精品解析：吉林省实验中学2027届高三年级第一次模拟考试数学试题

吉林省实验中学 高三年级第一次模拟考试 数学 （本试卷共4页，19题，满分150分，考试用时120分钟） 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由， 则， 所以． 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 则 3. 声强级，是指声强（单位：W/m2）和定值（单位：W/m2）比值的常用对数值再乘以10，即声强级（单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为，那么这种火箭发射的声强级约为（ ） A. 150 dB B. 285 dB C. 145 dB D. 235 dB 【答案】D 【解析】 【分析】设人与人交谈时的声强约为 W/m²，依题推得，将这种火箭发射的声强代入公式结合对数运算即可求得． 【详解】设人与人交谈时的声强约为 W/m²，依题意，，则得， 依题意，该火箭发射时的声强约为 W/m²，则其发射的声强级约为： . 4. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，可得，根据向量的数量积运算及模长公式求解即可. 【详解】， 因为，所以， ，解得. 5. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义求解即可. 【详解】函数的定义域为. 因为函数为奇函数，所以函数的定义域关于原点对称， 所以，解得. 当时，，定义域为. ，故函数为奇函数. 综上，. 6. 已知函数，若在上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出的对称轴方程，由条件分析出整数的取值，再列出关于的不等式，求解即可. 【详解】因为正弦函数的对称轴方程为， 所以令，可解得的对称轴方程为. 因为，即，可解得. 要使在区间上有且仅有2条对称轴，则符合条件的整数只能为， 因此需满足，解得， 故的取值范围是. 7. 已知函数，正数，满足，则取最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性与单调性推得，再用“的代换”结合基本不等式求的最小值，进而解得取最小值时. 【详解】已知函数：对任意，有 因此是定义在上的奇函数. 求导得，由基本不等式可知，因此是上的单调递增函数. 正数，满足，移项得： 结合是奇函数的性质，，因此： 又因为是单调递增函数，函数值相等则自变量相等，可得： 整理得约束条件：. , 由基本不等式，有： ,当且仅当（即，）时，等号成立， 此时取得最小值，. 8. 已知函数，，若，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数值域可求得的值域，进而将问题转化为恒成立；构造函数，利用导数可求得的单调性和最大值，由可求得结果. 【详解】当时，， ，恒成立， 恒成立，即恒成立； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， ，解得：，即实数的取值范围为. 二、多选题 9. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，是边的中点，，则（ ） A. 是等腰三角形 B. C. 的面积为 D. 的周长为 【答案】AC 【解析】 【分析】计算角判断三角形形状判断A；根据余弦定理及正弦定理计算判断B；根据三角形面积公式计算判断C；求解周长判断D. 【详解】对于A，因为，所以或， 因为，所以， 则，则是等腰三角形，故A正确. 对于B，在中，由余弦定理可得， 即，则， 由正弦定理可得，故B错误. 对于C，的面积为，故C正确， 对于D，周长为，故D错误. 10. 已知向量，，则（ ） A. 与向量平行的单位向量为 B. 当时， C. 若与夹角为锐角，则的取值范围为 D. 当时，向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用单位向量的定义、向量垂直的坐标关系、投影向量的计算公式以及夹角的表示依次判断即可. 【详解】对于A，与向量平行的单位向量为或，故A错误； 对于B，当时，，解得，故B正确； 对于C，若与夹角为锐角，则， 解得且，故C错误； 对于D，当时，，， 则向量在向量上的投影向量为，故D正确. 11. 已知函数，定义域为，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 的所有极大值按对应极大值点从小到大排列，构成公比为的等比数列 C. 在区间上的最大值为 D. 方程在区间上恰有两个解 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求函数的导数可知A正确；极大值点为极大值点是公差为的等差数列，不是等比数列，故错误；由B知，故正确;结合单调性，分析可知当时，，故正确. 【详解】求导得 令 即， 解得, 又故或 令即解得 故在区间上单调递增， 在区间上单调递减，故正确； 由知极大值点为对应的极大值 则，故错误； 因为单调递减， 由单调性可知， 因此在定义域上的最大值是，故正确； 由知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为所以直线与曲线在区间上恰有两个交点. 当时，, 即 所以方程在区间上恰有两个解，故正确. 【点睛】本题考查了学生以导数为工具解决函数的单调性的数学能力，结合单调性解决函数的值，得到函数的变化规律，辅助解题，还考查了离散型极值的单调性的判断. 三、填空题 12. 若角的终边经过点，则___________. 【答案】3 【解析】 【分析】直接根据任意角三角函数的定义求解，再利用两角和的正切展开代入求解即可 【详解】由任意角三角函数的定义可得：． 则 故答案为3 【点睛】本题主要考查了任意角三角函数的定义和两角和的正切计算，熟记公式准确计算是关键，属于基础题． 13. 函数（且）的图象恒过定点A，且A在幂函数的图象上，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先得到，进而由幂函数定义得到，代入求解 【详解】中，令得，此时， 所以，又A在幂函数上， 所以，解得，所以， 故，解得. 14. 记的内角，，所对的边分别为，若满足，的恰有两个且互不全等，则这两个三角形的周长之和的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由余弦定理可得，化简得， 假设满足条件的三角形恰有两个，分别为和， 则，， 假设，则两三角形全等，与题目要求矛盾，所以， 整理得关于的一元二次方程，该方程有两个不等的正实数根， 所以，，，解得. 由韦达定理可知，所以这两个三角形的周长之和为. 四、解答题 15. 已知数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前20项和的值. 【答案】（1） （2）440 【解析】 【分析】（1）求出，由求出，验证即可求得答案； （2）讨论的取值，得到数列通项公式，然后分组求和求得答案. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 当时，， 所以数列的通项公式为 【小问2详解】 令，则， 所以当时，，当时，， 所以 . 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，点是棱上一动点. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）因为底面是正方形，所以， 底面，底面，所以， 又平面，所以平面， 平面，所以. （2） 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由可得，， 因为，所以， ， ， 设平面的法向量为， 则，令，则， 设直线与平面所成的角为， 则. 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若是边上的中线，且，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理把条件中的展开，化简后求得角A； （2）借助中线向量公式可得，由基本不等式得，再根据三角形面积公式即可求出面积最大值 . 【小问1详解】 由余弦定理得，， 整理得，即. 由余弦定理得，， 又，故. 【小问2详解】 由为边上中线，则， 所以. 已知， 代入得，即. 由基本不等式，得，即，当且仅当时取等号. 三角形面积，故， 即面积最大值为. 18. 已知椭圆：过点，且，为坐标原点，平行于的直线交椭圆于，两个不同的点. （1）求椭圆方程. （2）判断直线，斜率的和是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 【答案】（1） （2）为定值零． 【解析】 【分析】（1）由已知条件得关于的方程组，联立求解即可； （2）设、，将直线方程与椭圆联立，消元，得，由根与系数关系得：，再由斜率公式计算即可． 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 因为且直线平行于，所以可设直线的方程为． 由得 ， 设、，则 又 故， 又， 所以上式分子为 ， 故. 19. 已知函数． （1）当时， ①求曲线在点处切线的方程； ②求函数的单调区间； （2）若关于的不等式的解集为，求整数的最大值． 【答案】（1）①；② 单调递减区间是，单调递增区间是； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入求出函数的导数，①利用导数的几何意义求出切线方程；②利用导数求出单调区间. （2）等价变形给定不等式并分离参数，构造函数 ，利用导数求出最小值范围，进而求出整数的最大值. 【小问1详解】 ① 当时，函数定义域为，求导得， 则，而， 所以曲线在点处切线的方程为. ② 由，得；由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 依题意，，不等式 恒成立， 令 ，求导得， 令 ，求导得 ，函数在上单调递增， 而 ，则存在，使得， 即， 当时，，即；当时，，即， 函数在 上单调递减，在上单调递增， ， 因此，而， 令，由，得， 由对勾函数性质得 在单调递减， 则，所以整数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省实验中学 高三年级第一次模拟考试 数学 （本试卷共4页，19题，满分150分，考试用时120分钟） 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 声强级，是指声强（单位：W/m2）和定值（单位：W/m2）比值的常用对数值再乘以10，即声强级（单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为，那么这种火箭发射的声强级约为（ ） A. 150 dB B. 285 dB C. 145 dB D. 235 dB 4. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 6. 已知函数，若在上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，正数，满足，则取最小值时，（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，是边的中点，，则（ ） A. 是等腰三角形 B. C. 的面积为 D. 的周长为 10. 已知向量，，则（ ） A. 与向量平行的单位向量为 B. 当时， C. 若与夹角为锐角，则的取值范围为 D. 当时，向量在向量上的投影向量为 11. 已知函数，定义域为，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 的所有极大值按对应极大值点从小到大排列，构成公比为的等比数列 C. 在区间上的最大值为 D. 方程在区间上恰有两个解 三、填空题 12. 若角的终边经过点，则___________. 13. 函数（且）的图象恒过定点A，且A在幂函数的图象上，则k的值为______． 14. 记的内角，，所对的边分别为，若满足，的恰有两个且互不全等，则这两个三角形的周长之和的取值范围为__________. 四、解答题 15. 已知数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前20项和的值. 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，点是棱上一动点. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若是边上的中线，且，求面积的最大值． 18. 已知椭圆：过点，且，为坐标原点，平行于的直线交椭圆于，两个不同的点. （1）求椭圆方程. （2）判断直线，斜率的和是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 19. 已知函数． （1）当时， ①求曲线在点处切线的方程； ②求函数的单调区间； （2）若关于的不等式的解集为，求整数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $