精品解析：辽宁省大连市滨城高中联盟2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

滨城高中联盟2025-2026学年度上学期高二10月份考试 数学试题 （时间：120分钟，满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，若三点共线，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 在六面体中，一定有 D. 在空间直角坐标系中，点与点关于平面对称 3. 已知二面角的平面角的大小为，且面，若的面积为2，则的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 在三棱锥中，，则棱与平面所成的角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 5. 在空间中，若三个非零向量满足，则的形状一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 6. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（ ） A. B. C. D. 7. 若空间向量、满足，则在方向上投影向量的长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的按部分得分，有选错的得0分． 9. 已知空间单位向量两两互相垂直，设，，则下列说法不正确的是（ ） A. 与的夹角为 B. 夹角的余弦值为 C. D. 可以作为基底来表示空间中的任意一个向量 10. 如图，已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，点，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 三棱锥的体积为 C. D. 四面体的外接球的表面积为 11. 如图几何体是由正方形以直线为轴旋转得到的，已知点是圆弧的中点，点是圆弧上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得平面 B. 存在点，使得直线与平面的所成角的正切值为 C. 不存在点，使得平面平面 D. 不存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 与向量反向的单位向量是___________ 13. 在三棱锥中，棱两两垂直且，点在底面内（包括边界），且直线与平面所成角的正弦值为，则___________ 14. 在四面体中，是内部或边界上一点，满足，且，设，则的取值范围是___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知空间中三点，设． （1）求以为一组邻边的平行四边形的面积． （2）若与互相垂直，求实数的值． 16. 如图，在三棱柱中，点是的中点，，，，设． （1）用表示； （2）求异面直线与所成角的正弦值． 17. 如图，已知是底面边长为2的正四棱柱． （1）证明：平面平面； （2）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高． 18. 在中，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． （1）求与平面所成角的大小； （2）在线段（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 19. 如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，． （1）求证：； （2）若面，求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到直线距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨城高中联盟2025-2026学年度上学期高二10月份考试 数学试题 （时间：120分钟，满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，若三点共线，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由题意存在实数，使得，进而求解. 【详解】由题意有：存在实数，使得，所以， 所以， 故选：A. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 在六面体中，一定有 D. 在空间直角坐标系中，点与点关于平面对称 【答案】D 【解析】 【分析】对于A根据向量的定义即可判断；对于B根据向量模的坐标运算即可判断；对于C举反例正四棱台即可否定；对于D根据两点的坐标特征得到两点关于平面对称即可判断. 【详解】对于A，根据向量的定义，向量不能比较大小，故A错误； 对于B，由，所以，故B错误； 对于C，当六面体为平行六面体时，成立， 当六面体不是平行六面体时，上述结论不一定成立，比如对于正四棱台，上述结论就不成立，故C错误； 对于D，由点关于平面的对称点为，故D正确； 故选：D. 3. 已知二面角的平面角的大小为，且面，若的面积为2，则的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】作出二面角的平面角，结合面积公式，求出等于其平面角的余弦值，即可求解. 【详解】如图所示，作，垂足为， 由于面，面，则，， 由于面，，则面， 由于面，则， 则二面角的平面角为， 则， 若的面积为2，则的面积为， 故选：C. 4. 在三棱锥中，，则棱与平面所成的角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作平面于，在平面内过作，垂足分别为，连接，可得为直线与平面所成的角，进而结合题设求角即可. 【详解】过点作平面于，在平面内过作， 垂足分别为，连接， 则为直线与平面所成的角， 由平面，平面，所以， 又平面，则平面， 因为平面，则， 同理可得，由， 所以，又， 因此四边形为正方形，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 故选：B. 5. 在空间中，若三个非零向量满足，则的形状一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件推出，得为锐角．同理可得也为锐角．由此可得答案. 【详解】， ， , 所以，即知为锐角． 同理可知也为锐角． 故为锐角三角形． 故选：． 6. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线的方向向量． 【详解】由题意有：平面的法向量为， 平面的法向量为， 设直线的方向向量为， 所以，令，得， 故选：D. 7. 若空间向量、满足，则在方向上投影向量的长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量数量积的运算性质可得出，利用投影向量的定义结合基本不等式可求得在方向上投影向量的长度的最小值. 【详解】因为空间向量、满足， 所以，故， 故在方向上的投影向量为， 故在方向上投影向量的长度为 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故在方向上投影向量的长度的最小值是. 故选：B. 8. 如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设，得到，结合，化简的得到，即可求解. 【详解】以为原点，分别为轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，如图所示， 设，正方形边长为，则， 则， 由，即，整理得到， 所以点在正方形内的轨迹为一条直线的一部分 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的按部分得分，有选错的得0分． 9. 已知空间单位向量两两互相垂直，设，，则下列说法不正确的是（ ） A. 与的夹角为 B. 夹角的余弦值为 C. D. 可以作为基底来表示空间中的任意一个向量 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算出，可判断A；利用计算可判断B；求得与的坐标可判断C；设，从而得到方程组，求解可判断D. 【详解】以为轴的正方向建立空间直角坐标系， 因为，， 所以，， 对于A，， 因为，，所以与的夹角为，故A错误； 对于B，， 所以夹角的余弦值为，故B正确； 对于C，， 因为，所以与不平行，故C错误； 对于D，设， 所以，所以，所以， 所以不可以作为基底来表示空间中的任意一个向量，故D错误； 故选：ACD 10. 如图，已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，点，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 三棱锥的体积为 C. D. 四面体的外接球的表面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，进而判断A，利用等体积法即可判断B，计算即可判断C，根据题意设出球心，进而求出外接球半径及表面积即可判断D. 【详解】以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图， 由题意有：， 对于A：由， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 因为，所以平面与平面不垂直，故A错误； 对于B：由，所以， 所以，所以，故B正确； 对于C：由，所以，故C错误； 对于D：三棱锥的外接球球心为，由， 四面体的外接球的表面积为 ，故D正确. 故选：BD. 11. 如图几何体是由正方形以直线为轴旋转得到的，已知点是圆弧的中点，点是圆弧上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得平面 B. 存在点，使得直线与平面的所成角的正切值为 C. 不存在点，使得平面平面 D. 不存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先将图形补全为一个正方体，然后建立空间直角坐标系，根据向量的坐标运算对各选项进行判定即可. 【详解】由题意，可将几何体补全为一个正方体，建立空间直角坐标系，如图所示，    设正方体棱长为2，则，，设， 对于A：设存在点，使得平面，因为， 所以， 由，所以， 即当点与点重合时，平面，故A正确； 对于B：设存在点，使得直线与平面的所成角的正切值为， 设直线与平面的所成角为，即，， 又，所以，又，解得， 又，， 则， 整理得，令， 可知在上的图象是连续的， ， 所以存在，使得， 所以存在点，使得直线与平面的所成角的正切值为，故B正确； 对于C：设存在点，使得平面平面， 则， 而，平面的一个法向量为， 所以， 又，则，即当点为的中点时，平面平面，故C错误； 对于D：设平面的法向量为， 因， 所以，令，则 可得，故， 假设存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，， 所以， 所以或， 因为，则，而， 故当时，或均无解， 综上所述，不存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 与向量反向的单位向量是___________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意有的反向的单位向量为，根据向量的数乘运算即可求解. 【详解】由题意有，所以的反向的单位向量为， 故答案为： 13. 在三棱锥中，棱两两垂直且，点在底面内（包括边界），且直线与平面所成角的正弦值为，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，令，设，先求平面的法向量为，由得，进而得，最后利用空间向量数量积的运算可求得结果. 【详解】根据题意，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图： 设，所以， ， 设，设平面的法向量为， 所以，令，得， 所以，所以，即， 设直线与平面所成的角为， 所以， 所以， 故答案为：. 14. 在四面体中，是内部或边界上一点，满足，且，设，则的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】由得，进而得，即，最后利用二次函数即可求解. 【详解】由题意有 由有， 所以， 所以， 所以， 当时，取最小值为， 当时，取最大值为， 所以的取值范围为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知空间中三点，设． （1）求以为一组邻边的平行四边形的面积． （2）若与互相垂直，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求得向量，夹角的余弦，进而求得其正弦，根据三角形面积公式求得答案. （2）利用（1）求得与的坐标，利用向量的数量积可求得实数的值． 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， ， 因为与互相垂直，所以， 整理得，解得. 16. 如图，在三棱柱中，点是的中点，，，，设． （1）用表示； （2）求异面直线与所成角的正弦值． 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的三角形法则和平行四边形法则求解即可； （2）先由题中条件证得四边形是矩形，得，再使用余弦定理求出，得到，继而得到平面，从而得到和为正三角形，求得，的长度，再使用余弦定理得到，设异面直线与所成角为，得到，再用公式 求出，从而得解. 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 在三棱柱中，四边形是平行四边形， ，四边形是矩形，， ，，， 由余弦定理得，可得， ，，，平面， ，平面，平面，， 为直角三角形，，连接，， ，，，和为正三角形， ，，， 设异面直线与所成角为，，， 则，又，. 即异面直线与所成角的正弦值为. 【点睛】 17. 如图，已知是底面边长为2的正四棱柱． （1）证明：平面平面； （2）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用面面平行的判定定理即可得证； （2）设正四棱柱的高为，利用等体积法即可求解. 【小问1详解】 连接， 在正四棱柱中，，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又不在平面内，平面， 所以平面， 同理平面， 又平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 连接与交于点，连接， 设正四棱柱的高为，由底面边长为2， 所以， 由底面为边长为2的正方形，所以为的中点， 所以，所以，所以, 所以, 所以， ， 又因为点到平面的距离为， 由有， 所以，解得. 所以正四棱柱的高为. 18. 在中，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． （1）求与平面所成角的大小； （2）在线段（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）在线段上存在这样的点，使平面与平面夹角的余弦值为. 此时的长度为. 【解析】 【分析】（1）可证，以为坐标原点，以所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，用向量法求与平面所成角的大小； （2）假设在线段上存在点，使平面与平面夹角的余弦值为.设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得. 【小问1详解】 因为在中，，，且， 所以，则折叠后， 又，平面，所以平面， 平面，所以，又，， 故以为坐标原点，以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，故，由几何关系可知， 故， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的法向量为， .设与平面所成角的大小为， 则，又，所以， 所以与平面所成角的大小为； 【小问2详解】 假设在线段上存在点，使平面与平面夹角的余弦值为. 在空间直角坐标系中，， 设，则 ， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 若平面与平面夹角的余弦值为. 则满足， 化简得，解得（舍去）或，即， 故在线段上存在这样的点，使平面与平面夹角的余弦值为. 此时的长度为. 19. 如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，． （1）求证：； （2）若面，求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到直线距离的最大值． 【答案】（1）取弧中点，则，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 连接，在中，，，则， 于是， 设，则，其中，， 因此，即， 所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取弧中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，求出，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）由数据求出点坐标，再求出平面FOD与平面的法向量，利用面面角的向量求法求解. （3）利用空间向量求出点到直线距离的函数关系，再求出最大值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，得， 又，则，而平面， 则平面，即为平面的一个法向量， ，由平面，得， 又，解得，此时， 设是平面的法向量，则，取，得， 设是平面的法向量，则，取，得， 则平面FOD与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 ， 则点到直线的距离， 当时，即的坐标为时，点到直线的距离取最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $