专题01 动量及其守恒定律 专项训练-2027届高考物理一轮复习

专题01 动量及其守恒定律 4大高频考点概览 考点01 动量定理及其应用 考点02 动量守恒定律的应用及实用条件 考点03 动量守恒定律在多物体系统、多过程问题中的应用 考点04 实验：验证动量守恒定律 考点01 动量定理及其应用 一、单选题 1．下列关于物体的动能、动量、速度的说法正确的是（     ） A．物体的合外力冲量为零，动量可能变化 B．物体的合外力做功为零，速度一定不变 C．物体做变速运动，动量一定变化 D．物体做变速运动，动能一定变化 【答案】C 【详解】A．根据动量定理，合外力冲量等于动量变化量，合外力冲量为零时，动量变化量一定为零，动量不可能变化，故A错误； B．根据动能定理，合外力做功为零，动能不变，但速度方向可能变化，如匀速圆周运动，故B错误； C．动量是矢量，物体做变速运动，速度一定变化，物体质量不变，动量一定变化，故C正确； D．动能是标量，变速运动可能只有速度方向改变、大小不变，比如匀速圆周运动，这种情况动能不变，故D错误。 故选C。 2．如图所示，两个相同的物体A、B在同一高度沿倾角不同（）的两个固定光滑斜面由静止开始自由下滑，不计空气阻力，在它们到达斜面底端的过程中（     ） A．合力的冲量相同 B．物体A重力的冲量较大 C．它们到达底端时的动量相同 D．它们到达底端时的动能不同 【答案】B 【详解】设斜面高度为，倾角为，物体质量为。物体在斜面上做匀加速直线运动，加速度，位移。由得 解得运动时间 因为，所以，则。 A．根据动量定理，合力的冲量 虽然到达底端时速率相同，动量大小相同，但速度方向沿斜面向下，方向不同，故动量不同，合力的冲量不同，故A错误； B．重力的冲量，由于，所以物体A重力的冲量较大，故B正确； C．物体到达底端时的动量，大小相等，但方向分别沿各自斜面向下，方向不同，故动量不同，故C错误； D．根据机械能守恒定律，到达底端时的动能，由于、相同，所以动能相同，故D错误。 故选B。 3．质量为的物体放在水平面上，从时刻开始在物体上施加一水平向右的外力F，外力F随时间的变化规律如图所示，已知时物体的速度达到最大值，已知重力加速度，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（     ） A．物体与水平面间的动摩擦因数为0.5 B．0~3s的时间内物体重力的冲量为0 C．3s时物体的速度大小为3.75m/s D．时物体的速度为0 【答案】C 【详解】A．时物体的速度达到最大值，可知此时拉力F与摩擦力f相等，由图像可知t=2s时F2=5N，则，解得物体与水平面间的动摩擦因数为μ=0.25，A错误； B．根据可知，0~3s的时间内物体重力的冲量不为0，B错误； C．3s时根据动量定理其中 解得物体的速度大小为v3=3.75m/s，C正确； D．t=3s后物体减速运动，则由 可得，可知时物体的速度为0，D错误。 故选C。 4．一质量为的物块在合力的作用下从静止开始沿直线运动，合力随时间变化的关系图像如图所示，则（     ） A．0~2 s时间内合力对物块的冲量为 B．2~3 s时间内合力对物块的冲量为 C．0~3 s时间内合力对物块的冲量为 D．末物块的速度为 【答案】D 【详解】图像与时间轴所围的面积表示合力的冲量，时间轴上方的面积为正、下方为负。 A．0~2 s 内，图线与时间轴围成的面积为，故A错误； B．2~3 s 内保持不变，该段时间内合力的冲量，方向与正方向相反，故B错误； C．0~3 s 内合力的冲量，故C错误； D．由动量定理得，则3 s末物块的速度，故D正确。 故选D。 5．某玩具降落伞下降过程中所受空气阻力与下降速率的关系为（为定值）。某次降落过程中，降落伞与搭载物体的总质量为，由静止释放，竖直下降后做匀速直线运动，重力加速度大小为。关于降落伞下降的过程，下列说法正确的是（     ） A．降落伞机械能守恒 B．降落伞的最大速率为 C．降落伞运动时间为 D．空气阻力对降落伞做功为 【答案】C 【详解】A．降落伞与搭载物体下降时，空气阻力做负功，系统机械能减少，故A错误； BC．设匀速运动的速度大小为。对降落伞与搭载物体整体，匀速时重力和空气阻力平衡，有 解得 设下降用时，平均速度大小为，则 因阻力大小与速度成正比，该段平均阻力大小为，阻力冲量大小为 取竖直向下为正，由动量定理得 代入末速度得，故B错误，C正确； D．设空气阻力做功为，从静止释放到下降，由动能定理得 代入末速度得，故D错误。 故选C。 6．在篮球运动中，运动员跳起投篮后竖直落地。设地面对运动员的平均冲击力大小为，冲击力作用的时间为。运动员在触地时往往会主动屈膝下蹲，关于这一动作对和产生的影响，下列选项正确的是（     ） A．增加，减小 B．增加，增加 C．减小，减小 D．减小，增加 【答案】A 【详解】运动员竖直落地过程，接触地面瞬间的速度大小为，末速度为0，整个过程动量变化量大小为为定值。取向上为正方向，根据动量定理 整理得平均冲击力 运动员屈膝下蹲时，会延长速度从减为0的作用时间。由上式可知，增大时，减小，因此平均冲击力减小。 故选A。 7．如题图所示，2025年10月国庆节阅兵式上，直升机编队里共有9架由景德镇直升机厂研制的直升机。已知直升机质量为M，空气密度为，重力加速度大小为g。若直升机在空中悬停时，桨叶旋转形成的圆面面积为S，直升机的桨叶旋转推动空气，使空气获得速度，不计空气浮力及风力影响，下列说法正确的是（     ） A．空气获得速度的大小为 B．空气获得速度的大小为 C．桨叶的输出功率为 D．桨叶的输出功率为 【答案】C 【详解】AB．设空气获得速度的大小为，时间内桨叶旋转推动空气的质量为 根据动量定理可得 对直升机根据平衡条件可得 根据牛顿第三定律有 联立可得空气获得速度的大小为，故AB错误； CD．桨叶的输出功率为，故C正确，D错误。 故选C。 8．“反向蹦极”（如图甲所示）区别于传统蹦极，让人们在欢笑与惊叹中体验到了别样的刺激。情境简化为图乙所示，弹性轻绳的上端固定在O点，下端固定在体验者身上，工作人员将体验者竖直下拉并与固定在地面上的力传感器相连，体验者静止时传感器示数为F。打开扣环，体验者从a点像火箭一样被“竖直发射”，经速度最大位置b上升到最高点c。已知a、b两位置间的距离为l，体验者（含装备）可视为质点，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．打开扣环瞬间，体验者处于失重状态 B．弹性绳的劲度系数为 C．体验者（含装备）从a点运动到c点过程中机械能守恒 D．体验者（含装备）从a点运动到c点过程，其受到弹性绳弹力的冲量大于其重力的冲量 【答案】B 【详解】AB．打开扣环瞬间，传感器对体验者的拉力消失，体验者所受合力为竖直向上的，具有向上的加速度，体验者处于超重状态；体验者在位置b时速度最大，此时体验者所受合力为零，可知，从过程中，弹性绳的弹力减小了，形变量减小了，则弹性绳的劲度系数为，故A错误，B正确； C．体验者（含装备）从a点运动到c点过程中，弹性绳对体验者（含装备）做功，则体验者（含装备）从a点运动到c点过程中机械能不守恒，故C错误； D．由动量定理可知，体验者（含装备）从a点运动到c点过程，其受到弹性绳弹力的冲量大小等于其重力的冲量大小，故D错误。 故选B。 二、多选题 9．游乐园“飞天秋千”简化模型如题图所示，座椅质量为m，在水平面内做匀速圆周运动，周期为T，绳子与竖直方向的夹角为，重力加速度大小为g，则在半个周期内下列说法正确的是（　　） A．座椅动量变化量为零 B．座椅动量变化量大小为 C．在半个周期内座椅重力的冲量大小为零 D．在半个周期内座椅重力的冲量大小为 【答案】BD 【详解】AB．座椅在水平面内做匀速圆周运动，对座椅进行受力分析，根据牛顿第二定律有 解得座椅做匀速圆周运动的半径为 则座椅做匀速圆周运动的线速度大小为 由于半个周期后座椅的速度大小不变，方向相反，设初速度为，末速度为，则半个周期内座椅动量的变化量为 所以半个周期内座椅动量变化量的大小为，故A错误，B正确； CD．在半个周期内座椅重力的冲量大小为，故C错误，D正确。 故选BD。 10．如图所示，两个质量相同的物体A和B，分别从高度相同的光滑固定斜面和光滑固定圆弧形斜坡顶点由静止开始滑到底端，且斜面长度和弧形斜坡长度相等，弧形轨道末端切线水平。以下说法正确的是（     ） A．B比A先到达底端 B．它们到达底端时的动量相同 C．它们到达底端的过程中重力的冲量相同 D．它们到达底端时重力的瞬时功率不相等 【答案】AD 【详解】A．物体A沿斜面下滑时，加速度(为斜面倾角），恒定不变；物体B沿圆弧下滑时，切向加速度随位置变化，初始时切向加速度大于，后续逐渐减小。斜面长度和弧形斜坡长度相等，B的平均速率大于A的平均速率，因此B的下滑时间更短，B比A先到达底端，故A正确； B．轨道均光滑，两物体下落高度相同，由机械能守恒，可知两物体到达底端时速度大小相等；但A的速度方向沿斜面向下，B的速度方向水平，动量是矢量，方向不同则动量不同，故B错误； C．重力的冲量为，两物体质量相同，但运动时间t不同，因此重力的冲量不相等，故C错误； D．重力的瞬时功率为（是速度的竖直分量），A到达底端时速度沿斜面，存在竖直向下的分量；B的轨道末端切线水平，到达底端时速度方向水平，竖直分量为0，因此两者重力的瞬时功率不相等，故D正确。 故选AD。 11．如图所示，质量为的小球从距地面高的点由静止释放，落到地面上后又陷入泥潭中，由于受到阻力作用，到达距地面深的点时速度减为零。不计空气阻力，重力加速度大小为。关于小球下落的整个过程，下列说法正确的是（     ） A．小球动量变化量等于重力的冲量 B．小球克服阻力做的功为 C．小球所受阻力的冲量大于 D．小球所受阻力的冲量等于 【答案】BC 【详解】小球在、两点的速度均为零，即全过程的初、末动量均为零，可分别用动量定理与动能定理分析。 A．全过程小球的动量变化量为零，由动量定理可知，动量变化量等于重力与阻力的合冲量，不等于重力的冲量，故A错误； B．全过程重力做的总功为，而小球初、末动能均为零，由动能定理可知，小球克服阻力做的功为，故B正确； CD．小球自由下落的时间，在泥潭中减速为零经历的时间 全过程重力冲量的大小为 全过程动量变化量为零，阻力的冲量与重力的冲量大小相等，故小球所受阻力的冲量大于，故C正确、D错误。 故选BC。 12．“水上飞人运动”是一项新兴运动形式。操控者借助“喷射式悬浮飞行器”向下喷射高压水柱的方式实现在水面上方或悬停或急速升降等动作。假设某玩家（含设备）质量为，底部两个喷口的总面积为，忽略管道中的水流速度以及空气阻力和管道（含装置）对人的作用，已知重力加速度为，则下列说法正确的是（     ） A．当装置向下喷水时，人可能沿着喷水的相同方向做直线运动 B．若要悬停在空中，向下喷水的水速应为 C．当人匀速上升时，人所受的合外力做的总功为0 D．若要实现向上以加速度加速运动，向下喷水的水速应为 【答案】ABC 【详解】设向下喷水的水速为，在时间内喷出水的质量，这些水由静止被加速到速度 由动量定理得水受到向上的作用力 由牛顿第三定律可知，水对人和装置向上的推力大小也为。 A．当小于人所受的重力时，人所受合力方向向下，人沿与喷水相同的方向做直线运动，故A正确； B．悬停时推力与重力大小相等，由 解得，故B正确； C．人匀速上升时加速度为零，所受合外力为零，故合外力做的总功为0，故C正确； D．向上以加速度加速运动时，由牛顿第二定律得 解得，故D错误。 故选ABC。 13．在同一足够长的竖直墙壁上，一质量为的物块从某时刻无初速释放，在释放的同时，分别以图中两种方式对物块施加水平外力使物块贴着墙壁运动。方式一中表示时间，方式二中表示速度大小，、为已知的大于零的比例系数，物块与墙壁间的动摩擦因数为，重力加速度为。则（     ） A．方式一中，物块的最大速度为，全过程的运动时间为 B．方式一中，物块的最大速度为，全过程的运动时间为 C．方式二中，若已知物块从释放到速度最大过程的位移为，则该过程的时间为 D．方式二中，若已知物块从释放到速度最大过程的位移为，则该过程的时间为 【答案】BC 【详解】AB．取竖直向下为正方向。方式一中，物块下滑时，墙壁对物块的支持力为，滑动摩擦力竖直向上。 由牛顿第二定律得 物块先加速后减速，当加速度为零时，速度最大，设此时为，则 解得 摩擦力随时间均匀增大，其冲量大小等于摩擦力与时间关系图线下的面积，由动量定理得 解得 设物块下滑至停止的时间为，由动量定理得 解得 此后水平压力继续增大，物块保持静止，A错误，B正确； CD．方式二中，物块下滑时的摩擦力大小为 由牛顿第二定律得 随着速度增大，加速度减小，速度趋于极限值，由 解得 将运动过程分成许多极短时间，在每段时间内，摩擦力的冲量大小为 对整个过程累加，得摩擦力的总冲量大小为 设经过时间时物块的速度为，由动量定理得 整理得 代入极限速度，得，C正确，D错误。 故选BC。 三、解答题 14．小孙老师用玩具手枪以初速度竖直向上发射了一颗橡胶弹丸，若弹丸在运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比，弹丸运动的速率随时间变化的规律如图所示，时刻到达最高点，再次回落到发射点时，速率为，且落地前球已经做匀速运动。已知重力加速度为。 (1)假设弹丸的质量为，求出常数； (2)求弹丸在空中运动的最大加速度和上升的最大高度H (3)求弹丸从最高点回落到射出点的时间 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）由于速率随时间变化的图像斜率的绝对值表示加速度大小，根据图像可知，弹丸回到发射点时，弹丸的加速度为，则合力为，则有 解得 （2）根据图像可知，弹丸刚刚射出时加速度最大，则有 解得 阻力为 则阻力的冲量为 其中表示路程，上升和下降的位移相等，球上升阶段阻力的冲量大小等于下落阶段阻力的冲量大小。根据动量定理可知 由图知 则 解得 （3）由于弹丸上升过程与下落过程经过的位移大小相等，可知图像中，在时间内图线与时间轴所围几何图形的面积与在时间内图线与时间轴所围几何图形的面积相等，根据动量定理有， 由于空气阻力与速率成正比，若将速率随时间变化图像的纵坐标乘常数，则得到空气阻力随时间变化的图像，该图像与时间轴所围几何图形的面积表示空气阻力的冲量大小，根据上述，在时间内图线与时间轴所围几何图形的面积与在时间内图线与时间轴所围几何图形的面积相等，而弹丸向上运动与向下运动过程中空气阻力的冲量方向相反，则有 解得 【点睛】 15．“蹦极”是一项勇敢者的运动，如图所示，某人用弹性橡皮绳拴住身体从高空P处自由下落，在空中感受完全失重的滋味。此人质量为50 kg，橡皮绳原长45 m，人可看成质点，不计空气阻力作用。此人从P点自静止下落到最低点所用时间。（取）求： (1)人从P点下落到最低点的过程中，重力作用的冲量； (2)人下落到橡皮绳刚伸直（原长）时，人的动量大小； (3)从橡皮绳开始伸直到人下落到最低点的过程中，人对橡皮绳的平均作用力。 【答案】(1)，方向竖直向下 (2) (3)，方向竖直向下 【详解】（1）重力恒定，由恒力的冲量公式，得全程重力的冲量 重力方向始终竖直向下，故其冲量方向也竖直向下。 （2）绳开始伸直前，人从静止自由下落。取竖直向下为正方向，由匀变速直线运动公式及，得 因此绳刚伸直时人的动量大小为 （3）绳伸直前的自由落体时间记为。由及第（2）问求得的，可得 绳拉伸至最低点所用时间为 沿用竖直向下为正方向。绳拉伸阶段，人的初动量为第（2）问求得的，到最低点时动量为零。设绳对人的平均作用力大小为，方向竖直向上，由动量定理得 解得 由牛顿第三定律，人对橡皮绳的平均作用力大小为，方向竖直向下。 四、综合题 雨滴的运动 雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。设雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g。 16．若雨滴所受空气阻力和速度成正比，即，其下降h高度的过程中的图像如图所示，则t1时间内空气阻力的冲量大小为（　　） A． B． C． D． 17．将雨滴看作半径为r的球体，设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力，其中v是雨滴的速度，k是比例系数。 （1）设雨滴的密度为，推导雨滴下落趋近的最大速度vm与半径r的关系式；______ （2）（示意图中画出了半径为r1、r2（r1> r2）的雨滴在空气中无初速下落的图线，其中______对应半径为r1的雨滴（选填：A、①     B、②）； 【答案】17．C 18． 根据牛顿第二定律得 整理得 当加速度为零时，雨滴趋近于最大速度 雨滴质量 由，可得 雨滴最大速度 A 【详解】16．B．取向下为正方向，过程的雨滴根据动量定理得 当时雨滴速度趋近于，加速度趋近于0，根据受力平衡可得 代入上式得，故B错误； A．空气阻力 而图像的面积就是下落高度 根据图像可知 可得，故A错误； CD．根据冲量定义式可得阻力的冲量为 因此，故C正确，D错误。 故选C。 17．[1]雨滴下落，根据牛顿第二定律得 整理得 当雨滴趋近最大速度时，加速度为0，重力与阻力平衡，可得雨滴质量 可得 约去，整理得 [2]由上述推导式可知 半径越大，最大速度越大。题目中，因此对应的雨滴最大速度更大，对应图中最终速度更高的图线①。 故选A。 考点02 动量守恒定律的应用及实用条件 一、单选题 18．如图所示，小物块A通过一不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，初始时静止。从发射器（图中未画出）射出的小物块B沿水平方向与A相撞，碰撞前B的速度大小为，碰撞后二者粘在一起，并摆起一个较小角度。已知A和B的质量分别为和，重力加速度大小为，碰撞时间极短且忽略空气阻力。下列选项正确的是（     ） A．B与A碰撞过程满足动量守恒、机械能守恒 B．B与A碰撞前后轻绳的拉力大小不变 C．碰撞后AB一起上升的过程中满足动量守恒、机械能守恒 D．碰撞后AB一起上升的最大高度为 【答案】D 【详解】A．由于碰撞时间极短，故碰撞过程中内力远远大于外力，所以B与A碰撞过程满足动量守恒。碰撞后二者粘在一起，发生完全非弹性碰撞，机械能有损失，故A错误； B．设碰撞后瞬间AB的共同速度为。取水平向右为正方向，由动量守恒定律得 解得 碰撞前，对A有 碰撞后，对AB整体，有 解得轻绳的拉力大小 则B与A碰撞前后轻绳的拉力大小发生了改变，故B错误； C．碰撞后AB一起上升的过程中，系统受重力和绳的拉力，合外力不为零，动量不守恒；过程中只有重力做功，机械能守恒，故C错误； D．碰撞后AB一起上升的过程，根据机械能守恒得 解得碰撞后AB一起上升的最大高度为，故D正确。 故选D。 19．如图所示，一重锤从某高处由静止落下，与钢筋混凝土预制桩发生完全非弹性碰撞后一起向下运动直至速度减为零，不计空气阻力。则上述过程中，重锤和预制桩（　　） A．总动量守恒 B．总动量不守恒 C．总机械能守恒 D．总机械能增加 【答案】B 【详解】AB．取重锤和预制桩为系统，整个过程中系统受到重力以及预制桩与地面间作用力等外力，外力冲量不为零，所以系统总动量不守恒，故A错误，B正确； CD．重锤与预制桩发生完全非弹性碰撞，碰撞过程中机械能转化为内能；碰撞后继续下落并在地面作用下减速，机械能还会继续转化为内能，所以总机械能不守恒且不增加，故CD错误。 故选B。 20．A、B两球在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动，，，当A追上B并发生碰撞后，A、B两球速度的可能值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】首先计算碰撞前系统的总动量和总动能： 总动量： 总动能： 碰撞需满足三个判定条件：①同向运动时碰撞后A的速度不大于B的速度，避免二次碰撞；②系统总动量守恒；③碰撞后总动能不大于碰撞前总动能。 A．，会发生二次碰撞，A错误； B．，会发生二次碰撞，且总动量，动量不守恒，B错误； C．，满足速度关系；总动量，动量守恒；总动能，满足动能不增加的要求，C正确； D．，总动量，动量守恒，但总动能，动能增加，不符合碰撞的能量规律，D错误。 故选C。 21．如图所示，曲面体P静止于光滑水平面上，物块Q自P的上端静止释放。Q与P的接触面光滑，Q在P上运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．P对Q做功为零 B．P和Q之间相互作用力做功之和不为零 C．P和Q构成的系统机械能不守恒、动量守恒 D．P和Q构成的系统机械能守恒、动量不守恒 【答案】D 【详解】A．Q在P上运动过程，P对Q有弹力且在力的方向上Q有位移，则P对Q做功不为零，A错误； BCD． Q在P上运动过程，P和Q构成的系统只有重力做功，系统机械能守恒，P、Q之间的弹力做功和必为零；系统在水平方向所受合外力为零，系统在水平方向动量守恒，但系统在竖直方向所受合外力不为零，系统在竖直方向动量不守恒，系统动量不守恒，BC错误，D正确。 故选D。 22．如图所示，装有沙子的小车静止在光滑的水平面上，总质量为1.5 kg，将一个质量为0.5 kg的小球从距沙面0.45 m高度处以大小为4 m/s的初速度水平抛出，小球落入车内并陷入沙中，最终与车一起向右匀速运动。不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s2，则下列说法正确的是（     ） A．小球陷入沙子过程中，小球和沙、车组成的系统动量守恒 B．小球陷入沙子过程中，小球和沙、车组成的系统机械能守恒 C．小车最终的速度大小为1 m/s D．小车最终的速度大小为2 m/s 【答案】C 【详解】A．由题易知陷入沙子前，小球有竖直方向的分速度，最终，整个系统没有竖直方向的分速度，所以小球陷入沙子过程中，小球和沙、车组成的系统在竖直方向的动量不守恒，故系统动量不守恒，故A错误； B．小球陷入沙子的过程中，有摩擦力做功产生内能，系统机械能减少，故B错误； CD．设沙子与小车的总质量为M，小球的质量为m，初速度大小为v0，小球与沙、车组成的系统在水平方向上动量守恒，以向右为正方向，有mv0＝(m＋M)v 解得小车最终的速度大小为v＝1 m/s，故C正确，D错误。 故选C。 23．如图所示，两木块A、B用轻质弹簧连在一起，置于光滑水平面上。一颗子弹水平射入木块A，并留在其中，在子弹射入木块A及弹簧被压缩的整个过程中，下列说法中正确的是（　　） A．在子弹射入木块A的过程中，子弹和木块A组成的系统动量守恒、机械能守恒 B．在子弹射入木块A的过程中，子弹和木块A组成的系统动量守恒，机械能不守恒 C．在弹簧被压缩的过程中，系统动量守恒、机械能不守恒 D．在弹簧被压缩的过程中，系统动量、机械能都不守恒 【答案】B 【详解】AB．在子弹射入木块A的过程中，在子弹、木块A系统中，内力远大于外力，则动量近似守恒，因该过程有内能产生，则机械能不守恒，故A错误，B正确； CD．在弹簧被压缩的过程中，对于子弹、木块A和B、弹簧组成的系统，系统所受合外力为零，所以系统动量、机械能守恒，故CD错误。 故选B。 24．如图所示，质量均为m的两个小球A、B用长为L的轻质细绳连接，B球穿在光滑水平细杆上，初始时刻，细绳处于水平状态，将A、B由静止释放，空气阻力不计。从释放到A球第一次运动到最低点的过程中，下列说法正确的是（     ） A．A、B组成的系统动量守恒 B．B球向右运动的距离为 C．A球重力的瞬时功率一直变大 D．细绳对A球不做功 【答案】B 【详解】A．A、B组成的系统在水平方向上不受外力，水平方向动量守恒，但在竖直方向上，A球有向下的加速度，系统处于失重状态，竖直方向合外力不为零，故系统总动量不守恒，故A错误； B．系统在水平方向上动量守恒，且初始总动量为零，设A、B水平位移大小分别为、，由水平方向动量守恒可得 两边乘上时间并累加可得 且 解得 即B球向右运动的距离为，故B正确； C．根据重力功率计算式可知，初始时刻A球速度为零，重力的瞬时功率为零，当A球运动到最低点时，A球的速度方向水平，竖直分速度为零，重力的瞬时功率也为零，而在中间过程中A球有竖直向下的分速度，重力的瞬时功率大于零，所以A球重力的瞬时功率先变大后变小，故C错误； D．在运动过程中，B球的动能增加，细绳对B球做正功，由于细绳为轻质细绳，细绳对A、B做功的代数和为零，所以细绳对A球做负功，故D错误。 故选B。 25．如图所示，一光滑地面上有一质量为m′的木板ab，一质量为m的人站在木板的a端，关于人由静止开始运动到木板的b端（M、N表示地面上原a、b对应的点），下列图示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】木板质量为，人质量为，根据动量守恒定律推导得，结合，可知木板整体向左移动，右端最终位于点左侧，人最终位于木板右端，符合该规律的只有D选项。 故选D。 26．滑块A的质量为，以的初速度沿水平面追赶正前方初速度为的滑块B并与之发生正碰后粘在一起运动，碰撞前后两个滑块的速度—时间图像如图所示。重力加速度大小，不计碰撞时间，两个滑块均看成质点。下列说法正确的是（     ） A．两个滑块与水平面的动摩擦因数都等于0.25 B．零时刻滑块A在滑块B的正后方处，末发生碰撞 C．碰撞过程中系统动量守恒，滑块B的质量是 D．碰撞过程滑块B受到的冲量大小为，方向与它的运动方向相同 【答案】D 【详解】A．由图像知三段图像的斜率大小相等均为 对滑块A，根据牛顿第二定律得 代入数据得，故A错误； B．因为图像在2s末发生突变，则碰撞发生在2s末；由图像围成的面积表示位移，可以求出0~2s内滑块A比B多走4m，也就是零时刻滑块A在滑块B的正后方处，故B错误； C．因为碰撞时间极短，所以碰撞过程中总动量守恒 其中，，，代入得，故C错误； D．根据动量定理可知 方向与它的运动方向相同，故D正确。 故选D。 二、多选题 27．如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为和的两物块相连接，并且静止在光滑的水平面上。现使瞬间获得水平向右的速度3m/s，以此刻为计时零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图像信息可得（     ） A．在、时刻弹簧处于原长状态 B．在、时刻弹簧的长度大于原长 C．两物块的质量之比为 D．两物块的质量之比为 【答案】AD 【详解】AB．由图乙可知时刻和时刻两物块加速度均为零，则弹簧处于原长状态，故A正确，B错误； CD．水平面光滑，系统动量守恒，从开始到时刻有 由图乙知， 解得，故C错误，D正确。 故选AD。 考点03 动量守恒定律在多物体系统、多过程问题中的应用 一、多选题 28．如图所示，质量分别为2m、m、3m的物块1、2、3在一光滑水平面上排成一直线，且彼此隔开了一定的距离。现具有一定初速度的物块1向右运动，物块2、3处于静止状态，此后相邻物块依次发生弹性正碰，最终 A．物块间共发生3次碰撞 B．物块间共发生4次碰撞 C．物块1、2、3的动能之比为1∶2∶8 D．物块1、2、3的动能之比为1∶2∶6 【答案】AD 【详解】AB．取向右为正方向，设物块1的初速度大小为v0。物块1、2碰撞过程，根据动量守恒定律和机械能守恒定律，有 2mv0=2mv1+mv2，×2m×2mm 可得碰撞后物块1、2的速度分别为v1=v0、v2=v0； 然后物块2、3发生碰撞，根据动量守恒定律和机械能守恒定律，有 mv2=mv2'+3mv3,mmv2'2+×3m 可得碰撞后物块2、3的速度分别为v2'=-v0、v3=v0 之后物块1、2再次发生碰撞，根据动量守恒定律和机械能守恒定律，有 2mv1+mv2'=2mv1'+mv2″,×2mmv2'2=×2mv1'2+mv2″2 可得碰撞后物块1、2的速度分别为v1'=-v0，v2″=v0 故此后物块2、3向右运动的速度相同，不再发生碰撞，故A正确,B错误； CD．最终物块1、2、3的动能之比Ek1:Ek2∶Ek3=×2mv1'2∶mv2″2∶×3m=1∶2∶6，故C错误,D项正确。 故选AD。 29．如图甲所示，水平固定放置的两根足够长的光滑杆和，各穿有质量分别为和的小球a、b，两杆之间的距离为d，两球用自由长度也为d的轻质弹簧相连，现从左侧用挡板将a球挡住，再用力把b球向左边拉一段距离（此时弹簧在弹性限度内）后自静止释放，将弹簧第一次恢复原长时刻作为计时起点，两物体的速度随时间变化的规律如图乙所示。下列判断中正确的是（     ） A．在弹簧第一次恢复原长的过程中，两球和弹簧组成的系统水平动量守恒、机械能守恒 B．时刻弹簧第二次恢复到原长，a球的速度达到最大 C．两球的质量之比 D．从到的过程中弹簧的弹性势能增加 【答案】BC 【详解】A．在弹簧第一次恢复原长的过程中，挡板对球，有水平作用力，球、球和弹簧组成的系统所受水平外力不为零，系统水平动量不守恒。两杆光滑，挡板固定且球在此过程中没有位移，挡板的作用力不做功，系统机械能守恒，故A错误； B．在时刻，球的速度达到最大值，由速度—时间图像的斜率表示加速度可知，此时球的加速度为零。球在水平方向只受弹簧弹力，由牛顿第二定律得 因此弹簧弹力为零，弹簧第二次恢复原长，故B正确； C．在过程中，系统水平方向不受外力，取向右为正方向。由图可知，时球、球的速度分别为，​。时两球速度均为。由动量守恒定律得 代入图中数据得 解得，即，故C正确； D．在时刻两球速度相等，二者的相对速度为零，弹簧的长度达到极大值，弹性势能达到极大值。从到，两球的水平距离逐渐减小，弹簧逐渐恢复原长，弹性势能减小，故D错误。 故选BC。 30．如图所示，光滑的水平面上沿同一直线放置n个大小相等的小球，且相邻两球之间有一定的间距，小球1的质量为m，小球2的质量为2m，小球3的质量为4m，小球n的质量为，现给小球1向右的初速度，此后发生的碰撞均为弹性碰撞，则下列说法正确的是（     ） A．小球1、2碰后，小球2的速度大小为 B．最终小球1的速度大小为 C．最终小球的速度大小为 D．最终小球n的速度大小为 【答案】AC 【详解】A．两球质量为、，碰撞前速度为、静止时，弹性碰撞后两球速度为 小球1质量，小球2质量，代入初速度： 碰后小球2速度 故A正确； B．1、2第一次碰撞后，小球1的速度为（向左运动） 之后小球1不再和其他球发生碰撞（水平面光滑，向左无其他小球），最终小球1速度大小为，并非，故B错误； CD．推导相邻碰撞的递推规律球2碰球3：球2质量，球3质量，碰后球3速度 碰后球2速度 以此类推，第个球去碰第个球时，第个球碰后速度满足 由此可得第球个与第个球碰撞前的速度为 而可得第球个与第个球碰撞后的速度大小为 故C正确，D错误； 故选AC。 二、解答题 31．足够长的光滑杆水平固定，质量为m的滑块A套在杆上，滑块下方用不可伸长的轻绳连接一质量为m的小球B，初始时系统处于静止状态。质量为m的滑块C以v0的初速度与滑块A发生碰撞，碰撞时间极短，碰后粘在一起，不计空气阻力，重力加速度为g。 (1)求滑块C与A碰撞过程中，C对A的冲量； (2)求小球B能上升的最大高度h；以及B从最低点摆到最高点过程中绳子拉力对B做的功； (3)求AC粘在一起后的运动过程中的最小速度。 【答案】(1)大小为，方向水平向右。 (2)；。 (3) 【详解】【小题1】取的方向（水平向右）为正方向。C与A碰撞时间极短，碰撞过程中绳仍竖直，绳对A的拉力与杆对A的弹力均沿竖直方向，A在水平方向不受外力，故C、A组成的系统水平方向动量守恒。 设碰后A与C的共同速度为，由动量守恒定律得 解得 对A，水平方向只受到C的冲量，由动量定理得C对A的冲量，方向水平向右。 【小题2】碰后A（连同C）与B组成的系统水平方向动量守恒、机械能守恒。B上升到最高点时，绳与竖直方向的夹角不再增大，B相对A做圆周运动的速度为零，A、B速度相同，设此速度为 由水平方向动量守恒得 解得 由机械能守恒定律得 把、代入解得 B从最低点上升到最高点的过程中，对B由动能定理得 解得绳子拉力对B做的功。 【小题3】绳中拉力的水平分力决定A的加速或减速：绳向A后方偏时，该分力与A的运动方向相反，A减速；绳向A前方偏时，该分力与A的运动方向相同，A加速。故当绳再次回到竖直位置（B由A后方摆过最低点、向A前方摆去）时，A（连同C）的速度最小，设此时A的速度为、B的速度为，二者均沿水平方向。 由水平方向动量守恒和机械能守恒得、 把代入整理得 解得或 其中对应碰后瞬间，故A（连同C）在碰后做先减速、后加速的运动，运动过程中的最小速度 32．如图所示，质量为、半径为的光滑四分之一圆弧体静止在光滑的水平面上，圆弧面的最低点与水平面相切，小球静止在光滑水平面上，将质量为的小球在圆弧面的最高点由静止释放，小球运动到水平面上后与小球发生弹性正碰。已知重力加速度为，不计小球大小。求： (1)小球刚离开圆弧面时，小球和圆弧体各自的速度大小； (2)要使小球还能再运动到圆弧面上，小球的质量应满足什么条件。 【答案】(1)小球的速度大小，圆弧体的速度大小 (2) 【详解】（1）取向右为正方向，设小球刚离开圆弧面时的速度大小为，圆弧体的速度大小为，二者方向分别向右、向左。小球与圆弧体组成的系统所受水平外力为零，由水平方向动量守恒得 图中圆弧最高点与圆心水平，最低点在水平面上，故小球下降的高度为。所有接触面均光滑，以水平面为重力势能零面，由系统机械能守恒得 联立解得小球的速度大小 圆弧体的速度大小为 （2）沿用向右为正方向。小球离开圆弧面后做匀速直线运动，碰撞前速度为；圆弧体则以速度向左匀速运动。设碰撞后小球和的速度分别为和，均按上述正方向取正负。两球发生弹性正碰，由动量守恒定律得 由碰撞前后两球总动能不变得 联立解得碰撞后小球的速度 碰撞时小球位于圆弧体右侧；要再次运动到圆弧面上，它必须向左运动且比圆弧体更快，即 代入第（1）问的速度关系和碰撞后的速度表达式，得 因两球质量和均为正，解得 等号成立时，小球与圆弧体速度相同，两者间距不再缩小，不能再次运动到圆弧面上，故应取严格不等式。 33．如图所示，粗糙的水平面与滑槽的面等高，的长度为 ，滑槽的质量为，靠近A点静置于光滑水平面上，其段上表面水平且粗糙，长度 ，段为一半径的光滑的圆弧，水平面右端A点静置着一质量的铜块Q。质量为的铜块P在的水平恒力作用下从O点由静止开始运动，到达A点时撤掉力F，此后铜块P与铜块Q发生弹性碰撞。已知铜块P与铜块Q均可视为质点，铜块P与水平面间的动摩擦因数随距离的变化关系为 ，其中，x表示离O点的距离，铜块P和铜块Q与滑槽BC段间的动摩擦因数均为，重力加速度。 (1)求铜块P与铜块Q发生碰撞后，铜块Q的速度大小； (2)若滑槽不固定，求： ①运动过程中滑槽的最大速度； ②铜块Q与滑槽保持相对静止一起运动时，铜块Q到B点的距离。 【答案】(1) (2)①，② 【详解】（1）取向右为正方向。由及，可知，钢块P从到运动时摩擦力随位移线性减小，在，处分别为和。因摩擦力随位移线性变化，摩擦功等于平均摩擦力与位移的乘积，摩擦功为。恒力做功为，由动能定理可知合功为，故钢块P到达点时的速度为。碰撞前钢块Q静止，且碰撞为弹性碰撞。取P、Q为系统，由动量守恒定律得 由机械能守恒定律得 由于，等质量弹性碰撞后P静止，故钢块Q碰撞后的速度大小为。 （2）①碰撞后取钢块Q和滑槽为研究系统，水平方向无外力，系统总动量保持为。Q第一次通过粗糙段时，摩擦产生的机械能损失为 段光滑，因此Q越过圆弧再到达点时系统机械能只比碰撞后少；此时滑槽速度达到最大。设Q此时速度为，滑槽最大速度为，由水平方向动量守恒得 由能量关系得 代入题给质量和速度数值，由上述两式解得滑槽最大速度 ②设Q与滑槽达到共同速度前，在粗糙段上相对滑动的总路程为。整个过程水平方向动量守恒，且摩擦功只在粗糙段产生，因此 由能量关系得 代入数据得，。Q先从到通过长度，再从返回，所以 代入，解得钢块Q到点的距离为 34．如图所示，质量为的物块静止在足够大的水平面上，空间有水平向右、电场强度大小为的匀强电场。将质量为、带电量为的物块从距物块处由静止释放，物块向运动与发生碰撞。已知物块与水平面之间的动摩擦因数为，物块与水平面间无摩擦力，、均可视为质点且、之间的碰撞均为弹性碰撞，运动过程中的电荷量始终不变，始终不带电，取重力加速度。求： (1)第一次碰撞结束瞬间、的速度大小； (2)第一次碰撞结束到刚要发生第二次碰撞的过程中，物块的位移大小 (3)从开始运动到刚要发生第10次碰撞的过程中摩擦力对做的功。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1） A与B第一次碰前，对A由动能定理得 解得 A与B碰撞过程，由弹性碰撞规律得， 解得， （2）第一次碰撞结束后，对A，根据牛顿第二定律可得 解得 碰后B做匀速运动，设经过时间A、B将发生第二次碰撞，则 解得 （3） 第二次碰前 第二次碰撞时， 设经过时间A、B将发生第三次碰撞，可得 解得 此后将重复类似之前的运动和碰撞过程，同理可得，第三次碰撞结束到第四次碰撞的过程中，A和B通过的位移为 可得从开始运动到刚要发生第10次碰撞的过程中摩擦力对A做的功为 解得 35．质量均为m的滑块1、2、3和质量为4m的长板静止于图示位置。滑块1、2、3与长板间动摩擦因数均为μ，长板与地面间光滑。现让滑块1、2、3分别以v0、2v0、4v0的速度同时从图示位置滑上长板，它们之间不会相碰也不会从长板滑下。当三个滑块与长板刚好相对静止时长板的右端刚好与墙壁发生弹性碰撞。重力加速度为g。求： (1)滑块2从放上长板到速度达到最小，系统产生的内能； (2)刚开始时长板与墙壁的距离s。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当滑块2与长板刚好相对静止时，其速度最小，设为v共2，从开始运动到滑块2与长板刚好相对静止瞬间，23间的相对速度始终相等为2v0，故此时滑块3的速度为 根据动量守恒定律可得 解得， 系统产生的内能为 联立解得 （2）当滑块1刚好与长板保持相对静止时，根据动量守恒可得 解得 该过程长板加速度为 对长板，有 当滑块2与长板相对静止时，对长板，有 该过程长板的位移为 当滑块3与长木板保持相对静止时，根据动量守恒定律可得 解得 对长板，有 该过程长板的位移为 所以 36．某小组在探究反冲运动时，将质量为m1的一个小液化瓶固定在质量为m2的小船上，利用液化瓶向外喷射气体作为船的动力。现把整个装置静止放在平静的水面上，已知打开液化瓶后向外喷射气体的对地速度为v1，如果在Δt的时间内向后喷射的气体的质量为Δm，忽略水的阻力，求： (1)喷射出质量为Δm的气体后，小船的速度大小； (2)喷射出质量为Δm的气体的过程中，小船所受气体的平均作用力的大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）以小船的运动方向为正方向，则对小液化瓶和小船组成的系统由动量守恒定律得 解得 （2）对喷射出的气体运用动量定理得 解得喷射出的气体所受的推力大小为 则由牛顿第三定律可知，小船所受气体的平均作用力大小为 37．如图甲所示，在光滑水平面上有A、B、C三个小球，其中A、B两球的质量均为，C球的质量为，A、B两球分别用长为的水平轻杆通过光滑轻质铰链与C球连接，两球间夹有一根劲度系数足够大、长度可忽略的压缩轻弹簧，弹簧与球不相连，弹簧储存弹性势能为，现固定C球，释放弹簧。 (1)求弹簧释放后，A、B两球与弹簧分离时两球的速度大小； (2)若C球不固定，求释放弹簧后，当C球的速度最大时轻杆的弹力大小； (3)若C球不固定，求释放弹簧后两杆间夹角第一次为时（如图乙），C球的速度大小。 【答案】(1)10m/s (2)20N (3)m/s 【详解】（1）由题意可得，A、B两球与弹簧分离时C球速度为零，系统动量守恒，则 由机械能守恒定律可得 联立解得vA=vB=10m/s （2）当C球的速度最大时，此时C球的加速度为零，三个球在同一直线，由对称性可知，A、B两球的速度相同，设为v，由动量守恒定律得2m1v=m2vm 由机械能守恒定律得 以C球为参考系，A、B两球绕C做圆周运动，杆的弹力大小为 联立解得F=20N （3）以C球为参考系，A、B两球绕C做圆周运动相对速度为v相，如图所示 系统在x方向动量守恒，所以vAx=vBx=vx=v相x A、B两球的在y方向速度相同，则vy=v相y-vC 系统在y方向由动量守恒定律得2m1vy=m2vC 由图中几何关系得 由机械能守恒定律得 联立解得 38．某游戏装置的轨道依次由斜面、光滑水平面、传送带及弹簧系统平滑连接构成，最左侧为斜面，斜面底端与水平面平滑连接，水平传送带长为，以速率顺时针匀速转动。传送带右端与水平面平滑连接。右侧装有劲度系数为的弹簧，弹簧右端固定，左端与质量为的框（厚度足够薄）相连。框初始静止在弹簧原长位置点（点离点足够远），所在水平面涂有特殊材料，框向右运动（）时不受摩擦，向左运动（）时受恒定摩擦阻力。现将一可视为质点的质量为的物块从斜面下滑，物块经过传送带后，与框发生完全非弹性碰撞并结为一体。随后在段往复运动，弹簧始终处于弹性限度内。物块与传送带的动摩擦因数为，其它轨道均光滑。已知：，，，，，，，，弹簧的弹性势能，弹簧振子的周期，求： (1)物块刚滑上传送带点时的速度大小； (2)传送带电动机因运送物块而多做的功W； (3)整体碰撞后最终停止的位置离点的距离； (4)整体碰撞后运动的总时间。 【答案】(1) (2)24J (3)0 (4) 【详解】（1）斜面AB和B到C的水平面均光滑，物块从A点高度处下滑过程机械能守恒得 解得物块刚滑上传送带点时的速度大小 （2）物块滑上传送带时速度，小于传送带速度，因此物块在传送带上向右加速，加速度大小 若物块一直加速到传送带右端，由运动学公式得到达D点的速度 解得 说明物块在传送带上先加速到与传送带共速，加速时间 此过程传送带的位移 电动机多做的功等于传送带克服物块摩擦力做的功 （3）物块到达D点速度为 与静止在O点、质量为的框发生完全非弹性碰撞，动量守恒得 解得 碰撞后整体总质量，向右运动时无摩擦，做简谐运动压缩弹簧，仅弹簧弹力作用，平衡位置为O点，根据机械能守恒得 解得整体向右运动到最右端速度为0时，距O的距离 到最右端后向左运动时受恒定摩擦 弹簧弹力与摩擦力平衡时 可得静平衡位置距O点的位移 物体向左运动，摩擦力向右，弹力向左，则新的平衡位置位于O点右侧处。 规定水平向右为正方向，弹簧原长位置O点为坐标原点，当整体从右侧最大位移处（速度为0，开始向左运动）进入向左运动阶段时，整体的位置坐标为（，代表弹簧处于压缩状态，形变量为），对整体受力分析，弹簧弹力方向向左，大小为，对应的表达式为 向左运动时，速度方向向左，因此滑动摩擦力方向恒向右，大小为定值，对应力的表达式为 因此整体的合力为 偏离平衡位置的位移，可得 代入合力公式可得 因此整体向左运动的过程是以为平衡位置的简谐运动。向左运动的过程为完整的简谐运动过程的一半。可得振幅 根据简谐运动的对称性，运动到最左端时相对平衡位置的位移为 对应坐标 即第一次回到最左端在O点左侧处，此时速度减为0，弹簧伸长。 第二次整体向右运动时无摩擦，做简谐运动，平衡位置为O，可得整体向右运动到最右端速度为0时，距O的距离 整体第二次向左运动的过程是以位于O点右侧为平衡位置的简谐运动。振幅 可得整体第二次最左端刚好到O时，速度为0，此时弹簧弹力为0，则物体恰好停在O点，离点的距离 （4）整体的运动分为两个阶段：向右压缩弹簧的无摩擦简谐运动和向左运动的摩擦力恒定的简谐运动，根据简谐运动周期公式得 两个阶段弹簧振子总质量均为，回复力与偏离平衡位置的位移的比例系数均为 故两个阶段周期相等，且第二次向右压缩弹簧的无摩擦简谐运动和向左运动的摩擦力恒定的简谐运动周期与第一次也相同。 可得整体碰撞后运动的总时间 39．伽俐略大炮是一种极为简易的机械发射装置，由伽俐略于1590年左右发明。现我们共同研究伽俐略大炮的实验，先将的弹性大球单独自由释放，落地反弹高度为下落高度的0.64倍。现在弹性大球上将弹性小球逐个叠放，并将它们从距地面高处同时自由释放，如图所示。已知各球相互接触且重心在同一竖直线上，每个弹性球的质量为该球下面接触球质量的，各球之间均发生弹性碰撞，作用时间极短，无论弹性大球上面是否叠放弹性小球及叠放几个弹性小球，弹性大球与地面碰撞过程中能量损失均保持不变，重力加速度取，忽略空气阻力。 (1)若将弹性大球单独从距地面高处自由释放，取向上为正方向，求弹性大球与地面第一次碰撞时弹性大球的动量变化； (2)若弹性大球上端只放一个弹性小球，求两球第一次碰撞过程中弹性大球对弹性小球的冲量大小： (3)若要使最上端的弹性小球第一次上升高度不低于，求弹性大球上至少需要叠放多少个弹性小球？ 【答案】(1)，方向向上 (2) (3)4个 【详解】（1）设弹性大球质量为，与地面碰撞前速度为，与地面碰撞后速度为，取向上为正，则下落过程中 上升过程中 动量变化 解得，，，方向向上 （2）设弹性大球与地面碰撞前的速度为，与地面碰撞后的速度大小为，则， 联立可得， 弹性小球与弹性大球发生弹性碰撞，设弹性大球碰后的速度为，弹性小球碰前与碰后的速度分别为，则， 由动量定理得 联立解得 （3）由（2）可得第一个弹性小球与弹性大球碰撞之后速度为 整理可得 同理可得第二个弹性小球与第一个弹性小球碰撞之后的速度为 整理可得 由数学知识可得 由于要使最上端的弹性小球上升高度不低于，由运动学规律可得 则 解得 所以弹性大球上至少叠放4个弹性小球。 考点04 实验：验证动量守恒定律 一、实验题 40．某同学利用如图所示装置来验证动量守恒定律，图中的点是小球抛出点在地面上的竖直投影，点是入射小球从点释放独自滚下时的落点，点、点分别是小球与小球碰撞后球、各自的落点。 (1)下列操作中，属于本实验必要步骤的是__________（填选项的符号）。 A．测量两个小球的质量、 B．测量抛出点距地面的高度 C．测量点到轨道水平部分的高度 D．测量两小球相碰前、后平抛运动的射程 (2)若表达式满足__________，则两球碰撞过程动量守恒（用所测物理量符号表示）。 若该碰撞是弹性碰撞，则应满足的表达式为__________（用、、表示）。 (3)某次实验中，测定，（即）小球落地点的平均位置距点的距离如图所示，则碰撞前、后两小球总动量的比值为__________。（保留三位有效数字） 【答案】(1)AD (2) (3)1.03 【详解】（1）A．需要测量两小球的质量，才能比较碰撞前后的总动量，故A正确； B．两球从桌面边缘同时做平抛运动，飞行时间相同，验证动量守恒时高度这一公共因素会约去，不必测量，故B错误； C．入射小球的碰撞前速度由其单独滚下后的射程确定，释放点到水平轨道的高度不参与比较，不必测量，故C错误； D．需要测量入射小球单独滚下时的射程，以及碰撞后两小球的射程，故D正确。 故选AD。 （2）[1]两球离开桌面后均从同一高度做平抛运动，飞行时间相同，设为。水平位移与离开桌面的水平速度满足 因此，碰撞前小球的速度为 碰撞后小球的速度为 碰撞后小球的速度为 取水平方向为正方向，由两球组成的系统在碰撞过程中动量守恒得 约去相同的，得到碰撞过程动量守恒应满足 [2]若碰撞为弹性碰撞，还满足碰撞前后动能相等，即 代入三球速与射程的关系并约去相同因子，得 （3）碰撞前总动量与碰撞后总动量的比值为 代入图中所给的质量与距离数值，得 41．某兴趣小组利用图示装置研究弹性碰撞。该装置由倾斜轨道AB、平直轨道CD与斜面EF连接而成，其中B、C之间通过光滑小圆弧（图中未画出）连接，小球通过B、C前后速率不变。实验时，先把CD段调成水平再把质量为m2的小球2放在平直轨道CD上，然后把质量为m1的小球1从倾斜轨道AB上的P点由静止释放，球1与球2发生正碰后，球2向前运动，经D点平抛后落到斜面上的Q点（图中未画出），球1反弹，最高上升到倾斜轨道AB上的P′点（图中未画出）该小组测出P点到CD的高度为h，P′点到CD的高度为，EQ=，θ=30°，球1与球2大小相等。 (1)本实验中，m1___________m2（选填“>”“<”或“=”）。 (2)若重力加速度为g，取向右为正方向，碰撞后瞬间小球1的速度为_____（用g、h、表示） (3)碰撞前后，若满足表达式______，则可验证碰撞中两球组成系统的动量守恒。（用m1、m2、h、表示） (4)碰撞前后，若满足=_________h，则可验证该碰撞为弹性碰撞。 【答案】(1)< (2) (3) (4) 【详解】（1）碰撞后球1发生反弹，说明入射小球质量小于被碰小球，故填“<”。 （2）碰撞后球1反弹上升到高度，根据机械能守恒得 解得反弹速度大小为 由于取向右为正方向，反弹速度方向向左，因此碰撞后瞬间球1的速度为 （3）碰撞前球1从P点下滑到水平轨道，根据机械能守恒得 解得碰撞前球1速度 球2初始速度为0，系统总初动量为 碰撞后球2从D点平抛，落到斜面上，满足竖直位移 水平位移 由平抛规律可知， 解得碰撞后球2的速度 若动量守恒，要求初总动量等于末总动量，即 代入整理得 （4）弹性碰撞除动量守恒外，还满足机械能守恒，即 联立 代入解得 42．一实验小组想借助“子母球”来验证一维对心碰撞过程遵循动量守恒定律，设计了如下实验： 步骤1：在一竖直墙面上贴上一刻度尺； 步骤2：测量母球A和子球B的质量mA、mB； 步骤3：在刻度尺前方将A、B两球轻靠在一起，调整竖直位置使A球的最低点到地面高度为h0，再微调水平位置使它们球心在同一竖直线上； 步骤4：将两球同时由静止释放，通过高速摄像机记录全过程； 步骤5：慢放高速摄像机录下的视频，得到A，B两球第一次弹起后向上运动的最大高度hA、hB。 (1)为顺利完成实验，两球的质量关系应满足mA__________mB；（填“>”、“<”或“=”） (2)已知当地重力加速度为g，不考虑A与地面碰撞时的能量损失，则A与B球碰撞前瞬间A的速度大小为__________；（用g、h0表示） (3)在实验误差允许的范围内，若满足关系式____________________（用mA、mB、h0、hA、hB表示），则能验证子母球碰撞过程遵循动量守恒定律； (4)若考虑实际碰撞过程中有机械能的损失，则应满足的不等式为：____________________（用h0、hA、hB表示）。 【答案】(1)> (2) (3) (4) 【详解】（1）为使碰撞后A球不致向下反弹、保证两球均能向上弹起并测得高度，需。 （2）两球从高度自由下落，根据可得，碰地前瞬间速度大小均为 A球碰地后无能量损失，以原速反弹向上；此时B球仍以向下运动，两球随即发生碰撞。A球碰地后反弹速度即碰撞前瞬间速度，故。 （3）取竖直向上为正方向。碰前， 碰后两球反弹高度分别为、，对应速度， 动量守恒 代入化简得 （4）实际碰撞有机械能损失，则 结合动量守恒方程 可得 约去，得 43．如图所示，已知A、B两滑块的质量关系为mB＝1.5mA，拍摄共进行了四次，第一次是在两滑块相撞之前，以后的三次是在碰撞之后。A滑块原来处于静止状态，设A、B滑块在拍摄闪光照片的这段时间内是在10 cm至105 cm这段范围内运动的（以滑块上的箭头位置为准），试根据闪光照片（闪光时间间隔为0.4 s），分析得出： (1)A滑块碰撞后的速度vA′＝_____ m/s，B滑块碰撞后的速度vB′＝______ m/s；B滑块碰撞前的速度vB＝_____ m/s。（结果保留2位小数） (2)根据闪光照片分析得出碰撞后两个滑块动量之和是________（kg·m/s）（用mA表示）。 【答案】(1) 0.75 0.50 1.00 (2)1.5mA 【详解】（1）[1][2][3]由题图可知，A滑块原来静止，其最左侧像在30cm处，说明碰撞发生在处。碰撞后，B滑块在后续三次闪光中的位置分别为40cm、60cm、80cm，相邻位置间距 时间间隔 则B滑块碰撞后的速度 A滑块碰撞后在后续三次闪光中的位置分别为45cm、75cm、105cm，相邻位置间距 则A滑块碰撞后的速度 根据B的运动，在第二次闪光时B位于40cm，且，可知B从碰撞点30cm运动到40cm用时 即碰撞发生在时刻。第一次拍摄在时，B位于10cm，则碰撞前B的速度 （2）碰撞后两个滑块的总动量 已知 代入数据解得 44．某小组想用多种方式验证动量守恒定律。 (1)如图所示装置，图中的点为小球抛出点的垂直投影。实验时，先使A球多次从斜轨上位置释放，记录落点点。然后，把半径相同的B球静置于轨道末端，再将A球从斜轨上释放，与B球相碰，多次重复上述相碰过程，分别记录落点为和。用刻度尺测量出水平射程、、。测得A球的质量为，B球的质量为。 ①实验中，通过测量小球做平抛运动的水平射程来代替小球碰撞前后的速度。必须满足的条件有______。 A．两球的质量必须相等 B．轨道末端必须水平 C．同一组实验中，入射小球必须从同一位置由静止释放 D．轨道倾斜部分必须光滑 ②在实验误差允许范围内，若满足关系式__________（用所测物理量的字母表示），则可以认为两球碰撞前后的动量守恒；若两球发生弹性碰撞，则、、之间一定满足的关系是______（填选项前的符号） A． B． C． ③在上述实验中更换两个小球的材质，其他条件不变，可以使被撞小球的射程增大。请你分析被撞小球射程不能超过_________。（写出关系式，用实验中测量的物理量：、、、表示） (2)一个实验小组设计了如图所示的实验装置验证动量守恒定律。图中水平桌面上放置气垫导轨，导轨上有光电门1和光电门2，它们与数字计时器相连，遮光片沿运动方向的宽度都相等。实验前调节气垫导轨成水平状态，滑块A、B静止在导轨上。 ①在第1组实验中，实验前，测得弹性滑块A（连同其上的遮光片）的质量为、弹性滑块B（连同其上的遮光片）的质量为。轻推滑块A，测得A通过光电门1的遮光时间为，A与B相碰后，B和A先后经过光电门2的遮光时间分别为和，在实验误差允许的范围内，若满足关系式_________，即验证了碰撞前后两滑块组成的系统动量守恒。（用测量的物理量表示） ②在第2组实验中，两个滑块的碰撞端分别装上撞针和橡皮泥，如图。碰撞时撞针插入橡皮泥中，使两个滑块连成一体运动。实验前，测得滑块A（连同其上的遮光片、撞针）的总质量为、滑块B（连同其上的遮光片、橡皮泥）的总质量为。实验中测得滑块A单独通过光电门1的时间记为，滑块连成一体后，滑块B通过光电门2的时间记为。通过多次实验得到多组、的值。某同学想通过绘制图像验证滑块碰撞前后是否动量守恒，分析说明判断其方法的合理性_________。 【答案】(1) BC B 或 (2) 两滑块碰撞后粘合成一体，的碰前速度和粘合后的共同速度分别为和 若碰撞前后系统动量守恒，则 代入、的表达式，可得 约去共同宽度并整理，得到 因此，以为横轴、为纵轴的图像应为过原点的直线，斜率为。在实验误差允许范围内，若测量数据同时符合这两个条件，即可验证动量守恒，该方法合理。 【详解】（1）[1]A．验证动量守恒时，为了保证A球碰撞后不反弹，A球的质量应大于B球的质量，故A错误； B．轨道末端必须水平，使小球水平抛出。两球半径相等，从相同高度落到同一水平面，飞行时间相同，水平射程才能与抛出速度成正比，故B正确； C．同一组实验中，入射小球必须从同一位置静止释放，保证碰撞前的速度相同，未碰撞时的射程才能代表发生碰撞时的入射速度，故C正确； D．即使倾斜轨道存在摩擦，只要每次从同一位置静止释放且轨道条件不变，到达末端的速度仍可保持相同，因此倾斜部分不必光滑，故D错误。 故选BC。 [2]取入射方向为正方向，设球碰撞前的速度为，两球碰撞后的速度分别为和，共同的平抛飞行时间为。题图中点、点和点都在的右侧，由平抛运动水平方向的匀速运动规律，有，和 碰撞过程中系统所受水平方向的外力冲量可忽略，若动量守恒，则 将射程与速度的关系代入，消去共同的飞行时间，得到 [3]若两球发生弹性碰撞，除动量守恒外，总动能也没有损失，故 将动量、动能守恒方程分别移项，有和 碰撞后被撞球的速度不为零，两式相除，得到 乘以共同的飞行时间，得到 故选B。 [4]更换材质可以改变碰撞中的动能损失，但该实验中碰撞后的总动能不能超过碰撞前的总动能，因此 整理得 由动能守恒方程移项有 两式相除，得到 乘以共同的飞行时间，得到 或者由动量守恒方程，碰撞后入射球的速度为 代入动能不增加的条件并整理，得到 被撞球向前运动，其速度为正，故 由射程与速度的对应关系，得到 发生弹性碰撞时取等号。 （2）[1]设遮光片沿运动方向的共同宽度为。气垫导轨水平，忽略运动阻力，两滑块在碰撞前、后均做匀速直线运动。遮光片通过光电门所用时间等于其宽度除以速度，因此的碰前速度、的碰后速度和的碰后速度分别为，和 取碰撞前的运动方向为正方向，两滑块碰撞过程中水平方向的外力冲量可忽略，动量守恒的条件为 代入各速度的表达式并约去共同宽度，得到 [2]见答案 45．某实验小组利用如图所示的装置来验证动量守恒定律。实验时先将质量为m1的小球A从弧形槽上某点由静止释放，小球A离开弧形槽后落在斜面上的P点；然后将质量为m2的小球B放于弧形槽末端，使其保持静止，再将小球A从弧形槽上由静止释放，两小球发生碰撞后分别落在斜面上的M、N两点，已知斜面与弧形槽末端相接于O点。空气阻力可忽略不计。 (1)关于该实验，下列说法正确的是（　　） A．两次释放小球A的位置应相同 B．弧形槽末端既可以水平也可以倾斜 C．两小球质量关系应满足m1>m2 D．实验时应测出斜面倾角 (2)某次实验测得OM、OP、ON的长度分别为L1、L2、L3，则当满足___________（结果用m1、m2、L1、L2、L3表示）时，可验证两小球碰撞时系统动量守恒；若该碰撞为弹性碰撞，则当满足__________（结果用m1、m2、L1、L2、L3表示）；若该碰撞为弹性碰撞，且，则___________。 【答案】(1)AC (2) 【详解】（1）A．实验中要保持A球两次到达弧形槽末端时速度相同，所以两次释放小球A的位置应相同，A正确； B．应使两小球离开弧形槽后做平抛运动，否则仅根据落在斜面上的位移无法判断碰前碰后的速度关系，因此弧形槽末端必须水平，B错误； C．要使两球碰撞后A球不能反弹（反弹后将无法确定其碰撞后的速度），因此A球的质量应大于B球质量，即m1＞m2，C正确； D．该实验只需测出小球质量及落点到O点距离即可，因此无需测出斜面倾角θ，D错误。 故选AC。 （2）[1]小球离开圆弧槽后做平抛运动，落在斜面上，则有， 联立解得 即 根据动量守恒定律有 代入得 [2]当该碰撞为弹性碰撞时有 即 [3]当该碰撞为弹性碰撞时有， 联立解得 因为 所以 即 解得 46．某兴趣小组在“验证动量守恒定律”的实验中，采用如图1所示的装置。先将竖直挡板靠着轨道末端放置，入射小球A从倾斜轨道卡槽位置静止释放，当小球撞击竖直挡板时得到撞击点。然后将竖直挡板向右平移一段距离，入射小球A从同一位置静止释放，从水平轨道抛出后撞击竖直挡板，在竖直挡板上得到撞击点；再把被撞小球B静置于水平轨道末端，将入射小球A仍从原位置由静止释放，两球发生正碰后各自飞出撞击竖直挡板，分别得到撞击点、，各撞击点间对应的竖直高度如图所示。 (1)关于实验，下列说法正确的是______。 A．轨道必须光滑且末端水平 B．小球A的质量可以小于小球B的质量 C．小球A每次必须从同一位置由静止释放 D．小球B的直径应等于小球A的直径 (2)实验测得小球A的质量为，被碰撞小球B的质量为，图中、、的距离、、，若A、B两球在碰撞中动量守恒，其满足的表达式是______（用测得量表示） (3)如图所示，小姜同学利用“冲击摆”测子弹的速度，子弹以水平方向的初速度射入静止的摆锤，射入后两者一起摆动，测得摆锤上升的最大高度为，已知木块的质量为，子弹的质量，可得子弹的初速度________。（用题给的字母和重力加速度为g表示） 【答案】(1)CD (2) (3) 【详解】（1）A．只要入射球A每次从同一位置由静止释放，就能保证碰撞前速度相同，轨道不需要光滑，故A错误； B．为防止碰撞后入射球A反弹，A的质量必须大于B的质量，故B错误； C．A每次从同一位置静止释放，才能保证碰撞前速度一致，故C正确； D．为保证两球发生正碰，两球直径需要相等，故D正确。 故选CD。 （2）小球做平抛运动，水平位移固定，竖直方向满足 得运动时间 水平速度 碰撞前A的速度对应下落高度，碰撞后A速度对应，碰撞后B速度对应，动量守恒满足 其中，， 代入速度表达式约去公共项​​后，得 （3）子弹射入摆锤过程动量守恒，有 子弹和摆锤一起摆动过程机械能守恒，有 联立解得 47．用“碰撞实验器”可以验证动量守恒定律，即研究两个小球碰撞前后的动量关系。如图（a）所示，先安装好实验装置，在地上铺一张白纸，白纸上铺放复写纸，记下重垂线所指的位置。 实验步骤如下： 步骤1：不放小球2，让小球1从斜槽上点由静止滚下并落在地面上，重复多次，用尽可能小的圆，把小球的所有落点圈在里面，其圆心就是小球落点的平均位置； 步骤2：把小球2放在斜槽前端边缘位置，让小球1从斜槽上点由静止滚下，使它们碰撞，重复多次，并使用与步骤1同样的方法分别标出碰撞后两小球落点的平均位置； 步骤3：用刻度尺分别测量三个落地点的平均位置、、离点的距离，即线段、、的长度。 (1)下列操作会对实验结果产生影响的有________。 A．斜槽轨道不光滑 B．斜槽轨道末端不水平 C．实验过程中，复写纸移动 D．小球1每次从斜槽上静止释放的位置不同 (2)上述实验除需测量线段、、的长度外，还需要测量的物理量有________。 A．小球1的质量和小球2的质量 B．小球1和小球2的半径 C．小球做平抛运动的时间 D．点离地面的高度 (3)某同学在实验中正确操作，认真测量，得出的平均落点情况如图（b）所示。若两球相碰前、后的动量守恒，则________。 (4)完成上述实验后，某实验小组对上述装置进行了改造，如下图，用螺旋测微器测量遮光条的宽度如下图乙所示，则宽度________。 (5)完成上述实验后，另外一实验小组对上述装置也进行了改造如下图（c）所示，图中圆弧为圆心在斜槽末端的圆弧。让小球1仍从斜槽上点由静止滚下，重复实验步骤1和2的操作，得到两球落在圆弧上的平均位置为、、。测得斜槽末端与、、三点的连线与竖直方向的夹角分别为、、，则验证两球碰撞过程中动量守恒的表达式为________。（结果用、、、、表示）。 【答案】(1)BD (2)A (3) (4)/ (5)/ 【详解】（1）A．无论斜槽轨道是否光滑，只要小球从同一位置下落，到达底端时速度就相同，对实验结果没有影响，故A错误； B．实验结果的处理中，用位移关系代替了速度关系，前提是都做平抛运动，时间一样，若斜槽轨道末端不水平，则运动时间就会不同，会影响到实验结果，故B正确； C．实验过程中，小球的落点最终记录在白纸上，复写纸只是传递压痕，复写纸移动，不会有影响，只要白纸不动即可，故C错误； D．小球1每次从斜槽上静止释放的位置不同，就会导致小球碰撞前的速度不同，多次重复就失去意义了，故D正确。 故选BD。 （2）验证动量守恒需要比较碰前、碰后动量，因此必须测量两小球的质量和 （3）碰前小球1落点，碰后小球1落点，小球2落点；由动量守恒 所以 （4）螺旋测微器读数等于固定刻度读数加可动刻度读数，固定刻度每一小格代表，可动刻度每一小格代表，需要估读到下一位。 由题图所示，螺旋测微器读数应为 （5）小球从B点做平抛运动落在圆弧上，落点连线与竖直方向夹角为 水平位移，竖直位移 联立解得平抛初速度 因此动量守恒表达式为 试卷第1页，共3页 18 / 54 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 动量及其守恒定律 4大高频考点概览 考点01 动量定理及其应用 考点02 动量守恒定律的应用及实用条件 考点03 动量守恒定律在多物体系统、多过程问题中的应用 考点04 实验：验证动量守恒定律 考点01 动量定理及其应用 一、单选题 1．下列关于物体的动能、动量、速度的说法正确的是（     ） A．物体的合外力冲量为零，动量可能变化 B．物体的合外力做功为零，速度一定不变 C．物体做变速运动，动量一定变化 D．物体做变速运动，动能一定变化 2．如图所示，两个相同的物体A、B在同一高度沿倾角不同（）的两个固定光滑斜面由静止开始自由下滑，不计空气阻力，在它们到达斜面底端的过程中（     ） A．合力的冲量相同 B．物体A重力的冲量较大 C．它们到达底端时的动量相同 D．它们到达底端时的动能不同 3．质量为的物体放在水平面上，从时刻开始在物体上施加一水平向右的外力F，外力F随时间的变化规律如图所示，已知时物体的速度达到最大值，已知重力加速度，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（     ） A．物体与水平面间的动摩擦因数为0.5 B．0~3s的时间内物体重力的冲量为0 C．3s时物体的速度大小为3.75m/s D．时物体的速度为0 4．一质量为的物块在合力的作用下从静止开始沿直线运动，合力随时间变化的关系图像如图所示，则（     ） A．0~2 s时间内合力对物块的冲量为 B．2~3 s时间内合力对物块的冲量为 C．0~3 s时间内合力对物块的冲量为 D．末物块的速度为 5．某玩具降落伞下降过程中所受空气阻力与下降速率的关系为（为定值）。某次降落过程中，降落伞与搭载物体的总质量为，由静止释放，竖直下降后做匀速直线运动，重力加速度大小为。关于降落伞下降的过程，下列说法正确的是（     ） A．降落伞机械能守恒 B．降落伞的最大速率为 C．降落伞运动时间为 D．空气阻力对降落伞做功为 6．在篮球运动中，运动员跳起投篮后竖直落地。设地面对运动员的平均冲击力大小为，冲击力作用的时间为。运动员在触地时往往会主动屈膝下蹲，关于这一动作对和产生的影响，下列选项正确的是（     ） A．增加，减小 B．增加，增加 C．减小，减小 D．减小，增加 7．如题图所示，2025年10月国庆节阅兵式上，直升机编队里共有9架由景德镇直升机厂研制的直升机。已知直升机质量为M，空气密度为，重力加速度大小为g。若直升机在空中悬停时，桨叶旋转形成的圆面面积为S，直升机的桨叶旋转推动空气，使空气获得速度，不计空气浮力及风力影响，下列说法正确的是（     ） A．空气获得速度的大小为 B．空气获得速度的大小为 C．桨叶的输出功率为 D．桨叶的输出功率为 8．“反向蹦极”（如图甲所示）区别于传统蹦极，让人们在欢笑与惊叹中体验到了别样的刺激。情境简化为图乙所示，弹性轻绳的上端固定在O点，下端固定在体验者身上，工作人员将体验者竖直下拉并与固定在地面上的力传感器相连，体验者静止时传感器示数为F。打开扣环，体验者从a点像火箭一样被“竖直发射”，经速度最大位置b上升到最高点c。已知a、b两位置间的距离为l，体验者（含装备）可视为质点，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．打开扣环瞬间，体验者处于失重状态 B．弹性绳的劲度系数为 C．体验者（含装备）从a点运动到c点过程中机械能守恒 D．体验者（含装备）从a点运动到c点过程，其受到弹性绳弹力的冲量大于其重力的冲量 二、多选题 9．游乐园“飞天秋千”简化模型如题图所示，座椅质量为m，在水平面内做匀速圆周运动，周期为T，绳子与竖直方向的夹角为，重力加速度大小为g，则在半个周期内下列说法正确的是（　　） A．座椅动量变化量为零 B．座椅动量变化量大小为 C．在半个周期内座椅重力的冲量大小为零 D．在半个周期内座椅重力的冲量大小为 10．如图所示，两个质量相同的物体A和B，分别从高度相同的光滑固定斜面和光滑固定圆弧形斜坡顶点由静止开始滑到底端，且斜面长度和弧形斜坡长度相等，弧形轨道末端切线水平。以下说法正确的是（     ） A．B比A先到达底端 B．它们到达底端时的动量相同 C．它们到达底端的过程中重力的冲量相同 D．它们到达底端时重力的瞬时功率不相等 11．如图所示，质量为的小球从距地面高的点由静止释放，落到地面上后又陷入泥潭中，由于受到阻力作用，到达距地面深的点时速度减为零。不计空气阻力，重力加速度大小为。关于小球下落的整个过程，下列说法正确的是（     ） A．小球动量变化量等于重力的冲量 B．小球克服阻力做的功为 C．小球所受阻力的冲量大于 D．小球所受阻力的冲量等于 12．“水上飞人运动”是一项新兴运动形式。操控者借助“喷射式悬浮飞行器”向下喷射高压水柱的方式实现在水面上方或悬停或急速升降等动作。假设某玩家（含设备）质量为，底部两个喷口的总面积为，忽略管道中的水流速度以及空气阻力和管道（含装置）对人的作用，已知重力加速度为，则下列说法正确的是（     ） A．当装置向下喷水时，人可能沿着喷水的相同方向做直线运动 B．若要悬停在空中，向下喷水的水速应为 C．当人匀速上升时，人所受的合外力做的总功为0 D．若要实现向上以加速度加速运动，向下喷水的水速应为 13．在同一足够长的竖直墙壁上，一质量为的物块从某时刻无初速释放，在释放的同时，分别以图中两种方式对物块施加水平外力使物块贴着墙壁运动。方式一中表示时间，方式二中表示速度大小，、为已知的大于零的比例系数，物块与墙壁间的动摩擦因数为，重力加速度为。则（     ） A．方式一中，物块的最大速度为，全过程的运动时间为 B．方式一中，物块的最大速度为，全过程的运动时间为 C．方式二中，若已知物块从释放到速度最大过程的位移为，则该过程的时间为 D．方式二中，若已知物块从释放到速度最大过程的位移为，则该过程的时间为 三、解答题 14．小孙老师用玩具手枪以初速度竖直向上发射了一颗橡胶弹丸，若弹丸在运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比，弹丸运动的速率随时间变化的规律如图所示，时刻到达最高点，再次回落到发射点时，速率为，且落地前球已经做匀速运动。已知重力加速度为。 (1)假设弹丸的质量为，求出常数； (2)求弹丸在空中运动的最大加速度和上升的最大高度H (3)求弹丸从最高点回落到射出点的时间 15．“蹦极”是一项勇敢者的运动，如图所示，某人用弹性橡皮绳拴住身体从高空P处自由下落，在空中感受完全失重的滋味。此人质量为50 kg，橡皮绳原长45 m，人可看成质点，不计空气阻力作用。此人从P点自静止下落到最低点所用时间。（取）求： (1)人从P点下落到最低点的过程中，重力作用的冲量； (2)人下落到橡皮绳刚伸直（原长）时，人的动量大小； (3)从橡皮绳开始伸直到人下落到最低点的过程中，人对橡皮绳的平均作用力。 四、综合题 雨滴的运动 雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。设雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g。 16．若雨滴所受空气阻力和速度成正比，即，其下降h高度的过程中的图像如图所示，则t1时间内空气阻力的冲量大小为（　　） A． B． C． D． 17．将雨滴看作半径为r的球体，设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力，其中v是雨滴的速度，k是比例系数。 （1）设雨滴的密度为，推导雨滴下落趋近的最大速度vm与半径r的关系式；______ （2）（示意图中画出了半径为r1、r2（r1> r2）的雨滴在空气中无初速下落的图线，其中______对应半径为r1的雨滴（选填：A、①     B、②）； 考点02 动量守恒定律的应用及实用条件 一、单选题 18．如图所示，小物块A通过一不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，初始时静止。从发射器（图中未画出）射出的小物块B沿水平方向与A相撞，碰撞前B的速度大小为，碰撞后二者粘在一起，并摆起一个较小角度。已知A和B的质量分别为和，重力加速度大小为，碰撞时间极短且忽略空气阻力。下列选项正确的是（     ） A．B与A碰撞过程满足动量守恒、机械能守恒 B．B与A碰撞前后轻绳的拉力大小不变 C．碰撞后AB一起上升的过程中满足动量守恒、机械能守恒 D．碰撞后AB一起上升的最大高度为 19．如图所示，一重锤从某高处由静止落下，与钢筋混凝土预制桩发生完全非弹性碰撞后一起向下运动直至速度减为零，不计空气阻力。则上述过程中，重锤和预制桩（　　） A．总动量守恒 B．总动量不守恒 C．总机械能守恒 D．总机械能增加 20．A、B两球在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动，，，当A追上B并发生碰撞后，A、B两球速度的可能值是（     ） A． B． C． D． 21．如图所示，曲面体P静止于光滑水平面上，物块Q自P的上端静止释放。Q与P的接触面光滑，Q在P上运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．P对Q做功为零 B．P和Q之间相互作用力做功之和不为零 C．P和Q构成的系统机械能不守恒、动量守恒 D．P和Q构成的系统机械能守恒、动量不守恒 22．如图所示，装有沙子的小车静止在光滑的水平面上，总质量为1.5 kg，将一个质量为0.5 kg的小球从距沙面0.45 m高度处以大小为4 m/s的初速度水平抛出，小球落入车内并陷入沙中，最终与车一起向右匀速运动。不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s2，则下列说法正确的是（     ） A．小球陷入沙子过程中，小球和沙、车组成的系统动量守恒 B．小球陷入沙子过程中，小球和沙、车组成的系统机械能守恒 C．小车最终的速度大小为1 m/s D．小车最终的速度大小为2 m/s 23．如图所示，两木块A、B用轻质弹簧连在一起，置于光滑水平面上。一颗子弹水平射入木块A，并留在其中，在子弹射入木块A及弹簧被压缩的整个过程中，下列说法中正确的是（　　） A．在子弹射入木块A的过程中，子弹和木块A组成的系统动量守恒、机械能守恒 B．在子弹射入木块A的过程中，子弹和木块A组成的系统动量守恒，机械能不守恒 C．在弹簧被压缩的过程中，系统动量守恒、机械能不守恒 D．在弹簧被压缩的过程中，系统动量、机械能都不守恒 24．如图所示，质量均为m的两个小球A、B用长为L的轻质细绳连接，B球穿在光滑水平细杆上，初始时刻，细绳处于水平状态，将A、B由静止释放，空气阻力不计。从释放到A球第一次运动到最低点的过程中，下列说法正确的是（     ） A．A、B组成的系统动量守恒 B．B球向右运动的距离为 C．A球重力的瞬时功率一直变大 D．细绳对A球不做功 25．如图所示，一光滑地面上有一质量为m′的木板ab，一质量为m的人站在木板的a端，关于人由静止开始运动到木板的b端（M、N表示地面上原a、b对应的点），下列图示正确的是（     ） A． B． C． D． 26．滑块A的质量为，以的初速度沿水平面追赶正前方初速度为的滑块B并与之发生正碰后粘在一起运动，碰撞前后两个滑块的速度—时间图像如图所示。重力加速度大小，不计碰撞时间，两个滑块均看成质点。下列说法正确的是（     ） A．两个滑块与水平面的动摩擦因数都等于0.25 B．零时刻滑块A在滑块B的正后方处，末发生碰撞 C．碰撞过程中系统动量守恒，滑块B的质量是 D．碰撞过程滑块B受到的冲量大小为，方向与它的运动方向相同 二、多选题 27．如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为和的两物块相连接，并且静止在光滑的水平面上。现使瞬间获得水平向右的速度3m/s，以此刻为计时零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图像信息可得（     ） A．在、时刻弹簧处于原长状态 B．在、时刻弹簧的长度大于原长 C．两物块的质量之比为 D．两物块的质量之比为 考点03 动量守恒定律在多物体系统、多过程问题中的应用 一、多选题 28．如图所示，质量分别为2m、m、3m的物块1、2、3在一光滑水平面上排成一直线，且彼此隔开了一定的距离。现具有一定初速度的物块1向右运动，物块2、3处于静止状态，此后相邻物块依次发生弹性正碰，最终 A．物块间共发生3次碰撞 B．物块间共发生4次碰撞 C．物块1、2、3的动能之比为1∶2∶8 D．物块1、2、3的动能之比为1∶2∶6 29．如图甲所示，水平固定放置的两根足够长的光滑杆和，各穿有质量分别为和的小球a、b，两杆之间的距离为d，两球用自由长度也为d的轻质弹簧相连，现从左侧用挡板将a球挡住，再用力把b球向左边拉一段距离（此时弹簧在弹性限度内）后自静止释放，将弹簧第一次恢复原长时刻作为计时起点，两物体的速度随时间变化的规律如图乙所示。下列判断中正确的是（     ） A．在弹簧第一次恢复原长的过程中，两球和弹簧组成的系统水平动量守恒、机械能守恒 B．时刻弹簧第二次恢复到原长，a球的速度达到最大 C．两球的质量之比 D．从到的过程中弹簧的弹性势能增加 30．如图所示，光滑的水平面上沿同一直线放置n个大小相等的小球，且相邻两球之间有一定的间距，小球1的质量为m，小球2的质量为2m，小球3的质量为4m，小球n的质量为，现给小球1向右的初速度，此后发生的碰撞均为弹性碰撞，则下列说法正确的是（     ） A．小球1、2碰后，小球2的速度大小为 B．最终小球1的速度大小为 C．最终小球的速度大小为 D．最终小球n的速度大小为 二、解答题 31．足够长的光滑杆水平固定，质量为m的滑块A套在杆上，滑块下方用不可伸长的轻绳连接一质量为m的小球B，初始时系统处于静止状态。质量为m的滑块C以v0的初速度与滑块A发生碰撞，碰撞时间极短，碰后粘在一起，不计空气阻力，重力加速度为g。 (1)求滑块C与A碰撞过程中，C对A的冲量； (2)求小球B能上升的最大高度h；以及B从最低点摆到最高点过程中绳子拉力对B做的功； (3)求AC粘在一起后的运动过程中的最小速度。 32．如图所示，质量为、半径为的光滑四分之一圆弧体静止在光滑的水平面上，圆弧面的最低点与水平面相切，小球静止在光滑水平面上，将质量为的小球在圆弧面的最高点由静止释放，小球运动到水平面上后与小球发生弹性正碰。已知重力加速度为，不计小球大小。求： (1)小球刚离开圆弧面时，小球和圆弧体各自的速度大小； (2)要使小球还能再运动到圆弧面上，小球的质量应满足什么条件。 33．如图所示，粗糙的水平面与滑槽的面等高，的长度为 ，滑槽的质量为，靠近A点静置于光滑水平面上，其段上表面水平且粗糙，长度 ，段为一半径的光滑的圆弧，水平面右端A点静置着一质量的铜块Q。质量为的铜块P在的水平恒力作用下从O点由静止开始运动，到达A点时撤掉力F，此后铜块P与铜块Q发生弹性碰撞。已知铜块P与铜块Q均可视为质点，铜块P与水平面间的动摩擦因数随距离的变化关系为 ，其中，x表示离O点的距离，铜块P和铜块Q与滑槽BC段间的动摩擦因数均为，重力加速度。 (1)求铜块P与铜块Q发生碰撞后，铜块Q的速度大小； (2)若滑槽不固定，求： ①运动过程中滑槽的最大速度； ②铜块Q与滑槽保持相对静止一起运动时，铜块Q到B点的距离。 34．如图所示，质量为的物块静止在足够大的水平面上，空间有水平向右、电场强度大小为的匀强电场。将质量为、带电量为的物块从距物块处由静止释放，物块向运动与发生碰撞。已知物块与水平面之间的动摩擦因数为，物块与水平面间无摩擦力，、均可视为质点且、之间的碰撞均为弹性碰撞，运动过程中的电荷量始终不变，始终不带电，取重力加速度。求： (1)第一次碰撞结束瞬间、的速度大小； (2)第一次碰撞结束到刚要发生第二次碰撞的过程中，物块的位移大小 (3)从开始运动到刚要发生第10次碰撞的过程中摩擦力对做的功。 35．质量均为m的滑块1、2、3和质量为4m的长板静止于图示位置。滑块1、2、3与长板间动摩擦因数均为μ，长板与地面间光滑。现让滑块1、2、3分别以v0、2v0、4v0的速度同时从图示位置滑上长板，它们之间不会相碰也不会从长板滑下。当三个滑块与长板刚好相对静止时长板的右端刚好与墙壁发生弹性碰撞。重力加速度为g。求： (1)滑块2从放上长板到速度达到最小，系统产生的内能； (2)刚开始时长板与墙壁的距离s。 36．某小组在探究反冲运动时，将质量为m1的一个小液化瓶固定在质量为m2的小船上，利用液化瓶向外喷射气体作为船的动力。现把整个装置静止放在平静的水面上，已知打开液化瓶后向外喷射气体的对地速度为v1，如果在Δt的时间内向后喷射的气体的质量为Δm，忽略水的阻力，求： (1)喷射出质量为Δm的气体后，小船的速度大小； (2)喷射出质量为Δm的气体的过程中，小船所受气体的平均作用力的大小。 37．如图甲所示，在光滑水平面上有A、B、C三个小球，其中A、B两球的质量均为，C球的质量为，A、B两球分别用长为的水平轻杆通过光滑轻质铰链与C球连接，两球间夹有一根劲度系数足够大、长度可忽略的压缩轻弹簧，弹簧与球不相连，弹簧储存弹性势能为，现固定C球，释放弹簧。 (1)求弹簧释放后，A、B两球与弹簧分离时两球的速度大小； (2)若C球不固定，求释放弹簧后，当C球的速度最大时轻杆的弹力大小； (3)若C球不固定，求释放弹簧后两杆间夹角第一次为时（如图乙），C球的速度大小。 38．某游戏装置的轨道依次由斜面、光滑水平面、传送带及弹簧系统平滑连接构成，最左侧为斜面，斜面底端与水平面平滑连接，水平传送带长为，以速率顺时针匀速转动。传送带右端与水平面平滑连接。右侧装有劲度系数为的弹簧，弹簧右端固定，左端与质量为的框（厚度足够薄）相连。框初始静止在弹簧原长位置点（点离点足够远），所在水平面涂有特殊材料，框向右运动（）时不受摩擦，向左运动（）时受恒定摩擦阻力。现将一可视为质点的质量为的物块从斜面下滑，物块经过传送带后，与框发生完全非弹性碰撞并结为一体。随后在段往复运动，弹簧始终处于弹性限度内。物块与传送带的动摩擦因数为，其它轨道均光滑。已知：，，，，，，，，弹簧的弹性势能，弹簧振子的周期，求： (1)物块刚滑上传送带点时的速度大小； (2)传送带电动机因运送物块而多做的功W； (3)整体碰撞后最终停止的位置离点的距离； (4)整体碰撞后运动的总时间。 39．伽俐略大炮是一种极为简易的机械发射装置，由伽俐略于1590年左右发明。现我们共同研究伽俐略大炮的实验，先将的弹性大球单独自由释放，落地反弹高度为下落高度的0.64倍。现在弹性大球上将弹性小球逐个叠放，并将它们从距地面高处同时自由释放，如图所示。已知各球相互接触且重心在同一竖直线上，每个弹性球的质量为该球下面接触球质量的，各球之间均发生弹性碰撞，作用时间极短，无论弹性大球上面是否叠放弹性小球及叠放几个弹性小球，弹性大球与地面碰撞过程中能量损失均保持不变，重力加速度取，忽略空气阻力。 (1)若将弹性大球单独从距地面高处自由释放，取向上为正方向，求弹性大球与地面第一次碰撞时弹性大球的动量变化； (2)若弹性大球上端只放一个弹性小球，求两球第一次碰撞过程中弹性大球对弹性小球的冲量大小： (3)若要使最上端的弹性小球第一次上升高度不低于，求弹性大球上至少需要叠放多少个弹性小球？ 考点04 实验：验证动量守恒定律 一、实验题 40．某同学利用如图所示装置来验证动量守恒定律，图中的点是小球抛出点在地面上的竖直投影，点是入射小球从点释放独自滚下时的落点，点、点分别是小球与小球碰撞后球、各自的落点。 (1)下列操作中，属于本实验必要步骤的是__________（填选项的符号）。 A．测量两个小球的质量、 B．测量抛出点距地面的高度 C．测量点到轨道水平部分的高度 D．测量两小球相碰前、后平抛运动的射程 (2)若表达式满足__________，则两球碰撞过程动量守恒（用所测物理量符号表示）。 若该碰撞是弹性碰撞，则应满足的表达式为__________（用、、表示）。 (3)某次实验中，测定，（即）小球落地点的平均位置距点的距离如图所示，则碰撞前、后两小球总动量的比值为__________。（保留三位有效数字） 41．某兴趣小组利用图示装置研究弹性碰撞。该装置由倾斜轨道AB、平直轨道CD与斜面EF连接而成，其中B、C之间通过光滑小圆弧（图中未画出）连接，小球通过B、C前后速率不变。实验时，先把CD段调成水平再把质量为m2的小球2放在平直轨道CD上，然后把质量为m1的小球1从倾斜轨道AB上的P点由静止释放，球1与球2发生正碰后，球2向前运动，经D点平抛后落到斜面上的Q点（图中未画出），球1反弹，最高上升到倾斜轨道AB上的P′点（图中未画出）该小组测出P点到CD的高度为h，P′点到CD的高度为，EQ=，θ=30°，球1与球2大小相等。 (1)本实验中，m1___________m2（选填“>”“<”或“=”）。 (2)若重力加速度为g，取向右为正方向，碰撞后瞬间小球1的速度为_____（用g、h、表示） (3)碰撞前后，若满足表达式______，则可验证碰撞中两球组成系统的动量守恒。（用m1、m2、h、表示） (4)碰撞前后，若满足=_________h，则可验证该碰撞为弹性碰撞。 42．一实验小组想借助“子母球”来验证一维对心碰撞过程遵循动量守恒定律，设计了如下实验： 步骤1：在一竖直墙面上贴上一刻度尺； 步骤2：测量母球A和子球B的质量mA、mB； 步骤3：在刻度尺前方将A、B两球轻靠在一起，调整竖直位置使A球的最低点到地面高度为h0，再微调水平位置使它们球心在同一竖直线上； 步骤4：将两球同时由静止释放，通过高速摄像机记录全过程； 步骤5：慢放高速摄像机录下的视频，得到A，B两球第一次弹起后向上运动的最大高度hA、hB。 (1)为顺利完成实验，两球的质量关系应满足mA__________mB；（填“>”、“<”或“=”） (2)已知当地重力加速度为g，不考虑A与地面碰撞时的能量损失，则A与B球碰撞前瞬间A的速度大小为__________；（用g、h0表示） (3)在实验误差允许的范围内，若满足关系式____________________（用mA、mB、h0、hA、hB表示），则能验证子母球碰撞过程遵循动量守恒定律； (4)若考虑实际碰撞过程中有机械能的损失，则应满足的不等式为：____________________（用h0、hA、hB表示）。 43．如图所示，已知A、B两滑块的质量关系为mB＝1.5mA，拍摄共进行了四次，第一次是在两滑块相撞之前，以后的三次是在碰撞之后。A滑块原来处于静止状态，设A、B滑块在拍摄闪光照片的这段时间内是在10 cm至105 cm这段范围内运动的（以滑块上的箭头位置为准），试根据闪光照片（闪光时间间隔为0.4 s），分析得出： (1)A滑块碰撞后的速度vA′＝_____ m/s，B滑块碰撞后的速度vB′＝______ m/s；B滑块碰撞前的速度vB＝_____ m/s。（结果保留2位小数） (2)根据闪光照片分析得出碰撞后两个滑块动量之和是________（kg·m/s）（用mA表示）。 44．某小组想用多种方式验证动量守恒定律。 (1)如图所示装置，图中的点为小球抛出点的垂直投影。实验时，先使A球多次从斜轨上位置释放，记录落点点。然后，把半径相同的B球静置于轨道末端，再将A球从斜轨上释放，与B球相碰，多次重复上述相碰过程，分别记录落点为和。用刻度尺测量出水平射程、、。测得A球的质量为，B球的质量为。 ①实验中，通过测量小球做平抛运动的水平射程来代替小球碰撞前后的速度。必须满足的条件有______。 A．两球的质量必须相等 B．轨道末端必须水平 C．同一组实验中，入射小球必须从同一位置由静止释放 D．轨道倾斜部分必须光滑 ②在实验误差允许范围内，若满足关系式__________（用所测物理量的字母表示），则可以认为两球碰撞前后的动量守恒；若两球发生弹性碰撞，则、、之间一定满足的关系是______（填选项前的符号） A． B． C． ③在上述实验中更换两个小球的材质，其他条件不变，可以使被撞小球的射程增大。请你分析被撞小球射程不能超过_________。（写出关系式，用实验中测量的物理量：、、、表示） (2)一个实验小组设计了如图所示的实验装置验证动量守恒定律。图中水平桌面上放置气垫导轨，导轨上有光电门1和光电门2，它们与数字计时器相连，遮光片沿运动方向的宽度都相等。实验前调节气垫导轨成水平状态，滑块A、B静止在导轨上。 ①在第1组实验中，实验前，测得弹性滑块A（连同其上的遮光片）的质量为、弹性滑块B（连同其上的遮光片）的质量为。轻推滑块A，测得A通过光电门1的遮光时间为，A与B相碰后，B和A先后经过光电门2的遮光时间分别为和，在实验误差允许的范围内，若满足关系式_________，即验证了碰撞前后两滑块组成的系统动量守恒。（用测量的物理量表示） ②在第2组实验中，两个滑块的碰撞端分别装上撞针和橡皮泥，如图。碰撞时撞针插入橡皮泥中，使两个滑块连成一体运动。实验前，测得滑块A（连同其上的遮光片、撞针）的总质量为、滑块B（连同其上的遮光片、橡皮泥）的总质量为。实验中测得滑块A单独通过光电门1的时间记为，滑块连成一体后，滑块B通过光电门2的时间记为。通过多次实验得到多组、的值。某同学想通过绘制图像验证滑块碰撞前后是否动量守恒，分析说明判断其方法的合理性_________。 45．某实验小组利用如图所示的装置来验证动量守恒定律。实验时先将质量为m1的小球A从弧形槽上某点由静止释放，小球A离开弧形槽后落在斜面上的P点；然后将质量为m2的小球B放于弧形槽末端，使其保持静止，再将小球A从弧形槽上由静止释放，两小球发生碰撞后分别落在斜面上的M、N两点，已知斜面与弧形槽末端相接于O点。空气阻力可忽略不计。 (1)关于该实验，下列说法正确的是（　　） A．两次释放小球A的位置应相同 B．弧形槽末端既可以水平也可以倾斜 C．两小球质量关系应满足m1>m2 D．实验时应测出斜面倾角 (2)某次实验测得OM、OP、ON的长度分别为L1、L2、L3，则当满足___________（结果用m1、m2、L1、L2、L3表示）时，可验证两小球碰撞时系统动量守恒；若该碰撞为弹性碰撞，则当满足__________（结果用m1、m2、L1、L2、L3表示）；若该碰撞为弹性碰撞，且，则___________。 46．某兴趣小组在“验证动量守恒定律”的实验中，采用如图1所示的装置。先将竖直挡板靠着轨道末端放置，入射小球A从倾斜轨道卡槽位置静止释放，当小球撞击竖直挡板时得到撞击点。然后将竖直挡板向右平移一段距离，入射小球A从同一位置静止释放，从水平轨道抛出后撞击竖直挡板，在竖直挡板上得到撞击点；再把被撞小球B静置于水平轨道末端，将入射小球A仍从原位置由静止释放，两球发生正碰后各自飞出撞击竖直挡板，分别得到撞击点、，各撞击点间对应的竖直高度如图所示。 (1)关于实验，下列说法正确的是______。 A．轨道必须光滑且末端水平 B．小球A的质量可以小于小球B的质量 C．小球A每次必须从同一位置由静止释放 D．小球B的直径应等于小球A的直径 (2)实验测得小球A的质量为，被碰撞小球B的质量为，图中、、的距离、、，若A、B两球在碰撞中动量守恒，其满足的表达式是______（用测得量表示） (3)如图所示，小姜同学利用“冲击摆”测子弹的速度，子弹以水平方向的初速度射入静止的摆锤，射入后两者一起摆动，测得摆锤上升的最大高度为，已知木块的质量为，子弹的质量，可得子弹的初速度________。（用题给的字母和重力加速度为g表示） 47．用“碰撞实验器”可以验证动量守恒定律，即研究两个小球碰撞前后的动量关系。如图（a）所示，先安装好实验装置，在地上铺一张白纸，白纸上铺放复写纸，记下重垂线所指的位置。 实验步骤如下： 步骤1：不放小球2，让小球1从斜槽上点由静止滚下并落在地面上，重复多次，用尽可能小的圆，把小球的所有落点圈在里面，其圆心就是小球落点的平均位置； 步骤2：把小球2放在斜槽前端边缘位置，让小球1从斜槽上点由静止滚下，使它们碰撞，重复多次，并使用与步骤1同样的方法分别标出碰撞后两小球落点的平均位置； 步骤3：用刻度尺分别测量三个落地点的平均位置、、离点的距离，即线段、、的长度。 (1)下列操作会对实验结果产生影响的有________。 A．斜槽轨道不光滑 B．斜槽轨道末端不水平 C．实验过程中，复写纸移动 D．小球1每次从斜槽上静止释放的位置不同 (2)上述实验除需测量线段、、的长度外，还需要测量的物理量有________。 A．小球1的质量和小球2的质量 B．小球1和小球2的半径 C．小球做平抛运动的时间 D．点离地面的高度 (3)某同学在实验中正确操作，认真测量，得出的平均落点情况如图（b）所示。若两球相碰前、后的动量守恒，则________。 (4)完成上述实验后，某实验小组对上述装置进行了改造，如下图，用螺旋测微器测量遮光条的宽度如下图乙所示，则宽度________。 (5)完成上述实验后，另外一实验小组对上述装置也进行了改造如下图（c）所示，图中圆弧为圆心在斜槽末端的圆弧。让小球1仍从斜槽上点由静止滚下，重复实验步骤1和2的操作，得到两球落在圆弧上的平均位置为、、。测得斜槽末端与、、三点的连线与竖直方向的夹角分别为、、，则验证两球碰撞过程中动量守恒的表达式为________。（结果用、、、、表示）。 试卷第1页，共3页 18 / 54 学科网（北京）股份有限公司 $