第十八章相似形（期中知识清单）九年级数学上学期新教材北京版

第十八章 相似形　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 比例线段 1.1 成比例线段（比例线段）的定义 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称比例线段。 示例：线段 ，，，，因为 ，，所以 ，线段 ，，， 成比例。 1.2 比例的基本性质 如果 ，那么 ；反过来，如果 ，且 ，那么 。 示例：由 得 ；由 （）得 。 注意：由 还可以得到其他的比例式，如 等。 2. 黄金分割 2.1 黄金分割点与黄金比 点 把线段 分成两条线段 和 ，如果 ，那么称线段 被点 黄金分割，点 叫作线段 的黄金分割点， 与 的比叫作黄金比。 示例：设 ，，则 。由 得 ，即 ，所以 ，解得 （负值不合题意，舍去），故黄金比 。 2.2 黄金分割数 人们把 这个数叫作黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的 法就应用了黄金分割数。 示例：。 3. 平行线分线段成比例 3.1 基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 示例：如图，，直线 、 被这三条平行线所截，对应线段 、 与 、 满足 ；应用比例性质和等式性质还可得到 ，。 3.2 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例。 示例：在 中，若 ，则 ，，。 4. 相似多边形与相似三角形 4.1 相似多边形的定义 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫作相似多边形，相似多边形对应边的比叫作相似比。 示例：五边形 与五边形 相似，记作”五边形 ∽ 五边形 “，读作”五边形 相似于五边形 “，其中 称为相似比。 注意：在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 4.2 相似三角形的定义 在 和 中，如果满足 ，，，，即三个角分别相等，三条边对应成比例，我们就说 和 相似，记作”∽“。 示例： 与 中，若三个角分别相等、三条边对应成比例，则 与 相似。 5. 相似三角形的判定 5.1 判定定理一（平行线截三角形） 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似。 示例：在 中，， 分别交 、 于点 、，则 ∽。 5.2 判定定理二（两角） 两角分别相等的两个三角形相似。 示例：在 和 中，，，则 ∽。 5.3 判定定理三（三边） 三边成比例的两个三角形相似。 示例：，则 ∽。 5.4 判定定理四（两边及其夹角） 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 示例： 且 ，则 ∽。 注意：判定定理四中相等的角必须是成比例两边的夹角；若相等的角不是夹角，两个三角形不一定相似。 6. 相似三角形的性质 6.1 对应线段的比等于相似比 相似三角形对应线段的比等于相似比。相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 示例：∽，相似比为 ，、 分别为 、 边上的高，则 。 6.2 周长比等于相似比 相似三角形的周长比等于相似比。 示例：∽，相似比为 ，则 。 6.3 面积比等于相似比的平方 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 示例：相似比为 时，。 6.4 相似多边形的周长比与面积比 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 示例：四边形 ∽ 四边形 ，相似比为 ，则周长比为 ，面积比为 。 7. 图形的位似 7.1 位似图形的定义 两个多边形相似，且对应顶点所在的直线相交于一点，像这样的两个图形叫作位似图形，其中交点 叫作位似中心。 示例：点 是 外的一点，在射线 、、 上分别取点 、、，使 ，则 与 位似， 是位似中心。 注意：位似图形不但相似，而且具有特殊的位置关系；利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小。 7.2 平面直角坐标系中的位似 在平面直角坐标系中，将一个多边形（有一个顶点为原点）每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数 （），以得到的各点为顶点的多边形与原多边形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 。 示例： 各顶点的横坐标、纵坐标都乘 ，得到的三角形与原三角形位似，位似中心是原点，相似比为 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 比例的合比、分比性质 由 可得 ，。 【使用提醒】由 推 时，两边同加 ，前提是 ，。 1.2 比例的等比性质 若 （），则 ；推广到多个相等的比同样成立。 【使用提醒】分母之和 必须不为 ，否则等比性质不成立。 1.3 黄金分割的三种常见比 黄金分割点 分线段 时，较长段与全长的比（黄金比）；较短段与较长段的比也是 ；较长段与较短段的比 。 【使用提醒】一条线段有两个黄金分割点，分别靠近两端，题目限定”较长段、较短段”时要据此判断是哪一段。 1.4 直角三角形斜边上的高（射影定理） 在 中，， 于点 ，则 ∽∽，且 ，，。 【使用提醒】三个关系式的前提都是 ，由对应边成比例推出，其中 ∽ 用到了 （公共角）。 1.5 相似比的连锁结论 相似比为 的两个相似三角形：对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于 ；周长比等于 ；面积比等于 。 1.6 “A 字型”与”X 字型”基本图形 平行于三角形一边的直线截另外两边时（A 字型），；截另外两边延长线时（X 字型），同样有对应线段成比例，且所得三角形与原三角形相似。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 判断四条线段是否成比例 按长度从小到大排序，再看两组”较短∶较长”的比是否相等；或交叉相乘看 与 是否相等。如线段 ，，，（单位 ）：，所以成比例。 2.2 证明两个三角形相似的思路 先找相等的角（对顶角、公共角、平行线的同位角或内错角、同角或等角的余角或补角），再选判定定理：已证两角相等用”两角”；能算三边之比用”三边”；有一角相等且夹它的两边成比例用”两边及夹角”。如 ，由 ， 直接得 ∽。 2.3 利用相似求未知边长 写出对应边的比例式（按记法字母顺序对应）→ 代入已知量 → 解方程求未知量。如 ∽，周长分别为 、，，，由 解得 ，。 2.4 利用相似求面积比或周长比 先确定（或求出）相似比 ，则周长比为 ，面积比为 ；反之由面积比开平方得相似比。如对应边之比为 ，则周长比为 ，面积比为 。 2.5 位似作图与求对应点坐标 以原点为位似中心、相似比为 （）：把各顶点横、纵坐标都乘 ； 时图形位于关于原点对称的另一侧。如 顶点 ，，，缩小为 得 ，，。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 比例式变形 由 交叉相乘得 ，也可”左比右、上比下”灵活变形 → 黄金比速记 黄金比 ，其倒数为 较长段∶较短段 相似比与面积比互化 面积比 相似比的平方；相似比 面积比的算术平方根 面积比为 → 相似比为 按字母顺序找对应边 记法”∽“中字母顺序即对应顺序 对 ， 对 全等与相似的关系 全等是相似比为 的特殊相似 相似比为 时两三角形全等 4. 常见考试模型 4.1 利用相似测高度（影子法） 公式：同一时刻物高与影长成正比：设物高为 、影长为 ，则 （、 为另一物的高与影长）。 限定：必须同一时刻，太阳光线可看作平行光线。 示例：如竹竿高 、影长 ，楼影长 ，则楼高 。 4.2 利用相似测河宽 公式：构造两个相似直角三角形，由对应边成比例 求河宽 。 限定：所取点须使两组直角相等、一对角为对顶角（或公共角）。 示例：如 ，，，则 。 4.3 小孔成像模型 公式：物高与像高之比等于物距与像距之比，。 限定：光沿直线传播，。 示例：如火焰高 ，像高 ，物距 ，则 。 4.4 位似坐标模型 公式：原点为位似中心、相似比为 时，点 的对应点为 。 限定：；相似比为 。 示例：如 时 对应 ； 时对应 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：面积比误写成相似比，漏掉平方 典例：两个相似三角形的相似比为 ，求它们的面积比。 错解：面积比为 。 正解：相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以面积比为 。 原因：性质记混。周长比、对应线段之比等于相似比（一次方），而面积比等于相似比的平方（二次方）。学生把”周长比 相似比”的结论直接套到面积上，忘了面积是两个长度相乘的结果，比例关系要平方。区分口诀：线（边长、周长、高、中线、角平分线）用一次，面积用二次。 易错点 2：两边成比例但角不是”夹角”，误判相似 典例：在 与 中，，，能否判定两三角形相似？ 错解：两边成比例且一角相等，所以 ∽。 正解：不能。判定定理要求”两边成比例且夹角相等”，而 （）是边 与 （ 与 ）的夹角，不是 与 的夹角。题设中成比例的两边是 、，其夹角是 ，给的却是 ，角不是两边的夹角，故不能判定相似。 原因：条件遗漏。学生只记”两边成比例 一角相等”，忽略了”夹角”这一关键限定。“两边成比例且夹角相等”中，相等的角必须是成比例两边的夹角；角若不是夹角，两边再成比例也推不出相似。辨别的关键：写出成比例的两条边，看相等角是不是这两条边的夹角。 易错点 3：相似三角形对应边配对错误 典例：已知 ∽，，，，，求 的长。 错解：由 ，得 ，所以 。 正解：由 ∽，按字母顺序对应： 对 、 对 、 对 ，所以对应边为 对 、 对 、 对 。于是 ，即 ，得 。 原因：对应关系错乱。相似记法”∽“中，字母的先后顺序已经标明了对应顶点（ 对 、 对 、 对 ），学生没按这个顺序找对应边，把 错当成与 对应。找对应边要”按记法中的字母顺序一对一”，不能凭图形中的视觉位置随意配对。 易错点 4：平行线分线段成比例，对应线段找错 典例：如图，，，，，求 的长。 错解：，即 ，所以 。 正解：对应线段是”上段比下段”对应：“ 比 ”对应” 比 “，即 ，，所以 。 原因：对应关系找错。学生把 当作与 对应，其实 是整条线段，应与 对应，不与 对应。平行线分线段成比例中，“上段∶下段”要对”上段∶下段”，“上段∶整条”要对”上段∶整条”，必须上下、部分整体严格对应，不能混搭。 易错点 5：黄金分割点混淆长短段 典例：线段 ，点 是线段 的黄金分割点，且 ，求 的长。 错解：。 正解：由 知 是较长段，，所以 。 原因：长短段混淆。黄金分割点把线段分成长、短两段，较长段 全长 全长，较短段 全长 较长段。学生看到”黄金分割”就机械地把 乘全长，却把结果错安在 （较短段）上；而线段上有两个黄金分割点， 与 对应的 位置不同，题设限定了 ，就必须据此判断哪段较长。 易错点 6：位似相似比漏取绝对值 典例：在平面直角坐标系中，以原点 为位似中心，将点 的横坐标、纵坐标都乘 ，得到点 ，求这两个位似图形的相似比。 错解：相似比为 。 正解：相似比是 。 与原图形关于原点对称，但位似图形的相似比规定为 。 原因：忽略绝对值的约定。坐标系中把横、纵坐标都乘 （），所得图形与原图形位似，相似比为 。学生直接把 当相似比， 为负时写出”相似比为负数”；相似比是两条线段长度的比，只能是非负数，必须取绝对值。 只表示图形画在关于原点对称的另一侧，不改变相似比的大小。 学科网（北京）股份有限公司 $