第十八章 相似形（11考点+12易错+易错训练）（知识清单）数学新教材北京版九年级上册

该初中数学“相似形”单元知识清单系统梳理了第十八章核心内容，涵盖比例线段、相似判定、性质应用等知识范畴，构建了从基础概念到实际问题解决的递进式学习支架。 清单以“知识点梳理+易错点剖析+对点训练”三维设计呈现知识体系，如比例线段易错点细分五类提醒，培养学生数学思维与应用意识。通过分类分级的知识关联，助力学生自主突破难点，教师可据此优化教学，提升复习效率。

第十八章 相似形 知识点一 比例线段 1.线段的比：两条线段长度的比叫做这两条. （1）“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的是一个结果，是一个数； （2）在表示两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有； （3）线段的比，最终要化成 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称知识点二、比例的基本性质 1.基本性质：如果a：b＝c：d，那么ad＝bc，反过来，如果ad＝bc（b≠0，d≠0），那么a：b＝c：d. 2.合比性质：如果，那么， 如果，那么. 知识点三、比例中项 在比例式中，如果c＝b，那么，我们把b叫做a和d的. 如图所示，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B，点B为线段AC的，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为 1.黄金分割是以线段的比例中项来定义的； 2.一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的； 3.数约等于0.618，这个数又被称为黄金数； 4.边长之比等于黄金数的图形叫做“黄金图形”. 知识点四、相似形 形状相同的图形是. 1.至少有两个图形，图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2.全等形是一种特殊的相似形； 3.相似形与图形的、无关，与和也无关. 知识点五、相似多边形 各角分别相等、各边成比例的两个多边形，它们的，称为. 两个相似多边形可以用符号“∽”表示，读作“相似于”，相似多边形的对应边的比叫做. 1.相似多边形的三个条件：①；②；③； 2.全等多边形得相似比是1，相似比是1的相似多边形是； 3.当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 知识点六、平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 如图： l1∥l2∥l3，直线a、b分别与l1、l2、l3交于点A、B、C和点D、E、F、，则有： 1.； 2.； 3.. 当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广. 知识点七、相似三角形的判定 由平行判定三角形相似 ，所截得的三角形与原三角形相似，如图所示： 由两角关系判定三角形相似 的两个三角形相似，如图所示： 由两边及夹角的关系判定两三角形相似 的两个三角形相似，如图所示： 由三边关系判定两个三角形相似 的两个三角形相似，如图所示： 知识点八、相似三角形周长比的性质 1.相似三角形等于相似比； 2.相似多边形等于相似比. 如图所示，若，则， 则. 知识点九、相似三角形面积比的性质 相似三角形面积的比等于 如图所示，若，则，分别作出与的高AD和， 则. 知识点十、相似三角形对应线段比的性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； 2.相似三角形中的对应线段的比等于； 3.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于. 注：相似三角形中除了上述三种线段外，只要是对应的线段，它们的比都等于相似比. 知识点十一、相似三角形的实际应用 相似三角形核心原理是对应角相等、对应边成比例，常用来解决生活中无法直接测量的长度、高度、距离问题，应用十分广泛。 第一，测量物体高度。借助太阳光、标杆、镜面反射构造相似三角形，通过测量可获取的地面距离、标杆高度，利用比例计算出大树、高楼、旗杆等高大物体的高度，规避直接测量的困难。 第二，测量不可跨越距离。可用于测算河宽、两建筑物间距等无法直接丈量的距离，通过在平地构造相似直角三角形，依托已知边长，精准推算出未知距离。 第三，生活与工程缩放应用。用于图纸绘制、摄影投影、灯光投影等场景，利用相似图形形状不变、比例恒定的特点，实现图形精准缩放，同时可解决影子、视野盲区等实际计算问题。 易错点1 比例线段 易错提醒 比例线段常见易错点较多。一是混淆比例内项、外项，变形比例式时交叉相乘出错；等积式与比例式互化容易写反前后项。二是忽略线段顺序，判断四条线段成比例不按大小排序直接列式，造成漏解。三是平行线分线段成比例定理误用，分不清对应线段，错把非对应边建立比例。四是遇到分类讨论题型思维片面，一条线段为比例中项时常只算一种情况。五是图形中有多组线段时，盲目套用比例，不会找准相似或平行对应的两组线段，导致列式错误。解题需规范书写对应关系，留意多解情况。 【对点训练】1．下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．cm，，， 【对点训练】2．若，则_______． 【对点训练】3．已知：，且． (1)求a、b、c的值； (2)添上一个数m，使得a、b、c、m四个数能构成比例式，那么m可以是______； (3)若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为______． 易错点2 黄金分割 易错提醒 黄金分割比值不少同学容易混淆长短线段比例。易错点：分不清较长线段与整条线段、较长线段与较短线段的两组比例；审题不看清哪条是整条线段，直接套用数值。求比例中项时忽略线段长度为正，错误保留负根。题目未指明分割点位置，缺少分类讨论。作图与计算题中，常把黄金分割点当成中点混淆。另外容易记错黄金比倒数关系，计算长度时分母处理失误。解题先明确线段大小关系，看清谁是全长，合理取舍负值，谨防漏解。 【对点训练】4．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 【对点训练】5．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比．如图，是线段上一点，若，且满足，则称是线段的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台侧进入，他至少走多少米，恰好站在舞台的黄金分割点上？ 【对点训练】6．在世界超级摩托车锦标赛葡萄牙站比赛中，张雪机车车手瓦伦丁·德比斯凭借精湛的过弯技术夺得冠军．据了解，摩托车通过弯道时，理想的路线通常遵循“外—内—外”原则，其弯心顶点位置与黄金分割比例有关．在某段弯道中，车手按黄金分割比例选择从弯点C入弯（曲线曲线），且从入口A到入弯点C的路程为，则弯道入口A到出口B的路线总长为______m． 易错点3 平行线分线段成比例 易错提醒 平行线分线段成比例的常见易错点集中在对应关系与定理条件。多数同学容易看错线段对应位置，乱套“上下对应”比例，错把不对应的线段列成比例式。其次混淆定理与推论，未确认线段被平行线截得就直接使用公式。在三角形“A型、X型”模型中，经常颠倒内外线段比例。部分学生只会记“上比下”，忽略“上比全、下比全”两种比例形式，导致列式单一出错。解题时常忽略多条平行线交错截取的情况，找不准截线，且审题不严谨，线段对应顺序混乱，是最常见丢分原因。 【对点训练】7．如图，已知，直线与直线相交于点O．如果，，，则________． 【对点训练】8．如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线平行且间距相等，同一条直线上的三个点、、都在竖格线上．若线段，则线段的长为_____． 【对点训练】9．如图，直线，分别交直线于点，，，交直线于点，，． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 易错点4 相似多边形 【对点训练】10．如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【对点训练】11．如图，矩形中，，，点E，F分别在，上，若矩形矩形，则的长为____． 【对点训练】12．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题：    (1)当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽，若不存在，请说明理由． (2)边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． 易错点5 相似三角形的判定找不到相似条件 易错提醒 相似三角形判定最易出错的是对应关系混乱，做题不找对应角、对应边，随意套用判定定理。很多学生误用“边角边”判定，忽略夹角必须为两边夹角，非夹角相等不能判定相似。容易混淆判定条件，错用三边成比例、两角相等定理，遗漏关键条件。在复杂图形中，常漏找公共角、对顶角、平行同位角等隐含条件，导致判定失败。同时容易忽略图形变式，在旋转、折叠图形中找错对应三角形，随意判定相似，解题缺乏严谨性，频繁出现解题失误。 【对点训练】13．如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 【对点训练】14．如图，矩形中，，点P为边上一动点，交于点Q． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【对点训练】15．如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，连接，求的值． 易错点6 选择或者补充条件证明相似出现问题 易错提醒 选择、补充条件证明相似是高频易错题型。多数同学审题不严谨，盲目补充边角条件，忽略相似判定的严格要求，随意添加非夹角、非对应边角条件导致判定无效。解题时容易遗漏图形隐含条件，如公共角、对顶角、平行线相等角，造成补充条件多余或错误。部分学生分不清唯一条件与多种可行条件，不会结合图形模型分析。同时常出现条件重复、矛盾，或补充条件无法构成相似的问题，缺乏分类验证意识，答题不规范，极易丢分。 【对点训练】16．如图，在中，，点D在边上（点D不与A，C重合）．若再增加一个条件能使，则这个条件是______；结合你所添加的条件，证明． 【对点训练】17．如图：点D在的边上，连接，下列条件：①；②；③；④．其中不能判定的是_____ （填序号）． 【对点训练】18．如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 易错点7 利用相似三角形的性质求解出错 易错提醒 利用相似三角形性质计算极易因对应关系出错。学生常混淆对应边、对应高、对应周长与面积的比例关系，误将面积比直接等于相似比。忽略相似三角形对应线段成比例、面积比为相似比平方的核心性质，计算时公式乱用。做题时常找错对应三角形，乱套比例列式导致计算失误。同时容易忽略图形隐藏条件，不验证边长比例和角度关系，且遇到多组相似图形时梳理不清对应关系，计算步骤不严谨，出现漏解、错解，是考试高频丢分点。 【对点训练】19．如图，在中，E是上一点，与交于点F，若，的周长为4，则的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【对点训练】20．如图，中，，，，点D、E分别是、边上的动点，折叠得到，且点落在边上，若恰好与相似，的长为 ____________________ ． 【对点训练】21．如图，在中M为边上一点，与交于点N，． (1)求证：． (2)若 ①求的值． ②求的长． 易错点8 网格中相似三角形问题 【对点训练】22．图①、图②均是的网格，每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点． 的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，作格点E，连接、，使； (2)在图②中，作格点E，连接、，使． 【对点训练】23．在正方形网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的三角形称为格点三角形．请按下列要求画出格点三角形． (1)在图1中画一个格点三角形，使该三角形与格点全等； (2)在图2中画一个格点三角形，使该三角形的一条边与格点的一条边重合，且与相似． 【对点训练】24．图①、图②、图③均是6×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作中线； (2)在图②中，在上找一点E，使； (3)在图③中，将点向右平移个单位，得到点，连接；并在线段上找到一点，连接，使． 易错点9 相似三角形的动点问题不会表示 易错提醒 相似三角形动点问题是几何难点易错题型。学生普遍忽略动点运动的分段讨论，未区分不同位置的三角形形态，造成漏解。容易找错动态变化中的对应边、对应角，随意套用相似判定与比例性质。常忽视题目隐含的取值范围，未考虑动点起止边界条件，出现增根错解。部分学生不会用时间参数表示动态线段长度，列式混乱。同时混淆相似情况，无法区分两角对应相等的不同相似模型，思路不清晰，步骤不规范，极易大量丢分。 【对点训练】25．中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（    ）． A．0 B．1 C．0或1 D．1或 【对点训练】26．如图，在中，，，动点从点开始沿边以的速度向点运动，动点从点开始沿边以的速度向点运动，如果、两点同时出发，经过_____________，与相似． 【对点训练】27．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间（），那么： (1)在运动过程中，的长度能否为?试说明理由； (2)当t为何值时，与相似？ 易错点10 重心的有关性质不会运用 易错提醒 相似三角形动点问题是几何高频难点。学生最易忽略动点运动的分段讨论，未区分不同位置的三角形形态，导致严重漏解。解题时常找错动态图形的对应边、对应角，盲目套用相似判定和比例公式。多数同学忽视动点取值范围与边界条件，不解验根，出现增根错误。不会用时间参数准确表示动态线段长，列式混乱。同时容易混淆不同相似模型，无法区分多组相似情况，分类不全面，解题思路不清晰，书写不规范，是考试主要丢分点。 【对点训练】28．在中，，，G是的重心． (1)求的长； (2)过点G作，分别交、于点D、E，猜想与的比值，并证明． 【对点训练】29．如图，在中，点D、E分别在边上，，连接交于点G，连接． (1)当时，求的值； (2)当时，取边中点F，连接交于点H．已知，求的长． 【对点训练】30．下面是小悦同学的数学学习日记，请仔细阅读并完成相应任务 三角形的重心我们曾经通过折纸或者画图的方式发现三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心 我查阅了很多资料，得知古希腊数学家海伦（，公元62年左右）第一次提出了三角形的三条中线交于一点．这个结论可以借助图1证明如下：   如图2，在中，，分别是，边上的中线，点是，的交点，连接并延长至，使，交于点． 点是的中点，，  是的中位线． ．（依据1）  即． 同理，．  四边形是平行四边形． 和交于点，  （依据2） 是边上的中线．即三条中线交于点． 三角形的重心有很多性质： 1．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．在图2中容易推出； 2．重心和3个顶点组成的三角形面积相等；…… 任务： （1）填空：材料中的依据1是指：________________________________； 依据2是指：________________________________； （2）尺规作图：如图3，是等边三角形，作出的重心（保留作图痕迹，不写作法）； （3）如图4，点是的重心，连接，，，请你利用图4证明和的面积相等．    （3）如图，延长交于点，则点为的中点，过点作于点，过点作于点， 易错点11 相似三角形的判定与性质综合 【对点训练】31．如图，将矩形沿对折，点C落在Q处，点D落在边上的E处，与相交于点F，若，，，则周长的大小为（     ） A． B． C． D． 【对点训练】32．如图，中，D为边上一点，且，E为中点，则________． 【对点训练】33．如图，在正方形中，点为对角线、的交点，平分交于点，交于点 ． (1)判断的形状； (2)若，求的长． 易错点12 相似三角形的实际应用 易错提醒 相似三角形依托对应边成比例的特点，常用于测量难以直接丈量的长度。常见类型有利用太阳光影子、标杆、镜面反射测量旗杆、树木、楼房高度；构造几何模型测算河宽、两地间距等不可直达的距离。解题关键是从现实情境中抽象出相似三角形，找准对应边列出比例式。学生容易出错的地方是无法准确识别图形模型，混淆对应线段，列式颠倒比例。遇到镜面、影子问题，要抓住相等角构造相似，结合题意检验结果是否符合现实意义，规范完成计算。 【对点训练】34．一数学兴趣小组为了测量灯柱的高度，设计了以下三个方案： 方案一：如图1，在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在点F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计） 方案二：如图2，利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得． 方案三：如图3，利用三角板的直角边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离． 三种方案中，方案________不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度． 【对点训练】35．【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【对点训练】36．淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 1．如图有一块四边形草地，，其中，，由于连续降雨使与之间积满污水，现在的延长线的交点处测得，则的长度为（   ） A． B． C． D． 2．为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A．再在河的这一边选定点B和C，使，然后再选定点E，使，用视线确定与交于点D．此时，测得，，，则两岸间的距离为（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知三条直线，，互相平行，直线与，，分别交于，，三点，直线与，，分别交于，，三点，若，，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．如图，平面直角坐标系中，，，C为的中点，D在x轴上，若以A，C，D组成的三角形与相似，则D的坐标为（    ） A． B．或 C．或 D．或 5．如图，在中，，动点从点开始沿边运动，速度为，动点从点开始沿边运动，速度为．如果两动点同时运动，那么经过（    ）秒时与相似． A． B．或 C．或 D． 6．如图，在中，，点为线段上一点（不与，重合），连接，，交于点，若．给出下面三个结论：；；．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A． B． C． D． 7．新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形是黄金矩形（），点E、F分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点落在CD边上，点A的对应点为，过点E作于点G，当矩形也是黄金矩形（）时，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，直线，交于点O，．若，，，则的值为________． 9．如图，在矩形中，若，，，则的长为______． 10．如图，点，，，在同一条直线上，，，若，，，，则的长为______． 11．如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点，若，则线段的长等于______． 12．如图，在中，，，点，分别在，上，且，若，，则的长度是_____． 13．如图，E为平行四边形的对角线上的一点，且，，连接并延长，过点D作，与的延长线相较于点F，则的长为________． 14．如图，在中，，过AC上一点E作交AB于点F，过点A作交的延长线于点D． (1)求证：； (2)若，，，求BF的长． 15．如图，在，，是斜边上的高． (1)请写出图中所有的相似三角形，并任选一组进行证明； (2)若，，求的面积． 16．如图，在中，点D、E、F分别在、、上， ，，． (1)求证：； (2)若的面积是20，求的面积． 17．综合与实践 [探究课题]三角形重心性质的探究． [课本重现]三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心，如图1，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． [提出问题]探究图1中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题．     [解决问题] （1）若的面积为m，求的面积； （2）在（1）的条件下，求的值； [拓展应用] （3）如图2，在中，点O是的重心．连接并延长，分别交于点 D，E．若，求四边形的面积． （4）已知的中线，中线，则面积的最大值为 ． 18．如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.8米，两个路灯的高度都是9米，且． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 19．在中，过点A作于点D，且． (1)如图1，若，，求线段的长； (2)如图2，以点C为旋转中心，将线段逆时针旋转得到线段，过点E作的垂线，交直线于点F，M是的中点，N在线段上，且． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段的数量关系，并证明． 20．如图，在中，，，点在边上，点为中点，点为中点，连接交于点，过点作的垂线交于点． (1)补全图形； (2)写出和的数量关系，并证明你的结论； (3)直接用等式表示线段、、之间的数量关系． 21．【问题背景】 （1）由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端，经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物的高度； 【活动探究】 （2）观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出，经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌的高度． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八章 相似形 知识点一 比例线段 1.线段的比：两条线段长度的比叫做这两条线段的比. （1）“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的比值是一个结果，是一个数； （2）在表示两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位； （3）线段的比，最终要化成最简整数比. 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 知识点二、比例的基本性质 1.基本性质：如果a：b＝c：d，那么ad＝bc，反过来，如果ad＝bc（b≠0，d≠0），那么a：b＝c：d. 2.合比性质：如果，那么， 如果，那么. 知识点三、比例中项 在比例式中，如果c＝b，那么，我们把b叫做a和d的比例中项. 如图所示，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 1.黄金分割是以线段的比例中项来定义的； 2.一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的； 3.数约等于0.618，这个数又被称为黄金数； 4.边长之比等于黄金数的图形叫做“黄金图形”. 知识点四、相似形 形状相同的图形是相似形. 1.至少有两个图形，图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2.全等形是一种特殊的相似形； 3.相似形与图形的大小、位置无关，与角度和方向也无关. 知识点五、相似多边形 各角分别相等、各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形. 两个相似多边形可以用符号“∽”表示，读作“相似于”，相似多边形的对应边的比叫做相似比. 1.相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例； 2.全等多边形得相似比是1，相似比是1的相似多边形是全等多边形； 3.当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 知识点六、平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 如图： l1∥l2∥l3，直线a、b分别与l1、l2、l3交于点A、B、C和点D、E、F、，则有： 1.； 2.； 3.. 当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广. 知识点七、相似三角形的判定 由平行判定三角形相似 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，如图所示： 由两角关系判定三角形相似 两角分别相等的两个三角形相似，如图所示： 由两边及夹角的关系判定两三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，如图所示： 由三边关系判定两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似，如图所示： 知识点八、相似三角形周长比的性质 1.相似三角形周长的比等于相似比； 2.相似多边形周长的比等于相似比. 如图所示，若，则， 则. 知识点九、相似三角形面积比的性质 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 如图所示，若，则，分别作出与的高AD和， 则. 知识点十、相似三角形对应线段比的性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； 2.相似三角形中的对应线段的比等于相似比； 3.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注：相似三角形中除了上述三种线段外，只要是对应的线段，它们的比都等于相似比. 知识点十一、相似三角形的实际应用 相似三角形核心原理是对应角相等、对应边成比例，常用来解决生活中无法直接测量的长度、高度、距离问题，应用十分广泛。 第一，测量物体高度。借助太阳光、标杆、镜面反射构造相似三角形，通过测量可获取的地面距离、标杆高度，利用比例计算出大树、高楼、旗杆等高大物体的高度，规避直接测量的困难。 第二，测量不可跨越距离。可用于测算河宽、两建筑物间距等无法直接丈量的距离，通过在平地构造相似直角三角形，依托已知边长，精准推算出未知距离。 第三，生活与工程缩放应用。用于图纸绘制、摄影投影、灯光投影等场景，利用相似图形形状不变、比例恒定的特点，实现图形精准缩放，同时可解决影子、视野盲区等实际计算问题。 易错点1 比例线段 易错提醒 比例线段常见易错点较多。一是混淆比例内项、外项，变形比例式时交叉相乘出错；等积式与比例式互化容易写反前后项。二是忽略线段顺序，判断四条线段成比例不按大小排序直接列式，造成漏解。三是平行线分线段成比例定理误用，分不清对应线段，错把非对应边建立比例。四是遇到分类讨论题型思维片面，一条线段为比例中项时常只算一种情况。五是图形中有多组线段时，盲目套用比例，不会找准相似或平行对应的两组线段，导致列式错误。解题需规范书写对应关系，留意多解情况。 【对点训练】1．下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．cm，，， 【答案】D 【分析】此题考查了比例线段，掌握比例的性质是解题的关键； 根据成比例线段的定义，若四条线段满足最大与最小的乘积等于中间两段的乘积，则它们成比例，逐项判定即可． 【详解】解：A．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； B．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； C．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项不符合题意； D．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项符合题意； 故选：D． 【对点训练】2．若，则_______． 【答案】 【分析】根据比例的性质得到，进而代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ∴， ∴． 【对点训练】3．已知：，且． (1)求a、b、c的值； (2)添上一个数m，使得a、b、c、m四个数能构成比例式，那么m可以是______； (3)若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为______． 【答案】(1) (2)2或8或18 (3)18 【分析】（1）设，得到，代入求出，即可得到a、b、c的值； （2）根据a、b、c、m四个数能构成比例式得到或或，分别求解即可； （3）根据“成比例线段”的定义求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵a、b、c、m四个数能构成比例式，且比例式两内项之积等于两外项之积， ∴或或， 即或或， 解得：或或； （3）解：∵四条线段a，b，c，d为成比例线段， ∴， ∴， 即， 解得：． 易错点2 黄金分割 易错提醒 黄金分割比值不少同学容易混淆长短线段比例。易错点：分不清较长线段与整条线段、较长线段与较短线段的两组比例；审题不看清哪条是整条线段，直接套用数值。求比例中项时忽略线段长度为正，错误保留负根。题目未指明分割点位置，缺少分类讨论。作图与计算题中，常把黄金分割点当成中点混淆。另外容易记错黄金比倒数关系，计算长度时分母处理失误。解题先明确线段大小关系，看清谁是全长，合理取舍负值，谨防漏解。 【对点训练】4．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的定义：将一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，比值为 ,根据题意计算即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点为的黄金分割点（）时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【对点训练】5．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比．如图，是线段上一点，若，且满足，则称是线段的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台侧进入，他至少走多少米，恰好站在舞台的黄金分割点上？ 【答案】米 【分析】本题考查了黄金分割，分式方程的应用，设米，则米，把数据代入，得到关于的分式方程，解方程即可求解，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键． 【详解】解：设米，则米， ∵， ∴， 整理得，， 解得，， 经检验，，为分式方程的解， ∵， ∴， 答：他至少走米，恰好站在舞台的黄金分割点上． 【对点训练】6．在世界超级摩托车锦标赛葡萄牙站比赛中，张雪机车车手瓦伦丁·德比斯凭借精湛的过弯技术夺得冠军．据了解，摩托车通过弯道时，理想的路线通常遵循“外—内—外”原则，其弯心顶点位置与黄金分割比例有关．在某段弯道中，车手按黄金分割比例选择从弯点C入弯（曲线曲线），且从入口A到入弯点C的路程为，则弯道入口A到出口B的路线总长为______m． 【答案】 【分析】根据题意列式为，由此即可求解． 【详解】解：车手按黄金分割比例选择从弯点C入弯（曲线曲线），且从入口A到入弯点C的路程为， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：50 ． 易错点3 平行线分线段成比例 易错提醒 平行线分线段成比例的常见易错点集中在对应关系与定理条件。多数同学容易看错线段对应位置，乱套“上下对应”比例，错把不对应的线段列成比例式。其次混淆定理与推论，未确认线段被平行线截得就直接使用公式。在三角形“A型、X型”模型中，经常颠倒内外线段比例。部分学生只会记“上比下”，忽略“上比全、下比全”两种比例形式，导致列式单一出错。解题时常忽略多条平行线交错截取的情况，找不准截线，且审题不严谨，线段对应顺序混乱，是最常见丢分原因。 【对点训练】7．如图，已知，直线与直线相交于点O．如果，，，则________． 【答案】16 【分析】根据题意列出比例关系求出的长度，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 【对点训练】8．如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线平行且间距相等，同一条直线上的三个点、、都在竖格线上．若线段，则线段的长为_____． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，根据平行线分线段成比例可得，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点． ∵练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴， ∵， ∴． 【对点训练】9．如图，直线，分别交直线于点，，，交直线于点，，． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得到，然后代数求解； （2）由得到，然后结合得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ，即， ； （2）解：∵， ， ， ， ， ． 易错点4 相似多边形 【对点训练】10．如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应角相等，求出 和 的度数，再利用四边形内角和定理计算 的度数． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应， ∴，． 在四边形 中，∵， ∴． 【对点训练】11．如图，矩形中，，，点E，F分别在，上，若矩形矩形，则的长为____． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴， 由矩形的性质可知，， ∴， ∴． 【对点训练】12．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题：    (1)当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽，若不存在，请说明理由． (2)边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在，“减半”矩形长和宽分别为与． (2) 解：不存在，理由如下： 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是， 所以正方形不存在“减半”正方形． 【分析】本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系． （1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解． （2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是2，面积比就应该是，所以不存在“减半”正方形． 【详解】（1）解：存在，“减半”矩形长和宽分别为与． 假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为，，则， 由①，得：，③ 把③代入②，得， 解得，． 所以“减半”矩形长和宽分别为与． （2）略 易错点5 相似三角形的判定找不到相似条件 易错提醒 相似三角形判定最易出错的是对应关系混乱，做题不找对应角、对应边，随意套用判定定理。很多学生误用“边角边”判定，忽略夹角必须为两边夹角，非夹角相等不能判定相似。容易混淆判定条件，错用三边成比例、两角相等定理，遗漏关键条件。在复杂图形中，常漏找公共角、对顶角、平行同位角等隐含条件，导致判定失败。同时容易忽略图形变式，在旋转、折叠图形中找错对应三角形，随意判定相似，解题缺乏严谨性，频繁出现解题失误。 【对点训练】13．如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 【答案】证明：，，，， ，， ，， ， ， ． 【分析】根据题意可求出，，进而得到，结合，即可得证． 【详解】略 【对点训练】14．如图，矩形中，，点P为边上一动点，交于点Q． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴； (2) 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理： （1）通过两组对角相等证明三角形相似； （2）由勾股定理计算出，再根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ， ∴， 即， ∴． 【对点训练】15．如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，连接，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴． (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，比的应用．熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键． （1）首先得到，然后结合即可证明； （2）由已知条件可得出，，根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，，进一步即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，，， ∴，， ∴，， 根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，， ∴， ∴． 易错点6 选择或者补充条件证明相似出现问题 易错提醒 选择、补充条件证明相似是高频易错题型。多数同学审题不严谨，盲目补充边角条件，忽略相似判定的严格要求，随意添加非夹角、非对应边角条件导致判定无效。解题时容易遗漏图形隐含条件，如公共角、对顶角、平行线相等角，造成补充条件多余或错误。部分学生分不清唯一条件与多种可行条件，不会结合图形模型分析。同时常出现条件重复、矛盾，或补充条件无法构成相似的问题，缺乏分类验证意识，答题不规范，极易丢分。 【对点训练】16．如图，在中，，点D在边上（点D不与A，C重合）．若再增加一个条件能使，则这个条件是______；结合你所添加的条件，证明． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法即可求解． 【详解】解：（答案不唯一） 证明：在和中， ∴．（有两角对应相等的两个三角形相似） 【对点训练】17．如图：点D在的边上，连接，下列条件：①；②；③；④．其中不能判定的是_____ （填序号）． 【答案】④ 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：①， ∴， ②∵， ∴， ③∵， ∴， ∵， ∴， ④条件不符合，不能判定， 故答案为：④． 【对点训练】18．如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴，不符合题意； 对于，缺少夹角，故不能证明相似，符合题意． 易错点7 利用相似三角形的性质求解出错 易错提醒 利用相似三角形性质计算极易因对应关系出错。学生常混淆对应边、对应高、对应周长与面积的比例关系，误将面积比直接等于相似比。忽略相似三角形对应线段成比例、面积比为相似比平方的核心性质，计算时公式乱用。做题时常找错对应三角形，乱套比例列式导致计算失误。同时容易忽略图形隐藏条件，不验证边长比例和角度关系，且遇到多组相似图形时梳理不清对应关系，计算步骤不严谨，出现漏解、错解，是考试高频丢分点。 【对点训练】19．如图，在中，E是上一点，与交于点F，若，的周长为4，则的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定及性质等知识点，掌握相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键． 由平行四边形的性质，再结合可得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，进而完成解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，即． ∴的周长为6． 故选：A． 【对点训练】20．如图，中，，，，点D、E分别是、边上的动点，折叠得到，且点落在边上，若恰好与相似，的长为 ____________________ ． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠问题，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 设，则，由折叠的性质得，分两种情况：分为和两种情况，利用相似三角形的对应边成比例列出方程，即可解决问题． 【详解】解：设， ∴， ∵折叠得到， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴， ∴长是或． 故答案为：或． 【对点训练】21．如图，在中M为边上一点，与交于点N，． (1)求证：． (2)若 ①求的值． ②求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； (2)①；② 【分析】（1）通过证明，，即可得出相似； （2）①证明，利用相似三角形的性质求解； ②利用得出，再利用，列式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：（负值舍）． 易错点8 网格中相似三角形问题 【对点训练】22．图①、图②均是的网格，每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点． 的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，作格点E，连接、，使； (2)在图②中，作格点E，连接、，使． 【答案】(1)如图所示，点为所求点， ； (2)如图所示，点为所求点， ； 【分析】（1）由网格图像得到，再根据得到，所以，根据网格的特点画出点； （2）先找出与相等的角，再利用相似求得的长度，确定点的位置． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 根据网格的特点可知为两个网格的对角线， ∴作相邻两个网格的对角线， 即点为所求点； （2）解：如图图所示， ， 由网格可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又， ∴，． 【对点训练】23．在正方形网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的三角形称为格点三角形．请按下列要求画出格点三角形． (1)在图1中画一个格点三角形，使该三角形与格点全等； (2)在图2中画一个格点三角形，使该三角形的一条边与格点的一条边重合，且与相似． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)如图，即为所求 【分析】（1）根据三边相等的三角形是全等三角形作图即可； （2）根据三边对应成比例的三角形是相似三角形作图即可； 【详解】（1）解：如图， 则， ∴； （2）解：如图， 则， ∴， ∴． 【对点训练】24．图①、图②、图③均是6×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作中线； (2)在图②中，在上找一点E，使； (3)在图③中，将点向右平移个单位，得到点，连接；并在线段上找到一点，连接，使． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，点E即为所求； (3) 如图，点Q即为所求； 【分析】（1）根据矩形对角线互相平分即可解答； （2）如图，取点M、N，连接交于点E，则点E即为所求，利用相似三角形的性质得到，再根据三角形的面积求解即可； （3）取点H，连接交于点Q，则点Q即为所求，利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，在网格上取点E，连接交于点D，即为所求； 理由如下： ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴为的中线； （2）解：如图所示，取点M、N，连接交于点E，则点E即为所求； 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，取点H，连接交于点Q，则点Q即为所求； 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 易错点9 相似三角形的动点问题不会表示 易错提醒 相似三角形动点问题是几何难点易错题型。学生普遍忽略动点运动的分段讨论，未区分不同位置的三角形形态，造成漏解。容易找错动态变化中的对应边、对应角，随意套用相似判定与比例性质。常忽视题目隐含的取值范围，未考虑动点起止边界条件，出现增根错解。部分学生不会用时间参数表示动态线段长度，列式混乱。同时混淆相似情况，无法区分两角对应相等的不同相似模型，思路不清晰，步骤不规范，极易大量丢分。 【对点训练】25．中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（    ）． A．0 B．1 C．0或1 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 根据题意分类讨论：当时；当时；当时，设，则，可证，解得，；由此即可求解． 【详解】解：当时，， ∴； 当时，点重合，，此时与矛盾，不符合题意，舍去； 当时，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，的值为或， 故选：D ． 【对点训练】26．如图，在中，，，动点从点开始沿边以的速度向点运动，动点从点开始沿边以的速度向点运动，如果、两点同时出发，经过_____________，与相似． 【答案】4或 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质并分情况讨论是解题的关键．分两种情况：或，设经过，然后分别利用相似三角形的性质建立关于t的方程求解即可． 【详解】解：①设经过，， ∴， 即， 解得． ∴经过，． ②设经过后，， ∴， 即， 解得， ∴经过，． 综上，经过或，与相似． 故答案为：或， 【对点训练】27．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间（），那么： (1)在运动过程中，的长度能否为?试说明理由； (2)当t为何值时，与相似？ 【答案】(1) 解：的长度不能为；理由如下： 由题意得，， ∴， 在中，， ∴， 化简得：， ∵， ∴原方程无实数根， ∴的长度不能为； (2)当或时，与相似． 【分析】（）由题意得，，则，在中，，得到，即，利用根的判别式判断即可； （）分两种情形讨论即可若时，若时两种情况，然后分别解方程即可； 本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵由题意得，， ∴， 若时， 则有，即， 整理得：， 解得：， ∴时，与相似； 若时， 则有，即， 解得：， ∴当时，与相似， 综上所述：当或时，与相似． 易错点10 重心的有关性质不会运用 易错提醒 相似三角形动点问题是几何高频难点。学生最易忽略动点运动的分段讨论，未区分不同位置的三角形形态，导致严重漏解。解题时常找错动态图形的对应边、对应角，盲目套用相似判定和比例公式。多数同学忽视动点取值范围与边界条件，不解验根，出现增根错误。不会用时间参数准确表示动态线段长，列式混乱。同时容易混淆不同相似模型，无法区分多组相似情况，分类不全面，解题思路不清晰，书写不规范，是考试主要丢分点。 【对点训练】28．在中，，，G是的重心． (1)求的长； (2)过点G作，分别交、于点D、E，猜想与的比值，并证明． 【答案】(1)8 (2) 解：比值为，证明如下： 如图，连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴与的比值为． 【分析】（1）延长交于点，根据三角形的重心可得，，再由等腰三角形的性质以及勾股定理求解即可； （2）连接，根据共高三角形面积比等于底之比进行转化求解即可． 【详解】（1）解：延长交于点， ∵点G是的重心 ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ （2）略 【对点训练】29．如图，在中，点D、E分别在边上，，连接交于点G，连接． (1)当时，求的值； (2)当时，取边中点F，连接交于点H．已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例的性质、三角形重心的性质、相似三角形的判定和性质，重点掌握平行线分线段成比例的性质是解决本题的关键． （1）根据可得，则，进而可得，再根据平行线分线段成比例的性质可得，结合即可求解； （2）根据题意可证G为的重心，则，求出的长，再根据题意可证结合G为的重心的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． （2）解：∵， ∴D、E分别为和边中点． ∴G为的重心． ∴． ∵， ∴． ∵E为边中点、F为边中点， ∴． ∴． ∵G为的重心． ∴． ∴． ∴． 【对点训练】30．下面是小悦同学的数学学习日记，请仔细阅读并完成相应任务 三角形的重心我们曾经通过折纸或者画图的方式发现三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心 我查阅了很多资料，得知古希腊数学家海伦（，公元62年左右）第一次提出了三角形的三条中线交于一点．这个结论可以借助图1证明如下：   如图2，在中，，分别是，边上的中线，点是，的交点，连接并延长至，使，交于点． 点是的中点，，  是的中位线． ．（依据1）  即． 同理，．  四边形是平行四边形． 和交于点，  （依据2） 是边上的中线．即三条中线交于点． 三角形的重心有很多性质： 1．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．在图2中容易推出； 2．重心和3个顶点组成的三角形面积相等；…… 任务： （1）填空：材料中的依据1是指：________________________________； 依据2是指：________________________________； （2）尺规作图：如图3，是等边三角形，作出的重心（保留作图痕迹，不写作法）； （3）如图4，点是的重心，连接，，，请你利用图4证明和的面积相等．    【答案】（1）三角形中位线定理，平行四边形对角线互相平分 （2）如图，点即为的重心． （3）如图，延长交于点，则点为的中点，过点作于点，过点作于点， ，，， ， ，，， ， ， 即． 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，三角形重心的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据三角形中位线定理和平行四边形的性质解答即可； （2）根据三角形重心的定义结合等边三角形的性质作图即可； （3）延长交于点，则点为的中点，过点作于点，过点作于点，根据三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：（1）依据1：三角形中位线定理， 依据2：平行四边形对角线互相平分， 故答案为：三角形中位线定理， 平行四边形对角线互相平分； （2） 略 （3） 略 易错点11 相似三角形的判定与性质综合 【对点训练】31．如图，将矩形沿对折，点C落在Q处，点D落在边上的E处，与相交于点F，若，，，则周长的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，通过勾股定理即可求出a值，再根据同角的余角相等可得出，从而得出，根据相似三角形的周长比等于对应边的比即可求出结论． 【详解】解：设，则， 在中，， ，即， 解得． ， ． 又， ， ． ， ． 【对点训练】32．如图，中，D为边上一点，且，E为中点，则________． 【答案】 【分析】过E作，然后根据平行可得，得出比例关系，再把已知中的比例关系进行转化从而得到答案． 【详解】解：过E作，如图所示： ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【对点训练】33．如图，在正方形中，点为对角线、的交点，平分交于点，交于点 ． (1)判断的形状； (2)若，求的长． 【答案】(1)是等腰三角形 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，再由角平分线确定，利用三角形内角和及外角的定义得出，再由等腰三角形的定义判断即可； （2）根据正方形的性质得出，再由相似三角形的判定和性质得出，得出，即可求解． 【详解】（1）解：是等腰三角形． 理由：四边形是正方形， ，， 平分， ， ，，， ， 是等腰三角形． （2）四边形是正方形， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 易错点12 相似三角形的实际应用 易错提醒 相似三角形依托对应边成比例的特点，常用于测量难以直接丈量的长度。常见类型有利用太阳光影子、标杆、镜面反射测量旗杆、树木、楼房高度；构造几何模型测算河宽、两地间距等不可直达的距离。解题关键是从现实情境中抽象出相似三角形，找准对应边列出比例式。学生容易出错的地方是无法准确识别图形模型，混淆对应线段，列式颠倒比例。遇到镜面、影子问题，要抓住相等角构造相似，结合题意检验结果是否符合现实意义，规范完成计算。 【对点训练】34．一数学兴趣小组为了测量灯柱的高度，设计了以下三个方案： 方案一：如图1，在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在点F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计） 方案二：如图2，利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得． 方案三：如图3，利用三角板的直角边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离． 三种方案中，方案________不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度． 【答案】二、三， 选方案一，灯柱高12米 根据题意可得，， ， ， ． 根据题意可得，， ∴， ， ， ， 解得， 米． 即灯柱高12米． 【分析】由相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行；方案三中缺少边长的条件，故方案三不可行；选方案一，根据光的反射角相等，以及，进而证明，同理可得，根据方案一的数据计算即可． 【详解】略 【对点训练】35．【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 【对点训练】36．淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 【答案】(1)旗杆的高度为 (2)旗杆的高度米 【分析】（1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）证明四边形为矩形，则和，进一步证明，则，即可求得，结合即可． 【详解】（1）解：根据光的反射的性质，， 又∵， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得， 故旗杆的高度为； （2）解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度米． 1．如图有一块四边形草地，，其中，，由于连续降雨使与之间积满污水，现在的延长线的交点处测得，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的判定与性质求解即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形中，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故选：． 2．为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A．再在河的这一边选定点B和C，使，然后再选定点E，使，用视线确定与交于点D．此时，测得，，，则两岸间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据垂直定义可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 3．如图，已知三条直线，，互相平行，直线与，，分别交于，，三点，直线与，，分别交于，，三点，若，，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，掌握以上知识点是解题的关键； 本题根据平行线分线段成比例得出，然后代入数值计算即可． 【详解】解：∵三条直线，，互相平行， ∴，即， 解得． 故选：A． 4．如图，平面直角坐标系中，，，C为的中点，D在x轴上，若以A，C，D组成的三角形与相似，则D的坐标为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形，相似三角形的性质，当A，C，D组成的三角形与相似时，则为直角三角形，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，，C为的中点， ∴， ∴， 当A，C，D组成的三角形与相似时，则为直角三角形， ∴当为直角顶点时，此时轴， ∴， 当为直角顶点时，设：，则：， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； 故选C． 5．如图，在中，，动点从点开始沿边运动，速度为，动点从点开始沿边运动，速度为．如果两动点同时运动，那么经过（    ）秒时与相似． A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，设经过秒时，与相似，则，，，根据，分和两种情况解答即可求解，掌握相似三角形的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：设经过秒时，与相似，则，， ∴， ∵， ∴当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得； 综上可知，经过或时，与相似， 故选：． 6．如图，在中，，点为线段上一点（不与，重合），连接，，交于点，若．给出下面三个结论：；；．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，根据平行线的性质及全等三角形的性质求出，根据三角形三边关系求出，结合全等三角形的性质求出是等腰直角三角形，进而求出，再根据相似三角形的判定与性质求出，据此判断即可，熟记相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确，符合题意； ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 如图，设交于点， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即， 综上，，故正确，符合题意； ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确，符合题意； 综上可知：正确， 故选：． 7．新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形是黄金矩形（），点E、F分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点落在CD边上，点A的对应点为，过点E作于点G，当矩形也是黄金矩形（）时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查黄金比，矩形与折叠，勾股定理． 连接，根据黄金矩形的定义设，，则，证明得到，从而，设，则 ，在中，根据构造方程，求解得到，从而． 【详解】连接， ∵矩形是黄金矩形，，， ∴设，， ∵矩形是黄金矩形，， ∴， ∴， ∵四边形是四边形翻折得到， ∴，， ， ∴， ∵在矩形中，， 又 ∴， ∴， ∴， 设，则 ， ∵在中，， ∴ 解得：， ∴， ∴． 故选：D 8．如图，直线，交于点O，．若，，，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，，由平行线分线段成比例可得． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 9．如图，在矩形中，若，，，则的长为______． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理以及相似三角形的判定与性质．根据勾股定理求出，再利用相似三角形的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：在矩形中， ，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 10．如图，点，，，在同一条直线上，，，若，，，，则的长为______． 【答案】4 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后再根据平行线所截线段成比例可进行求解． 【详解】解：∵， ． 又， ， ， ， ． ∵， ， ； 故答案为4． 11．如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点，若，则线段的长等于______． 【答案】 【分析】本题考查了折叠、相似三角形的性质与判定以及勾股定理，根据折叠可得是正方形，，可求出三角形的三边为，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证，三边占比为，设未知数，通过，列方程求出待定系数，进而求出的长，然后求的长． 【详解】解：过点作，垂足为， 由折叠得：是正方形，， ， ∴， 在中，， ∴， 在中，设，则，由勾股定理得，， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，在中，，，点，分别在，上，且，若，，则的长度是_____． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，先证明是等腰直角三角形，求出，再证明，求出，证明，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过作交的延长线于，如图： ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 13．如图，E为平行四边形的对角线上的一点，且，，连接并延长，过点D作，与的延长线相较于点F，则的长为________． 【答案】3 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造平行四边形和相似三角形，延长交于点，易得四边形为平行四边形，进而推出，证明，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 延长交于点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3． 14．如图，在中，，过AC上一点E作交AB于点F，过点A作交的延长线于点D． (1)求证：； (2)若，，，求BF的长． 【答案】(1) 证明：， ． 又∵， ； (2)3 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由得到，然后结合即可证明； （2）由得到，得到，勾股定理求出，然后得到，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知， ． ，． ． 在中，由勾股定理，得． ， ． ． 15．如图，在，，是斜边上的高． (1)请写出图中所有的相似三角形，并任选一组进行证明； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) 解：， ， ． 证明：选 ∵在中，，是斜边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 选： ∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴． 选： ∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）共有，，三组相似三角形，按两角对应相等对每组相似三角形分别证明； （2）由，然后利用对应边成比例，即可得到的长度，然后利用求得面积． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 16．如图，在中，点D、E、F分别在、、上， ，，． (1)求证：； (2)若的面积是20，求的面积． 【答案】(1) 解：∵，， ∴，， ∴，即； (2)45 【分析】本题考查平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． （1）利用平行线分线段成比例求解即可； （2）证明得到求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵的面积是20， ∴． 17．综合与实践 [探究课题]三角形重心性质的探究． [课本重现]三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心，如图1，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． [提出问题]探究图1中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题．     [解决问题] （1）若的面积为m，求的面积； （2）在（1）的条件下，求的值； [拓展应用] （3）如图2，在中，点O是的重心．连接并延长，分别交于点 D，E．若，求四边形的面积． （4）已知的中线，中线，则面积的最大值为 ． 【答案】（1）m；（2）3；（3）12；（4）12 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）由（1）得：，再由与同高，即可求解； （3）由（1）（2）得：，从而得到，再结合，可得，即可求解； （4）设交于点O，过点B作于点F，由（2）得：，，从而得到，，，进而得到最大时，最大，此时最大，当点O与点F重合时，最大，此时，即可求解． 【详解】解：（1）∵点O是的重心， ∴点D，E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）根据题意得：， ∴， ∴， ∵与同高， ∴； （3）由（1）（2）得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）如图，设交于点O，过点B作于点F， 由（2）得：，， ∵中线，中线， ∴，，， ∴当最大时，最大， ∵， ∴最大时，最大，此时最大， 当点O与点F重合时，最大，此时， ∴的最大值为． 故答案为：12 18．如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.8米，两个路灯的高度都是9米，且． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 【答案】(1)两路灯的距离为25米 (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）如图1，先证明，利用相似比可得，进而得，，解得米； （2）如图2，当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为，证明，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， 答：两路灯的距离为25米； （2）解：如图2，当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 答：当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米． 19．在中，过点A作于点D，且． (1)如图1，若，，求线段的长； (2)如图2，以点C为旋转中心，将线段逆时针旋转得到线段，过点E作的垂线，交直线于点F，M是的中点，N在线段上，且． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) ①根据题意作图如下所示： ②，证明如下： 延长使，过点M作的垂线交于点H，连接和 根据旋转的性质，， ，， 在和中，根据勾股定理 又，， ≌ ， 在四边形中，， ，， 在和中，，，， ， 在中，根据作法可知为边上的垂直平分线，则， ，， 根据两点关于对称，则， 又， 在和中，， ， ， 故的数量关系为： 【分析】在内构造等腰直角，根据题意可得为等腰三角形，进而得出，然后由求出的长度． ①根据题干描述作图即可； ②先通过构造得出，再构造结合平行线分线段成比例得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ， 过A作交于E， ，是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 故线段长度为 （2）略 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等和相似三角形的判定和性质，直角三角形和等腰三角形的性质、平行线分线段成比例等知识点，构造和是解答本题的关键． 20．如图，在中，，，点在边上，点为中点，点为中点，连接交于点，过点作的垂线交于点． (1)补全图形； (2)写出和的数量关系，并证明你的结论； (3)直接用等式表示线段、、之间的数量关系． 【答案】(1) 如图所示， (2)，证明如下： 如图所示，连接，过点作交于点， ∵点为中点，点为中点， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点为中点，，， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，中位线的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定； （1）根据题意补充图形，即可求解； （2）连接，过点作交于点，证明，即可求解； （3）连接并延长交于点，证明得出是等腰直角三角形，则，设，由（2）得出，在中，，得出，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，连接并延长交于点， ∵，点为中点， ∴ ∴是的中点，则 ∵点为中点，点为中点， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，则是等腰直角三角形， ∵是的中点， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 设， 由（2） ∴ 在中， ∴ ∴ 21．【问题背景】 （1）由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端，经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物的高度； 【活动探究】 （2）观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出，经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌的高度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，跨学科物理学知识，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，列出相似比代值求解即可得到答案； （2）根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，运用两次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示：   ，， ， ， ， ，，， ，解得； （2）如图所示：   ， ， ， ， ，， ， ， ，解得； ， ， ， ， ，， ， ， ，解得； ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $