精品解析：广东省珠海市广东实验中学金湾学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

珠海市广东实验中学金湾学校高二年级10月月考 数学 （考试时间120分钟，总分150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 某中学高二年级有学生960人，为调查学生每天的睡眠时间，按性别采用分层随机抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为120的样本.已知样本中女生有45人，则该校高二年级男生的人数约为（ ） A. 540 B. 600 C. 660 D. 720 2. 某校举行“数学文化节”知识竞答，高二（3）班10名同学参加初赛的得分（单位：分）分别为62，70，74，78，82，84，88，90，94，96.则这组数据的第60百分位数为（ ） A. 82 B. 84 C. 86 D. 88 3. 已知袋子中装有大小、质地完全相同的4个球，其中2个红球2个白球，从中一次摸出3个球.记“摸出的球中恰有1个红球”，“摸出的球中恰有2个红球”，“摸出的球中至少有1个白球”，“摸出的球中都是白球”，则下列各组事件中，互斥但不对立的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 已知空间向量，，，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 5. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且直线不在平面内，则直线与平面的位置关系是（ ） A. B. C. D. 与相交但不垂直 6. 从某班55位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加一项活动，将这55位学生按01、02、…、55进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第5个号码所对应的学生编号为（ ） 0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 A. 51 B. 25 C. 32 D. 12 7. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 已知向量组是空间的一个基底，若，则不是空间的一个基底． B. 若，，则 C. 若，则是钝角 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 8. 已知空间向量，的方向与向量相同，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.） 9. 已知数据的平均数为，标准差为，中位数为，极差为．由这组数据得到新数据，其中，则下列命题中错误的是（ ） A. 新数据的平均数是 B. 新数据的标准差是 C. 新数据的中位数是 D. 新数据的极差是 10. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件“第一次的点数为3的倍数”，事件“第二次为偶数点”，事件“两次掷出的点数之和大于8”，事件“两次掷出的点数之和能被4整除”，则下列结论正确的有（ ） A. 与相互独立 B. C. D. 与相互独立 11. 如图，在正四棱锥中，底面为正方形，为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若底面边长为2，侧棱，则 C. 若在棱上且平面，则 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知空间向量，，，则_______. 13. 已知事件A，B相互独立，，，则_______. 14. 某中学对高二年级学生进行体质健康测试，按性别用分层随机抽样的方法抽取了男生60人、女生40人，测得样本中男生的平均身高为170cm、方差为9，女生的平均身高为165cm、方差为4，则估计该年级全体学生身高的方差为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 2026年10月，珠海市金湾区举办青少年科创节，某校数学建模社团有5名成员，男生3名，记为，，；女生2名，记为，，现从中随机选出2名成员分别担任正队长和副队长（每人被选到的可能性相同） （1）写出该随机试验的样本空间； （2）求选出的2名成员中至少有1名女生的概率； （3）求选出的2名成员性别不同的概率 16. 甲乙丙三名同学独立破译一份密码，已知甲能破译的概率为，乙能破译的概率为，丙能破译的概率为. （1）求三人都破译出密码的概率； （2）求密码被破译（至少一人破译出）的概率； （3）比赛规则：若至少两人破译出密码，则该团队获一等奖，求团队获一等奖的概率 17. 在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. （1）求的长度； （2）若，，求的值. 18. 随着自动驾驶技术的发展，无人物流逐渐普及，某科技企业对旗下的无人快递车准点率进行研究，统计了200辆无人快递车最近一年任务的准点送达次数，并依据每一百次任务的准点次数为得分，绘制频率分布直方图（分组区间为，，，）.已知样本中评分在内的频率比评分在内的频率多0.2. （1）求a，b的值； （2）现根据频率分布直方图对所有无人快递车划定等级，规定分数不低于70%分位数的车为A等车，其余为B等车，估计A等车的分数线； （3）为了进一步研究影响准点率的因素，技术人员对评分超过80分的车辆进行比例分配的分层抽样，抽取了5辆车，再从5辆车里抽取2辆车的详细数据进行比对研究，求2辆车评分均不超过90分的概率. 19. 如图，四棱锥的底面为矩形，平面，，点，分别为棱的中点. （1）证明：平面平面； （2）点为线段上的点，且满足平面. （i）确定点在上的位置； （ii）若，求直线与直线所成角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市广东实验中学金湾学校高二年级10月月考 数学 （考试时间120分钟，总分150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 某中学高二年级有学生960人，为调查学生每天的睡眠时间，按性别采用分层随机抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为120的样本.已知样本中女生有45人，则该校高二年级男生的人数约为（ ） A. 540 B. 600 C. 660 D. 720 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得女生所占比例，结合分层抽样的方法，即可求解. 【详解】由题意知，样本中女生所占比例为， 根据分层随机抽样按比例分配，高二年级女生约为（人）， 所以该校高二年级男生人数约为人. 2. 某校举行“数学文化节”知识竞答，高二（3）班10名同学参加初赛的得分（单位：分）分别为62，70，74，78，82，84，88，90，94，96.则这组数据的第60百分位数为（ ） A. 82 B. 84 C. 86 D. 88 【答案】C 【解析】 【分析】由百分位数的定义求解即可. 【详解】将10个数据从小到大排列（题中已排列）：62，70，74，78，82，84，88，90，94，96， 因为，为整数， 所以第60百分位数为第6个数与第7个数的平均数，即. 3. 已知袋子中装有大小、质地完全相同的4个球，其中2个红球2个白球，从中一次摸出3个球.记“摸出的球中恰有1个红球”，“摸出的球中恰有2个红球”，“摸出的球中至少有1个白球”，“摸出的球中都是白球”，则下列各组事件中，互斥但不对立的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【详解】袋子中只有2个红球、2个白球，一次摸出3个球，结果只能是“1红2白”或“2红1白”，所以“恰有1个红球”，“恰有2个红球”，“至少有1个白球”=（必然事件），“都是白球”=（不可能事件）. 与互斥且，二者对立；、，均不互斥；与满足但，故互斥但不对立的是与. 4. 已知空间向量，，，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】因为向量，，所以， 又因为，所以. 5. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且直线不在平面内，则直线与平面的位置关系是（ ） A. B. C. D. 与相交但不垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得向量和不共线，且向量和不垂直，结合线面位置关系的判定方法，即可求解. 【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为， 可得，所以向量和不共线， 又由，所以向量和不垂直， 因为直线不在平面内，所以直线与平面相交但不垂直. 6. 从某班55位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加一项活动，将这55位学生按01、02、…、55进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第5个号码所对应的学生编号为（ ） 0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 A. 51 B. 25 C. 32 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】利用随机数表法，按照给定条件依次选取符合要求的号码即可. 【详解】从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，去掉超过55和重复的号码，选取的号码依次为： 31，32，43，25，12，51，26， 04， 01，11， 所以选出来的第5个号码所对应的学生编号为12. 故选：D. 7. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 已知向量组是空间的一个基底，若，则不是空间的一个基底． B. 若，，则 C. 若，则是钝角 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用向量的基底的定义，向量的共线，共面向量的充要条件，利用向量的数量积求向量的夹角判定A、B、C、D的结果. 【详解】对于A，若不是空间的一个基底，则共面， 所以存在实数，使得， 所以，，这是不可能的，A错误； 对于B，若，，则，关系不确定，故B错误； 对于C，当，夹角为时，，故C错误； D.若，系数和为1，所以四点共面，故D正确. 故选：D. 8. 已知空间向量，的方向与向量相同，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由投影向量的定义求得答案. 【详解】与同方向的单位向量. 所以. 故在方向上的投影向量为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.） 9. 已知数据的平均数为，标准差为，中位数为，极差为．由这组数据得到新数据，其中，则下列命题中错误的是（ ） A. 新数据的平均数是 B. 新数据的标准差是 C. 新数据的中位数是 D. 新数据的极差是 【答案】B 【解析】 【分析】对于AB，由平均数，标准差的计算公式直接验算即可；对于CD，直接由中位数，极差的定义验证即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于CD，不妨设，所以，而，所以，故C正确； 因为，所以，故D正确. 故选：B. 10. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件“第一次的点数为3的倍数”，事件“第二次为偶数点”，事件“两次掷出的点数之和大于8”，事件“两次掷出的点数之和能被4整除”，则下列结论正确的有（ ） A. 与相互独立 B. C. D. 与相互独立 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据事件相互独立性的概念，利用古典概型概率和乘法概率公式分析即可. 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则有种情况,用表示投掷结果，其中表示第一次投掷的结果，表示第二次投掷的结果. 事件 “第一次的点数为3的倍数”，3的倍数有， 则有种情况，所以， 事件 “第二次为偶数点”，偶数有， 则有种情况，所以， 事件 “两次掷出的点数之和大于8”，点数之和可能为， 则有，共10种情况， 所以， 事件 “两次掷出的点数之和能被4整除”，点数之和可能为， 则有，共9种情况， 所以，故B正确； 由事件共种情况， 所以，故C正确； 由，所以A与B相互独立，故A正确； 由事件只有这1种情况，所以， 因为， 所以与不相互独立，故D不正确. 11. 如图，在正四棱锥中，底面为正方形，为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若底面边长为2，侧棱，则 C. 若在棱上且平面，则 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由空间向量的加法即可判断A选项；取正方形中心，由投影的定义可求得，从而由可求得，判断B选项；设，写出向量，根据线面平行时空间向量的数量关系求得，即可判断C选项；由空间向量的数量积即可判断D选项. 【详解】A选项，为的中点，，A选项正确； B选项，设底面中心为O，则，，， 所以. 故，B选项错误； C选项，设， 则， 则. 若平面，则可由，线性表示， 故的系数，得，即，C选项错误；. D选项，. 因为，，且，所以，即， D选项正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知空间向量，，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的运算法则求解即可. 【详解】因为， 所以. 13. 已知事件A，B相互独立，，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用独立事件的乘法公式可知，结合即可求解. 【详解】相互独立，所以.由，得，即，所以. 14. 某中学对高二年级学生进行体质健康测试，按性别用分层随机抽样的方法抽取了男生60人、女生40人，测得样本中男生的平均身高为170cm、方差为9，女生的平均身高为165cm、方差为4，则估计该年级全体学生身高的方差为________. 【答案】13 【解析】 【分析】根据分层抽样方差公式直接计算即可. 【详解】全体学生的平均身高. 由分层随机抽样方差公式，总体方差. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 2026年10月，珠海市金湾区举办青少年科创节，某校数学建模社团有5名成员，男生3名，记为，，；女生2名，记为，，现从中随机选出2名成员分别担任正队长和副队长（每人被选到的可能性相同） （1）写出该随机试验的样本空间； （2）求选出的2名成员中至少有1名女生的概率； （3）求选出的2名成员性别不同的概率 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 用有序数对表示选出正队长为、副队长为. 样本空间 【小问2详解】 由（1）知， 设“选出的2名成员中至少有1名女生”为事件，则 ,, 所以. 【小问3详解】 设“选出的2名成员性别不同”为事件，则, ，所以. 16. 甲乙丙三名同学独立破译一份密码，已知甲能破译的概率为，乙能破译的概率为，丙能破译的概率为. （1）求三人都破译出密码的概率； （2）求密码被破译（至少一人破译出）的概率； （3）比赛规则：若至少两人破译出密码，则该团队获一等奖，求团队获一等奖的概率 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式计算即可； （2）利用对立事件的概率公式计算即可； （3）利用互斥事件的概率加法公式和独立事件概率乘法公式计算即可. 【小问1详解】 记甲、乙、丙破译出密码分别为事件，，，则，，，且，，相互独立. 三人都破译出密码的概率为. 【小问2详解】 密码被破译（至少一人破译出）的概率为. 【小问3详解】 设团队获一等奖为事件，即至少两人破译出密码，则 . 17. 在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. （1）求的长度； （2）若，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出的坐标，设点P的坐标为，根据求出点坐标，即可利用向量的模求出的长度； （2）设Q的坐标为，根据向量垂直即可求出Q的坐标，进而利用可求出. 【小问1详解】 以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图， 则， 由题意，可设点P的坐标为，因为3＝， 所以，所以，解得， 所以点P的坐标为，所以， 所以，即的长度为. 【小问2详解】 由题意可设点Q的坐标为， 因为，所以＝0， 所以·＝0，即，解得 ， 所以点Q的坐标为， 因为，所以＝λ， 所以，故. 18. 随着自动驾驶技术的发展，无人物流逐渐普及，某科技企业对旗下的无人快递车准点率进行研究，统计了200辆无人快递车最近一年任务的准点送达次数，并依据每一百次任务的准点次数为得分，绘制频率分布直方图（分组区间为，，，）.已知样本中评分在内的频率比评分在内的频率多0.2. （1）求a，b的值； （2）现根据频率分布直方图对所有无人快递车划定等级，规定分数不低于70%分位数的车为A等车，其余为B等车，估计A等车的分数线； （3）为了进一步研究影响准点率的因素，技术人员对评分超过80分的车辆进行比例分配的分层抽样，抽取了5辆车，再从5辆车里抽取2辆车的详细数据进行比对研究，求2辆车评分均不超过90分的概率. 【答案】（1），. （2）85分 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图所有矩形面积之和为 1，结合两组车辆数量差建立方程组，联立求出； （2）A等车是前 30%，对应求第 70 百分位数，先分段累加频率定位区间，再用百分位数公式算出分数线； （3）先分层抽样确定两组抽取数量，列举全部基本事件，统计符合条件事件数，用古典概型计算概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图各小矩形面积之和为1，得，即①； 由题意可得，，即②.联立①②，解得，. 【小问2详解】 由题意可知，估计A等车分数线，即求第70百分位数. 各组频率分别为0.15，0.35，0.40，0.10；前2组累计频率为0.50，前3组累计频率为0.90，所以第70百分位数位于内. 设分数线为，则，解得. 故估计A等车的分数线为85分. 【小问3详解】 评分超过80分的车辆共有100辆，其中组80辆，组20辆. 按比例抽取5辆，组抽4辆，组抽1辆. 将组4辆车分别记为，组1辆车记为. 从这5辆车中随机抽取2辆，所有等可能结果共有10个：，，，，，，，，，. 其中“两车评分均不超过90分”的结果有6个：，，，，，. 所以所求概率. 19. 如图，四棱锥的底面为矩形，平面，，点，分别为棱的中点. （1）证明：平面平面； （2）点为线段上的点，且满足平面. （i）确定点在上的位置； （ii）若，求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】（1） 证明：连接，如图所示. 因为四棱锥的底面为矩形，，点为棱的中点， 所以，且，所以，同理， 所以，即. 因为平面平面，所以. 又因为，且平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面， 即平面平面. （方法二）证明：因为四棱锥的底面为矩形，且平面， 故以点为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，设， 因为，所以， 所以. 设平面的法向量为， 则所以 令，得； 设平面的法向量为， 则所以 令，得； 所以，所以， 所以平面平面； （2）（i）点为的一个三等分点，靠近点的位置（ii） 【解析】 【分析】（1）平面即为平面，因此可先证平面，利用面面垂直的判定定理可得平面平面，或直接建立空间直角坐标系，证明两个平面的法向量相互垂直，得到两个平面垂直. （2）先利用线面平行的性质定理确定点的位置；再以为基底表示，利用向量法求得与所成角的余弦值，即直线与直线所成角的余弦值.或根据题意可建立空间直角坐标系，利用点为线段上的点，设，用表示出点H的坐标，求出平面的法向量，根据平面求得的值，进而确定点在上的位置； （ii）然后用坐标表示得与，并求得与所成角的余弦值，即直线与直线所成角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）如图，连接交于点. 因为平面平面，平面平面，所以. 因为点为棱的中点，所以点为的中点. 设为的中点，连接交于点. 又因为点为的中点，四边形为矩形， 所以，且， 所以，所以，故，所以， 即点为的一个三等分点，靠近点的位置. （ii）因为四棱锥的底面为矩形，且平面，所以两两垂直. 因此以为基底，表示， 则有， 因为，所以， 所以， 所以 所以直线与直线所成角的余弦值为 （方法二）（i）接（1）方法二，得， 因为点为线段上的点，设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则所以令， 得； 因为平面，所以， 所以，解得， 所以，即点为的一个三等分点，靠近点的位置. （ii）因为，所以， 由（i）知，，故， 所以， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. （方法三）（i）由平面可知，唯一确定. 如图，取中点，连接的延长线交于点， 则即为所求. 理由如下： 因为分别为中点，所以， 因为平面平面，所以平面. 设，由得， 因为三点共线，所以，解得， 所以，点为的一个三等分点，靠近点位置. （ii）在Rt中，， 连接，取中点，连接， 因为点为中点，所以. 所以为直线与直线所成角或其补角. 取中点，连接，则，， 因为平面，所以平面. 在Rt中，， 所以. 在Rt中，. 取中点，连接，则， 所以. 在中，由余弦定理得 所以直线与直线所成角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $