专题03 分式方程相关计算五类训练（计算题专项训练）数学湘教版新教材八年级上册

专题03 分式方程相关计算五类训练（计算题专项训练） 【适用版本：湘教版新教材】 训练1 解分式方程 解分式方程的核心是“去分母转化为整式方程”，关键在于验根（避免增根），以下是步骤： 1. 找最简公分母：先对所有分母因式分解，最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的乘积。 2. 去分母，化整式方程：方程两边同时乘以最简公分母，消去分母。 3. 解整式方程：按一元一次方程的解法求解，去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 4. 验根：将根代入最简公分母，若公分母为0，则是增根（舍去）；若不为0，则是原方程的解。 方法指导 1．解分式方程： （1）． （2）． 2．解方程： （1）； （2）． 3．解分式方程． （1）； （2）． 4．解方程： （1）； （2）． 5．解方程： （1）； （2）． 6．解方程： （1）； （2）． 7．解方程： （1）； （2）0； （3）1． 8．解方程： （1）； （2）． 9．解分式方程． （1）； （2）． 10．解方程： （1）； （2）． 训练2 已知分式方程的增根求值 1. 确定增根的可能值：先对原方程分母因式分解，令最简公分母为0，解出的根即为增根的可能值（注意：增根需满足原方程分母为0，而非仅公分母为0）。 2. 将增根代入整式方程：把原方程两边乘最简公分母，转化为整式方程，再将第一步求出的增根代入整式方程，得到关于参数的一元一次方程。 3. 解参数方程，得出结果：解关于参数的方程，即可求出参数的值（注意：需验证参数值是否使原方程有增根，避免多解或无解情况）。 方法指导 1．已知关于x的分式方程有增根，求a的值． 2．已知关于x的分式方程有增根，求k的值． 3．已知关于x的分式方程有增根，求m的值． 4．已知关于x的分式方程． （1）当a＝1时，求分式方程的解． （2）若该分式方程有增根，求a的值． 5．已知关于x的分式方程． （1）若m＝5，解这个分式方程； （2）若原分式方程有增根，求m的值． 6．已知关于x的方程． （1）若m＝4，解这个分式方程； （2）若原分式方程有增根，求m的值． 7．已知关于x的方程． （1）当m取何值时，此方程的解为x＝3？ （2）当m取何值时，此方程会产生增根？ 8．若关于x的方程有增根，试求k的值． 9．已知关于x的分式方程． （1）若方程的根为x＝4，求m的值； （2）若方程有增根，求m的值． 10．已知关于x的分式方程． （1）若该方程的增根为x＝2，求m的值； （2）若该方程有增根，求m的值． （3）若该方程无解，求m的值． 训练3 已知分式方程无解求值 已知分式方程无解求参数值，核心是抓住“无解的两种核心情况”，按以下步骤逐步分析： 首先，把分式方程两边同时乘最简公分母，转化为整式方程（注意每一项都要乘，不含分母的项也不能漏）；然后，令最简公分母为0，求出可能的增根（这些根会让原分式方程分母为0，必须排除）。 接下来分两种情况讨论：第一种是“整式方程有解，但所有解都是增根”——把求出的增根代入整式方程，解出参数值，再验证这些参数值是否让整式方程的所有解都成为增根；第二种是“整式方程本身无解”——如果整式方程是一次方程，当x的系数为0且常数项不为0时无解；如果是二次方程，当判别式小于0时无解。 最后，把两种情况求出的参数值汇总，代入原分式方程验证，确保确实无解，最终确定参数的取值。 方法指导 1．若关于x的方程无解，求实数a的值． 2．关于x的分式方程2m无解，求m的值． 3．已知关于x的方程． （1）若a＝4，求该方程的解； （2）若该方程无解，求实数a的值． 4．已知关于x的分式方程． （1）若k＝2时，求分式方程的解． （2）若分式方程无解，求k的值． 5．已知关于x的分式方程：． （1）当m＝4时，解该分式方程； （2）若该分式方程无解，求m的值． 6．已知关于x的分式方程无解，求a的值． 7．若关于x的方程无解，求n的值． 8．已知关于x的分式方程，回答下列问题： （1）原分式方程去分母后，整理成关于x的整式方程，得　 ． （2）若原分式方程无解，求a的值． 9．已知关于x的分式方程． （1）当m＝﹣1时，求这个分式方程的解． （2）小华认为m＝4时，原分式方程无解．你认为小华的结论正确吗？请判断并说明理由． 10．小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚． （1）她把这个数“？”猜成﹣3，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到的标准答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 训练4 已知分式方程的解正负情况求取值范围 1. 去分母，转化为整式方程：方程两边乘最简公分母（每一项都要乘），消去分母，得到关于 x 的整式方程（含参数），标注最简公分母。 2. 求整式方程的解：解整式方程，用参数表示出 x（注意：若整式方程是一次方程，需保证系数不为0，否则可能无解）。 3. 根据“解的正负”列不等式：若要求解为正数，则 x > 0；若要求解为负数，则 x < 0，列出关于参数的不等式。 4. 结合“分母不为0”补全条件：分式方程的解必须使原方程所有分母不为0，即解不能是增根，补充不等式，最终组成不等式组求解。 方法指导 1．若关于x的分式方程的解为正实数，求k的取值范围． 2．如果关于x的分式方程的解为正数，求常数a的取值范围． 3．若关于x的分式方程的解不小于2，求m的取值范围． 4．关于x的方程的解大于，求m的取值范围． 5．已知关于x的分式方程． （1）若该分式方程的解是x＝1，求b的值； （2）若该分式方程的解是非负数，求b的取值范围． 6．已知关于x的分式方程． （1）若该分式方程无解，则m的值是多少？ （2）该分式方程的解大于1，求m的取值范围． 7．已知关于x的分式方程． （1）当m＝1时，求方程的解． （2）若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 8．关于x的分式方程的解为正数，求a的取值范围是什么？ 9．已知关于x的分式方程． （1）若分式方程无解，求m的值； （2）若分式方程的解为正数，求m的取值范围． 10．已知关于x的分式方程． （1）若这个方程的解是正数，请求出m取值范围； （2）若这个方程无解，请你直接写出m的值． 训练5 根据分式方程的整数解求值 1. 去分母，转化为整式方程：方程两边乘最简公分母（每一项都要乘），消去分母，得到关于 x 的整式方程（含参数），标注最简公分母。 2. 用参数表示整式方程的解：解整式方程，将 x 用参数表示（注意：若整式方程是一次方程，需保证系数不为0，否则可能无解或无数解）。 3. 根据“解为整数”分析参数的可能值：由 x 是整数，推导出参数的取值范围，再结合参数的隐含条件（如整数、实数等），列出参数的可能值。 4. 结合“分母不为0”排除无效参数：分式方程的解不能使原方程分母为0，即解不能是增根，补充条件排除不符合的参数值。 方法指导 1．若分式方程的解为正整数，求整数m的值． 2．已知a是正整数，关于y的分式方程有非负整数解．求满足条件的所有正整数a的和． 3．若关于x的分式方程的解为整数，关于y的不等式组有且仅有2个偶数解，求所有满足条件的整数m的值之和． 4．若关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，求所有满足条件的整数a的值之和． 5．若关于x的不等式组有解且至多3个整数解，关于y的分式方程的解为整数，求符合条件的所有整数a的和． 6．已知关于x的方程． （1）若m＝4，解这个分式方程； （2）若原分式方程的解为整数，求整数m的值． 7．若关于x的分式方程的解为正整数，则正数m的值为多少？ 8．若关于x的不等式组，有且仅有五个整数解，且关于x的分式方程3有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和． 9．若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，求所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 10．关于x的一元一次不等式组的解集为x＞m，关于y的分式方程1有负整数解，试求出符合条件的所有整数m的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 分式方程相关计算五类训练（计算题专项训练） 【适用版本：湘教版新教材】 训练1 解分式方程 解分式方程的核心是“去分母转化为整式方程”，关键在于验根（避免增根），以下是步骤： 1. 找最简公分母：先对所有分母因式分解，最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的乘积。 2. 去分母，化整式方程：方程两边同时乘以最简公分母，消去分母。 3. 解整式方程：按一元一次方程的解法求解，去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 4. 验根：将根代入最简公分母，若公分母为0，则是增根（舍去）；若不为0，则是原方程的解。 方法指导 1．解分式方程： （1）． （2）． 【解答】解：（1）， 去分母得：1﹣x+3＝7﹣2x， 解整式方程得：x＝3， 检验：把x＝3代入x﹣3得：x﹣3＝3﹣3＝0， ∴x＝3是原方程的增根， ∴原方程无解． （2）， 去分母得：x﹣1+2（x+1）＝5， 去括号得：x﹣1+2x+2＝5， 解整式方程得：， 检验：把代入x2﹣1得：， ∴是原方程的解． 2．解方程： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， 去分母得：5+x﹣2＝1﹣x， 移项合并同类项得：2x＝﹣2， 系数化为1得：x＝﹣1， 检验：把x＝﹣1代入x﹣2得：﹣1﹣2＝﹣3≠0， ∴x＝﹣1是原方程的解； （2）， 去分母得：3（x+3）﹣4＝0， 去括号得：3x+9﹣4＝0， 移项合并同类项得：3x＝﹣5， 系数化为1得：， 检验：把代入x2﹣9得：， ∴是原方程的解． 3．解分式方程． （1）； （2）． 【解答】解：（1）， 6﹣x＝4（2x﹣3）， ﹣9x＝﹣18， 解得：x＝2， 检验：当x＝2时，2x﹣3≠0， ∴原分式方程的解为x＝2； （2）， 3x+x+2＝4， 解得：， 检验：当时，x（x+2）≠0， ∴原分式方程的解为． 4．解方程： （1）； （2）． 【解答】解：（1） 方程两边同时乘x﹣2，得1＝x﹣1， 解得x＝2， 检验：，当x＝2时，x﹣2＝0，所以x＝2不是分式方程的解， 所以原分式方程无解； （2） 方程可化为， 方程两边同时乘2x﹣3，得x﹣5＝4（2x﹣3）， 解得x＝1， 检验：当x＝1时，2x﹣3≠0， 所以原分式方程的解是x＝1． 5．解方程： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原方程去分母得：x﹣5＝2x﹣5， 解得：x＝0， 检验：当x＝0时，2x﹣5≠0， 故原分式分式方程的解为x＝0； （2）原方程去分母得：（x﹣2）2﹣（x+2）2＝16， 整理得：﹣8x＝16， 解得：x＝﹣2， 检验：当x＝﹣2时，x2﹣4＝0， 则x＝﹣2是分式方程的增根， 故原方程无解． 6．解方程： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， 方程两边同时乘（2x﹣5），得x﹣5＝2（2x﹣5）， 去括号，得x﹣5＝4x﹣10， 解得：， 检验：把代入2x﹣5≠0， ∴分式方程的解为； （2）， 方程两边同时乘2（x﹣2），得6x﹣2（x﹣8）＝28（x﹣2）， 去括号，得6x﹣2x+16＝28x﹣56， 解得：x＝3， 检验：把x＝3代入2（x﹣2）≠0， ∴分式方程的解为x＝3． 7．解方程： （1）； （2）0； （3）1． 【解答】解：（1）去分母得：x+4＝4， 解得：x＝0， 经检验x＝0是分式方程的解； （2）去分母得：3x﹣x﹣2＝0， 解得：x＝1， 经检验x＝1是增根，分式方程无解； （3）去分母得：2﹣x﹣1＝x﹣3， 解得：x＝2， 经检验x＝2是分式方程的解． 8．解方程： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原方程去分母得：5x﹣5＝3+x﹣2， 解得：x＝1.5， 检验：当x＝1.5时，5（x﹣2）≠0， 故原方程的解为x＝1.5； （2）原方程去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3， 整理得：x+2＝3， 解得：x＝1， 检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝0， 则x＝1是分式方程的增根， 故原方程无解． 9．解分式方程． （1）； （2）． 【解答】解：（1）， 6x﹣4（x﹣1）＝1， 6x﹣4x+4＝1， 2x＝﹣3， 解得：， 检验，当时，2（x﹣1）≠0， ∴是原方程的解； （2）， 3x（x﹣2）＝2+3（x2﹣4）， 3x2﹣6x＝2+3x2﹣12， ﹣6x＝﹣10， 解得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 10．解方程： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， 方程可化为，即， 方程两边同乘（x+2）（x﹣2），得x（x﹣2）﹣8＝（x+2）2， 解得x＝﹣2， 检验：当x＝﹣2时，（x+2）（x﹣2）＝0，所以x＝﹣2不是分式方程的解， 所以原分式方程无解； （2）， 方程可化为， 方程两边同乘x（x+1）（x﹣1），得7（x+1）﹣（x﹣1）＝3x， 解得x， 检验：当x时，x（x+1）（x﹣1）≠0， 所以原分式方程的解是x． 训练2 已知分式方程的增根求值 1. 确定增根的可能值：先对原方程分母因式分解，令最简公分母为0，解出的根即为增根的可能值（注意：增根需满足原方程分母为0，而非仅公分母为0）。 2. 将增根代入整式方程：把原方程两边乘最简公分母，转化为整式方程，再将第一步求出的增根代入整式方程，得到关于参数的一元一次方程。 3. 解参数方程，得出结果：解关于参数的方程，即可求出参数的值（注意：需验证参数值是否使原方程有增根，避免多解或无解情况）。 方法指导 1．已知关于x的分式方程有增根，求a的值． 【解答】解：， x+2﹣a＝3（x﹣1）， x+2﹣a＝3x﹣3， x， ∵分式方程有增根， ∴， ∴a＝3． 2．已知关于x的分式方程有增根，求k的值． 【解答】解：两边同时乘以2（x﹣2）得： k﹣2（x﹣2）＝2x， 解得x， 由题意得2， 解得k＝4． 3．已知关于x的分式方程有增根，求m的值． 【解答】解：原方程去分母得：3（x﹣1）+6（x+1）＝mx， 去括号得：3x﹣3+6x+6＝mx， 整理得得：（m﹣9）x＝3， 由题意得，当x＝1或x＝﹣1时，该分式方程有增根， 当x＝1时， m﹣9＝3， 解得：m＝12， 当x＝﹣1时， 9﹣m＝3， 解得：m＝6， 综上，m的值为6或12． 4．已知关于x的分式方程． （1）当a＝1时，求分式方程的解． （2）若该分式方程有增根，求a的值． 【解答】解：（1）当a＝1时，原分式方程为：， 两边同乘以（x﹣3），得： 4+1＝2（x﹣3）， 解这个整式方程，得： ． 检验：当时，x﹣3≠0， ∴是原分式方程的解． （2）， 两边同乘以x﹣3，得： 4+a＝2（x﹣3）， 解得：． ∵该分式方程有增根， ∴x﹣3＝0，即x＝3， ∴， 解得：a＝﹣4， ∴当a＝﹣4时，该分式方程有增根． 5．已知关于x的分式方程． （1）若m＝5，解这个分式方程； （2）若原分式方程有增根，求m的值． 【解答】解：（1）根据题意，将m＝5代入方程得，， 去分母得：5（x﹣3）+（x+3）＝9， 解得：x， 经检验：当x时，x2﹣9≠0， ∴x是原方程的根； （2）， 去分母得：m（x﹣3）+（x+3）＝m+4， ∵原分式方程有增根， ∴x＝3或x＝﹣3， 当x＝3时，m（3﹣3）+（3+3）＝m+4， 解得m＝2； 当x＝﹣3时，m（﹣3﹣3）+（﹣3+3）＝m+4， 解得m ∴m的值为2，． 6．已知关于x的方程． （1）若m＝4，解这个分式方程； （2）若原分式方程有增根，求m的值． 【解答】解：（1）根据题意，将m＝4代入方程得， 解得：， 经检验：当时，x2﹣9≠0， ∴是原方程的根； （2）， 解得：， ∴， ∵原分式方程有增根， ∴x＝±3， 当x＝3时，， 解得：m＝2， 当x＝﹣3时，， 解得：， ∴m的值为2，． 7．已知关于x的方程． （1）当m取何值时，此方程的解为x＝3？ （2）当m取何值时，此方程会产生增根？ 【解答】解：（1）将x＝3代入分式方程得：5， 解得m＝6； （2）去分母得x+2m＝5（3x﹣6）， 将x＝2代入整式方程得2+2m＝0， 即m＝﹣1． 所以当m＝﹣1时，此方程会产生增根． 8．若关于x的方程有增根，试求k的值． 【解答】解：去分母，得 （x+1）+（k﹣5）（x﹣1）＝（k﹣1）x． 化简，得 3x﹣6+k＝0． 当x＝1时，3﹣6+k＝0，解得k＝3； 当x＝0时，﹣6+k＝0，解得k＝6； 当x＝﹣1时，﹣3﹣6+k＝0，解得k＝9． 9．已知关于x的分式方程． （1）若方程的根为x＝4，求m的值； （2）若方程有增根，求m的值． 【解答】解：（1）原方程整理得mx＝﹣8． 当方程的根为x＝4，则4m＝﹣8．得m＝﹣2； （2）若原分式方程有增根，则（x+2）（x﹣2）＝0．所以 x＝﹣2 或 x＝2． 当 x＝﹣2 时，﹣2m＝﹣8．得m＝4． 当 x＝2 时，2m＝﹣8．得m＝﹣4． 所以若原分式方程有增根，则m＝±4． 10．已知关于x的分式方程． （1）若该方程的增根为x＝2，求m的值； （2）若该方程有增根，求m的值． （3）若该方程无解，求m的值． 【解答】解：（1）， 去分母得2（x+3）+mx＝x﹣2，即（m+1）x＝﹣8， ∵该方程的增根为x＝2， ∴2（m+1）＝﹣8，解得m＝﹣5； （2）若分式方程有增根，则增根为x＝2或x＝﹣3， 由（1）去分母得（m+1）x＝﹣8， 当x＝2时，2（m+1）＝﹣8，解得m＝﹣5； 当x＝﹣3时，﹣3（m+1）＝﹣8，解得； 综上所述，m＝﹣5或； （3）由（2）知当m＝﹣5或，方程有增根，则分式方程无解； 由（1）可知，原分式方程去分母后得到（m+1）x＝﹣8， 当m+1＝0，即m＝﹣1时，方程（m+1）x＝﹣8无解； 综上所述，m＝﹣5或或m＝﹣1． 训练3 已知分式方程无解求值 已知分式方程无解求参数值，核心是抓住“无解的两种核心情况”，按以下步骤逐步分析： 首先，把分式方程两边同时乘最简公分母，转化为整式方程（注意每一项都要乘，不含分母的项也不能漏）；然后，令最简公分母为0，求出可能的增根（这些根会让原分式方程分母为0，必须排除）。 接下来分两种情况讨论：第一种是“整式方程有解，但所有解都是增根”——把求出的增根代入整式方程，解出参数值，再验证这些参数值是否让整式方程的所有解都成为增根；第二种是“整式方程本身无解”——如果整式方程是一次方程，当x的系数为0且常数项不为0时无解；如果是二次方程，当判别式小于0时无解。 最后，把两种情况求出的参数值汇总，代入原分式方程验证，确保确实无解，最终确定参数的取值。 方法指导 1．若关于x的方程无解，求实数a的值． 【解答】解：分式方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）+（x+1）＝x+a， 整理得2x＝a+1， 解得， 因为原分式方程无解， 所以是原方程的增根， 原方程分母为0时，x＝1或x＝﹣1， 当时， 解得a＝1， 当时， 解得a＝﹣3， 因此实数a的值为1或﹣3． 2．关于x的分式方程2m无解，求m的值． 【解答】解：给分式方程两边同时乘以x﹣3，得，x﹣2m（x﹣3）＝m， （2m﹣1）x＝5m， ①2m﹣1＝0，则m； ②2m≠1，解得x， 由方程增根为x＝3，则3， 解得m＝3， 综上，m或3． 3．已知关于x的方程． （1）若a＝4，求该方程的解； （2）若该方程无解，求实数a的值． 【解答】解：（1）． 原方程去分母并整理得：2（x﹣1）+（x+1）＝x+a， 整理得2x＝a+1，即， ∴当a＝4时，， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解是； （2）由（1）知，所以要使原方程无解， 只需满足即可，解得a＝1或﹣3． 4．已知关于x的分式方程． （1）若k＝2时，求分式方程的解． （2）若分式方程无解，求k的值． 【解答】解：（1）当k＝2时，， 1＝﹣1﹣2x﹣3x+6， 5x＝4， ， 检验：当时，分母x﹣2≠0， ∴； （2）原方程变形可得： ， 1＝﹣1﹣kx﹣3x+6， （k+3）x＝4， 当整式方程无解时，k+3＝0，k＝﹣3， 当k≠﹣3时，则， ∴， ∴k＝﹣1， 综上，k＝﹣1或k＝﹣3． 5．已知关于x的分式方程：． （1）当m＝4时，解该分式方程； （2）若该分式方程无解，求m的值． 【解答】解：（1）当m＝4时， ， 3（3x﹣1）﹣2＝4， 9x﹣3﹣2＝4， 9x＝9， 解得：x＝1， 检验，当x＝1时，6x﹣2≠0， ∴方程的解为x＝1； （2）， 3（3x﹣1）﹣2＝m， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根， ∴6x﹣2＝0， 6x＝2， 解得：， 把代入3（3x﹣1）﹣2＝m，得：m＝﹣2， 故m＝﹣2． 6．已知关于x的分式方程无解，求a的值． 【解答】解：去分母得ax﹣2a+x+1＝0， ∵关于x的分式方程0无解， ①x（x+1）＝0， 解得：x＝﹣1，或x＝0， 当x＝﹣1时，ax﹣2a+x+1＝0，即﹣a﹣2a﹣1+1＝0， 解得：a＝0， 当x＝0时，﹣2a+1＝0， 解得：a； ②方程ax﹣2a+x+1＝0无解， 即（a+1）x＝2a﹣1无解， ∴a+1＝0，a＝﹣1． 故答案为：0、或﹣1． 7．若关于x的方程无解，求n的值． 【解答】解：原分式方程变形可得， ， ， 故﹣x＝﹣nx+2， x（n﹣1）＝2， 当整式方程无解时，n﹣1＝0，解得：n＝1， 当产生增根时，即x＝3时，3（n﹣1）＝2，解得：， ∴当方程无解时，n＝1或． 8．已知关于x的分式方程，回答下列问题： （1）原分式方程去分母后，整理成关于x的整式方程，得　（1﹣a）x＝a ． （2）若原分式方程无解，求a的值． 【解答】解：（1）， 整理得：（1﹣a）x＝a． 故答案为：（1﹣a）x＝a； （2）当1﹣a＝0， 即a＝1时，原分式方程无解； 当1﹣a≠0时，由原分式方程无解， 得x﹣1＝0， 解得：x＝1， 把x＝1代入（1﹣a）x＝a， 解得：， 综上所述，若原分式方程无解，a的值为1或． 9．已知关于x的分式方程． （1）当m＝﹣1时，求这个分式方程的解． （2）小华认为m＝4时，原分式方程无解．你认为小华的结论正确吗？请判断并说明理由． 【解答】解：（1）当m＝﹣1时，方程为． 去分母得3（x﹣1）﹣9＝﹣2（x+1）， 解得x＝2． 检验，当x＝2时，（x+1）（x﹣1）≠0， ∴x＝2是原方程的解． （2）小华的结论正确． 当m＝4时，方程变为， 去分母得3（x﹣1）﹣4＝﹣2（x+1）， 解得x＝1． 检验，当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0， ∴x＝1是增根， ∴原分式方程无解． 10．小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚． （1）她把这个数“？”猜成﹣3，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到的标准答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 【解答】解：（1）原方程两边同时乘（x﹣2）得2x﹣3＝3（x﹣2）， 解得x＝3， 经检验，x＝3是原分式方程的解． （2）设？为m，则分式方程为， 方程两边同时乘x﹣2得2x+m＝3（x﹣2）， 整理得，x＝m+6， 由于原分式方程无解，所以原分式方程有增根，即x＝2， 所以把x＝2代入得2＝m+6，解得m＝﹣4， 所以，原分式方程中“？”代表的数是﹣4． 训练4 已知分式方程的解正负情况求取值范围 1. 去分母，转化为整式方程：方程两边乘最简公分母（每一项都要乘），消去分母，得到关于 x 的整式方程（含参数），标注最简公分母。 2. 求整式方程的解：解整式方程，用参数表示出 x（注意：若整式方程是一次方程，需保证系数不为0，否则可能无解）。 3. 根据“解的正负”列不等式：若要求解为正数，则 x > 0；若要求解为负数，则 x < 0，列出关于参数的不等式。 4. 结合“分母不为0”补全条件：分式方程的解必须使原方程所有分母不为0，即解不能是增根，补充不等式，最终组成不等式组求解。 方法指导 1．若关于x的分式方程的解为正实数，求k的取值范围． 【解答】解：原方程的两边都乘以（x﹣1），得1+2（x﹣1）＝k﹣2， 解得． ∵方程的解为正实数， ∴， ∴k＞1． ∵分式的分母x﹣1≠0， ∴x≠1， 即， ∴k≠3， ∴k的取值范围是k＞1且k≠3． 2．如果关于x的分式方程的解为正数，求常数a的取值范围． 【解答】解：关于x的分式方程的解为正数， 方程两边同时乘以2（x﹣2）得：（x+2）+2（5﹣a）＝a（x﹣2）， 去括号得：x+2+10﹣2a＝ax﹣2a， 移项并合并同类项得：（1﹣a）x＝﹣12， 解得， 由题意可得：， 解得a＞1， ∵x﹣2≠0， ∴x≠2， ∴， ∴a≠7， 综上所述，常数a的取值范围a＞1且a≠7． 3．若关于x的分式方程的解不小于2，求m的取值范围． 【解答】解：， x＝m+2（x﹣3）， x＝m+2x﹣6， x﹣2x＝m﹣6， x＝6﹣m， ∵x﹣3≠0， ∴6﹣m﹣3≠0， 即m≠3， ∵方程的解不小于2， ∴6﹣m≥2， 解得m≤4， ∴m≤4且m≠3． 4．关于x的方程的解大于，求m的取值范围． 【解答】解：∵， ∴x+m＝2﹣x， 则， ∵关于x的方程的解大于， ∴， ∵x≠2， ∴， ∴m≠﹣2， 解得m＜﹣1且m≠﹣2， ∴m的取值范围为m＜﹣1且m≠﹣2， 5．已知关于x的分式方程． （1）若该分式方程的解是x＝1，求b的值； （2）若该分式方程的解是非负数，求b的取值范围． 【解答】解：（1）将x＝1代入方程得， 解得：b＝﹣2． （2）原方程去分母可得3x+b＝2﹣x， 3x+x＝2﹣b， 4x＝2﹣b， ． ∵分式方程的解是非负数， ∴，且，解得b≤2且b≠﹣6． 6．已知关于x的分式方程． （1）若该分式方程无解，则m的值是多少？ （2）该分式方程的解大于1，求m的取值范围． 【解答】解：（1）， 3（m﹣2x）＝x﹣2， 3m﹣6x＝x﹣2， 7x＝3m+2， ， ∵该分式方程无解， ∴x﹣2＝0， ∴x＝2， ∴， 解得：m＝4； （2）由（1）知， ∵该分式方程的解大于1且x≠2， ∴且， 解得：且m≠4． 7．已知关于x的分式方程． （1）当m＝1时，求方程的解． （2）若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 【解答】解：（1）当m＝1时， ， ， ， ， 去分母得：x+1＝2（x﹣1）， 解得：x＝3， 检验：当x＝3时x﹣1≠0， 故方程的解为：x＝3； （2）， ， ， ， 去分母得：x+m＝2（x﹣1）， 解得：x＝m+2， 由分式方程有解且解为非负数，x≠1且x≥0， 即：m+2≠1且m+2≥0 即：m≥﹣2且m≠﹣1 8．关于x的分式方程的解为正数，求a的取值范围是什么？ 【解答】解：∵， ∴1﹣ax+27＝﹣8（x﹣4）， ∴， ∵且， 解得：a＜8且a≠7． 9．已知关于x的分式方程． （1）若分式方程无解，求m的值； （2）若分式方程的解为正数，求m的取值范围． 【解答】解：（1）去分母，得1+3（x﹣2）＝﹣1﹣mx， 移项、合并同类项，得（m+3）x＝4， ∵分式方程无解， ∴①当方程有增根时，原方程无解，即x＝2， 2（m+3）＝4，解得m＝﹣1； ②当m+3＝0时，原方程无解，即m＝﹣3， 综合①②，若分式方程无解，m的值为﹣1或﹣3． （2）由（1）可得（m+3）x＝4， ∵原分式方程的解为正数， ∴x＞0，x﹣2≠0， ∴m+3＞0，且2（m+3）≠4， ∴m＞﹣3且m≠﹣1． 10．已知关于x的分式方程． （1）若这个方程的解是正数，请求出m取值范围； （2）若这个方程无解，请你直接写出m的值． 【解答】解：（1）方程两边同乘以（x+3）（x﹣3） 得：2（x+3）+mx＝5（x﹣3）， 解得： 由题意得： ∴m＜3且m≠﹣4； （2）由（1）得：2（x+3）+mx＝5（x﹣3）， 由题意得：m﹣3＝0或， 解得：m＝3或m＝10或m＝﹣4， 故答案为：3或10或﹣4． 训练5 根据分式方程的整数解求值 1. 去分母，转化为整式方程：方程两边乘最简公分母（每一项都要乘），消去分母，得到关于 x 的整式方程（含参数），标注最简公分母。 2. 用参数表示整式方程的解：解整式方程，将 x 用参数表示（注意：若整式方程是一次方程，需保证系数不为0，否则可能无解或无数解）。 3. 根据“解为整数”分析参数的可能值：由 x 是整数，推导出参数的取值范围，再结合参数的隐含条件（如整数、实数等），列出参数的可能值。 4. 结合“分母不为0”排除无效参数：分式方程的解不能使原方程分母为0，即解不能是增根，补充条件排除不符合的参数值。 方法指导 1．若分式方程的解为正整数，求整数m的值． 【分析】先解含有字母参数m的分式方程，求出x，再根据分式方程的解为正整数，列出关于m的方程，解方程求出m，再判断m＝1时分式方程有无意义，从而求出答案即可． 【解答】解：， ﹣mx＝3（x﹣1）﹣x， ﹣mx＝3x﹣3﹣x， ﹣mx＝2x﹣3， 2x+mx＝3， （2+m）x＝3， ， ∵分式方程的解为正整数， ∴2+m＝1或3， 解得：m＝﹣1或1， ∵当m＝1时，x﹣1＝0，分式无意义， ∴m≠1， ∴整数m的值为﹣1． 2．已知a是正整数，关于y的分式方程有非负整数解．求满足条件的所有正整数a的和． 【分析】先解关于y的分式方程，再根据分式方程有非负整数解，列出关于a的方程，解方程求出a，然后根据a是正整数，求出满足条件的所有正整数a的值，再求出它们的和即可． 【解答】解：， 1＝a+2（y﹣2）， 1＝a+2y﹣4， 2y＝4﹣a+1＝5﹣a， ， ∵分式方程有非负整数解， ∴且， ∴a≤5且a≠1， ∵a是正整数， ∴a＝5或3， ∴满足条件的所有正整数a的和为：5+3＝8． 3．若关于x的分式方程的解为整数，关于y的不等式组有且仅有2个偶数解，求所有满足条件的整数m的值之和． 【分析】先分别解分式方程和不等式组，再根据题意求出整数m的值，再求解． 【解答】解：分式方程可化为：m﹣x+3（x﹣3）＝﹣8， 解得：x， 由题意得：1﹣m为2的倍数， 不等式组可化为：， 由题意得不等式组的偶数解为：2，0， ∴﹣20， 解得：﹣11＜m≤﹣5， 满足条件的整数m的值为﹣9、﹣7、﹣5， 当m＝﹣5时，x＝3不合题意， ∴﹣7﹣9＝﹣16． 4．若关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，求所有满足条件的整数a的值之和． 【分析】先解一元一次不等式组，求出x的取值范围，然后根据关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，求出a的取值范围，再解分式方程，根据关于y的分方程有非负整数解，列出关于a的不等式，求出a的值，从而求出答案即可． 【解答】解：关于x的一元一次不等式组的解集为x≤5， ∵一元一次不等式组有且只有4个整数解，即2，3，4，5， ∴， ∴4≤a＜10 ∴a＝4或5或6或7或8或9， 关于y的分式方程的解为， ∵分式方程有非负整数解， ∴，为整数，即8﹣a＝0或2或4或6或8， ∴a＝8或6或4或2或0， ∵y﹣1≠0， ∴ ∴8﹣a≠2， ∴a≠6， ∴a＝8或4或2或0． ∵4≤a＜10， ∴符合条件的整数a有4，8． ∴4+8＝12． 5．若关于x的不等式组有解且至多3个整数解，关于y的分式方程的解为整数，求符合条件的所有整数a的和． 【分析】解不等式组得出，结合不等式组有解且最多有3个整数解，求出﹣3＜a≤1，解分式方程得出y，结合关于y的分式方程有整数解，得出a＝1，即可得解． 【解答】解：解不等式组得， ∵不等式组有解且最多有3个整数解，小于4的连续3个整数时3、2、1， ∴04， 解得：﹣3＜a＜13， 解关于y的分式方程3得y， ∵关于y的分式方程有整数解， ∴y≠1（分母不为0），即，解得a≠﹣2， ∴符合条件的a为1，4，7，10， ∴所有整数a的和为22． 6．已知关于x的方程． （1）若m＝4，解这个分式方程； （2）若原分式方程的解为整数，求整数m的值． 【分析】（1）把m＝4代入原方程进行计算即可解答； （2）先解分式方程，然后根据原分式方程的解为整数，以及分母不能为0进行计算即可． 【解答】解：（1）把m＝4代入方程中可得： ， 4（x﹣3）+x+3＝8， 解得：x， 检验：当x时，x2﹣9≠0， ∴x是原方程的根； （2）， m（x﹣3）+x+3＝m+4， 解得：x， ∴x4， ∵原分式方程的解为整数， ∴m+1＝±3或±1，且±3， ∴m＝2，﹣4，0或﹣2且m≠2，m， ∴整数m的值为：﹣4，0或﹣2． 7．若关于x的分式方程的解为正整数，则正数m的值为多少？ 【分析】解分式方程，得xm+4，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m的值，注意当x≠3时，m≠3． 【解答】解：解分式方程，得xm+4， ∵x≠3， ∴m≠3， ∵分式方程有正整数解， ∴正数m的值是6或9． 8．若关于x的不等式组，有且仅有五个整数解，且关于x的分式方程3有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和． 【分析】不等式组整理后，由题意确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，检验即可． 【解答】解：不等式组整理得：， 由不等式组有且仅有五个整数解，得到﹣10， 解得：﹣4≤a＜3，即整数a＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2， 分式方程去分母得：x+a﹣2＝3x﹣3， 解得：x， 当a＝﹣3时，x＝﹣1；a＝﹣1时，x＝0， 则满足题意a的值之和为﹣3﹣1＝﹣4． 9．若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，求所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 【分析】先通过解不等式组和分式方程确定a的取值范围，再求得符合条件的a的值，最后求得此题的结果． 【解答】解：由题意得 解①得x≤5， 解②得x， ∴该不等式组的解集为x≤5， ∵该不等式组至少有2个整数解， ∴4， ∴解得a≤6， 解分式方程得， y， ∴0且2， ∴a≥1且a≠5， ∴a的取值范围为1≤a≤6且a≠5 ∴a可取整数为1，2，3，4，6， ∵是整数， ∴a＝1或a＝3， ∴1+3＝4， ∴所有满足条件的整数a的值之和是4． 10．关于x的一元一次不等式组的解集为x＞m，关于y的分式方程1有负整数解，试求出符合条件的所有整数m的值． 【分析】先解关于x的一元一次不等式组的解集是x＞m，可得m≥﹣7．再解关于y的分式方程，可得y，因为该分式方程有非负整数解，所以可推断出整数m的值． 【解答】解：由x+2，得x＞﹣7， ∵关于x的一元一次不等式组的解集是x＞m， ∴m≥﹣7， 分式方程1， ∴3y+4﹣y﹣2＝m﹣y， ∴y， 又∵关于y的分式方程1有负整数解且m为整数， ∴0且2， ∴m＜2且m≠﹣4， ∴﹣7≤m＜2且m≠﹣4， ∴符合条件的m的值为﹣7或﹣1． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $