专题02 分式及分式的运算（专项训练）数学新教材湘教版八年级上册

专题02 分式及分式的运算 常考题型·精准突破 题型1 分式及分式的值（重） 题型2 分式的基本性质（通分、约分）（重） 题型3 分式的加减运算（高频） 题型4 已知分式恒等式确定分子、分母（难） 题型5 分式乘除法运算（包含乘方）（高频） 题型6 分式混合运算（高频） 题型7 分式化简求值（高频） 题型8 分式运算与新定义（难） 题型9 分式运算的实际应用（重） 题型10 整体思想求分式的值（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 分式及分式的值 1. 代数式中是分式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2. 若分式有意义，则实数x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3. 若代数式的值等于0，则_________． 4. 已知分式，回答下列问题． (1)若分式无意义，求的取值范围； (2)若分式的值是零，求的值； (3)当，时，分别求分式的值； (4)若分式的值是正数，求的取值范围． ◆题型2 分式的基本性质（通分、约分） 5. 下列各式中，从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 6. 根据分式的基本性质，分式可变形为（     ） A． B． C． D． 7. 下列约分正确的是（     ） A． B． C． D． 8. 将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 9. 填空： （1）；括号内应填入：______． （2）；括号内应填入：______． （3）；括号内应填入：______． （4）（且）．括号内应填入：______． 10. 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）________； （2）________． ◆题型3 分式的加减运算 11. 计算： (1) ； (2)． 12. 计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 13. 计算： (1)； (2)； (3)． 14. 以下是小明计算的解答过程． 解： …第①步 …第②步 …第③步 …第④步 小明的解答过程从第 步开始出现错误，请你写出正确的解答过程． ◆题型4 已知分式恒等式确定分子、分母 15. 若常数，满足，则（     ） A． B． C． D． 16. 已知（其中、均为常数），则_________． 17. 若，其中，为常数，则的值为________． 18. 把一个分式化为另外几个分式的代数和的形式是处理分式运算和变形的常见策略．已知（a，b为常数），则_____． 19. 已知，则实数______． ◆题型5 分式乘除法运算（包含乘方） 20. _________． 21. 计算： (1)； (2)； (3)． 22. 下面是小明计算的过程． 解答：① ＝② ＝③ (1)小明的解答是否正确？如有错误，错在第几步，错误的原因是什么？ (2)请给出正确的解答过程． ◆题型6 分式混合运算 23. 化简： (1) (2) 24. 化简： (1) (2)． 25. 计算 (1) (2) 26. 计算： (1)； (2)． 27. （2026·河北廊坊·一模）在数学课上，老师出了一道题目，并展示了嘉嘉的解题过程． 化简： 原式．第一步 ．第二步 ．第三步 ．第四步 (1)嘉嘉的解题步骤中所有错误步骤是： ； (2)请写出正确的解答过程，并从3，，这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值． ◆题型7 分式化简求值 28. （2026·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，其中． 29. 先化简，再求值：，其中． 30. 先化简，再求值：，其中从，，中取一个你认为合适的数代入求值． ◆题型8 分式运算与新定义 31. 我们定义：如果两个分式与的差等于2，则称是的“友好分式”．例如分式，，因为，所以是的“友好分式”． (1)已知分式，，请通过计算判断是否为的“友好分式”； (2)已知分式，，且是的“友好分式”，若当为整数时，分式的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； 32. 著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将下列假分式化为带分式： ①； ②； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 33. 定义：若两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”． (1)下列三组分式：①与；②与；③与．其中互为“美妙分式”的有 　　（只填序号）； (2)求分式的“美妙分式”； (3)若分式与互为“美妙分式”，且、均为不等于的实数，求分式的值． 34. 定义：如果一个分式的平方与一个分式的和等于1，即，那么就称分式是分式的“方和分式”．例如： ， 是的“方和分式”． (1)请判断是否为的“方和分式”，并说明理由； (2)若分式是的“方和分式”，求分式； (3)若分式（为常数）是的“方和分式”，求的值． ◆题型9 分式运算的实际应用 35. 学校为丰富图书角，计划购买一批科普读物．第一次采购价为每本元，共花费600元，很快借阅一空；第二次又花费600元采购，因为商家促销，每本价格比第一次降低5元，则第二次购进的读物数量比第一次多了（     ）本． A． B． C． D． 36. 甲、乙两地之间的航行距离为，一艘轮船先从甲地顺流航行至乙地，再从乙地逆流航行返回甲地．已知水流速度为，如果这艘轮船在静水中的速度为，那么它从甲地到乙地所需的航行时间比从乙地到甲地所需的航行时间少多少？ 37. 受中东局势影响，国内油价大涨，嘉嘉的爸爸每次固定加200元汽油，嘉嘉的爸爸认为：油价涨跌自己都不受影响．已知汽油原价为a元/升，上调后价格为b元/升（），汽车每升汽油可行驶k千米． (1)分别用含a，b，k的代数式表示调价前后200元汽油所能行驶的路程． (2)若嘉嘉的爸爸每月行驶的总路程不变，为S千米，请比较调价前后每月所需花费的总费用，并由此判断上述观点是否正确． 38. 数学来源于生活，生活中的现象可以帮助我们更好地理解和应用数学． (1)实验1：两个杯子中依次盛有，糖水，分别含糖，，并且这两杯糖水的浓度相等，即．将这两杯糖水倒入一个大空杯子里，则大杯糖水的浓度与原各小杯糖水的浓度相等，用等式表示为 ； (2)实验2：两个杯子中依次盛有，糖水，分别含糖，，并且第1杯糖水的浓度大于第2杯糖水的浓度，即，所以． ①将这两杯糖水倒入一个大空杯子里，则大杯糖水的浓度 第1杯糖水的浓度，大杯糖水的浓度 第2杯糖水的浓度（填“”“”或“”），用不等式组表示为 ； ②用所学的知识说明①中的不等式组成立． ◆题型10 整体思想求分式的值 39. 设 a < b < 0， ， 则 的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 40. 已知，则分式的值为（     ） A．2 B． C． D．8 41. 已知，则________． 42. 若，则的值为______________． 43. 已知，则的值为______． 综合攻坚·知能拔高 1. 对于分式下列说法不正确的是（     ） A．时，分式值为0 B．时，分式无意义 C．时，分式值为负数 D．时，分式的值为正数 2. 计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3. 已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为（     ） x的取值 4 a 6 分式的值 无意义 0 b A．8 B．6 C．4 D．2 4. 要使分式有意义，的取值应满足(   ) A． B． C．或 D．且 5. 如图是一张边长为a的正方形纸片，先沿某一方向剪去一个宽为2的矩形，再沿另一方向剪去一个宽为x的矩形，两次剪下的矩形面积恰好相等，则b可表示为（   ） A． B． C． D． 6. 若分式的值为零，则_______． 7. 不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 8. 已知，则______；______． 9. 《梦溪笔谈》中有一段关于行军运粮的记载，其大意为：在行军中，每个民夫最多可以携带斗（斗=升）粮食，一个士兵最多可以携带斗粮食，每个士兵和民夫平均每天各消耗升粮食．若每个士兵雇佣个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的粮食最多可以支持_______天的行军． 10. 若，则分式的值为__________． 11. 若，则的值为_______． 12. 已知，则的值为_____． 13. 化简： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9) 14. （2026·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 15. 先化简：，再从，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 16. 先化简，再求值：，其中x是不等式组的正整数解． 17. 请阅读下列材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 例如：，，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．例如将转化为几个和谐分式的和： 解：设，将右边通分，得，依据题意，得，解得，所以． (1)①分式是___________（填“和谐分式”或“非和谐分式”）． ②把和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值． (3)如果，，请用含有和的式子表示． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02分式及分式的运算 内容概览 目常考题型精准突破 题型1分式及分式的值（重） 题型2分式的基本性质（通分、约分）（重） 题型3分式的加减运算（高频） 题型4已知分式恒等式确定分子、分母（难） 题型5分式乘除法运算（包含乘方）（高频） 题型6分式混合运算（高频） 题型7分式化筒求值（高频） 题型8分式运算与新定义（难） 题型9分式运算的实际应用（重） 题型10整体思想求分式的值（高频） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1分式及分式的值 1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】-3 4【容案】国号 (2)x=1 15 3)-4:16 45<r<1 2 【分析】本题考查分式的性质，解题的关键是掌握分式有意义的条件，分式的基本性质，分式值为零、分 1/27 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 式值为正，分式所应具备的条件进行解答，即可 (1)根据分式无意义，则分母为0： (2)根据分式值为零，分子为零，分母不为零，即可： (3)将x的值代入分式计算即可： (4)分式值为正数，则分子分母同号，进而可得两个不等式组，再解即可， 【详解】(1)解：由题意可得：2-3x=0 2 解得：x= 3 (2)解：由题意得x-1=0且2-3x≠0， 2 解得x=1”x≠ 3 ∴.x=1 x-12-11 (3)解：当x=2时，2-3x2-3×2=4: x-16-15 当x=6时，2-3x2-3x616 x-1>0 (4)解：由题意可得①12-3x>0' 此不等式组无解： x-1<0 2 ②12-3x<0解得5<x<1. 2 一分式的值是正数，x的取值范围是3<x<1, ◆题型2分式的基本性质（通分、约分） 5.【答案】D 6.【答案】A 7.【答案】D 8.【答案】A 9.【答案】 6a2 a-2 x2-y2 a+b 5x-7y 50a+5b 10.【答案】 2x+6y a-50b 2127 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型3分式的加减运算 y 11.【答案】()y a 【分析】(1)先对各分母因式分解，统一分母符号后通分，再约分得到结果： (2)先因式分解化简第一个分式，再通分合并同类项得到结果. ,少+2x 【详解】(1)解：x2-yy-xy-y =_y 2 x(x-y)x-y y(x-y) =y-2y+x2 xy(x-y) =x-y)2 xy(x-y) =-y x: (2解：r+4+-2+2 x2-4x2+2x (x-2)2 x-2+2 (x-2)(x+2)x(x+2) -x-2+x-2+2 x+2'x(x+2) =0x-2)+(c-2)+2x(x+2) x(x+2) -x2-2x+x-2+2r2+4x x2+2x =3r2+3x-2 x2+2x 12【答案】) atb (2)2x-2y x2+6x-3 3)2(x-3)(x+3) 3127 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 42 【分析】(1)本题是整式和分式相加的运算，把a-b分母看成1即可： (2)把分母y-x化为(x-y)进行同分母分式相加减进行运算即可： (3)先对分母进行因式分解，利用最简公分母2(x+3x-3列进行通分化简即可： (4)把分母1-x化为(x-),再利用最简公分母(x+(x-)进行通分化简即可， (a-b)(a+b).b2 【详解】(1)解：原式= a+b a+b =a2-b2+b a+b =a2 a+b' 2x+2-4y+2y- (2原式-yx-y x-y -2x2+x2-4y+2y2-x2 x-y =2r2-4xy+2y x-y 2(x2-2xy+y2） x-y 2(x-y2 x-y =2x-2y. 2(x+3) 12 （x+1)(x+3) (3)原式2x-3)(x+3)2(x-3)(x+3)2(x-3(x+3) =2x+6-12+x2+4x+3 2(x-3)(x+3) x2+6x-3 2(x-3)(x+3) x-1 1x+1 (4)原式(x+1)(x-可)(x+1)(x-)(x+1(x-) _(x-)+1-(x+1) x2-1. 4127 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 x2-1 【点睛】本题考查了分式的加减运算，正确的运算是解题的关键， y2 13.【答案】()x+y 1-x 2x-2 )m+4m+1 m+3 【分析】本题考查分式的化简，异分母化简时要注意通分，上下要同时乘以同一个代数式. (1)先通分，再加减合并： (2)先因式分解，再约分，最后加减： (3)先因式分解，再通分，最后加减合并， x2 【详解】(1) 一-x+y x+ x2 x(x+y)y(x+y) x+y x+y x+y =x2-2-y+y+y2 x+y =-y2 x+y x+2x2-2x (2)2-4x-4x+4 x+2 x(x-2) (x+2)x-2）（x-2) x-2x-2 =1-x x-2 (3)m-1+2m-62m+2 m2-9m+3 2(m-3).2(m+1) =m-1+ (m+3)(m-3)m+3 =m-1+2+2(m+) 一+ m+3m+3 5127 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 _(m-0m+3）+2+2(m+ m+3 m+3 m+3 =m2+3m-m-3+2+2m+2 m+3 m2+4m+1 m+3 14.【答案】②， 4 1 (a+2)(a-2)a-2 4 a+2 (a+2)(a-2）(a+2)(a-2) 4-（a+2) (a+2)(a-2) 4-a-2 （a+2)(a-2) 2-a (a+2)(a-2)' 1 =一 a+2 【详解】解：第②步错在通分后错误地去掉了分母（违背分式基本性质）， 正确的解答过程：略。 ◆题型4已知分式恒等式确定分子、分母 15.【答案】A 【分析】将等式右侧通分，根据左右两侧分子恒等得到M+N与M-N的值，利用平方差公式进行因式分 解后，进行计算即可 【详解1解，：+N-M++Na-)_M+Na+M-W ∴a-1a+1(a-l)(a+) a2-1 又--M+Wa+M-0 a2-1 a2-1 6127 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M+N=3 ∴-M-N=-2' .M2-N2=(M+N)(M-N)=3×(-2)=6. 16.【答案】1 【分析】将等式右侧通分后，根据分子相等对应系数相等，即可直接得到A+B的值， x+3 A+B=A(x+2)+B(x-2) 【详解】解：“(-2)x+2)x-2x+2x-2x+2)’ ∴.x+3=A(x+2)+B(x-2). 整理得：x+3=(A+B)x+2(A-B) :两个多项式相等，则对应项系数相等， .x的一次项系数相等， 可得：A+B=1. 17.【答案】5 18.【答案】2 19.【答案】5 ◆题型5分式乘除法运算（包含乘方） 20.【答案】4x3 21.【答案】()y (2)2 b (3)-Bcd 【1)解：手子 x2 x y2 y-y2 x2 y 1 x+y (2)解：x-y2x-2yx 7127 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Γ(x+y)(x-y) 2(x-y以x+2 =2; (3)解： a2b）3 2ac2 -cd÷d2a abd c2 -c3d°2a4a2 ab = 8cd6. 22.【答案】(1)不正确，错在第①步，错误的原因是：小明在计算时，违反运算顺序先计算后两个分式的乘积， 且计算乘法时结果不对，应该为-1； (2)正确的解答过程如下： x2-1x+1.1-x x2-2x+1x-11+x （x-1)(x+1)x-11-x (x-1)2x+11+x 1-x -x+1 【分析】根据分式的运算法则解题即可. 【详解】(1)略 (2)略 ◆题型6分式混合运算 23.【答案】(1) -2ab (2) x-y x+y 【分析】(1)先依据分式乘方法则算出括号立方，再将除法转化为乘以倒数统一为连乘形式，接着把分 子、分母分别相乘，利用同底数幂乘除法则化简字母，约分常数系数后得到最简分式结果： (2)先对括号内各项通分合并成单一分式，完全平方公式对分子因式分解，同时将除式颠倒转化为乘法 并利用平方差公式分解分母，最后约去分子分母的公因式x与(x一y),化简得到最简分式 8127 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b2 13 6a2.3 【详解】(1)解： b66a28a2 2a b4 8d2=- 8a b 3b -b.6a2.8a2 8a3.b4.3b -48ab6 24ab5, =-2ab: (2)解： (x+y)(x-y) =x2-2y+y2 (x+y)(x-y) =x-y2 x (x+y)(x-y)' =-y x+y· 35x2 24.【答案】(1) y 【分析】(1)根据分式的乘除混合运算法则，即可求解； (2)根据分式加减乘除混合运算法则，即可求解。 2x225y221x235x2 【详解】(1)解：原式3y10yy (2)解：原式 x-x+_3](x-2 x+1x+1x+1 x2-1-3.(x-2) x+1x+1 9127 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -2-4x-2} x+1x+1 =x+2)(0x-2.x+1 x+1 (x-27 =X+2 x-2· 1 25.【答案】(1)ac 2 2四x+3 ab2.-3a2b2 【详解】(1)解： 2c2 Acd 2a ab2 2c2 3a2b2 1 (2)解： 2-2 2(x-3)x-2 x-2(3+x)3-x) 2 x+3 26.【答案】(1)6 2-x 2x+2 【分析】按照分式混合运算的顺序计算.先算乘方.再算乘除，有括号先计算括号内的.最后约分得到最 简结果。 【详解】(1)解： 2x 9y2 22 3y z2 xy =6: 10127 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解： 3 x2+4x+4 x+1 「3 (x-1)(x+1) x+1 x+1 x+1 (x+2)2 3-(x2-1x+1 x+1(x+2)2 s4-x2 (x+2)2 =(2-xx+2) (x+2)2 =2-x x+2 27.【答案】(1)第一步和第二步 1+-6). 2-4x+4=x+2+x-6x2(x+2_2(x-2)2(x+2）) (2)解： 4 x+22x+4 x+2(x-22 =x+2(x-2}2=x-2 4 =4 当x=3时，原式=3-2 【分析】(1)第一步加法运算出错，第二步因式分解出错： (2)先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代入一个使分式有意义的值计算即可. 【详解】(1)解：嘉嘉的解题步骤中所有错误步骤是：第一步和第二步； (2)略 ◆题型7分式化简求值 28.【答案】 x-2:1 【分析】先通分计算括号内式子，分解因式后约分化简，再代入x=3求值. 2x2-4 【详解】解： 1- x+2x =x+2-2）.x+2x-2) (x+2x+2 x =x.x+20x-2) x+2 =x-2. 11/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当x=3时， 原式=3-2=1. 29.【答案】2m+6:16 【详解】解： m+2、 5）m-3 m-2'2m-4 =「m+2m-2_51.m-3 m-2 m-2'2m-4 =m2-4-5m-3 m-22(m-2) (m+3)(m-3)2(m-2) m-2 m-3 =2m+6, 当m=5时，原式=2×5+6=16. 30【答案】- a+14 a+2’5 【分析】括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后根据分式有意义的条件，代入合适的 值计算即可得出结果， a2-4 【详解】解： 3-1÷ a+1a2+2a+1 -( (a+2)(a-2) (a+1)2 =3-a-1.(a+2)(a-2) a+1 (a+1)2 =2-a.(a+1)2 a+1(a+2)(a-2) =-a-2.(a+1)2 a+1(a+2)(a-2) =、a+1 a+2 :a+1≠0，(a+2)(a-2)≠0. .a≠-1，a≠-2，a≠2， 12127 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3+14 当a=3时，原式=3+25· ◆题型8分式运算与新定义 31.【答案】(1)C不是D的“友好分式”，计算如下： C= x2-4(x+2)(x-2)x-2 x2+4x+4 (x+2)2 x+2 C-D=-2 4）_x-2+4x+2 x+2x+2 =1≠2. x+2 x+2 .C不是D的“友好分式”. (2)E=2x+2,所有符合条件的x的值之和为5 【分析】(1)根据“友好分式”的定义计算C-D,化简后判断结果是否等于2即可判断： (2)根据定义列等式求出E,化简P后结合分式有意义的条件，根据x和P均为整数找出符合条件的x值， 再计算其和即可. 【详解】(1)略 (2)解：P是Q的“友好分式”， P-Q=2, E 2x 1-x1-x =2 ·E-2x(1+x)=21-x2),化简得：E=2x+2, P=2x+2 2(x+1)）2 =1-x(1+x)1-x)1-x” :P=2x+2 1-x2有意义， x≠1， 2 -x是整数， P= .1-x的值为±1、2， .x=0或2或-1或3， x≠±1， .x=0或2或3， 13/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.所有符合条件的x的值之和为0+2+3=5 32.【答案】(1)真：(2)①1+ x+4:②2r+1 +x-2:(3)x=-1或0或2或3 【分析】本题主要考查了分式的化简运算，分式的性质；正确理解题意中的新定义、掌握分式的化简方法 是解题的关键 (1)根据“真分式”和“假分式”定义判断即可： (2)①将分子写成x+4+1,然后进行变形即可解答：②将分子写成2x(x-2)+1,然后进行变形即可解答： (3)先将分式化为带分式，根据为整数，分式的值为整数即可得到x的值. 【详解】解：(1)：2025的次数为0，x的次数为1， 2025 “x+是真分式. 故答案为：真： x+5=x+4+=1+1 (2)①x+4 x+4 x+4 ②2x-4x+1 x-2 -2xx-2)+1 x-2 1 =2x+ x-2 (3) 2x2+4x-3 x-1 =2-1+4x-4+2 x-1 =（x+0(x-I)+4(x-1)+2 x-1 =x+1+4+ 2 x-1 2 =x+5+ x-1: :x+5+2 一与x均为整数， x-1=2或1， .x=-1或0或2或3 14127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 33.【答案】(1)②③ 7a+3.5a+3 (2)2a+i或2a+1 17 1 3)-3或3 【分析】(1)根据给出的“美妙分式”定义把每一组的分式相减求绝对值看结果来判断： (2)根据给出的“美妙分式”定义求分式2a+1的“美妙分式”即可： 4a2 4a2a (3)根据分式。如分与6互为“英妙分式”，得到后分。 a+b =3,求出① a--36'② 2a2-b2 ab=36-6a2,分别把①2代入分式b 中求出结果即可. 【环1器6制 ② 4a_a-3_3a+3=3 a+1a+1a+1 a 7a-3-6a+3引 -(6a-3) ③ =3 2a-12a-1 2a-1 2a-1 故答案为：②③： a (2)设分式2a+1的“美妙分式”为A' a=3引 则A-2a+1 .A 2a+13或4-、a」 a 2a+1-3, 0当42a+ a =3时， ，+3=、a+6a+3_7a+3 2a+12a+12a+12a+1’ a ②当42a+=-3时， A=a,-3= a6a+3-5a-35a+3 2a+1 2a+12a+12a+12a+1, ,7a+35a+3 综上：分式2a+1的“美妙分式”为2a+i或-2a+i: 15/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4a2 (3) a -6与a+b互为“美妙分式”， 4a2 a =3 a2-b2 a+b 4a2 a 4a2 a(a-b)3a2+ab a2-b2 a+b =3, (a+b)(a-b)(a+b)(a-b)(a+b)(a-b) 3a2+ab 3a2+ab (a+ba-3或(a+ba--3, ∴3a+ab=3(a2-b2)或3a2+ab=-3(a2-b2). :a、b均为不等于0的实数， .①a=-3b,②ab=3b2-6a2, 把0代入20-0_2-30）-817817 ab -3b2 -362= 3 2a2-b22a2-b22a2-b21 把②代入ab-362-6d=-32a2-b)3, 2a2-b2 综上：分式b的值为一3或3 【点睛】本题考查了分式的加减法和实数的性质，绝对值的意义，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义 的理解是解题关键， 34.【答案】(1)解：是，理由： 32 x2+4x+1 x+2x2+4x+4 3 x2+4x+1 =子+4x+42+4x+4 x2+4x+4 1 x2+4x+4 =1, : x2+4x+1 x+2是否为产+4x+4的“方和分式”： 2)A=±2 -3 3)k=±V3 16127 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)根据“方和分式”的定义进行验证即可： (2根据“方和分式”的定义符到：-引，即可求出答案： 4 k2-3 3)根据“方和分式”的定义得到+=0，即可求出的值。 【详解】(1)略 x2-6x+5 (2)解：“分式A是-6x+9的“方和分式”， :+t-6x+5=1 x2-6x+9 .A2=1- x2-6x+5 x2-6x+9 -(x-32-6x+5 (x-3)2(x-3)2 4 (x-3 ( :A=t2 -3: k ,x2+2x-2 (3)解：：分式x+k为常数)是+2x+的“方和分式”， 2+2x-2=1, x2+2x+1 x2+2x-2 k2(x+1)2-3 (x+12（x+1)2 k2 3 +1 (x+1(x+2 k23 +(*1=, 17/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2-3=0 (x+ .k2-3=0, 解得k=±V3 ◆题型9分式运算的实际应用 35.【答案】B 400h 36.【答案】-16 200k 200k 37.【答案】()调价前行驶路程为。千米，调价后行驶路程为b千米 (2)调价后每月所需总费用更高，嘉嘉爸爸的观点不正确 【分析】(1)先根据“加油量=总价÷单价”求出加油量，再乘以每升汽油行驶路程得到总路程： (2)先根据总路程求出所需汽油总量，再乘以单价得到每月总花费，通过比较大小判断观点是否正确， 用到不等式的基本性质比较大小 200 【详解】(1)解：已知汽油原价为a元/升，总花费200元，可得调价前加油量为。升， 已知每升汽油行驶k千米， 因此总行驶路程为 200×k=200k 千米 a 200 上调后价格为6元/升，总花费200元，可得调价后加油量为b升， 200,200k 因此总行驶路程为b xk=6千米： S (2)解：已知每月总路程为s千米，可得每月需要汽油k升， s as 调价前每月总费用为：a× kk元， 调价后每月总费用为：bx-b心 kk元， 18/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 已知b>a>0,k>0,S>0, bs as_S(b-a)0. 因此kk k bS、aS 可得k之k’ -> 即调价后每月花费更高， 因此嘉嘉的爸爸的观点不正确. 38.【答案】(1) 6+b=点-b a+az a az (2) 1m+1m ①<：>；10n+10n ②说明如下： 骨0m0均为正数 ∴.10m>n,即10m-n>0,且n>0,n+10>0, m2="mn+10-nm+D_10m-R n(n+10)nn+10: 又，10m-n>0,n(n+10)>0 10m-n>0. ·nn+10) m+l m n+10n' m+1110(m+1)-(n+10)_10m-n n+1010 10(n+10) 10(n+10) 又，10m-n>0,10(n+10)>0 10m-n 70 …10(n+10) ,1<m+L ∴10n+10 综上可闲0不学就皮立 【分析】(1)根据糖水的浓度等于糖的质量除以糖水的质量，结合题干信息，列出等式即可： 19/27 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)①高浓度糖水与低浓度糖水混合后，浓度介于两个原浓度之间，据此判断大小关系并写出不等式组 即可；②利用作差法，结合已知条件lOm>n,即可证明不等式成立. 【详解】(1)略 (2)略 ◆题型10整体思想求分式的值 39.【答案】B 40.【答案】A 1 41.【答案】6 【分析】将x,y,z都用参数k表示，代入所求分式化简即可得到结果. 【详解1解：号-子0) ∴.x=2k,y=3k,z=4k, :-y-(2)-2k3k-2k。1 z 3k.4k 12k=-6 42.【答案】5 【分析】将所求分式拆分变形，代入已知条件计算即可. a+b 【详解】解：对6拆分变形， 物g-881, a 3 …b5 3 8 :代入得亏+1= 5 1 43.【答案】3 1 【详解】解：，x+二=3 X+1=3, 20/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x-1 x2+131 综合攻坚·知能拔高 1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】D 4.【答案】D 5.【答案】B 6.【答案】0 12a+3b 2x+10y 7.【答案】 16a-6b x-y 8.【答案】 1 2 30n+5 9.【答案】 n+1 10.【答案】5 11.【答案】6 12.【答案】2 x 13.【答案】(1)3 9a2 21-2b (3)c 9x2 4-2y7 (5)x+1 2b (6)Ta(a+b) 21/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 品 1 9)(x-27 【分析】(1)根据分式的乘法，直接约分即可： (2)将除法变为乘法，再计算即可； (3)根据同分母分式减法法则计算即可： (4)根据分式乘除混合运算法则计算即可： (5)先计算括号内的，再将除法变成乘法计算； (6)先计算括号内的，再将除法变为乘法计算： (7)先计算括号内的，再将除法变为乘法计算： (8)先计算括号内的，再将除法变为乘法计算； (9)先计算括号内的，再将除法变为乘法计算 -3ab 2x2 2x 【详解】(1)解：x9ab3a· (2)解：-3ab÷2b "3a =-3ab.3a 2b7 s-9a2 2b· ac bc (3)解：a-ba-b ac-bc a-b =(a-b) (a-b) 4:4(2ヅ 22/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =4xy2÷( 8y、9y2 r3 x2 =4y2( x2.9y2 x2 = 9x2 2y2. (5)解： =x-1+1 x-1(x+10(x-) =x.c+1cx-) x-1 x =x+1 11）.a (6)解： a+b a-b*a-b a-b-a-b a (a+b)(a-b)a-b -2b a-b (a+b)(a-b)a 、2b a(a+b) 2x-6.5-(x+2)x-2) x-2 x-2 =20x-3).9-x2 x-2x-2 =2x-3).x-2 x-29-x2 =2x-3) x-2 x-2(3+x)3-x) 2 = x+3 a1 6 (8)解： d-b a+b)d-2ab+b 23/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a-a+b 6 (a+b)(a-b)(a-b)2 b (a-b)2 (a+b)(a-b)b =a-b a+b x+2 (9)解： x-1_）x=4 x2-2xx2-4x+4x 「x+2x-11.x-4 Lx(x-2)(x-2y2」x =x+20x-2)-x(x-).x x(x-2)2 x-4 x-4 x x(x-2)2x-4 1 (x-2)2 14.【答案】 x+1,6. 【职：+} （可 =x(x+1)(x-1) x-1 =x+1, 当x=5时，原式=5+1=6 15.【答案】 化简得：远取x-2代入，宜为5 【分析】先算括号里面的，再算除法，然后选出合适的x的值代入进行计算即可， 【详解】解：x-1-8+6x+9 x+1x+1 [-8 24/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =-1-8xx+1 X x+1(x+3, -x2-9xx+1 x+1(x+3)2, -（x+3)(x-3)x+1 x+1 (x+3)2, =X-3 x+3 ,分式的分母不能为零， x≠-1，x≠-3， x2时恩就草5 16.【答案】-x2-x,-2 【分析】先计算括号内分式的加减混合运算，再计算除法运算得到化简的结果，再解不等式组结合分式有 意义的条件确定x=1,最后代入求值即可. +1x+1 2x-1 x-2 【详解】解： x2+2x+1 2x-1_x2-1 x-2 =x+1x+1x2+2x+ =2x-x.（x+1 x+1 x-2 =-xx-2(x+1 x+1x-2 =-x(x+1) =-x2-x; 4(x+1)<7x+10① x--9 5② 3 由①得：x>-2, 由②得：x<3, .不等式组的解集为：-2<x<3, 25127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4(x+1)<7x+10 .不等式组 x-9<5 的正整数解为， 3 1,2 分式有意义， x≠2，x≠-1， .当x=1时，原式=-2-1=-1-1=-2. 17.【答案】1)回和谐分式：②-1+ x-1: (2)-2或2或12： 3(a-b)2-2 2-x2 【分析】将父+2进行化简，再结合“和谐分式”的定义判断即可；②对：】进行化简即可： 20x-58M.N (2)设(x-5)(x+可x-5x+1,仿照题意计算得出M=7'N=13从而可得 20x-587,13 20x-58 (-5x+)x-5x+1,再结合分式(x-5列(x+的值为整数，得出7 ,13 5十中1为整数：且x5 7,137,13 x≠1'令x-5=k:则x+1=k+6从而可得x-5+x+1k+k+6为整数，解得k=-7或k=7或k=-3, 分情况计算即可得出结果： 、《3)求出a=n+n本7，b=-+之 =一”十本从而可得Q-h=n+行再结合完全平方公式计算即可得出结果。 2 【详解】解：①+-之+2 2 -十一=一X十一 xx +,其中-x为整式，分子为常数，符合和谐分式的定义， 放分武 二是和谐分式： --1- ② x-1 x-1 -x-1+ x-1: 20x-58=M+N (2)解：设(x-5)x+)x-5x+1 ,M+N-M(x+)+N(x-5)_Ms+M+M-5N_(M+N)x+(M-5N) “x-5x+1(x-5x+) (x-5)(x+1) （x-5)(x+1) .M+N=20,M-5N=-58, 解得M=7,N=13, 26/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20x-58=7+13 “(x-5)x+)x-5x+1 20x-58 ·分式(x-5)(x+的值为整数， 7,13 “x-5x+为整数，且x≠5”x≠ 令x-5=k,则x+1=k+6, 7,137,13 “x-5x+1k+k+6为整数 解得k=-7或k=7或k=-3, =-7-2时2-4 7 7+52. 当k=7时，x=12,此时x-5+x+1 4.92电时25-2 综上所述，满足条件的整数x的值为-2或2或12； (3)解：a= +n+2_nm+)+2-n+2 n+1n+1 n+1, 设b=刀-1=1-1=4B n2+nn(n+l)nn+l' A BA(n+1)+Bn An+A+Bn (A+B)n+A :n+n+1nn+)nn+0 ）n(n+l)’ .A+B=1,A=-1, B=2, b=-1+2 n'+nnn+l' 2---2 27/27 专题02 分式及分式的运算 常考题型·精准突破 题型1 分式及分式的值（重） 题型2 分式的基本性质（通分、约分）（重） 题型3 分式的加减运算（高频） 题型4 已知分式恒等式确定分子、分母（难） 题型5 分式乘除法运算（包含乘方）（高频） 题型6 分式混合运算（高频） 题型7 分式化简求值（高频） 题型8 分式运算与新定义（难） 题型9 分式运算的实际应用（重） 题型10 整体思想求分式的值（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 分式及分式的值 1. 代数式中是分式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据分式的定义进行判断即可，分式定义为：若是整式，且中含有字母，，则是分式，注意是常数不是字母． 【详解】解：的分母含字母，是分式； 的分母含字母，是分式； 的分母是常数，是整式，不是分式； 中是常数，分母为常数，是整式，不是分式； 的分母含字母，是分式； 是整式，不是分式． 综上可知，符合分式定义的代数式共个． 2. 若分式有意义，则实数x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式有意义分母不为0求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 3. 若代数式的值等于0，则_________． 【答案】 【分析】由分式值为0得出分式分子为0，且分母不为0，列出不等式组求解即可得出答案． 【详解】解：， ∴， 解得． 4. 已知分式，回答下列问题． (1)若分式无意义，求的取值范围； (2)若分式的值是零，求的值； (3)当，时，分别求分式的值； (4)若分式的值是正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)； (4) 【分析】本题考查分式的性质，解题的关键是掌握分式有意义的条件，分式的基本性质，分式值为零、分式值为正，分式所应具备的条件进行解答，即可． （1）根据分式无意义，则分母为； （2）根据分式值为零，分子为零，分母不为零，即可； （3）将的值代入分式计算即可； （4）分式值为正数，则分子分母同号，进而可得两个不等式组，再解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 解得： （2）解：由题意得且， 解得，， ∴ （3）解：当时，； 当时， （4）解：由题意可得①， 此不等式组无解； ②，解得． ∴分式的值是正数，的取值范围是． ◆题型2 分式的基本性质（通分、约分） 5. 下列各式中，从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质，分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变，据此判断各选项变形的正确性． 【详解】解：∵，∴A选项变形错误 ∵，∴B选项变形错误 ∵，∴C选项变形错误 ∵，∴D选项变形正确 故选：D． 6. 根据分式的基本性质，分式可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， 故选：A． 7. 下列约分正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式约分需先确定分子与分母的公因式，多项式形式的分子或分母需先因式分解，再约去公因式． 【详解】解：对选项A：，错误； 对选项B：无法分解出因式，无公因式可约，错误； 对选项C：，错误； 对选项D：，正确． 8. 将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要将分式的分子、分母的系数化为整数，需要找到分子、分母中各项系数的分母的最小公倍数，然后根据分式的基本性质，将分子、分母同时乘以这个最小公倍数． 【详解】解：． 9. 填空： （1）；括号内应填入：______． （2）；括号内应填入：______． （3）；括号内应填入：______． （4）（且）．括号内应填入：______． 【答案】 【分析】根据分式左右两边分母或分子的变化，依据分式的基本性质对分子或分母做相同的运算，结合因式分解即可求解． 【详解】解：（1）观察分母可得，根据分式的基本性质，分子同乘，得 ； （2）对分母因式分解，得，，故， 分子分母同除以，得； （3）观察分母可得，根据分式的基本性质，分子同乘，得 ； （4）对左边分子因式分解，得，，约分左边得 ， 对右边分子因式分解得，因此，可得括号内应填． 10. 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）________； （2）________． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质的应用．根据分式的基本性质，给分子与分母同乘一个合适的非零整数，将分子、分母中各项系数化为整数，第一问选择乘10，第二问选择乘100后再约分即可． 【详解】解：（1）； （2）． ◆题型3 分式的加减运算 11. 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对各分母因式分解，统一分母符号后通分，再约分得到结果； （2）先因式分解化简第一个分式，再通分合并同类项得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12. 计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）本题是整式和分式相加的运算，把分母看成即可； （2）把分母化为进行同分母分式相加减进行运算即可； （3）先对分母进行因式分解，利用最简公分母进行通分化简即可； （4）把分母化为，再利用最简公分母进行通分化简即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． ． （3）原式 ． （4）原式 ． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，正确的运算是解题的关键． 13. 计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的化简，异分母化简时要注意通分，上下要同时乘以同一个代数式． （1）先通分，再加减合并； （2）先因式分解，再约分，最后加减； （3）先因式分解，再通分，最后加减合并． 【详解】（1） （2） （3） 14. 以下是小明计算的解答过程． 解： …第①步 …第②步 …第③步 …第④步 小明的解答过程从第 步开始出现错误，请你写出正确的解答过程． 【答案】②， 解：， ， ， ， ， ， ． 【详解】解：第②步错在通分后错误地去掉了分母（违背分式基本性质）， 正确的解答过程：略． ◆题型4 已知分式恒等式确定分子、分母 15. 若常数，满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将等式右侧通分，根据左右两侧分子恒等得到与的值，利用平方差公式进行因式分解后，进行计算即可. 【详解】解： 又， ∴， ∴. 16. 已知（其中、均为常数），则_________． 【答案】 【分析】将等式右侧通分后，根据分子相等对应系数相等，即可直接得到的值． 【详解】解：， ， 整理得：， 两个多项式相等，则对应项系数相等， 的一次项系数相等， 可得：． 17. 若，其中，为常数，则的值为________． 【答案】 【分析】先对等式右侧通分整理，根据分式相等时分母相同则分子对应系数相等，列出关于,的方程组，求解得到,后，计算即可. 【详解】解：对等式右边通分整理，得， 由题意得， ∴，解得， ∴. 18. 把一个分式化为另外几个分式的代数和的形式是处理分式运算和变形的常见策略．已知（a，b为常数），则_____． 【答案】2 【分析】先将等式右侧通分，再与等式左边进行比较，对应项系数相等，列出一个关于二元一次方程组，解方程组可得的值，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 19. 已知，则实数______． 【答案】 【分析】先将等式右侧通分．根据分式相等的条件得到分子对应相等．整理后利用多项式相等的性质得到关于的方程组．求解后代入计算即可得到结果． 【详解】解： ∵， ∴， 即， 整理得， 可知， 解得：， ∴． ◆题型5 分式乘除法运算（包含乘方） 20. _________． 【答案】 【分析】先算乘方，再利用分式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 21. 计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2 (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 22. 下面是小明计算的过程． 解答：① ＝② ＝③ (1)小明的解答是否正确？如有错误，错在第几步，错误的原因是什么？ (2)请给出正确的解答过程． 【答案】(1)不正确，错在第①步，错误的原因是：小明在计算时，违反运算顺序先计算后两个分式的乘积，且计算乘法时结果不对，应该为； (2)正确的解答过程如下： ＝ ＝ 【分析】根据分式的运算法则解题即可． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型6 分式混合运算 23. 化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先依据分式乘方法则算出括号立方，再将除法转化为乘以倒数统一为连乘形式，接着把分子、分母分别相乘，利用同底数幂乘除法则化简字母，约分常数系数后得到最简分式结果； （2）先对括号内各项通分合并成单一分式，完全平方公式对分子因式分解，同时将除式颠倒转化为乘法并利用平方差公式分解分母，最后约去分子分母的公因式与，化简得到最简分式． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解： ， ， ， ． 24. 化简： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的乘除混合运算法则，即可求解； （2）根据分式加减乘除混合运算法则，即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 25. 计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 26. 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】按照分式混合运算的顺序计算．先算乘方．再算乘除．有括号先计算括号内的．最后约分得到最简结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： 27. （2026·河北廊坊·一模）在数学课上，老师出了一道题目，并展示了嘉嘉的解题过程． 化简： 原式．第一步 ．第二步 ．第三步 ．第四步 (1)嘉嘉的解题步骤中所有错误步骤是： ； (2)请写出正确的解答过程，并从3，，这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值． 【答案】(1)第一步和第二步 (2)解：， 当时，原式． 【分析】（1）第一步加法运算出错，第二步因式分解出错； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代入一个使分式有意义的值计算即可． 【详解】（1）解：嘉嘉的解题步骤中所有错误步骤是：第一步和第二步； （2）略 ◆题型7 分式化简求值 28. （2026·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【分析】先通分计算括号内式子，分解因式后约分化简，再代入求值． 【详解】解： ． 当时， 原式． 29. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解： ， 当时，原式． 30. 先化简，再求值：，其中从，，中取一个你认为合适的数代入求值． 【答案】， 【分析】括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后根据分式有意义的条件，代入合适的值计算即可得出结果． 【详解】解： ， ∵，， ∴，，， ∴当时，原式． ◆题型8 分式运算与新定义 31. 我们定义：如果两个分式与的差等于2，则称是的“友好分式”．例如分式，，因为，所以是的“友好分式”． (1)已知分式，，请通过计算判断是否为的“友好分式”； (2)已知分式，，且是的“友好分式”，若当为整数时，分式的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； 【答案】(1)不是的“友好分式”，计算如下： ， ∵， ∴C不是D的“友好分式”． (2)，所有符合条件的的值之和为 【分析】（1）根据“友好分式”的定义计算，化简后判断结果是否等于2即可判断； （2）根据定义列等式求出E，化简P后结合分式有意义的条件，根据x和P均为整数找出符合条件的x值，再计算其和即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵P是Q的“友好分式”， ∴， ∴， ∴，化简得：， ∴， ∵有意义， ∴， ∵是整数， ∴的值为、， ∴或2或或3， ∵， ∴或2或3， ∴所有符合条件的的值之和为． 32. 著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将下列假分式化为带分式： ①； ②； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 【答案】（1）真；（2）①；②；（3）或或或． 【分析】本题主要考查了分式的化简运算，分式的性质；正确理解题意中的新定义、掌握分式的化简方法是解题的关键． （1）根据“真分式”和“假分式”定义判断即可； （2）①将分子写成，然后进行变形即可解答；②将分子写成，然后进行变形即可解答； （3）先将分式化为带分式，根据为整数，分式的值为整数即可得到x的值． 【详解】解：（1）∵的次数为0，x的次数为1， ∴是真分式． 故答案为：真； （2）①； ② （3） ， ∵与x均为整数， ∴或， ∴或或或． 33. 定义：若两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”． (1)下列三组分式：①与；②与；③与．其中互为“美妙分式”的有 　　（只填序号）； (2)求分式的“美妙分式”； (3)若分式与互为“美妙分式”，且、均为不等于的实数，求分式的值． 【答案】(1)②③ (2)或 (3)或 【分析】（1）根据给出的“美妙分式”定义把每一组的分式相减求绝对值看结果来判断； （2）根据给出的“美妙分式”定义求分式的“美妙分式”即可； （3）根据分式与互为“美妙分式”，得到，求出①，②，分别把①②代入分式中求出结果即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， 故答案为：②③； （2）设分式的“美妙分式”为， 则 ， 或， ①当时， ， ②当时， ， 综上：分式的“美妙分式”为或； （3）与互为“美妙分式”， ， ， 或， 或， 、均为不等于的实数， ①，②， 把①代入， 把②代入， 综上：分式的值为或． 【点睛】本题考查了分式的加减法和实数的性质，绝对值的意义，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键． 34. 定义：如果一个分式的平方与一个分式的和等于1，即，那么就称分式是分式的“方和分式”．例如： ， 是的“方和分式”． (1)请判断是否为的“方和分式”，并说明理由； (2)若分式是的“方和分式”，求分式； (3)若分式（为常数）是的“方和分式”，求的值． 【答案】(1)解：是，理由： ∵ ， ∴是否为的“方和分式”； (2) (3) 【分析】（1）根据“方和分式”的定义进行验证即可； （2）根据“方和分式”的定义得到，即可求出答案； （3）根据“方和分式”的定义得到，即可求出的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵分式是的“方和分式”， ∴ ∴ ∴； （3）解：∵分式（为常数）是的“方和分式”， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 解得 ◆题型9 分式运算的实际应用 35. 学校为丰富图书角，计划购买一批科普读物．第一次采购价为每本元，共花费600元，很快借阅一空；第二次又花费600元采购，因为商家促销，每本价格比第一次降低5元，则第二次购进的读物数量比第一次多了（     ）本． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“数量=总花费÷单价”，分别求出两次购进读物的数量，再用第二次的数量减去第一次的数量，即可得到结果． 【详解】∵第一次采购单价为每本元，总花费为元， ∴第一次购进读物的数量为本， ∵第二次每本价格比第一次降低元，总花费仍为元 ∴第二次采购单价为每本元，第二次购进读物的数量为本 ∴第二次购进的读物数量比第一次多本． 36. 甲、乙两地之间的航行距离为，一艘轮船先从甲地顺流航行至乙地，再从乙地逆流航行返回甲地．已知水流速度为，如果这艘轮船在静水中的速度为，那么它从甲地到乙地所需的航行时间比从乙地到甲地所需的航行时间少多少？ 【答案】 【分析】根据题意，得到轮船顺水、逆水所行驶的时间，再作差即可． 【详解】解：轮船在静水中的速度为， 则轮船顺水速度为，轮船逆水速度为， 故轮船甲地到乙地的时间为，乙地到甲地的时间为， 又 ， 它从甲地到乙地所需的航行时间比从乙地到甲地所需的航行时间少 37. 受中东局势影响，国内油价大涨，嘉嘉的爸爸每次固定加200元汽油，嘉嘉的爸爸认为：油价涨跌自己都不受影响．已知汽油原价为a元/升，上调后价格为b元/升（），汽车每升汽油可行驶k千米． (1)分别用含a，b，k的代数式表示调价前后200元汽油所能行驶的路程． (2)若嘉嘉的爸爸每月行驶的总路程不变，为S千米，请比较调价前后每月所需花费的总费用，并由此判断上述观点是否正确． 【答案】(1)调价前行驶路程为千米，调价后行驶路程为千米 (2)调价后每月所需总费用更高，嘉嘉爸爸的观点不正确 【分析】（1）先根据“加油量总价单价”求出加油量，再乘以每升汽油行驶路程得到总路程； （2）先根据总路程求出所需汽油总量，再乘以单价得到每月总花费，通过比较大小判断观点是否正确，用到不等式的基本性质比较大小． 【详解】（1）解：已知汽油原价为元/升，总花费200元，可得调价前加油量为升， 已知每升汽油行驶千米， 因此总行驶路程为千米； 上调后价格为元/升，总花费200元，可得调价后加油量为升， 因此总行驶路程为千米； （2）解：已知每月总路程为千米，可得每月需要汽油升， 调价前每月总费用为：元， 调价后每月总费用为：元， 已知，，， 因此， 可得， 即调价后每月花费更高， 因此嘉嘉的爸爸的观点不正确． 38. 数学来源于生活，生活中的现象可以帮助我们更好地理解和应用数学． (1)实验1：两个杯子中依次盛有，糖水，分别含糖，，并且这两杯糖水的浓度相等，即．将这两杯糖水倒入一个大空杯子里，则大杯糖水的浓度与原各小杯糖水的浓度相等，用等式表示为 ； (2)实验2：两个杯子中依次盛有，糖水，分别含糖，，并且第1杯糖水的浓度大于第2杯糖水的浓度，即，所以． ①将这两杯糖水倒入一个大空杯子里，则大杯糖水的浓度 第1杯糖水的浓度，大杯糖水的浓度 第2杯糖水的浓度（填“”“”或“”），用不等式组表示为 ； ②用所学的知识说明①中的不等式组成立． 【答案】(1) (2) ① ；； ②说明如下： ∵，均为正数， ∴，即，且，， ∵， 又∵，， ∴， ∴， ∵， 又∵，， ∴， ∴， 综上可得，不等式组成立. 【分析】（1）根据糖水的浓度等于糖的质量除以糖水的质量，结合题干信息，列出等式即可； （2）① 高浓度糖水与低浓度糖水混合后，浓度介于两个原浓度之间，据此判断大小关系并写出不等式组即可；②利用作差法，结合已知条件，即可证明不等式成立. 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型10 整体思想求分式的值 39. 设 a < b < 0， ， 则 的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】将所求分式平方，结合已知等式利用完全平方公式求其平方值，再根据的符号与大小关系确定结果符号. 【详解】解：∵ ， ∴ ，, ∴ . ∵ ，∴ ，， ∴ ， ∴ . 40. 已知，则分式的值为（     ） A．2 B． C． D．8 【答案】A 【分析】将待求分式的分子分母同除以，转化为含已知式的形式，整体代入求值． 【详解】解：由题意得，， 将的分子、分母同时除以，得， ∵， ∴原式． 41. 已知，则________． 【答案】 【分析】将，，都用参数表示，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解： ， ． 42. 若，则的值为______________． 【答案】 【分析】将所求分式拆分变形，代入已知条件计算即可． 【详解】解：对拆分变形， 得， ， 代入得． 43. 已知，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 综合攻坚·知能拔高 1. 对于分式下列说法不正确的是（     ） A．时，分式值为0 B．时，分式无意义 C．时，分式值为负数 D．时，分式的值为正数 【答案】C 【分析】根据分式有意义的条件和分式值的判断方法，逐一验证选项即可得到答案. 【详解】解：对于分式， ∵当时，分子为，分母，分式值为，∴A选项说法正确； ∵当时，分母，分式无意义，∴B选项说法正确； ∵当时，代入得，结果为正数，不是负数，∴C选项说法错误，符合题意； ∵当时，代入得，结果为正数，∴D选项说法正确； 2. 计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的乘除运算．首先把除法运算转化为乘法运算，再约分即可． 【详解】解： ． 3. 已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为（     ） x的取值 4 a 6 分式的值 无意义 0 b A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据分式无意义的条件和分式值为0的条件，求出m，n后得到分式，再代入条件求解计算即可. 【详解】解：∵当时分式无意义，分式无意义时分母为0， ∴，解得； ∵当时分式值为，分式值为0时分子为0且分母不为0， ∴，解得，验证分母，符合条件； ∴分式为， ∵当时分式值为， ∴， ∴， 当时，， ∴. 4. 要使分式有意义，的取值应满足(   ) A． B． C．或 D．且 【答案】D 【详解】解：∵分式有意义需分母不为0． ∴． ∴且． ∴且． 5. 如图是一张边长为a的正方形纸片，先沿某一方向剪去一个宽为2的矩形，再沿另一方向剪去一个宽为x的矩形，两次剪下的矩形面积恰好相等，则b可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意， 解得： 又∵ ∴ 6. 若分式的值为零，则_______． 【答案】 【分析】分式值为零需同时满足分子为零、分母不为零两个条件，先求出分子为零的，再排除使分母为零的解即可． 【详解】解：∵ 分式的值为零， ∴ ，且， 解，得， ∴ 或， 解得或， 又∵ ， ∴ ． 7. 不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】本题考查了将分式的分子分母各项系数化为整数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）分式的分子、分母分别乘以12即可； （2）分式的分子、分母分别乘以20即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：． 故答案为：． 8. 已知，则______；______． 【答案】 【分析】先对等式右边通分，再根据分式相等时分母相同则分子相等，对应系数相等列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：， ， ∴， 解得． 9. 《梦溪笔谈》中有一段关于行军运粮的记载，其大意为：在行军中，每个民夫最多可以携带斗（斗=升）粮食，一个士兵最多可以携带斗粮食，每个士兵和民夫平均每天各消耗升粮食．若每个士兵雇佣个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的粮食最多可以支持_______天的行军． 【答案】 【分析】将斗换算为升，计算出个民夫和个士兵携带的总粮食为升，再结合总人数得出每天消耗升，最后用总粮食除以日消耗量，约分后可得到行军天数． 【详解】解：据题可知， 每个士兵与个民夫共可携带粮食升， 每天消耗的粮食为升， 则背负的粮食最多可以支持天． 10. 若，则分式的值为__________． 【答案】 【分析】利用分式的性质，求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 故， ， ， ， ． 11. 若，则的值为_______． 【答案】 【分析】先化简所求代数式，再代入的关系求值． 【详解】解： ，， ， 原式． 12. 已知，则的值为_____． 【答案】 【分析】由可得，代入所求代数式即可． 【详解】解：， 两边同乘以，得，即 ∴． 13. 化简： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 【分析】（1）根据分式的乘法，直接约分即可； （2）将除法变为乘法，再计算即可； （3）根据同分母分式减法法则计算即可； （4）根据分式乘除混合运算法则计算即可； （5）先计算括号内的，再将除法变成乘法计算； （6）先计算括号内的，再将除法变为乘法计算； （7）先计算括号内的，再将除法变为乘法计算； （8）先计算括号内的，再将除法变为乘法计算； （9）先计算括号内的，再将除法变为乘法计算． 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． （7）解： ． （8）解： ． （9）解： ． 14. （2026·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ，. 【详解】解： ， 当时，原式． 15. 先化简：，再从，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】 化简得；选取代入，值为 【分析】先算括号里面的，再算除法，然后选出合适的的值代入进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． ∵分式的分母不能为零， ∴，， ∴当时，原式=． 16. 先化简，再求值：，其中x是不等式组的正整数解． 【答案】， 【分析】先计算括号内分式的加减混合运算，再计算除法运算得到化简的结果，再解不等式组结合分式有意义的条件确定，最后代入求值即可． 【详解】解： ； ∵， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的正整数解为， ∵分式有意义， ∴，， ∴当时，原式． 17. 请阅读下列材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 例如：，，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．例如将转化为几个和谐分式的和： 解：设，将右边通分，得，依据题意，得，解得，所以． (1)①分式是___________（填“和谐分式”或“非和谐分式”）． ②把和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值． (3)如果，，请用含有和的式子表示． 【答案】(1)①和谐分式；②； (2)或或； (3) 【分析】（1）将进行化简，再结合“和谐分式”的定义判断即可；②对进行化简即可； （2）设，仿照题意计算得出，，从而可得，再结合分式的值为整数，得出为整数，且，，令，则，从而可得为整数，解得或或，分情况计算即可得出结果； （3）求出，，从而可得，再结合完全平方公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：①，其中为整式，分子为常数，符合和谐分式的定义，故分式是和谐分式； ②； （2）解：设， ∵， ∴，， 解得，， ∴， ∵分式的值为整数， ∴为整数，且，， 令，则， ∴为整数， 解得或或， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，满足条件的整数的值为或或； （3）解：， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $