1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系课后同步作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习聚焦空间向量研究位置关系，分层设计从基础概念到综合应用，注重数学思维与空间观念培养，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|方向向量、法向量基本关系|直接考查概念（如第1题方向向量与法向量垂直判断）| |中档|几何体中位置关系综合|结合经典几何体（如第2题鳖臑中法向量求解）| |提升|轨迹问题与证明应用|开放性问题（如12题动点轨迹）及证明题（如15题线面平行证明）|

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系课后同步作业 (限时：45分钟) =(3,a+b,a-b)(a,b∈R) 1.已知 是直线的一个方向向量， i=(-1,2,3) )是平面“的个法向量若少a,则 () A.5a-b=-3 B.5a-b=3 C.5a+b=3 D.5b-a=3 2.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD, ∠BDC-90°，BD=AB=CD.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面ACD的一个法向量为() Bk----- A.(010) B.(0,1) C.(L1,1) D.(1,0) 3.阅读材料：空间直角坐标系0-严中，过点P(,:)且一个法向量为 i=(a,bc)的平面a的方程为 a(x-xo)+b(y-Yo)+c(z-zo)= 0,阅读上面材料，解决下面问思：直线'是两平面一y+2=0与2x+z+1=0的 交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是() A.(3,12) B.（1,1,-2) c.(2,13) D.(2,1-4) 4.已知直线'的方向向量为=(8，- ,平面&的法向量为”4=(m2,-,平面P的法向量为严=(4m2）,若11 aa⊥B .m-n= 日 ,则” () A.0 B.1 C.2 D.-13 5.如图，正方体1BCD-ABCD中、P是线段BC上的动点，则下列结论中不亡饶的是() 114 D B C A.存在点P,使得 P∥ADB 平面 B.对于任意点P,DB1AP C.存在点P,使得4P平面CD8 D.对于任意点P,△4D 都是锐角三角形 6.如图所示，已知三棱锥P-ABC的各棱长均相等，D,E,F分别是所在棱AB,BC，,CA的中点，有下列说法： ①PA⊥BC:②BCI∥平面PDF: ③AE⊥平面PDF;④平面PDF⊥平面PAE. 其中，说法正确的个数是() A D A.1 B.2 C.3 D.4 7.在楼长为5的正方体 ABCD-ABCD AA,CC 的中点，点P在上底面 BCD 中，E,F分别是棱 内运动， 若PE/平面BDF,则点P的轨迹的长度为() A② B.2 D.3 ABCD-ABCD 8.(多选)在如图所示的空间直角坐标系中， 是棱长为1的正方体，则() 2/4 A D B C D B A ABB A BCD 1,1,1) A,平面 的一个法向量为010 B.平面 的一个法向量为 1,0,0) C.点在x轴上的投影点坐标为 D.点C关于平面O对称点坐标为1，-) 9.(多选)在正三棱柱 BC-ABC中B=M,M,N,P分别为 CC BC AA 的中点，则下列说法中 正确的有() ABI∥NPC ANC,⊥BB,CC 平面 B.平面 平面 B,M⊥AC D BM⊥ NPC 一平面 10.（多选)如图，在正方体中，点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点，则满足直线MNII平面 ABC的是() M B C B C D 3/4 1.已知向量a=(-21,2）,平面“的法向量=(1，)，则9在平面“上的投影向量坐标为一. ABCD-ABCD 的楼长为2，E为4的中点，M点是正方形 ABB A 内的动点，若CM1/ CDE 12.正方体 平面 则M点的轨迹长度为 13.如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC,∠BAC=120°，SA=AC=2,AB=1,M为SC的中点，P为 BC上靠近C的三等分点，过点M,P的平面与AC交于点N,则当NP⊥BS时，MN=一 14.如图，在棱长为2的正方体 6CD-A8CD,以P为层点建立容间直角丝标系0-，为股 的中点， AD 为 的中点，求： C A B B (I)直线AE和AF的方向向量的坐标： (2)平面AEF的一个法向量的坐标. 15.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD,AP=AB=2,AD=4,E是侧棱PB的中点. 求证：AE⊥平面PBC: B 4/4 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系课后同步作业 （限时：45分钟） 1．已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面与直线平行得出平面法向量与直线的方向向量互相垂直，建立方程求解参数即可. 【详解】根据题意可得，所以，即. 2．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，可得、、的坐标，由此可得向量、的坐标，由此可得关于、、的方程组，利用特殊值求出、、的值，即可得答案． 【详解】根据题意，设，则，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则有，令，可得，则. 故选：B． 3．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线的方向向量． 【详解】由题意有：平面的法向量为， 平面的法向量为， 设直线的方向向量为， 所以，令，得， 而ACD中的向量与该向量均不共线， 故选：B 4．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，若且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-13 【答案】C 【分析】根据直线与平面平行、平面与平面垂直的性质，得到向量之间的关系，进而列出方程求解 m 和 n，最后求差即可. 【详解】已知，直线 的方向向量 ， 平面 的法向量 ，平面 的法向量 ， 因为：所以， 即，所以， 又因为，所以， 即，所以， 所以. 故选：C. 5．如图，正方体中、是线段上的动点，则下列结论中不正确的是（   ）    A．存在点，使得平面 B．对于任意点， C．存在点，使得平面 D．对于任意点，都是锐角三角形 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量的位置关系判断说法A；由计算两条直线的方向向量的数量积判断说法B；利用向量数量积验证垂直关系判断说法C；利用向量的模和向量夹角的计算，验证说法D. 【详解】以B为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的坐标系，    设正方体的棱长为， 则。 设，则， 设平面的法向量为，则， 令，则，即， 若，解得， 则时，，又平面，平面， 即为中点时，平面，故A正确. ，， 故对任意的点都有，故B正确. ， 若平面，则有，方程组无解， 所以不存在点，使得平面，故C错误. ， ， 则中，，都是锐角， ，也是锐角， 所以对于任意点，都是锐角三角形，故正确. 故选：C. 6．如图所示，已知三棱锥的各棱长均相等，分别是所在棱，，的中点，有下列说法： ①；②平面； ③平面；④平面平面． 其中，说法正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明逐个分析选项即可. 【详解】如图，将三棱锥放入正方体中，以棱作为面对角线， 以为原点，建立空间直角坐标系，    不妨设正方体的边长为，由题意得，，，， 由中点坐标公式得，，， 对于①，由题意得，， 则，得到，故①正确， 对于②，由题意得，， 设面的法向量为， 则，令，解得，， 可得，而， 因为平面， 所以平面，故②正确， 对于③，由题意得，， 若平面，则， 可得，而不存在这样的使得方程组成立， 则平面不成立，故③错误， 对于④，由题意得，， 设面的法向量为， 则，令，解得，， 可得，由已知得， 而，可得平面平面，故④正确， 综上可得，说法正确的个数是3个，故C正确. 故选：C 7．在棱长为的正方体中，E，F分别是棱的中点，点在上底面内运动，若，则点P的轨迹的长度为（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设，设平面的法向量为，利用可得，继而即可求解. 【详解】 以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 设， ， ， 设平面的法向量为， 则， 取，则，则， 因为平面， 所以，所以， 所以点P的轨迹长度为. 故选：. 8．（多选）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则（    ）    A．平面的一个法向量为 B．平面的一个法向量为 C．点在x轴上的投影点坐标为 D．点关于平面对称点坐标为 【答案】ACD 【分析】分别写出点的坐标，根据正方体中平面可判断A；利用两个非零向量垂直则数量积为0可判断B；根据点在x轴上的投影点为可判断C；根据点关于平面对称点坐标为可判断D. 【详解】由题知，，，，，，， 对于A，因为正方体， 所以平面， 是平面的一个法向量，故A正确； 对于B，∵，且， ∴不是平面的法向量，故B错误； 对于C，点在x轴上的投影点为，故C正确； 对于D，点关于平面对称点坐标为， ∴点关于平面对称点坐标为，故D正确. 故选：ACD. 9．（多选）在正三棱柱中，，，，分别为，，的中点，则下列说法中正确的有（   ） A．平面 B．平面平面 C． D．平面 【答案】BC 【分析】设，如图建系，求得各点坐标和所需向量坐标，可求出平面的法向量，根据数量积公式，可判断A、C的正误；根据向量平行的坐标关系，可判断D的正误；根据面面垂直的判定定理，可判断B的正误. 【详解】取AC中点O，中点，连接，设， 因为正三棱柱，所以两两垂直， 以O为原点，为轴正方向建系，如图所示， 则 ， 所以 ， 选项A：设平面的法向量， 则，即， 令，则，即， 则，所以与平面不平行，故A错误； 选项B：连接，因为正三角形ABC，所以， 又正三棱柱，所以平面ABC， 因为平面ABC，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故B正确； 选项C：，所以，则，故C正确； 选项D：因为，所以与不平行， 所以与平面不垂直，故D错误. 10．（多选）如图，在正方体中，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则满足直线平面ABC的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】设正方体的棱长为， 对于A，如图建立空间直角坐标系： 则， 所以， 设平面的法向量为，所以， 令，则，所以， 所以，所以MN与平面ABC不平行，故A错误； 对于B，如图连接交于点，连接， 根据正方形的性质可知是的中点 又是的中点，所以，又平面，平面， 所以平面ABC，故B正确； 对于C，如图建立空间直角坐标系： 则， 设平面的法向量为，所以， 令，则，所以， 所以，所以MN与平面ABC不平行，故C错误； 对于D，如图建立空间直角坐标系： 则， 设平面的法向量为，所以， 令，则，所以， 所以，又平面， 所以平面ABC，故D正确. 11．已知向量，平面的法向量，则在平面上的投影向量坐标为______． 【答案】 【分析】求得向量在法向量上的投影，再由向量的加法法则即可求解. 【详解】向量在平面的法向量上的投影向量为， 即， 设在平面上的投影向量是， 则， 所以， 故答案为： 12．正方体的棱长为，为的中点，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为_________． 【答案】 【分析】利用正方体建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再由平面，得，计算可得点的轨迹方程，再由题意即得点的轨迹长度. 【详解】利用正方体建立如图所示空间直角坐标系， 由题意可知，，，，， 因点是正方形内的动点，可设，， 因 设平面的法向量， 则，令，则， 因平面，则，即， 整理得：. 是正方形内的动点，取，得；取，得， 故点的轨迹长度为． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：利用正方体建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，由求得，结合点的位置即可求得其轨迹长度. 13．如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，过点，的平面与交于点，则当时，______. 【答案】 【分析】首先利用坐标法，根据，求点的坐标，再代入两点间距离公式，即可求解. 【详解】如图，以点为原点，为轴的正方向，过点作轴，建立空间直角坐标系， ，，，， 设，，, 因为，所以，得， 此时，，所以 14．如图，在棱长为2的正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，求： (1)直线和的方向向量的坐标； (2)平面的一个法向量的坐标． 【答案】(1)， (2)（答案不唯一） 【详解】（1）由正方体的棱长为2，则，，， ∴直线的方向向量， 直线的方向向量. （2）设向量是平面的法向量，则 取，得，，则是平面的一个法向量． 15．如图，已知四棱锥的底面是矩形，底面，，，是侧棱的中点．求证：平面； 【答案】以A为原点，以所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 已知，，是侧棱的中点， 则：， 故； ，故； ，故； 又，平面， 由线面垂直判定定理可得，平面． 【分析】以A为原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量法可证，，然后由线面垂直判定定理可得平面. 【详解】略. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $