辽宁大连市某校2026-2027学年高二上学期第一阶段学情反馈数学试卷

2026-2027学年度上学期高二阶段性学情反馈 数学试卷 满分：150分 考试时间：120 分钟 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则点在yOz平面内（O为坐标原点）的射影坐标是（    ） A． B． C． D． 2．设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（     ） A． B．或 C． D．与相交但不垂直 3．如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，在正方体中，分别在上，且，则（   ） A．与相交 B．与异面 C．至多与之一垂直 D．是的公垂线 5．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，均与曲池的底面垂直，且，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．已知正方体的棱长为1，为平面内动点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 7．若向量是平面的一个法向量，且平面经过点，则平面的方程为．已知球经过点，且与平面相切，则球的直径的最小值为（  ） A． B． C． D． 8．在平行六面体中，底面ABCD是菱形，，，设Δ， ，，的重心分别为O，P，Q，R，则四面体OPQR的体积为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对按部分得分，有选错的得0分． 9．关于空间平面、、和直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，则内一定存在直线平行于 B．若，则内所有直线都垂直于 C．若，，，则 D．若不垂直于，则内一定不存在直线垂直于 10．给出下列命题，其中不正确的是（    ） A．设是空间的一个基底，若，则 B．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．若三个非零空间向量、、满足，，则 D．已知直线过点，是的方向向量，则点到的距离为 11．在直三棱柱中，，，为棱的中点，是侧面内一点（含边界），，则（   ） A． B．点到平面的距离为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在平行六面体中，为中点，直线与平面交于点，则的值为 . 13.在平行四边形ABCD中，，，沿着它的对角线AC将折起，使得AB与CD成，此时B，D间的距离为 . 14．如图，长方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，且．则二面角的正切值的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知空间中三点． (1)求； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标； (3)若点在平面内，求的值． 16.（15分） 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，O为的中点． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 17.（15分） 在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)若，，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”． ①若，求向量的斜坐标；②若，且，求． 18.（17分） 如图，在长方体中，，，，分别为棱，上的动点（含端点）． (1)当点在什么位置时，有平面？ (2)当动点，满足时，求点到平面距离的取值范围． 19.（17分） 已知三棱柱中，，，，，，且，，分别为，，的中点． (1)求证：平面； (2)求的长度的取值范围； (3)若，求与平面所成的角的正弦值． 高二数学试卷第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期高二阶段性学情反馈 数学 (答案) 一、1．C 2．B 3．A 4．D 5．C 6．D 7．A 8．B 二、9．A C D 10．BCD 11．ABD 三、12． 13. 或 14. 四、15．（13分） （1）由可得， 故；……………………………3分 （2）易得，又，且， 则向量在向量上的投影向量为；……8分 （3）因为点在平面上，故存在，使得， 即，又因，对照可得，解得．故． ………………………13分 16.（15分） (1)证明：因为为等边三角形，且为的中点，所以， 又因为平面平面，平面，且平面平面， 所以平面，因为平面，所以. …………5分 （2）解：取的中点，连接，因为四边形为等腰梯形，所以， 由（1）知平面，因为平面，所以, 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，设， 如图所示，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， ………………10分 又由平面的一个法向量为， ………………11分 设二面角的平面角为，可得…14分 因为，所以.……15分 所以二面角的正弦值为. 17.（15分） （1）， 的斜坐标为． ……………3分 （2）设分别为与同方向的单位向量，则，，① ；……………8分 ②由题，由，知， 由， ，， 解得， ……………13分 则． ……………15分 18.（17分） （1）如图，以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，，则，，，，，，∴，，，要使平面， 需满足由，解得． ……………5分 ∴当是棱上靠近点的四等分点时，有平面． ……………6分 （2）设，，则，，∴，，．设平面的法向量为，令，得到，， 得为平面的一个法向量． ……………10分 点到平面的距离， ………14分 易知在区间上单调递减，最大值为2，最小值为，∴． 即点到平面距离的取值范围为． ……………17分 19.（17分） （1）连接，则，分别为，的中点，， 又平面，平面，所以平面． ………2分 （2）因为，，设，则，， 则， ， ，又因为， ， ， 其中 ．因为，所以， 又在单调递增，所以 ， ，所以， 故的长度的取值范围为． ……………9分 （3）以为坐标原点，，，为，，轴的正方向，建立如图空间直角坐标系． 则，，，设（），，，．因为，所以，，，解得．……………11分 因为，所以，，，解得． 又因为，所以 ，所以．……………13分 设为平面的一个法向量，则， 又，，所以， 令，得，，．……………15分 设与平面所成的角为，， 则．……………17分 所以与平面所成的角的正弦值为． 高二数学答案第5页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 $