吨货物， 由题意可得， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：智能机器人每小时可以装载9吨货物． 29．【答案】甲工程队每天修路100米 【分析】设甲工程队每天修路x米，根据两工程队修建这段公路共用50天，列方程解答． 【详解】解：设甲工程队每天修路x米，则乙工程队每天修路米， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：甲工程队每天修路100米． 30．【答案】6 【分析】根据题意列分式方程并求解即可． 【详解】解：设原计划完成这批零件的时间是天， 由题意得， 解得， 检验：是原分式方程的解且符合实际意义， 答：原计划完成这批零件的时间是6天． 31．【答案】乙每小时能输入个数据 【分析】设乙每小时能输入个数据，由题意：两人各输入个数据，已知甲的输入速度是乙的倍，结果甲比乙提前个小时输完，列出分式方程，解方程，即可解决问题． 【详解】解：设乙每小时能输入个数据， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：乙每小时能输入个数据． ◆题型8 分式方程的经济问题 32．【答案】(1) 每本“状元书历”售价元，每个“金榜手环”售价元． (2) 的值为． 【分析】（1）设出未知数，列二元一次方程组解决问题； （2）找到等量关系，列分式方程解决问题． 【详解】（1）解：设每本“状元书历”和每个“金榜手环”的售价分别为元和元， 根据题意得：， 解得：， 答：每本“状元书历”和每个“金榜手环”的售价分别为元和元． （2）根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 答：的值为． 33．【答案】(1)一盒合川桃片的售价是11元，一盒奉节脐橙礼盒的售价是26元； (2)的值是3 【分析】（1）设一盒合川桃片的售价为元，一盒奉节脐橙礼盒的售价比一盒合川桃片售价高15元，且购买三盒奉节脐橙礼盒和两盒合川桃片共需100元．据此列出方程并解方程即可； （2）根据奉节脐橙礼盒的销量比合川桃片多列分式方程并解分式方程，检验即可得到答案． 【详解】（1）解：设一盒合川桃片的售价为元， 由题意，得：， 解得； （元）． 答：一盒合川桃片的售价是11元，一盒奉节橙礼盒的售价是26元； （2）解：由题意可得 ， 解得； 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：的值是3． 34．【答案】该水果商购进第一批大樱桃每千克元 【分析】设第一批大樱桃的单价为未知数，根据第二批购进质量是第一批的倍的等量关系列分式方程求解． 【详解】解：设该水果商购进第一批大樱桃每千克元，则第二批每千克元， 由题意得 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：该水果商购进第一批大樱桃每千克元． 35．【答案】今年1月份的一级猪肉每斤是10元 【分析】设1月份一级猪肉单价为未知数，根据5月与1月购买的猪肉重量差列分式方程求解. 【详解】解：设今年1月份的一级猪肉每斤是x元，则5月份一级猪肉每斤是元， 由题意得：， 解得：， 经检验：当时，， ∴是原分式方程的解，且符合实际意义， 答：今年1月份的一级猪肉每斤是10元． 36．【答案】A款手表每块进价260元，B款手表每块进价300元 【分析】设A款手表每块进价x元，B款手表每块进价元，根据等量关系：用7800元购进A款手表的数量，与用9000元购进B款手表的数量相等，列出分式方程并求解即可，注意检验． 【详解】解：设A款手表每块进价x元，B款手表每块进价元， 依题意，得：， 整理得，， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴（元）， ∴A款手表每块进价260元，B款手表每块进价300元； ◆题型9 分式方程的和差倍分问题 37．【答案】(1)平均每小时折叠型纸花个，型纸花个 (2)最多安排名同学折叠型纸花 【分析】（1）设平均每小时折叠型纸花个，则每小时折叠型纸花个，根据题意列出分式方程求解即可． （2）安排名同学来折叠型纸花，安排名同学来折叠型纸花，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设平均每小时折叠型纸花个，则每小时折叠型纸花个， 根据题意得， 整理得， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴； 答：平均每小时折叠型纸花个，型纸花个． （2）解：设安排名同学来折叠型纸花，安排名同学来折叠型纸花， 由（1）知平均每小时折叠型纸花个，型纸花个， 根据题意得， 整理得， ， 解得， ∵为人数，必须是整数， ∴的最大值为； 答：最多安排名同学来折叠型纸花． 38．【答案】原计划每间便民“图书驿站”的建设费用是800元． 【分析】设原计划每间建设费用为x，再根据等量关系“实际建设间数比原计划多2间”列分式方程求解． 【详解】解：设原计划每间便民“图书驿站”的建设费用为x元． 实际每间建设费用为元． 根据题意，得， ， ， ； 检验：当时，， 故是原方程的解，且符合实际意义． 答：原计划每间便民“图书驿站”的建设费用是800元． 39．【答案】匠人甲每天制作50把油纸伞，匠人乙每天制作40把油纸伞． 【分析】设匠人乙每天制作x把油纸伞，则匠人甲每天制作把油纸伞，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设匠人乙每天制作x把油纸伞，则匠人甲每天制作把油纸伞， 由题意可得：，解得：， 经检验，是分式方程的解． 所以． 答：匠人甲每天制作50把油纸伞，匠人乙每天制作40把油纸伞． 40．【答案】10个 【分析】设第二场小队数量为，得出第一场小队数量为，再分别表示两场平均每小队人数，利用第二场平均每小队人数比第一场增加列出分式方程求解即可． 【详解】解：设第二场组建的诵读小队数量为个，则第一场小队数量为个． 第一场平均每队人数：； 第二场总人数：人，第二场平均每队人数：． 根据第二场平均每个小队的人数比第一场增加列方程： ， 解得， 检验：把代入，是原分式方程的解，且符合题意． 41．【答案】原计划每天印制套图书 【分析】设原计划每天印制套，则实际每天印制套，根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天印制x套图书，则优化流程后实际每天印制套图书． 由题意，得，解得， 经检验，是原分式方程的解． 答：原计划每天印制120套图书． 42．【答案】30台 【分析】设原计划每月生产设备的数量为台，则实际每个月生产设备的数量为台，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设原计划每月生产设备的数量为台， 根据题意得：， 解得，     经检验：是原方程的解且符合题意， 答：原计划每月生产设备的数量为30台． ◆题型10 分式方程的其他实际问题 43．【答案】A 44．【答案】D 45．【答案】(1)A型机运送800件快递所用的时间． (2)解：设B型机平均每小时运送件快递，则A型机平均每小时运送件快递． 根据题意得． 去分母得． 展开整理得． 解得． 检验：当时，， 因此是原方程的解，且符合实际意义． 答：B型机平均每小时运送90件快递． 【分析】（1）根据解法二的方程结构与等量关系即可判断y的实际意义． （2）按照解法一的设元思路，利用时间相等的等量关系列分式方程，求解检验后得到结果． 【详解】（1）解：分析方程可知，表示A型机平均每小时运送的数量，表示型机平均每小时运送的数量， ∴表示A型机运送800件快递所用的时间． （2）略． 46．【答案】(1)A型无人机单价为3万元，B型无人机单价为2万元． (2)A型无人机每台日均播种500亩，B型无人机每台日均播种300亩． 【详解】（1）解：设A型无人机的单价是x万元、B型无人机的单价是y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：A型无人机单价为3万元，B型无人机单价为2万元； （2）解：设A型无人机每台日均播种m亩，B型无人机每台日均播种亩，则 ， 解得， 经检验是分式方程的解且符合题意， ， 答：A型无人机每台日均播种500亩，B型无人机每台日均播种300亩． 综合攻坚·知能拔高 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】 8．【答案】且 9．【答案】 10．【答案】(1)原分式方程无解 (2) 【详解】（1）解：方程两边同时乘得： ， 去括号得：， 移项、合并同类项得： ， 检验：当时，， ∴原分式方程无解． （2）解：方程两边同时乘得： ， 去括号得： ， 移项、合并同类项得： ， 解得 ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 11．【答案】(1)② (2)， ， ， ， 解得：， 检验：当时，， 所以原分式方程无解． 【分析】（1）第②步去分母过程中没有将方程中的每一项都乘以最小公分母； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； 【详解】（1）略 （2）略 12．【答案】能 【分析】设男生跑1000米用时t秒，则女生跑800米用时秒，根据两人的平均速度相同，列出方程求解即可． 【详解】解：设男生跑1000米用时t秒，则女生跑800米用时秒．根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，并符合实际， ∴女生用时：（秒）=3分20秒    ∵3分20秒分55秒， ∴这名女生能拿到满分 13．【答案】每个种书架的价格是元，每个种书架的价格是元 【详解】解：设每个种书架的价格为元，则每个种书架的价格为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 每个种书架为元， 每个种书架为（元）． 答：每个种书架的价格是元，每个种书架的价格是元． 14．【答案】A型机器人每小时搬运货物，B型机器人每小时搬运货物 【分析】利用工作时间工作总量工作效率的关系，设B型机器人每小时搬运货物质量为未知数，根据倍数关系得到A型的搬运效率，再根据时间差为列方程，求解检验后得到结果． 【详解】解：设B型机器人每小时搬运货物，则A型机器人每小时搬运货物， 根据题意列方程得， 解得， 检验：当时，， 因此是原方程的解，符合题意， ， 答：A型机器人每小时搬运货物，B型机器人每小时搬运货物． 15．【答案】(1)平均每小时折叠型纸花个，型纸花个 (2)最多安排名同学折叠型纸花 【分析】（1）设平均每小时折叠型纸花个，则每小时折叠型纸花个，根据题意列出分式方程求解即可． （2）安排名同学来折叠型纸花，安排名同学来折叠型纸花，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设平均每小时折叠型纸花个，则每小时折叠型纸花个， 根据题意得， 整理得， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴； 答：平均每小时折叠型纸花个，型纸花个． （2）解：设安排名同学来折叠型纸花，安排名同学来折叠型纸花， 由（1）知平均每小时折叠型纸花个，型纸花个， 根据题意得， 整理得， ， 解得， ∵为人数，必须是整数， ∴的最大值为； 答：最多安排名同学来折叠型纸花． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 可化为一元一次方程的分式方程及其应用 常考题型·精准突破 题型1 分式方程的定义（重） 题型2 可化为一元一次方程的分式方程的解法 题型3 根据分式方程解的情况确定参数的范围（难） 题型4 含参分式方程无解确定参数值（难） 题型5 分式方程与不等式综合（难） 题型6 分式方程的行程问题（高频） 题型7 分式方程的工程问题（高频） 题型8 分式方程的经济问题 题型9 分式方程的和差倍分问题（高频） 题型10 分式方程的其他实际问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 分式方程的定义 1．下列方程中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义判断即可，分式方程定义为分母中含有未知数的方程，据此可得出正确结果． 【详解】解：选项A：的分母是常数，不含未知数，是整式方程，不符合题意； 选项B：的分母为未知数，符合分式方程的定义，符合题意； 选项C：中所有分母都不含未知数，是整式方程，不符合题意； 选项D： 中，分母和都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合题意． 2．有下列方程：①；②；③；④．其中是关于的分式方程的有（    ） A．① B．② C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 分式方程需满足分母中含有未知数，据此逐一判断各方程即可. 【详解】解：∵ 方程①分母为和，是常数，不含，∴ 不是分式方程； ∵ 方程②分母为和，均含，∴ 是分式方程； ∵ 方程③可化为：，分母中含，∴ 是分式方程； ∵ 方程④可化为：，分母为，是常数，不含，∴ 不是分式方程； ∴ 是关于的分式方程的有②③. 故选：C. ◆题型2 可化为一元一次方程的分式方程的解法 3．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：方程两边同乘，得 ， 去括号得 ， 解得． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． （2）解：方程两边同乘，得 ， 去括号及合并得 ， 解得． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 4．解分式方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】解分式方程的关键是去分母，将分式方程转化成整式方程求解，最后必须检验，排除增根． 【详解】（1）解：两边同乘，得 检验：当时，， 所以是原分式方程的解； （2）解：方程两边同乘，得 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 5．解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【分析】（1）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为、检验即可得到答案； （2）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为、检验即可得到答案． 【详解】（1）解： 去分母得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解． （2）解： 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原分式方程的增根，原分式方程无解． 6．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边同时除以，得， 经检验，是原分式方程的解． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 经检验，是原分式方程的解． 7．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可； （2）先利用去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解， ， ， ， ． 经检验：是原分式方程的解． （2）解：， ， ， ． 经检验：是原分式方程的解． 8．解方程： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【详解】（1）解：方程去分母，得， 整理，得， 解得， 检验，当时，， ∴原方程的解为； （2）解：方程去分母，得， 解得， 检验，当时，， 故是原方程的增根，舍去， ∴原方程无解. ◆题型3 根据分式方程解的情况确定参数的范围 9．关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于a的表达式，再根据解为正数且分式分母不为0，列出不等式求解得到a的取值范围． 【详解】解： 去分母得：， 解得， 方程的解为正数， ，即， 解得， 又， ，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 10．关于的方程的解为正数．则的取值范围为（     ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】先将分式方程化为整式方程求出x的表达式，再根据解为正数且分式分母不为0，列出不等式求解得到a的取值范围. 【详解】解：原方程两边同乘去分母得 整理得 ∵方程的解为正数 ∴，即，解得 又∵分式方程分母不能为0 ∴，即，解得 综上，的取值范围为且． 11．若关于x的分式方程的解为正整数，则满足条件的正整数k的值为_____． 【答案】1或3 【分析】先去分母化为整式方程，再结合解为正整数、分式分母不为“0”求k即可． 【详解】解：， 等式两边都乘得， 整理得， 解得， ∵方程的解为正整数，且， ∴且， ∵k为正整数， ∴或3． 12．已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围为_____． 【答案】 且 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于k的表达式，再根据解为负数，结合分式方程有意义的条件（分母不为0）求解k的取值范围即可． 【详解】解：给分式方程两边同乘， 化为整式方程得 ， 展开整理得 ，解得， ∵分式方程的解为负数， ∴，得， 又∵分式方程中分母不为0，即， ∴，得， ∴k的取值范围为且． ◆题型4 含参分式方程无解确定参数值 13．若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式方程无解的本质是产生增根或去分母后的整式方程无解，本题中整式方程有解，故存在增根，增根会使原分式方程的分母为0，先确定增根的值，再代入去分母后的整式方程即可求出n的值. 【详解】解：若分式方程无解，则方程存在增根， 令原方程分母，得增根， 将原方程两边同乘去分母，得， 整理得 ， ∵ 原方程无解， ∴ 是上述整式方程的根， 将代入得， 得 ， 解得 . 14．若关于x的分式方程无解，则m的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分式方程无解包含两种情况，一是去分母后的整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，本题先将分式方程化为整式方程，再结合无解的条件计算的值． 【详解】解：方程两边同乘得， 解得， ，是整式方程，始终有解， ∴当或时，原方程分母为零，无解． 令，则，解得； 令，则，解得． ∴或时，原方程无解． 15．若关于x的分式方程无解，则a的值为_______． 【答案】0或1 【分析】首先可将转化为，消去分母将分式方程转化为整式方程；再分类讨论分式方程无解的情况，第一种是化简后的整式方程无解，第二种是使原分式方程的分母为0的情况，进而求解a的值． 【详解】解：去分母得：， 整理得：． 当时， 解得． 此时整式方程为，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程也无解，符合要求． 当时， 解得， 则有， 解得．此时整式方程的解为，是原分式方程的增根，因此原分式方程无解，符合要求． 综上，a的值为0或1． 【点睛】分式方程无解包含两种情况：整式方程本身无解，或整式方程的解为原分式方程的增根． 16．若关于x的分式方程无解，那么实数m的值是______ 【答案】或 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根，分两种情况计算的值即可． 【详解】解：原方程两边同乘最简公分母， 去分母，得，整理得：， 情况1：若整式方程无解， ∵当一次项系数为时，整式方程无解， ∴，解得，此时原分式方程无解； 情况2：若整式方程有解，且解为原分式方程的增根， ∵原分式方程的增根满足，即， ∴把代入，得， 解得，此时原分式方程无解； 综上，的值为或． ◆题型5 分式方程与不等式综合 17．若关于的方程的解为正数，关于的不等式组有解，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】分别求解分式方程与不等式组，结合方程解为正数、分母不为0及不等式组有解的条件，综合得到a的取值范围. 【详解】解：解方程， 整理得， 去分母得， 解得 ∵方程的解为正数，且分母不为0， ∴且， 解得且 解不等式组， 解得， 解得 ∵不等式组有解， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 18．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．5 B．8 C．12 D．15 【答案】D 【分析】先解一元一次不等式组，根据已知解集确定的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解是正整数且不为增根，找出所有符合条件的整数，最后计算求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， 解分式方程， 方程两边同乘得， 整理得， 解得， ∵分式方程的解是正整数，且分母不为0即， ∴且， 解得且， 综上，，，且是正整数， 符合条件的整数为， 所有满足条件的整数的和为． 19．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于x的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】先根据不等式组的解集确定的取值范围，再结合分式方程的解为负整数且分母不为0的条件筛选符合要求的整数，最后计算它们的和． 【详解】解：， 解，得， 解，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得； 解得， ∵分式方程的解为负整数，且， ∴且， 解得且， ∴，且， ∵为整数， ∴满足条件的为，和为． 20．若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为___________． 【答案】35 【分析】先解一元一次不等式组，根据已知解集得到a的取值范围，再解分式方程，根据解为非负整数且分式有意义，找出所有满足条件的整数a，计算它们的乘积即可． 【详解】解：解不等式， 两边同乘5得：， 移项整理得：， 已知不等式组的解集为， 根据同大取大可得 ， 解得， 解分式方程， 方程两边同乘得：， 整理得：， 解得， ∵分式方程的解为非负整数，且分式有意义， ∴，， 即，， 解得，， 又∵是整数，，且是整数， ∴满足条件的整数为，，， 则所有满足条件的的值之积为． ◆题型6 分式方程的行程问题 21．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，再利用速度＝路程÷时间，结合快马的速度是慢马的倍，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：∵规定时间为天， ∴慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天， 根据题意，得． 22．津潍高铁2027年通车后，东营正式融入首都“2小时经济圈”．由东营南站到北京南站，高铁线路总长约，自驾线路总长约，预计乘坐高铁比自驾少用．已知高铁列车的平均速度约是自驾平均速度的3倍．设自驾的平均速度为，依题意所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出高铁列车的平均速度，再根据预计乘坐高铁比自驾少用列出方程即可． 【详解】解：设自驾的平均速度为，则高铁列车的平均速度为 由题意，可列方程为． 23．一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等．设江水的流速为，根据题意，下面所列方程正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】需先求出顺流、逆流的实际航速，再根据时间相等的等量关系列方程． 【详解】解：顺流航速为，逆流航速为， ∵顺流航行与逆流航行所用时间相等， ∴可列方程． 24．某地铁线路全长约，若选择地上交通，私家车行驶同样的路线比乘坐地铁多耗时约分钟，地铁的平均速度是私家车平均速度的倍，问地铁和私家车的平均速度分别是多少？ 【答案】地铁的平均速度为，私家车的平均速度为 【分析】根据速度=路程时间，设未知数，找等量关系，列分式方程求解． 【详解】解：设私家车速度为． . 解得.                                                    经检验是原方程的解，且符合题意． 地铁速度为． 答：地铁的平均速度为，私家车的平均速度为． 【点睛】分式方程的解要注意检验，要符合实际意义． 25．徐州地铁6号线于2025年9月开通后，甲、乙两人从某地同时出发，分别乘坐地铁6号线、72路公交车去徐州东站，路程均为，已知甲、乙的平均速度比是，甲比乙提前到达目的地，求甲所用的时间． 【答案】甲所用的时间为 【分析】设甲的速度为，乙的速度为，得出方程解方程，最后求出所用时间即可． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为， 由题意得：，解得， 经检验：是原方程的解， ∴， 答：甲所用的时间为． ◆题型7 分式方程的工程问题 26．甲、乙两人搬运货物，甲每小时比乙多搬运20件，甲搬运300件货物的时间与乙搬运200件货物的时间相同．设乙每小时搬运件货物，列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设乙每小时搬运件货物，则甲每小时搬运件货物，根据甲搬运300件货物的时间与乙搬运200件货物的时间相同，建立方程即可． 【详解】解：设乙每小时搬运件货物，则甲每小时搬运件货物， 根据甲搬运300件货物的时间与乙搬运200件货物的时间相同，得． 27．甲、乙两个植树队参加植树造林活动．已知乙队每小时比甲队多种棵树．甲队种棵树与乙队种棵树所用的时间相同．求甲队每小时种多少棵树？ 【答案】甲队每小时种棵树 【分析】利用甲队种棵树与乙队种棵树所用时间相同的等量关系，列分式方程求解即可． 【详解】解：设甲队每小时种棵树，则乙队每小时种棵树． 由题意得，， 解得， 检验：当时，，是原分式方程的解． 答：甲队每小时种30棵树． 28．随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用小时，求智能机器人每小时可以装载多少吨货物？ 【答案】9吨货物 【分析】设普通机器人每小时可以装载吨货物，则智能机器人每小时可以装载吨货物，根据“两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用小时”列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设普通机器人每小时可以装载吨货物，则智能机器人每小时可以装载吨货物， 由题意可得， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：智能机器人每小时可以装载9吨货物． 29．某施工队承包了修建7000米公路的工程项目，由甲工程队修建3000米后，因另有其它任务离开，调来乙工程队接着修建直至修完，已知甲、乙两工程队修建这段公路共用50天，乙工程队每天修路的长度是甲工程队每天修路长度的2倍，求甲工程队每天修路多少米？ 【答案】甲工程队每天修路100米 【分析】设甲工程队每天修路x米，根据两工程队修建这段公路共用50天，列方程解答． 【详解】解：设甲工程队每天修路x米，则乙工程队每天修路米， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：甲工程队每天修路100米． 30．为了迎接即将到来的“科技创新节”，学校创客社团计划加工一批机器人零件．若由社团的“编程组”单独做，刚好能在规定的时间内完成；若由“机械组”单独做，则要超过规定时间3天才能完成．现在，两组决定先合作2天，剩下的部分由“机械组”单独完成，恰好能在规定时间内全部搞定．问原计划完成这批零件的时间是多少天？ 【答案】6 【分析】根据题意列分式方程并求解即可． 【详解】解：设原计划完成这批零件的时间是天， 由题意得， 解得， 检验：是原分式方程的解且符合实际意义， 答：原计划完成这批零件的时间是6天． 31．用计算机处理数据，为防止数据出错，某研究室安排两位程序操作员各输入一遍，比较两个人的输入是否一致．两人各输入个数据，已知甲的输入速度是乙的倍，结果甲比乙提前个小时输完，求乙每小时能输入多少个数据？ 【答案】乙每小时能输入个数据 【分析】设乙每小时能输入个数据，由题意：两人各输入个数据，已知甲的输入速度是乙的倍，结果甲比乙提前个小时输完，列出分式方程，解方程，即可解决问题． 【详解】解：设乙每小时能输入个数据， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：乙每小时能输入个数据． ◆题型8 分式方程的经济问题 32．列方程解以下问题： “书山有路勤为径，学海无涯苦作舟”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“状元书历”和“金榜手环”．若购买本“状元书历”和个“金榜手环”需花费元，购买本“状元书历”和个“金榜手环”需花费元． (1)请问每本“状元书历”和每个“金榜手环”的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“状元书历”的售价降低元，“金榜手环”的售价降低元．经测算，学校花元购进“状元书历”的数量比花元购进“金榜手环”的数量还少个，求出的值． 【答案】(1) 每本“状元书历”售价元，每个“金榜手环”售价元． (2) 的值为． 【分析】（1）设出未知数，列二元一次方程组解决问题； （2）找到等量关系，列分式方程解决问题． 【详解】（1）解：设每本“状元书历”和每个“金榜手环”的售价分别为元和元， 根据题意得：， 解得：， 答：每本“状元书历”和每个“金榜手环”的售价分别为元和元． （2）根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 答：的值为． 33．重庆某特产商铺售卖奉节脐橙礼盒与合川桃片，两款本地特产销量可观．已知一盒奉节脐橙礼盒的售价比一盒合川桃片售价高15元，且购买三盒奉节脐橙礼盒和两盒合川桃片共需100元． (1)求一盒奉节脐橙礼盒和一盒合川桃片的售价分别是多少元？ (2)店庆促销期间，奉节脐橙礼盒每盒降价元，合川桃片每盒降价元，促销后奉节脐橙礼盒总销售额为3500元，合川桃片总销售额为1000元，且奉节脐橙礼盒的销量比合川桃片多，求的值． 【答案】(1)一盒合川桃片的售价是11元，一盒奉节脐橙礼盒的售价是26元； (2)的值是3 【分析】（1）设一盒合川桃片的售价为元，一盒奉节脐橙礼盒的售价比一盒合川桃片售价高15元，且购买三盒奉节脐橙礼盒和两盒合川桃片共需100元．据此列出方程并解方程即可； （2）根据奉节脐橙礼盒的销量比合川桃片多列分式方程并解分式方程，检验即可得到答案． 【详解】（1）解：设一盒合川桃片的售价为元， 由题意，得：， 解得； （元）． 答：一盒合川桃片的售价是11元，一盒奉节橙礼盒的售价是26元； （2）解：由题意可得 ， 解得； 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：的值是3． 34．某水果商从批发市场用8万元购进一批大樱桃若干千克，很快销售一空．于是该水果商又用17.6万元购进第二批大樱桃，所购质量是第一批的3倍，但每千克便宜了4元．求该水果商购进第一批大樱桃每千克多少元？ 【答案】该水果商购进第一批大樱桃每千克元 【分析】设第一批大樱桃的单价为未知数，根据第二批购进质量是第一批的倍的等量关系列分式方程求解． 【详解】解：设该水果商购进第一批大樱桃每千克元，则第二批每千克元， 由题意得 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：该水果商购进第一批大樱桃每千克元． 35．今年以来受各种因素的影响，猪肉的市场价格仍在不断上升．据调查，今年5月份一级猪肉的价格是1月份猪肉价格的1.25倍．小英同学的妈妈同样用20元钱在5月份购得一级猪肉比在1月份购得的一级猪肉少0.4斤，那么今年1月份的一级猪肉每斤是多少元？ 【答案】今年1月份的一级猪肉每斤是10元 【分析】设1月份一级猪肉单价为未知数，根据5月与1月购买的猪肉重量差列分式方程求解. 【详解】解：设今年1月份的一级猪肉每斤是x元，则5月份一级猪肉每斤是元， 由题意得：， 解得：， 经检验：当时，， ∴是原分式方程的解，且符合实际意义， 答：今年1月份的一级猪肉每斤是10元． 36．2026年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中A、B两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知B款手表的进价比A款手表每块多40元．该商店用7800元购进A款手表的数量，与用9000元购进B款手表的数量相等．求A款、B款手表每块的进价分别为多少元？ 【答案】A款手表每块进价260元，B款手表每块进价300元 【分析】设A款手表每块进价x元，B款手表每块进价元，根据等量关系：用7800元购进A款手表的数量，与用9000元购进B款手表的数量相等，列出分式方程并求解即可，注意检验． 【详解】解：设A款手表每块进价x元，B款手表每块进价元， 依题意，得：， 整理得，， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴（元）， ∴A款手表每块进价260元，B款手表每块进价300元； ◆题型9 分式方程的和差倍分问题 37．某手工社团开展纸艺作品制作活动，已知折叠型纸花比折叠型纸花平均每小时少做个，折叠个型纸花所用的时间，是折叠个型纸花所用时间的倍． (1)求平均每小时分别折叠型纸花和型纸花多少个？ (2)若社团安排名同学参与，要求每小时至少完成个纸艺作品，每名同学每小时只能做一种纸艺作品，则最多安排多少名同学来折叠型纸花？ 【答案】(1)平均每小时折叠型纸花个，型纸花个 (2)最多安排名同学折叠型纸花 【分析】（1）设平均每小时折叠型纸花个，则每小时折叠型纸花个，根据题意列出分式方程求解即可． （2）安排名同学来折叠型纸花，安排名同学来折叠型纸花，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设平均每小时折叠型纸花个，则每小时折叠型纸花个， 根据题意得， 整理得， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴； 答：平均每小时折叠型纸花个，型纸花个． （2）解：设安排名同学来折叠型纸花，安排名同学来折叠型纸花， 由（1）知平均每小时折叠型纸花个，型纸花个， 根据题意得， 整理得， ， 解得， ∵为人数，必须是整数， ∴的最大值为； 答：最多安排名同学来折叠型纸花． 38．社区开展便民“图书驿站”建设活动，原计划投资8000元建设若干便民“图书驿站”，为提升配套设施，实际每间便民“图书驿站”建设费用增加了，实际总投资为11520元，并且实际建设间数比原计划多2间便民“图书驿站”，求原计划每间便民“图书驿站”的建设费用是多少元？ 【答案】原计划每间便民“图书驿站”的建设费用是800元． 【分析】设原计划每间建设费用为x，再根据等量关系“实际建设间数比原计划多2间”列分式方程求解． 【详解】解：设原计划每间便民“图书驿站”的建设费用为x元． 实际每间建设费用为元． 根据题意，得， ， ， ； 检验：当时，， 故是原方程的解，且符合实际意义． 答：原计划每间便民“图书驿站”的建设费用是800元． 39．某非遗工坊的两位匠人制作传统油纸伞，匠人甲比匠人乙每天多制作10把油纸伞，匠人甲制作300把油纸伞所用的时间是匠人乙制作120把油纸伞所用时间的2倍，求匠人甲和匠人乙每天各制作多少把油纸伞． 【答案】匠人甲每天制作50把油纸伞，匠人乙每天制作40把油纸伞． 【分析】设匠人乙每天制作x把油纸伞，则匠人甲每天制作把油纸伞，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设匠人乙每天制作x把油纸伞，则匠人甲每天制作把油纸伞， 由题意可得：，解得：， 经检验，是分式方程的解． 所以． 答：匠人甲每天制作50把油纸伞，匠人乙每天制作40把油纸伞． 40．某校开展校园系列经典诵读分享活动，每场经典诵读活动分成若干个小队进行分享．第一场共有80名学生参与诵读，第二场参与诵读学生人数比第一场增加30人；第二场组建的诵读小队数量比第一场多2个，且平均每个小队的人数比第一场增加10%．求第二场组建的诵读小队数量． 【答案】10个 【分析】设第二场小队数量为，得出第一场小队数量为，再分别表示两场平均每小队人数，利用第二场平均每小队人数比第一场增加列出分式方程求解即可． 【详解】解：设第二场组建的诵读小队数量为个，则第一场小队数量为个． 第一场平均每队人数：； 第二场总人数：人，第二场平均每队人数：． 根据第二场平均每个小队的人数比第一场增加列方程： ， 解得， 检验：把代入，是原分式方程的解，且符合题意． 41．某印刷厂原计划印制套某种图书．在实际生产过程中，由于订单追加，生产任务增加了套，工厂通过优化流程，每天比原计划多印制套．最终，实际完成全部生产任务的天数是原计划完成 套图书所需天数的倍．求原计划每天印制多少套图书． 【答案】原计划每天印制套图书 【分析】设原计划每天印制套，则实际每天印制套，根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天印制x套图书，则优化流程后实际每天印制套图书． 由题意，得，解得， 经检验，是原分式方程的解． 答：原计划每天印制120套图书． 42．科技创新是推动高质量发展的核心动力，吉林省重点研发计划涵盖新能源、智能制造、医药健康、新材料、现代农业、生态环保六大领域，尽显吉林老工业基地转型升级、生态产业提质发展的风貌．某科技企业助力省内产业智能化升级，计划批量生产智能巡检设备，总共需完成180台生产任务，开工后技术团队升级工艺，实际每月生产数量为原计划的1.5倍，最终提前2个月完工，求企业原计划每月生产设备的数量． 【答案】30台 【分析】设原计划每月生产设备的数量为台，则实际每个月生产设备的数量为台，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设原计划每月生产设备的数量为台， 根据题意得：， 解得，     经检验：是原方程的解且符合题意， 答：原计划每月生产设备的数量为30台． ◆题型10 分式方程的其他实际问题 43．古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固．工匠们制作了一种特定的榫卯结构，该结构中，一个榫需要的木材比一个卯需要的木材多1千克．已知用35千克木材制作的该种榫的数量与用30千克木材制作该种卯的数量相同．设制作1个这样的榫需要木材千克，根据题意，得（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设制作个榫需要木材千克，则制作个卯需要木材千克，根据用千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同，列出方程即可 ． 【详解】解：设制作个榫需要木材千克， ∵一个榫需要的木材比一个卯需要的木材多千克， ∴制作个卯需要木材千克， ∵用千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同， ∴列方程为． 44．为提升配送效率，某快递公司引入两款无人机开展业务测试.甲款无人机配送150件包裹，与乙款无人机配送120件包裹所用的总时间相同（每件包裹大小、重量一样），已知甲款无人机平均每小时比乙款无人机多配送10件包裹，求甲、乙两款无人机平均每小时各配送多少件包裹，若小明列出的方程为：，则小明设的代表的是（     ） A．甲款无人机配送150件包裹所用的时间 B．乙款无人机配送120件包裹所用的时间 C．甲款无人机平均每小时配送的包裹件数 D．乙款无人机平均每小时配送的包裹件数 【答案】D 【详解】∵公式，题干给出甲配送150件与乙配送120件所用时间相等， 因此方程等式两边分别对应二者的工作时间. ∵已知甲款无人机平均每小时比乙款多配送10件，方程分母分别为和， ∴是甲平均每小时配送的包裹件数，是乙平均每小时配送的包裹件数. 45．【问题呈现】随着科技事业的不断发展，国产无人机大量应用于快递行业．现有A、B两种型号的无人机应用于运送快递，其中A型机比B型机平均每小时多运送30件，A型机运送800件所用时间与B型机运送600件所用时间相同．求B型机平均每小时运送多少快递？ 【解法分析】 找到的等量关系 列出的方程 解法一 A型机运送800件所用时间型机运送600件所用时间 解法二 A型机平均每小时运送的数量型机平均每小时运送的数量 【问题解决】 (1)在解法一所列方程中，x表示的是：B型机平均每小时运送快递的数量． 在解法二所列方程中，y表示的是：_____________________． (2)请按照“解法一”提供的思路，完成解决原问题的完整过程． 【答案】(1)A型机运送800件快递所用的时间． (2)解：设B型机平均每小时运送件快递，则A型机平均每小时运送件快递． 根据题意得． 去分母得． 展开整理得． 解得． 检验：当时，， 因此是原方程的解，且符合实际意义． 答：B型机平均每小时运送90件快递． 【分析】（1）根据解法二的方程结构与等量关系即可判断y的实际意义． （2）按照解法一的设元思路，利用时间相等的等量关系列分式方程，求解检验后得到结果． 【详解】（1）解：分析方程可知，表示A型机平均每小时运送的数量，表示型机平均每小时运送的数量， ∴表示A型机运送800件快递所用的时间． （2）略． 46．低空经济赋能乡村振兴，在广东某地万亩高标准农田里，农业无人机旋翼轰鸣，稻种精准洒落，科技助农的场景让农户们连连感叹．现有A，B两种型号的无人机可用来播种． (1)如果购买1台A型无人机和3台B型无人机需9万元，购买3台A型无人机和1台B型无人机需11万元，求两种型号的无人机单价分别是多少万元． (2)每台A型无人机比B型无人机日均播种面积多200亩，每台A型无人机播种1500亩所用时间与B型无人机播种900亩所用时间相等，求两种型号的无人机每台日均分别播种多少亩． 【答案】(1)A型无人机单价为3万元，B型无人机单价为2万元． (2)A型无人机每台日均播种500亩，B型无人机每台日均播种300亩． 【详解】（1）解：设A型无人机的单价是x万元、B型无人机的单价是y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：A型无人机单价为3万元，B型无人机单价为2万元； （2）解：设A型无人机每台日均播种m亩，B型无人机每台日均播种亩，则 ， 解得， 经检验是分式方程的解且符合题意， ， 答：A型无人机每台日均播种500亩，B型无人机每台日均播种300亩． 综合攻坚·知能拔高 1．下列方程中，是分式方程的是（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．①③ C．②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的定义，根据分式方程的定义是分母中含有未知数的方程，据此逐一判断各方程是否符合条件． 【详解】解： ∵方程① 的分母含有未知数， ∴ ①是分式方程； ∵ 方程② 的分母是常数， ∴ ②不是分式方程； ∵ 方程③ 的分母 都是常数， ∴ ③不是分式方程； ∵ 方程④ 的分母含有未知数， ∴ ④是分式方程． ∴ 是分式方程的是①④， 故选：A． 2．将方程去分母，得（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 方程两边同时乘以去分母，得． 3．已知分式方程的解为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．7 D．12 【答案】D 【分析】将代入分式方程，得到关于a的方程，即可求解． 【详解】解：将代入分式方程，得： ， 解得． 4．若关于的方程无解，则的值是（     ） A． B．或 C．或1 D． 【答案】B 【分析】分式方程无解分两种情况，一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，分情况计算即可得到m的值． 【详解】解：原方程为， 方程两边同时乘以，得， 整理得． 若，即，则方程无解，原分式方程无解； 若，即，则方程的解为， ∵原分式方程无解， ∴当时，， 解得． 综上所述，的值为或． 5．《九章算术》中记载这样一道问题：现将一份文书送往距离里处的城池，若用慢马递送，所需时间比规定时间多天；若用快马递送，所需时间比规定时间少天．已知快马速度是慢马速度的倍，求规定的递送时间．设规定的递送时间为天，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别表示出快、慢马的速度，再根据快马速度是慢马速度的倍列方程即可． 【详解】解：∵规定时间为天，慢马所需时间比规定时间多2天，快马所需时间比规定时间少3天， ∴慢马走完全程的时间为天，快马走完全程的时间为天， ∵总路程为900里， ∴慢马速度为，快马速度为， ∵快马速度是慢马速度的2倍， ∴． 6．有一个“分钱问题”是这样的：一组人平分235元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分550元钱，则第二次每人所得的钱比第一次多3元．设第一次分钱的人数为人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“第二次每人所得比第一次多3元”的等量关系，用含的式子表示两次人均分钱数即可列方程． 【详解】解：因为第一次人平分235元钱，所以第一次每人分得元；又因为第二次人平分550元钱，所以第二次每人分得元， ∵第二次每人所得比第一次多3元， ∴可列方程． 7．______时，关于的方程的解为． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，再将代入整式方程得到关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 把代入，得， 解得． 8．已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】先求解分式方程得到关于的表达式，再根据解为正数、分式有意义的条件列不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解：原方程可变形为， 两边同乘得 ， 整理得 ， 即， ∵方程的解是正数， ∴， 解得， ∵分式方程分母不为0， ∴，即， 代入得， 解得， 因此的取值范围是且． 9．若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为_______． 【答案】 【分析】先根据不等式组有解求出的取值范围，再结合分式方程的解是非负整数且分母不为零，找出符合条件的整数，最后计算乘积． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得， 一元一次不等式组有解， ， 分式方程两边同乘去分母，得：， 解得， 由分式方程分母不为得，即， 解得， 分式方程的解是非负整数， ∴， 解得， ∴ 符合条件的整数为0，，2，4 ∴所有满足条件的整数的值之积为． 10．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原分式方程无解 (2) 【详解】（1）解：方程两边同时乘得： ， 去括号得：， 移项、合并同类项得： ， 检验：当时，， ∴原分式方程无解． （2）解：方程两边同时乘得： ， 去括号得： ， 移项、合并同类项得： ， 解得 ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 11．在解分式方程时，李明的解法如下： 解：            …… 第①步     ……第②步            ……第③步     ……第④步 检验：当时，          …… 第⑤步 所以是原分式方程的解． (1)上面运算过程中第_______步开始出现了错误； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)， ， ， ， 解得：， 检验：当时，， 所以原分式方程无解． 【分析】（1）第②步去分母过程中没有将方程中的每一项都乘以最小公分母； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； 【详解】（1）略 （2）略 12．近日，长春市教育局发布了《2027年长春市初中毕业生体育考试实施方案》，其中男生1000米和女生800米的考核标准调整为“达到良好即满分”，即男生跑进4分05秒、女生跑进3分55秒即可得到满分．一次测试中，一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完800米所用时间比这名男生跑完1000米所用时间少50秒．按照2027年中考考核标准来看，这名女生能否拿到满分？ 【答案】能 【分析】设男生跑1000米用时t秒，则女生跑800米用时秒，根据两人的平均速度相同，列出方程求解即可． 【详解】解：设男生跑1000米用时t秒，则女生跑800米用时秒．根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，并符合实际， ∴女生用时：（秒）=3分20秒    ∵3分20秒分55秒， ∴这名女生能拿到满分 13．学校计划购买，两种书架，已知购买个种书架比个种书架的价格高，用元购买种书架的数量比用元购买种书架的数量多个．每个种书架、每个种书架的价格分别是多少元？ 【答案】每个种书架的价格是元，每个种书架的价格是元 【详解】解：设每个种书架的价格为元，则每个种书架的价格为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 每个种书架为元， 每个种书架为（元）． 答：每个种书架的价格是元，每个种书架的价格是元． 14．随着科技创新，人形机器人融合多种先进技术，极具发展潜力与应用前景．为了提高工作效率，某工厂使用A，B两种型号机器人搬运货物．已知A型机器人每小时搬运货物的质量是B型机器人的1.5倍，A型机器人搬运货物的时间比B型机器人搬运货物的时间少，A，B两种机器人每小时分别搬运多少货物？ 【答案】A型机器人每小时搬运货物，B型机器人每小时搬运货物 【分析】利用工作时间工作总量工作效率的关系，设B型机器人每小时搬运货物质量为未知数，根据倍数关系得到A型的搬运效率，再根据时间差为列方程，求解检验后得到结果． 【详解】解：设B型机器人每小时搬运货物，则A型机器人每小时搬运货物， 根据题意列方程得， 解得， 检验：当时，， 因此是原方程的解，符合题意， ， 答：A型机器人每小时搬运货物，B型机器人每小时搬运货物． 15．某手工社团开展纸艺作品制作活动，已知折叠型纸花比折叠型纸花平均每小时少做个，折叠个型纸花所用的时间，是折叠个型纸花所用时间的倍． (1)求平均每小时分别折叠型纸花和型纸花多少个？ (2)若社团安排名同学参与，要求每小时至少完成个纸艺作品，每名同学每小时只能做一种纸艺作品，则最多安排多少名同学来折叠型纸花？ 【答案】(1)平均每小时折叠型纸花个，型纸花个 (2)最多安排名同学折叠型纸花 【分析】（1）设平均每小时折叠型纸花个，则每小时折叠型纸花个，根据题意列出分式方程求解即可． （2）安排名同学来折叠型纸花，安排名同学来折叠型纸花，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设平均每小时折叠型纸花个，则每小时折叠型纸花个， 根据题意得， 整理得， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴； 答：平均每小时折叠型纸花个，型纸花个． （2）解：设安排名同学来折叠型纸花，安排名同学来折叠型纸花， 由（1）知平均每小时折叠型纸花个，型纸花个， 根据题意得， 整理得， ， 解得， ∵为人数，必须是整数， ∴的最大值为； 答：最多安排名同学来折叠型纸花． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $