精品解析：福建省仙游第一中学2026-2027学年九年级上学期第一次阶段测试数学试题

福建省仙游第一中学初中九年级数学科校本作业 2026-2027学年九年级上学期数学学情自测 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；即可进行解答． 【详解】解：A、，是一元一次方程，故A不符合题意； B、，是三次方程，故B不符合题意； C、，是一元二次方程，故C符合题意； D、，是二元一次方程，故D不符合题意； 故选：C． 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），其中a叫做二次项系数，叫做二次项，b叫做一次项系数，叫做一次项，c叫做常数项，据此可得答案． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为， 故选：D． 3. 一元二次方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是用配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握完全平方公式． 首先移项，然后根据完全平方公式配方，即可得出答案． 【详解】解：， ， ． 故选：． 4. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是求得二次函数的顶点坐标．根据二次函数的顶点坐标为，即它的顶点坐标在y轴上，即可解答． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， ∴它的顶点坐标在y轴上， ∴只有C选项中的图像符合题意． 故选：C． 5. 关于函数的性质，下列表述正确的是（ ） A. 它的图象的顶点坐标为 B. 它的图象关于y轴对称 C. 当x的值增大时，y的值也增大 D. 它的图象在第一、三象限内 【答案】B 【解析】 【分析】利用型二次函数的基本性质判断各选项. 【详解】解：函数的顶点坐标为，故A错误； 对称轴为轴，图象关于轴对称，故B正确； 当时，随增大而减小，故C错误； ，，图象在第一、二象限及原点，故D错误. 6. 若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据公式法解答，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的根为， ∴二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， ∴这个方程为． 故选：D 7. 在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】共有x个队参加比赛，则每队参加（x-1）场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排36场比赛，列方程即可． 【详解】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为： x（x﹣1）＝36， 故选A． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于得到比赛总场数的等量关系. 8. 已知三角形两边长分别是和，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先求出一元二次方程的根，再结合第三边需满足三角形三边关系，对根进行筛选后计算周长即可． 【详解】解：， ， 则或， 解得，； 当第三边长为时，三边长为， 由，可知不符合构成三角形的三边关系， 不能构成三角形，即此种情况不存在； 当第三边长为时，三边长为，符合构成三角形的三边关系， 此时三角形周长为． 9. 已知是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过直接计算抛物线上的点的纵坐标，并比较大小即可． 【详解】解：将三点横坐标分别代入，得 ， ， ． ， ． 10. 如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D与点C关于x轴对称，点P从点A出发向点D运动，点Q在DB上，且∠PCQ＝45°，则图中阴影部分的面积变化情况是（ ） A. 一直增大 B. 始终不变 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 【答案】C 【解析】 【分析】先证明四边形是正方形，将绕点顺时针旋转，得到进而证得△，得到，当点是中点时，最短，当最短时，的面积最小，即阴影部分的面积最小，故可得到阴影部分的面积先减小后增大． 【详解】解：令，解得，， ，， 令，解得， ， ∵点D与点C关于x轴对称，故， ，， 则四边形是正方形， 将绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， 又，， △， ，阴影部分的面积=的面积， 当点是中点时，最短，即最短时，的面积最小， 故可得到阴影部分的面积先减小后增大． 故选：C． 【点睛】此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知二次函数的图像及正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质． 二、填空题（共6题，每小题4分，共24分） 11. 一元二次方程的实数根是__________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的直接开平方法，解题的关键是将方程变形为，再利用平方根的定义求解；移项得到，然后开平方得到． 【详解】解：， 移项，得， 直接开平方得， ∴． 故答案为：，． 12. 若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， 解得且， ． 13. 已知是方程的一个根，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】解一元二次方程可确定的值，代入即可求解． 【详解】解： 移项，配方得，， ∴， 等式两边同时开方，， ∴，， ∵， ∴当时，； 当时，； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法，代入求值的方法是解题的关键． 14. 将抛物线向上平移个单位，得到的抛物线解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线平移规律，向上平移常数项加平移的单位，即可得到新抛物线解析式． 【详解】解：将抛物线向上平移个单位，得到的抛物线解析式为． 15. 若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 【答案】## 【解析】 【分析】利用已知条件对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小值即可． 【详解】解：，且都不为， ， ， 设则，原式， ， ，当时，原式取得最小值， 即的最小值为． 16. 二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点，点在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、E、F，由正方形的性质得到， 可得是等腰直角三角形，得到，设，则，利用待定系数法可得，则，可得正方形的周长为，同理可求出正方形的周长为，正方形的周长为，则可推出正方形的周长为，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、E、F， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴正方形的周长为； ∵， ∴； 同理可得， 设，则， ∴， ∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴正方形的周长为， 同理可得正方形的周长为， ……， 以此类推，可知，正方形的周长为 ∴正方形的周长为． 三、解答题（共86分） 17. 用适当方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： 或 ， 18. 阅读材料，并解答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解：． ，……① ，……② ，……③ ……④ 或． ，． 问题： （1）佳佳解方程的方法是________； A．直接开平方法 B．配方法 （2）佳佳的解答是否有错误？如有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】（1）B （2）第②步有错误，等式右边没有加9，根据等式的基本性质，等式两边应同时加上同一个数，等式仍成立，佳佳在步骤②中只在等式左边加了9，右边没有加9，违背了等式的基本性质，因此第②步错误． 正确解法如下： 解：． ， ， ， ， 或， ，． 【解析】 【分析】（1）根据配方法求解即可． （2）根据等式的性质可判断佳佳的解答是否有错误，再根据正确的写法求解即可． 【小问1详解】 解：佳佳解方程的方法是配方法． 【小问2详解】 略． 19. 已知二次函数的图象经过点． （1）求的值； （2）点在该函数的图象上，求的值． 【答案】（1）4 （2）16 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，求函数的值，熟练掌握二次函数的相关知识是解答本题的关键． （1）把点代入解析式即可求出的值； （2）根据（1）中所求得到该二次函数的解析式，然后令，求出函数的值即为所求的值． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）可知，二次函数解析式为， ∵点在这个图象上， ． 20. 已知一元二次方程的两个根为，． （1）求、的值． （2）求的值． 【答案】（1），． （2）3 【解析】 【分析】（1）根据，求解即可． （2）先化简分式，然后代入（1）中的计算结果求解即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两个根为，． ∴，． 【小问2详解】 解：． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）若是方程的一个根，求m的值及方程的另一个根． 【答案】（1） （2），另一个根是5 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得出求解即可． （2）把代入方程即可求出m的值，再利用因式分解法解方程即可得出另外一个根． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：把代入得：， 解得：， 把代入方程得：， 解方程， ， ，， ，， 则方程的另外一个根为5． 22. 自月日“闽超”开赛以来，福建省各地掀起观赛热潮，相关周边产品需求持续攀升．某文创公司推出闽超吉祥物纪念品“五福天团”，并同步开展线上主题打卡活动．现要对活动方案进行升级，需要对定价和打卡人数进行调研． 素材 月份，参与“闽超线上打卡”活动的人数有人，随着“闽超”热度不断提升，月份的报名人数达到人． 素材 闽超吉祥物纪念品“五福天团”深受球迷喜爱，在销售中发现：纪念品的进价为每件元． 素材 在统计销售数据后，发现当纪念品售价为每件元时，每月销售量达到件．若纪念品售价每降价元，销售量就会增加件． 请完成下面两个任务． （1）确定增长率：求从月份到月份“闽超线上打卡”活动报名人数的平均增长率． （2）拟定价格方案：求当纪念品降价多少元时，商场可以尽量减少库存并获利元． 【答案】（1） （2）每件纪念品降价8元时，可尽量减少库存且获利10800元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为，4月基数人，经过两个月增长到6月人，套用平均增长率公式：初始量增长率最终量，列一元二次方程求解，舍去负根． （2）单件利润原售价进价降价；总销量原销量降价增加的销量；总利润单件利润销量．列方程求出两个降价值，减少库存应使销量尽可能大，因此选更大的降价． 【小问1详解】 解：设从4月到6月报名人数的月平均增长率为． 4月人数：人，经过、两个月增长，因此列方程： ， 两边同除以： ， ， ①若，得； ②若，得，增长率不能为负，舍去． 答：月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设纪念品每件降价元． 单件利润：元； 月销售量：件； 总利润为元，列方程： ， 整理标准一元二次方程：， 解得：，． 要求尽量减少库存，即销量越大越好，降价越多销量越高： 降价2元：销量（件）； 降价8元：销量（件）， ，因此取． 答：每件纪念品降价8元时，可尽量减少库存且获利10800元． 23. 阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： （1）解方程：； （2）已知实数x、y满足；求的值． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，换元法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，模仿题干解题方法，进行计算，即可作答． （2）先整理得，则，再得，解得，，再逐个分析检验，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 设，则， 原方程化为， ∴， 解得，．当时，无意义，舍去； 当时，，解得， ∴原方程的解为，． 【小问2详解】 解：依题意，， 设， 原方程化为， ∴， ∴， 解得，． 当时，， ∴， 当时，， ∴无意义，舍去； 综上：． 24. 如图，在中，，，．有一动点P从B点出发，在射线方向移动，速度是．在P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线方向移动，速度是．若设P出发后时间为t秒． （1）用含t的代数式分别表示线段的长度，并写出相应的t的取值范围． （2）连接，求使面积为时相应的t的值． （3）问是否存在这样的时间t，使平分或者的外角？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；； （2）当时， 的面积为 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据题意得出时，，当时，，当时，，当时，，即可求解； （2）分两种情况分析：当P在线段 上时，当P在延长线上时，作出相应图形，然后利用面积建立方程求解即可； （3）分两种情况分析：当平分时，当平分的外角时，利用角平分线的性质及全等三角形的判定和性质、勾股定理解三角形求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：∵， 动点P从B点出发，在射线方向移动，速度是， ∴， ∴时，， 当时，， ∴ ∵P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发， ∴当时，， 当时，， ∴； 【小问2详解】 根据题意得：点 P在线段上时，;当点P在延长线上时，， 的面积 ， ①当P在线段 上时： ， 整理得： ， ， ∴方程无实数根； ②当P在延长线上时： ， 整理得：， 解得： ∵此时P在延长线上， ∴,即 舍去，符合题意； 答：当时， 的面积为； 【小问3详解】 存在， 当平分时，过点P作 于点D，如图所示： ∵平分 ， 在 中，， ， ∵， ， ， ∵， ∴， ∵ ∴， 解得：，符合题意； 当平分的外角时，过点P作 于点D，如图所示： 同理得， ，， ， ∵ ∴， 解得：，符合题意； 综上可得：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省仙游第一中学初中九年级数学科校本作业 2026-2027学年九年级上学期数学学情自测 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 5. 关于函数的性质，下列表述正确的是（ ） A. 它的图象的顶点坐标为 B. 它的图象关于y轴对称 C. 当x的值增大时，y的值也增大 D. 它的图象在第一、三象限内 6. 若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 7. 在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（） A. B. C. D. 8. 已知三角形两边长分别是和，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 已知是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D与点C关于x轴对称，点P从点A出发向点D运动，点Q在DB上，且∠PCQ＝45°，则图中阴影部分的面积变化情况是（ ） A. 一直增大 B. 始终不变 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 二、填空题（共6题，每小题4分，共24分） 11. 一元二次方程的实数根是__________． 12. 若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 13. 已知是方程的一个根，则_______． 14. 将抛物线向上平移个单位，得到的抛物线解析式为______． 15. 若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 16. 二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点，点在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为________． 三、解答题（共86分） 17. 用适当方法解方程： （1）； （2）． 18. 阅读材料，并解答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解：． ，……① ，……② ，……③ ……④ 或． ，． 问题： （1）佳佳解方程的方法是________； A．直接开平方法 B．配方法 （2）佳佳的解答是否有错误？如有错误，请写出正确的解答过程． 19. 已知二次函数的图象经过点． （1）求的值； （2）点在该函数的图象上，求的值． 20. 已知一元二次方程的两个根为，． （1）求、的值． （2）求的值． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）若是方程的一个根，求m的值及方程的另一个根． 22. 自月日“闽超”开赛以来，福建省各地掀起观赛热潮，相关周边产品需求持续攀升．某文创公司推出闽超吉祥物纪念品“五福天团”，并同步开展线上主题打卡活动．现要对活动方案进行升级，需要对定价和打卡人数进行调研． 素材 月份，参与“闽超线上打卡”活动的人数有人，随着“闽超”热度不断提升，月份的报名人数达到人． 素材 闽超吉祥物纪念品“五福天团”深受球迷喜爱，在销售中发现：纪念品的进价为每件元． 素材 在统计销售数据后，发现当纪念品售价为每件元时，每月销售量达到件．若纪念品售价每降价元，销售量就会增加件． 请完成下面两个任务． （1）确定增长率：求从月份到月份“闽超线上打卡”活动报名人数的平均增长率． （2）拟定价格方案：求当纪念品降价多少元时，商场可以尽量减少库存并获利元． 23. 阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： （1）解方程：； （2）已知实数x、y满足；求的值． 24. 如图，在中，，，．有一动点P从B点出发，在射线方向移动，速度是．在P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线方向移动，速度是．若设P出发后时间为t秒． （1）用含t的代数式分别表示线段的长度，并写出相应的t的取值范围． （2）连接，求使面积为时相应的t的值． （3）问是否存在这样的时间t，使平分或者的外角？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $