广东广州石化中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试卷

2026-2027学年上学期高二数学月考卷(试卷) 班级:姓名:学号: 一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.在空间直角坐标系中,点关于x轴对称的点坐标是( ) A. B. C. D. 2.在平面直角坐标系中,过点和点的直线的倾斜角为( ) A. B. C. D. 3.设、,向量,,且,,则( ) A. B. C. D. 4.我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图,四棱锥为阳马,平面,且,若,则( ) A. B. C. D. 5.如图,在平行六面体中,底面是边长为1的正方形,若,且,则的长为( ) A. B. C. D. 6.已知四棱锥的底面为正方形,平面,,点是的中点,则点到直线的距离是( ) A. B. C. D. 7.已知点,若直线与线段相交(包含端点的情况),则实数的取值范围是( ) A. B. 或 C. D.或 8.如图,底面是边长为2的正方形,半圆面底面,点为圆弧上的动点.当三棱锥的体积最大时,二面角的余弦值为( ) A. B. C. D. 二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.) 9.若向量与的夹角为锐角,则实数x的值可能为( ). A.4 B.5 C.6 D.7 10.已知直线,则下列说法正确的是( ) A.可能垂直于轴 B.可能垂直于轴 C.若,则 D.若,则 11.如图,棱长为的正方体中,,分别为,的中点,则( ) A.直线与底面所成的角为 B.平面与底面夹角的余弦值为 C.直线与直线的距离为 D.直线与平面的距离为 三、填空题 (本题共3小题,每小题5分,共15分.) 12.在空间直角坐标系中,已知,若平面的一个法向量为,则直线的一个方向向量为 . 13.已知直线过点 ,且倾斜角为,则实数 . 14.已知空间向量,,则向量在向量上的投影向量的坐标是 . 四、解答题 (本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.) 15.(本题满分13分)已知向量,. (1)求的值; (2)求向量与夹角的余弦值.第13题 图 16.(本题满分15分)一条直线经过点,并且分别满足下列条件,求直线方程: (1)倾斜角是直线的倾斜角的2倍; (2)与x、y轴的正半轴交于A、B两点,且的面积最小(O为坐标原点). 17.(本题满分15分)已知,,,求(均写出一般式方程): (1)边上的中线所在的直线方程; (2)过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程; (3)边垂直平分线方程及点关于的对称点的坐标. 18.(本题满分17分)如图,在直三棱柱中,,,且,,直线与交于点F. (1)证明:平面. (2)求二面角的正弦值. 19.(本题满分17分)如图,在空间几何体中,四边形是边长为2的正方形,平面,,且∥∥. (1)求证:四点共面; (2)在线段上是否存在一点,使得平面与平面所成角的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 试卷第4页,共4页 试卷第3页,共4页 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 参考答案: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D A C D D D CD BC 题号 11 答案 BCD 1.C 【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解. 【详解】在空间直角坐标系中,点关于轴对称的点坐标为. 故选:C. 2.C 【详解】由已知直线过点和点, 则直线斜率, 则直线的倾斜角满足, 又,故. 3.D 【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值,求出向量的坐标,利用空间向量的模长公式可求得结果. 【详解】因为,则,解得,则, 因为,则,解得,即, 所以,,因此,. 故选:D. 4.A 【分析】根据向量线性运算,以为基底表示出,从而确定的取值. 【详解】,, , ,,,. 故选:A. 5.C 【分析】将作为基底,利用空间向量基本定理用基底表示,然后对其平方化简后,再开方可求得结果 【详解】由题意得,, 因为 , 所以 , 所以, 故选:C 6.D 【分析】利用坐标法,根据点到直线的距离的向量求法即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系,则, 所以, 所以, 所以点到直线的距离是. 故选:D. 7.D 【详解】整理直线的方程,可知直线恒过定点, 所以直线的斜率为,直线的斜率为, 直线与线段相交(包含端点),则直线的斜率需或: 当时,直线的方程为,即轴,与线段交于点,符合条件; 当时,直线的斜截式方程为,斜率为, 若,解得;若,解得或, 综上,的取值范围是或. 8.D 【分析】由题意当三棱锥的体积最大时,此时点处于半圆弧的正中间位置.此时建立适当的空间直角坐标系,求出平面,平面的法向量,由法向量夹角余弦的坐标公式即可求解. 【详解】三棱锥的体积与到平面的距离成正比, 故当三棱锥的体积最大时,此时点处于半圆弧的正中间位置. 点处于半圆弧的正中间位置时,记的中点为,以其为原点,分别作为轴正方向,建立空间直角坐标系. 平面显然有法向量, , 设为平面的法向量, 则该向量与和均垂直, 所以,从而. 令,解得, 故符合条件, 显然二面角为锐角, 因此所求余弦值为. 故选:D. 9.CD 【分析】 依题意可得且与不同向,根据数量积的坐标表示得到不等式,求解即可. 【详解】因为与的夹角为锐角, 所以,解得, 当与共线时,,解得,所以实数x的取值范围是, 经检验,选项C、D符合题意. 故选:CD 10.BC 【分析】根据直线平行的条件、直线垂直的条件逐项判断即可. 【详解】对于A,因为直线,的系数不为0,所以不垂直于轴,A错误; 对于B,当时,,与轴垂直,B正确; 对于C,当时,. 因为直线的斜率均为且不重合,所以两直线平行,C正确; 对于D,因为,所以,解得或. 当时,由C选项知两直线是平行的; 当时,,斜率均为,且两直线不重合,所以两直线平行. 故时或,D错误; 故选:BC. 11.BCD 【分析】以点为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用向量法分别求出线面角,面面角,平行线间距离及线面距离. 【详解】 如图所示,以点为坐标原点,为轴,为轴,为轴, 则,,,,,, A选项:,平面的法向量, 设直线与底面所成的角为, 则, 直线与底面所成的角不为,故A错误; B选项:,, 设平面的法向量,则,令,则 设平面与底面的夹角为, 则, 平面与底面夹角的余弦值为,故B正确; C选项,, 直线与直线的距离为:,故C正确; D选项,,平面,平面, 又,平面的法向量, 直线与平面的距离为:,故D正确; 故选:BCD. 12. 【分析】由已知求出,再由平面的一个法向量为,可得,求出,从而可求出直线的一个方向向量. 【详解】, 又平面的一个法向量为,,解得, ∴直线的一个方向向量为. 故答案为: 13. 【分析】根据斜率公式可得关于m的方程,求解可得实数的值. 【详解】由题可知,直线的斜率为. 所以,化简得, 即,解得. 故答案为:. 14. 【分析】根据投影向量的概念计算即可得解. 【详解】向量在向量上的投影向量为: . 故答案为: 15.(1) (2) 【分析】(1)求出的坐标,再根据向量模的坐标表示计算可得; (2)首先求出与的坐标,再求出,,,最后由夹角公式计算可得. 【详解】(1)因为,, 所以, 所以; (2)因为,, 则,, 所以,, , 设向量与夹角为,所以, 所以向量与夹角的余弦值为. 16.(1) (2). 【分析】(1)设所求直线倾斜角为 ,已知直线的倾斜角为 ,利用可得所求直线斜率,从而可用点斜式得到直线方程. (2)设直线方程为,将点代入得,利用基本不等式得,从而得到面积的最小值及此时的直线方程. 【详解】(1)设所求直线倾斜角为 ,已知直线的倾斜角为 ,则,且,, 从而所求直线方程为,即. (2)设直线方程为,,, 代入,得,得, 当且仅当即时等号成立,从而, 此时直线方程为,即. 17.(1) (2) 或 (3), 【分析】(1)先求出的中点坐标,再由点斜式方程即可求得中线所在直线方程; (2)依题意,分截距为与不为两种情况,截距为时,直接用点斜式即可求得直线方程;截距不为时,设截距式方程,代入点求出参数即得所求直线方程; (3)先求出边的垂直平分线的方程,再利用对称性列方程求解即得对称点的坐标. 【详解】(1)因,,,设中点为,则得,即, 则直线的方程为,即; (2)依题意,当截距为时,直线井过原点和点,则其方程为,即; 当截距不为时,依题意,可设直线,代入点,解得, 则得,即, 综上,的方程为或; (3)的中点,斜率为,则其垂直平分线的斜率为, 故有,即. 设关于的对称点,则中点在上且, 则,解得,,故. 18.(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)由题意建立空间直角坐标系,接着求出和平面的法向量,进而得,进而得证. (2)由(1)得平面的法向量并求出平面的一个法向量,接着计算即可进一步求出二面角的正弦值. 【详解】(1)由题意可以为原点,和分别为轴、轴和轴建立 如图所示的空间直角坐标系, 因为,且,, 所以, 所以,,, 设是平面的一个法向量, 则,所以,取得, 所以,即,所以平面. (2)由(1)得,,平面的一个法向量为, 设是平面的一个法向量, 则,所以,取得, 设二面角的大小为,, 则, 所以二面角的正弦值为. 19.(1)证明见解析 (2)存在,. 【分析】(1)以点为坐标原点,以所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,只需证出共面即可得证; (2)利用空间向量求解即可. 【详解】(1)证明:因为平面平面, 所以. 因为四边形是正方形,所以,所以两两垂直, 则以点为坐标原点,以所在直线分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系: 根据题意,得. 所以. 因为, 所以共面, 又有公共点, 所以四点共面. (2)解:存在,理由如下: ,则, 设为平面的法向量, 则,即,令, 得平面的一个法向量为. 假设线段上存在点,使得平面与平面所成角的余弦值为, 令, 则, 设为平面的法向量,则, 即, 令,得平面的一个法向量为. 设平面与平面所成角为, 则. 化简整理,得,因为,所以, 所以在线段上存在一点,使得平面与平面所成角的余弦值为,此时. 答案第10页,共13页 答案第9页,共13页 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $