专题04 相似形章末易错压轴题型13易错9压轴（专项训练）数学新教材北京版九年级上册

**基本信息** 聚焦相似形易错点与压轴题，以题型为载体构建从基础概念到综合应用的递进式训练体系，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错题型|13题型（含比例线段、黄金分割等）|基础概念辨析与易错点突破|从比例性质到相似判定，构建"概念-判定-性质"逻辑链| |压轴题型|9题型（含动点问题、模型应用等）|综合应用与创新题型|结合旋转、最值等问题，培养几何直观与模型意识|

专题04 相似形章末易错压轴题型 常考题型·精准突破 考点一 相似形易错题型 题型1 比例线段 题型2 黄金分割 题型3 平行线分三角形两边成比例 题型4 相似多边形 题型5 相似多边形的性质 题型6 相似三角形的判定 题型7 选择或补充条件使两个三角形相似 题型8 相似三角形的判定综合 题型9 利用相似三角形的性质求解 题型10 利用相似求坐标 题型11 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型12 重心的有关性质 题型13 相似三角形的实际应用 考点二 相似形压轴题型 题型1 黄金分割综合应用 题型2 相似三角形的判定与性质综合 题型3 相似三角形的动点问题 题型4 重心的综合应用 题型5 相似三角形的实际应用综合 题型6 相似三角形的模型问题 题型7 相似三角形中的旋转问题 题型8 相似三角形中的最值问题 题型9 相似三角形中的新定义问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 相似形易错题型 ◆题型1 比例线段 1．（25-26九年级上·山西晋中·期中）若，且，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，解题的关键是掌握该性质． 根据比例的性质，由已知条件可直接得出选项A正确；其他选项通过代入比例关系验证均错误． 【详解】解：∵ ，且， ∴ ，故选项A正确。 对于选项B：由得，即（∵ ），故B错误。 对于选项C：由得，则， ∴ ，故C错误。 对于选项D：由，设，（），则， ∴ ，故D错误。 故选：A． 2．（24-25九年级上·北京海淀·期中）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，若两地的实际直线距离为，则两地的实际直线距离为________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点为等高线地形图的判读与比例计算，解题思路是先从等高线图中确定等高距，得出和的高差关系，再结合已知的实际直线距离，利用“同一直线上距离与高差成正比”的规律，计算出的实际直线距离． 【详解】解：根据图可知所在海拔差为，所在海拔差为， ∵若两地的实际直线距离为且在同一直线上， ∴高差倍数：， 实际直线距离：． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·山东烟台·期中）（1）已知，且，则_________． （2）已知线段a、b、c满足，且． ①求a、b、c的值； ②若线段是线段a、b的比例中项，求线段的长； ③若四条线即a，b，c，d为成比例线段，则线段的长为__________． 【答案】（1）8；（2）①；②；③ 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． （1）由题意可知，，，由即可得到答案； （2）①设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值； ②由线段x是线段a、b的比例中项，可得，计算即可； ③根据题意得到，将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①设，则，，， ∵，所以，解得， ∴，，； ②∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴，所以（舍负）； ③∵a，b，c，d为成比例线段， ∴， 即 ∴， 故答案为：． ◆题型2 黄金分割 4．（25-26九年级上·广东梅州·期中）神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其上一圈螺纹的直径与相邻下一圈螺纹直径的比约为黄金比．若上一圈螺纹的直径为a，则相邻下一圈螺纹的直径约为（     ） A． B．2a C． D．4a-1 【答案】C 【分析】本题考查黄金比例，掌握知识点是解题的关键． 设相邻下一圈螺纹的直径为x，根据黄金比例，列方程求解即可． 【详解】解：设相邻下一圈螺纹的直径为x， 根据题意得： ． 故选：C． 5．（25-26九年级上·北京通州·期中）《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点（），已知哪吒在剧中的身高设定为，则长为______（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， ∵点B为的黄金分割点， ∴． ∵， ∴， 故答案为：． 6．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）【背景知识】 宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等． （1）经测量帕特农神庙的长约为30米，求它的宽度是多少米?（结果保留根号） 【实验操作】 折一个黄金矩形 第一步：在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处； 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出，得到矩形（如图4）．          【问题思考】 （2）若的长为2，请证明：矩形是黄金矩形； （3）在（2）的条件下，以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，直接写出这个矩形的面积． 【答案】（1）（米）； （2）证明：， 由题意得，，， ， ， ， ， ∴矩形是黄金矩形． （3）或． 【分析】（1）由题意得帕特农神庙宽的与长的比等于，已知长为30，则可以求出宽． （2）若的长为2，由折纸的过程可知，，．求得，则，则可得，进而可求得，即可得证． （3）分为黄金矩形的长和黄金矩形的宽，两种情况，进行讨论求解即可． 本题考查黄金分割，掌握黄金矩形的定义，是解题的关键． 【详解】（1）由题意得帕特农神庙宽与长的比等于， ∴它的宽为： （米）． （2）略． （3）由折叠的性质可得， 又， ， ∴ ， 又， ， ． 当 为黄金矩形的长时，则宽为， 则面积为． 当 为黄金矩形的宽时，则长为， 则面积为． 综上，矩形的面积为：或． ◆题型3 平行线分三角形两边成比例 7．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，，直线分别交直线于点，直线分别交于点，若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，利用比例关系代入数据即可． 【详解】， 即 故选：B． 8．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，D是的边的中点，F是上一点，且，连接并延长，交于点E，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，再根据平行线分线段成比例定理计算，得到答案． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理，找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作，交于H， 则， 是的边的中点， ， ， ∵， ∴， ∴． 故选：C 9．（25-26九年级上·北京顺义·期末）如图，直线，直线，分别与这三条直线交于点，，和点，，．若，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理和比例性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． ◆题型4 相似多边形 10．（25-26八年级下·山东烟台·期中）下列四组平面图形中，一定相似的是（    ） A．等腰三角形与等腰三角形 B．正方形与菱形 C．正五边形与正五边形 D．菱形与菱形 【答案】C 【分析】根据多边形相似的定义判断即可． 【详解】因为等腰三角形与等腰三角形不一定相似， 所以A错误，不符合题意； 因为正方形与菱形不一定相似， 所以B错误，不符合题意； 正五边形与正五边形一定相似， 所以C正确，符合题意； 菱形与菱形不一定相似， 所以D错误，不符合题意； 故选:C． 【点睛】本题考查了多边形的相似即对应边成比例且对应角相等，熟练掌握定义是解题的关键． 11．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的定义，理解并掌握相似多边形的定义是解题的关键． 根据相似多边形的定义“对应角相等，对应边成比例”进行分析即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点，过点作交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即 同理可得，， ∴， ∵，， ∴， 同理，， ∴， ∴； 如图所示，延长交于点，延长交于点，延长交于点，延长交于点， ∵四边形是正方形，边长为，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，且对应角都是，都相等， ∴正方形∽正方形； 如图所示，矩形，， 计算方法同上述正方形， ∴矩形，， ∴， ∴矩形于矩形不是相似图形； 综上所述，新图形和旧图形是相似多边形的有2组， 故选：C ． 12．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若，，每个小矩形与矩形相似吗？请说明理由； (2)如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们______；（填“相似”或“不一定相似”） (3)若长，宽，且每个小矩形与矩形相似，求与应满足的关系式． 【答案】(1) 不相似．理由如下： ∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例， ∴每个小矩形与原矩形不相似． (2)不一定相似 (3) 【分析】本题考查了相似多边形的性质， （1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论； （2）根据相似多边形的定义，即可求解． （3）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式． 【详解】（1）解：略． （2）因为两个边数相同的多边形的角对应相等，边对应成比例，则这两个多边形相似， 所以如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们不一定相似， 故答案为：不一定相似． （3）∵原矩形的长，宽，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵每个小矩形与原矩形相似， ∴ ∴，即． ◆题型5 相似多边形的性质 13．（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图所示，若把矩形截除一个正方形阴影部分后，剩下的矩形仍与原矩形相似，那么原矩形的两边与应满足的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似多边形的性质、解一元二次方程．解决本题的关键是根据相似多边形的对应边成比例列出比例式，得到一元二次方程，解方程即可求出结果． 【详解】解：由题意可知：矩形矩形， ， ， ， 整理得：， ， 解得：或(负值，舍去)， 故选：B． 14．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，矩形，小福在矩形左边分割出正方形，然后小龙在右边矩形的一组对边上分别取中点M，N分割出矩形和矩形，最后小马把矩形对半分割成矩形和矩形，若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，相似多边形的性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 设，，由矩形与矩形相似得，求出，解方程得，先求出，进而可求出． 【详解】解：由题意得，，，． 设，， 则，， ∵是正方形， ∴， ∴． ∵矩形与矩形相似， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 故选D． 15．（25-26八年级下·北京海淀·阶段检测）已知矩形中，，在上取一点E，将沿向上折叠，使B落在上的F点．则 （1）___________； （2）若四边形与矩形相似，则___________．    【答案】 4 【分析】（1）证明四边形是正方形，即可得到答案； （2）设，由四边形与矩形相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式求解即可． 【详解】解：（1）∵矩形， ∴， 由对折可得：，， ∴四边形是正方形． ∴， （2）设，则， ∵四边形与矩形相似， ∴， ∴， 解得，（不合题意，舍去）． 经检验：是分式方程的解，且符合题意． ∴， 即． 故答案为：4， 【点睛】本题考查了翻折变换，相似多边形的性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，本题的关键是根据四边形与矩形相似得到比例式． ◆题型6 相似三角形的判定 16．（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，点、、分别在等边的三边、、上，且，求证：． 【答案】 证明：是等边三角形， ， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定：先由等边三角形的性质得到，再由三角形内角和定理和平角的定义证明，即可证明． 【详解】略 17．（25-26九年级上·北京·单元复习）如图，在矩形中，，．点、分别在边、上，且，过点作于点，连接、、，．求证：． 【答案】 证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． 【分析】由矩形的性质，结合直角三角形两锐角互余及互余定义得到、，等量代换即可得到，结合“一线三垂直模型”，由两个三角形相似的判定即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、直角三角形两锐角互余、相似三角形的判定、矩形的判定、熟记矩形的判定与性质、掌握“一线三垂直模型”判定两个三角形相似是解决问题的关键． 18．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在矩形中，，．点、分别在边、上，且，过点作于点，连接、、，． (1)求证：； (2)求的长度． 【答案】(1) 证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； (2)的长度为 【分析】（1）由矩形的性质，结合直角三角形两锐角互余及互余定义得到、，等量代换即可得到，结合“一线三垂直模型”，由两个三角形相似的判定即可得证； （2）由矩形性质，结合题意得到相关线段长度，再由（1）中，列比例式，代值求解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是矩形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 设， ，， ，， 由（1）知， ，即， 则，整理得， ， 解得，（不合题意，舍去）， 的长度为． 【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、直角三角形两锐角互余、相似三角形的判定、矩形的判定、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，熟记矩形的判定与性质、掌握“一线三垂直模型”判定两个三角形相似是解决问题的关键． ◆题型7 选择或补充条件使两个三角形相似 19．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据证明三角形相似的方法逐一判断选项即可． 【详解】解：根据题意可知， 选项A，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项B，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项C，可转化成，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故不符合题意． 选项D，两边不成比例且夹角也不相等，不能判定三角形相似，故符合题意． 20．（24-25八年级下·全国·课后作业）结论开放 如图所示，在中，，，D是边上的一点，连接，若使与相似，只需添加一个条件：____________． 【答案】或或或 【分析】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是正确理解如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．根据为与的公共角，若两个三角形相似，则需添加一组对应角相等，或夹的两组对应边成比例． 【详解】解：∵为与的公共角， 当或时，； 当时，， 故答案为：或或或． 21．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，在四边形中，，点F，E分别在线段上，且，． (1)求证：； (2)请添加一个条件__________，使，并写出证明过程． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵，． ∴； (2) 添加条件； ∵； ∴， ∴，即， ∵， ∴； 同理还可添加条件：或． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定，熟记相关定理内容是解题关键． （1）由得，结合已知条件，利用即可求证； （2）添加条件；由得，推出，即可求证； 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型8 相似三角形的判定综合 22．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，在梯形中，，对角线相交于点O，问：与相似吗？ 有一名同学解答如下： 因为，所以，，所以，所以．又因为，所以． (1)请你判断这名同学的证明是否正确，说明理由． (2)若，与相似吗？ 【答案】(1) 不正确，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 则不能证明． (2)相似 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰梯形的性质，熟练掌握三角形相似的判定定理及性质是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定定理即可解答； （2）根据相似三角形的判定定理结合等腰梯形的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：若，．理由如下： ∵， ∴四边形为等腰梯形， ∴． ∵， ∴． 23．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，矩形中，，，点为边上的动点，交于点． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，以及矩形的性质，难度不大． （1）根据矩形的性质，可得出，从而得出，利用两角对应相等的三角形相似得出结论； （2）由，得，得出，由等面积法得出的长． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．（25-26九年级上·上海普陀·期末）已知：如图，四边形中，点E在边上，交于点F，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)证明：∵AE2=AF⋅AC， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (2)证明：由（1）得，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等角对等边； （1）由得，由三角形外角得即可解答； （2）由得，题意证即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型9 利用相似三角形的性质求解 25．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)证明：∵，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）利用余角的性质得到，利用直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质可得，进而得到，即可证得结论； （2）根据相似三角形的性质可得，设，表示出即可解决问题． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴． 26．（25-26九年级下·安徽六安·阶段检测）如图，在矩形中，为对角线，过点D作的垂线，交于点E，垂足为点F，过点E作交于点G，连接交于点H，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1) 证明：四边形是矩形， ∴， ，， ∴， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）可证明得到，则可证明是等腰直角三角形，得到； （2）根据垂线的定义和直角三角形两锐角互余可得，由矩形的性质得到，则可证明，进而可证明； （3）证明，得到，设，则，根据相似三角形的性质得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵四边形是矩形， ∴； 由（1）可知， ， 在和中， ， ， ∴， 设，则， ∵， ∴，即， 解得（已检验）或（舍去）， ∴． 27．（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． (1)试说明：； (2)若矩形是正方形，求的长； 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴； (2)的长为 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线判定三角形相似，再结合相似三角形的对应高的比等于相似比建立方程求解． （1）根据矩形对边平行的性质得到同位角相等，再依据两角分别相等的两个三角形相似，证明； （2）设正方形边长为未知数，结合正方形性质表示出相似三角形的对应高，利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程，求解得到正方形的边长即的长． 【详解】（1）略 （2）解：设正方形的边长为，则，． ∵， ∴，即，解得， ∴的长为． ◆题型10 利用相似求坐标 28．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的性质及平面直角坐标系中坐标的变化规律．先根据已知条件得出的比值，在平面直角坐标系中，根据点G的坐标得出其横纵坐标的值，由题意易证得，从而得到相关线段的长度，进而求得点B的横纵坐标并最终求出点B的坐标． 【详解】解：∵， ∴， 又∵点， ∴，， 由题意知，， ∴， ∴， ∴，即，，即， ∴点B坐标为， 故选：D． 29．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是___． 【答案】或； 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为、， ∴，， ∴ ，， ①当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当与相似时，或； 30．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，时，点C的坐标是______． 【答案】 【分析】先通过条件证明，然后根据相似三角形对应边成比例即可求出CO，从而得到点C的坐标． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴, 由点的坐标为，点的坐标为，可知AO=4，BO=2， ∴，即CO=1， ∴点C的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，坐标系内点的坐标，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． ◆题型11 在网格中画与已知三角形相似的三角形 31．（2026·四川南充·二模）如图，是的方格，已知4个格点，，，，点也在格点上，若以，，为顶点的三角形与相似，则符合条件的点共有________个． 【答案】6 【分析】根据网格结构得出为直角三角形，且两直角边，，比值为．由相似三角形的性质可知也应为直角三角形，且两直角边之比为．已知且在竖直格线上，分和两种情况讨论，结合分别对应短直角边或长直角边计算或的长度，确定点的位置并验证是否在网格范围内． 【详解】如图所示： 设小正方形的边长为，在中，，，，． ∵与相似， ∴是直角三角形，且两直角边之比为． 由图可知，在同一条竖直格线上，．若，则在以为直径的圆上，此时为等腰直角三角形，与不相似， 故排除． ∴直角顶点为或． 当时，，即在水平格线上．若对应，则， 解得，点在左侧个单位处（右侧超出网格），符合题意． 若对应，则， 解得，点在左侧或右侧个单位处，均符合题意． 当时，，即在水平格线上．若对应，则，解得，点在左侧个单位处（右侧超出网格），符合题意． 若对应，则， 解得，点在左侧或右侧个单位处，均符合题意． 综上所述，符合条件的点E共有个． 32．（24-25九年级上·上海虹口·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有________个． 【答案】6 【分析】本题考查了在直角坐标系中画出与已知三角形相似的图形，解题的关键在于找出与已知三角形各边长成比例的三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 根据题意，得出的三边之比，并在直角坐标系中找出与各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 【详解】解：有图可知：的三边为： ，， ， 如图所示： 可能出现的相似三角形共有以下六种情况： ， 故答案为：6． 33．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①， ． (2)如图②，在上找一点F，使． (3)如图③，在上找一点M，连结、，使． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明，进而求解； （2）由勾股定理求出的长，根据构造相似比为的两个相似三角形求解； （3）根据相似三角形的判定和性质作图即可． 【详解】（1）解：由图可知，， ∴， ∴； （2）解：如图，， ∵， ∴，且相似比为， ∴； （3）解：如图， ∵， ∴，且相似比为， ∴， ∵，， ∴． ◆题型12 重心的有关性质 34．（2026·浙江·模拟预测）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． (1)如图1，在图中标出的重心O． (2)如图2，在线段标出点E，在线段上标出点F，连接，使得与的面积比为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据重心的定义，分别作的边上的中线，交点即为所求； （2）取格点，使得，且，同理取格点，使得，且，则，又因为，所以，且相似比为，易得与的面积比为．． 【详解】（1）略 （2）略 35．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，中线相交于点G， (1)若，求的长； (2)若的面积为1，求的面积． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据题意可得点G是的重心，由重心的性质可得，据此求出的长即可得到答案； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积得到，再由（1）得，据此可得． 【详解】（1）解：∵在中，中线相交于点G， ∴点G是的重心， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴； 由（1）得， ∴， ∴． 36．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图（1），线段是的中位线，我们可以得到，． (1)如图（2），现将所在的直线平移至经过的重心G的位置，请问：与的值________（填相等或不相等），如果相等，那么等于________． (2)如图（3），已知点M为是中线AF上一点，且，现将所在的直线平移至经过点M的位置，请问：与的值还相等吗？如果相等，那么等于多少？并说明理由． 【答案】(1)相等，； (2) 解：与的值相等，等于， 理由是：∵， ∴， ∵， ∴， 即与的值相等，等于． 【分析】（1）利用三角形中位线的性质和三角形重心的性质进行解答即可； （2）利用三角形中位线的性质和三角形重心的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设的中点为，连接， ∵是的重心， ∴即， ∵， ∴ ∴， 即与的值相等，且都等于； （2）略 ◆题型13 相似三角形的实际应用 37．（25-26九年级上·北京房山·期中）祈年殿是北京天坛的主体建筑（图1）．晓宇和同学们在国庆放假期间，到天坛公园开展数学综合实践活动．由于太阳光近似于平行光线，所以他们计划通过测量影子的方法来计算祈年殿的高度．如图2所示，祈年殿的高为，测得其在地面上的影长为37米．同一时刻，竖一根高度为1.9米的标杆，测得标杆的影长为1.85米． (1)在图中画出此时在阳光下的投影（提示：投影应从点B开始，方向与标杆影子一致）； (2)根据测量数据，计算祈年殿的实际高度． 【答案】(1) 即为所求： (2)38米 【分析】本题考查三角形相似的实际应用： （1）过A作，交于C，即为所求； （2）根据写出比例关系即可求解． 【详解】（1）解：过A作，交于C． （2）解：， ， ，， ， ， ，即， （米）， 祈年殿的实际高度为38米． 38．（25-26九年级上·北京延庆·期中）如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.8米，两个路灯的高度都是9米，且． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 【答案】(1)两路灯的距离为25米 (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）如图1，先证明，利用相似比可得，进而得，，解得米； （2）如图2，当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为，证明，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， 答：两路灯的距离为25米； （2）解：如图2，当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 答：当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米． 39．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．某型号小汽车的车头盲区（见图1）可以近似看作矩形．如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度米，车前盖最高处与地面距离米，驾驶员与车头水平距离米，车前盖最高处与车头水平距离米，点M在上，米． (1)求车头盲区的长度； (2)在M处有一个高度为0.4米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：不能； 如图所示，过点M作交AF于点N， 所以，，， ∵，， ∴， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以驾驶员不能观察到物体． 【分析】本题考查相似三角形的应用、 （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）过点M作交AF于点N，证明，根据相似三角形的性质求得，进而与实际高度比较可得结论． 【详解】（1）解：根据题意，，，，， 所以，， 所以， 所以，又， 所以， 解得，， 检验，当时，原方程的分母不为零， 所以， 所以； （2）略 考点二 相似形压轴题型 ◆题型1 黄金分割综合应用 40．（25-26八年级下·全国·期末）宽与长的比是（约为）的矩形叫作黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计． 下面是小芸同学设计的“已知矩形的长，构造黄金矩形”的尺规作图过程： 如图，线段的长为2．①过点B作的垂线，在上截取，连接；②以点E为圆心，的长为半径作弧交于点；③过点作的垂线，以点为圆心，的长为半径作弧，在直线的上方交于点．④过点作的平行线交于点．则四边形即为所求作的黄金矩形． 结合阅读，根据上述尺规作图过程： (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下列推理与计算． 证明：四边形为平行四边形…… 【答案】(1)如图所示： (2)证明：，， ． ， 四边形为平行四边形． ， 平行四边形为矩形（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）． 在中，，， ， ， ， ， 即：矩形为黄金矩形． 【分析】（1）根据题意按照尺规作垂线，线段垂直平分线，作一个角等于已知角的步骤作图即可； （2）先证明四边形是矩形，再由勾股定理求得，由得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 41．（2026·江苏宿迁·二模）如图，点是线段上一点，如果满足，那么称线段被点黄金分割，点是线段的黄金分割点．完成下列问题： (1)填空：如图①，点是线段的黄金分割点，若，则__________；（用含根号的式子表示） (2)如图②，在中，，点在斜边上，，点在直角边上，，证明：点是线段的黄金分割点； (3)尺规作图：如图③，作出线段的一个黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)证明：∵在中，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点是线段的黄金分割点； (3)如图所示，即为所求． 【分析】（1）根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）由勾股定理得，则，，再证明，即可证明结论； （3）如图1，作出线段的中点，过点B作的垂线，并在该垂线上截取，以点C为圆心，的长为半径画弧交于点D，再以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点P，则点P即为所求；同理在图2中作出靠近点A的黄金分割点即可． 【详解】（1）解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（已检验）或（舍去）； （2）略 （3）略 42．（25-26八年级下·福建福州·期末）综合与实践：黄金矩形的探究与应用 阅读理解 定义：若矩形的短边与长边的比值为，则称该矩形为黄金矩形．黄金矩形具有协调、匀称的美学特征，在宣传设计、建筑艺术中应用广泛． 知识链接：分母有理化是二次根式运算的常用方法．对任意正数a和（），有： ，该方法可用于分母含二次根式和或差形式的化简，例如：． (1)某校设计制作主题宣传画报．画报采用视觉协调、符合经典美学比例的黄金矩形版式，若短边长度为1米，求该画报的长边长度（结果保留根号）． 操作发现 (2)为制作画报的黄金矩形画芯，兴趣小组利用正方形纸片通过折叠操作，巧妙构造出黄金矩形，步骤如下： 第一步：如图①，折叠正方形纸片，使边和重合，得到折痕（点E，F分别在边，上），然后将纸片展平． 第二步：如图②，再次折叠纸片，使边落在线段上，点C的对应点为，折痕为（点G在上），展平纸片． 第三步：如图③，沿过点G的直线折叠纸片，使点A，D的对应点，分别落在边，上，折痕为（点H在边上），展平后得到矩形． 求证：四边形是黄金矩形． 拓广探索 (3)有一张矩形画报，记为矩形，其中，．若在该画报内作一条垂直于其一组对边的分割线，将画报割为两个板块，且这两个板块均为黄金矩形，则： ①符合条件的m的不同取值共有_______个； ②当时，请直接写出所有满足条件的m值：____________． 【答案】(1)米 (2)解：设正方形边长为， 由第一步折叠得是中点， ∴， 在中，， 由第二步折叠性质得， ∴， 设，则， 由折叠得，， 连接 ， 在中，， 在中，， ∴， 解得 ， ∴在矩形中，长边，短边， ∴ ， ∴四边形是黄金矩形． (3)①②或 【分析】（1）首先明确黄金矩形短边与长边的比值为，因为已知短边长度，所以根据比值关系列方程即可求长边，过程中用到分母有理化化简结果； （2）先设正方形边长为参数，由第一步折叠得是中点，用勾股定理求的长度；根据第二步折叠的性质得，进而求出的长度，再结合角度关系推导，得到的长度；最后计算矩形的短边与长边的比值，验证其等于即可； （3）先判断分割线是垂直于长还是垂直于宽，分情况讨论两种分割方式下两个小矩形均为黄金矩形的条件，根据黄金矩形的比例关系列关于的方程求解，再统计解的个数和时的解． 【详解】（1）解：设长边为米， ∵短边为米， ∴ ， 解得 ， 分母有理化得：， ∴该画报的长边长度为米． （2）略 （3）①若，， 第一种情况：若， ∵， ∴在矩形中，， 且， ∴在矩形中，， ∴， 第二种情况：若， ∵， ∴在矩形中，， 且， 同理，在矩形中，， ∴， ②若，， 第一种情况：若， ∵， ∴ ∴， 解得，， ∵， ∴， 即， 解得， 第二种情况：若， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 综上所述，的值为或或或， ∴的不同取值共有个； ②由①可得，当时，的值为或． ◆题型2 相似三角形的判定与性质综合 43．（2022·浙江台州·模拟预测）已知，，． (1)找出与相等的角并证明； (2)求证：； (3)，，求． 【答案】(1)与相等的角是. 证明：，，， ； (2)证明：如图，在上截取，使，连接， 由（1）得，即， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， ， ∴， ∴， ， ， ∴， ， ． (3) 【分析】（1）根据三角形外角的性质直接求解即可； （2）在上截取，使，即可证明，可得和均为等腰三角形且顶角相等，即可证明； （3）由（2）可得，即可得，设，则，根据，可求得，即可证明，列比例求出，代入以上数据即可求得的值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）可知：， ∴， ， ， 设，则， ， ， ， 则， 又， ， ， ， ，即， ∴， ∴， ∴． 44．（2022·北京·模拟预测）探究证明： (1)如图1，矩形中，点、分别在边，上，，求证：． (2)如图2，矩形中，点在边上，，分别交，于点、，试猜想与有什么数量关系？并证明你的猜想． 拓展应用：综合（1）、（2）的结论解决以下问题： (3)如图3，四边形中，，，，，点、分别在边、上，求的值． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (2)猜想：， 证明：如图，作于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． (3) 【分析】（1）由矩形的性质可得，由结合等角的余角相等可得，从而证明，因此； （2）作于点，容易证明四边形是矩形，则，仿照（1）的解法容易证明，则，结合等量代换可得； （3）过点作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，交的延长线于点，连接，设，容易证明，则，进而可证明，则，计算得，从而得到，由（2）的结论可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，交的延长线于点，连接，设， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， 同理（2）可得，． 45．（25-26九年级上·北京·期末）在中，P为边上一点． (1)如图1，若，求证：； (2)已知，M为边上一点． ①如图2，若平分交于点D，，求的长； ②如图3，若为边上的中线，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∴； (2)①；② 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识．根据题意证明或构造相似三角形是解题关键． （1）证明，得到，即可得到； （2）①由（1）可求出，证明，得到，求出，即可得到； ②作交延长线于Q，设，得到，证明，得到，求出，即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：①由（1）可知， 即， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，作交延长线于Q， 设， ∵M是中点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． ◆题型3 相似三角形的动点问题 46．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在中，，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少________秒时，P、Q两点之间的距离为． （2）当t为________时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似． 【答案】 2秒 或 【分析】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定，勾股定理，解一元二次方程等，解题的关键是掌握分类讨论的思想． （1）设运动时间为秒，，根据勾股定理，列出方程，求解即可； （2）根据相似三角形的判定定理，分两种情况进行讨论，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1）点从到的运动时间为，点从到的运动时间为， 设运动时间为秒，，根据题意得， ，， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得或（舍去）， 故答案为：2秒； （2）当时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似， ∴结合（1）得，， 解得； 当时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似， ∴结合（1）得，， 解得； 综上，或， 故答案为：或． 47．（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质，求出的长，根据题意求出，推出，再根据相似的判定推出或，运用相似的性质求解即可； （2）过点作，，垂足分别为，，结合矩形的性质分别证明、，再运用相似的性质结合（1）中，，求出，，最后根据代入求解即可； （3）过点作，，垂足分别为，，根据矩形的性质，证明四边形为矩形，运用矩形的性质结合题意，推出，再结合（1）、（2）已求线段的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得，， ∵由题意可得，， ∴， ∵以，，为顶点的三角形与相似， 又∵， ∴或， ∴或 ∴或， 解方程，得， 解方程，得，（舍去）， 综合上述，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为或； （2）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∵， ∴，则， 整理得， 解得，（舍去）， ∴时，四边形的面积等于； （3）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， 由（2）得，， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，则， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得． 48．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，，，，动点，分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点从点出发，沿边一直移到点为止，点从点出发沿边一直运动到点为止（点到达点后，点继续运动） (1)请直接用含的代数式表示的长和的长，并写出的取值范围： (2)当是直角三角形时，求的值； (3)当与相似时，直接写出的值． 【答案】(1) ， (2)或 (3)或 【分析】（1）因为点P的速度是每秒，从A出发沿运动，所以的长可直接用速度乘时间表示；因为，根据可表示出的长；所以先算出P、Q运动的最长时间，即可确定t的取值范围． （2）因为是直角三角形，且，所以分两种情况讨论：和；同时要注意t的取值范围，对解进行筛选． （3）因为与相似，且是公共角，所以分两种情况：和；根据对应边成比例，代入含t的代数式建立方程；结合t的取值范围，求解方程得到t的值． 【详解】（1）：点P速度为，点到达点用时， ∴ ， ：点Q速度为，从B走到A总用时，， ∴； （2）， ∵， ∴直角只能是或，分情况讨论： ①当时， ， ∴． 当时，得 ，解得， 符合题意． 当时，，则，解得：，不符合题意． ②当时， ， ∴． 当时，代入得，解得，超出，舍去； 当时，，代入得，解得，符合题意． 综上，的值为或． （3）两个三角形有公共角，仅需夹的两边成比例，分两种对应情况： 当（即）时： 当时，代入，得 ，解得，符合题意． 当时，代入，得 ，解得，不符合题意，舍去． 当（即）时： 当时，代入得，解得，不符合题意，舍去． 当时，，代入得，解得，符合题意． 综上，的值为或． ◆题型4 重心的综合应用 49．（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，为的重心，点在延长线上，且，连接并延长交于点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，过点作交延长线于点，根据重心的性质可得，，再根据得到，推出，通过证明得到，推出，再证明得到，再利用比例的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，过点作交延长线于点， ∵G为的重心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 50．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，中，，点O是的重心，过点C作交射线于点E，连接，若的面积是6，则四边形的面积为________． 【答案】 8 【分析】连接并延长交于点D，过点E作于点F，根据等腰三角形三线合一性质及重心定义可得且，结合证得四边形为矩形，利用角角边证明与全等，得到点O为的中点，再计算直角梯形的面积，最后求和即可． 【详解】解：连接并延长交于点D，过点E作于点F，如图， ，点是的重心， ，，， ，， ， 四边形为矩形， ， ， ，， 在与中， ， ， ， 点O为的中点， 点D为的中点， 为的中位线， ， ，即， ， ， ． 51．（25-26九年级上·山东滨州·期末）【概念】三角形三条中线的交点叫作三角形的重心． 【证明】学了这个知识后，爱信遇到这样一个问题：如图1，点为的重心，连接并延长分别交于点，连接，通过观察他发现，请你帮他证明一下．这个发现非常重要，由以上的证明你得到的结论是：________________． 【应用】如图2，在中，已知是边的中线，是的重心，过点的直线分别交于点．如图2，当时，求证：； 【提升】如图3，是边的中线，是的重心，当和不平行，且点分别在线段上时，【应用】中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】 证明：三角形中的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为； 应用： 证明：点是的重心， ， 又， ， ； 提升：应用中结论成立．证明： 如图，过点作交的延长线于点与的延长线相交于点， 则， ， ， 又， 而是的中点，即， ， ， 又， ， 故结论成立． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心，三角形的中位线，平行线分线段成比例： 证明：利用三角形的中位线和三角形的相似即可证明结论； 应用：利用三角形的重心和平行线分线段成比例即可证明； 提升：过点作交的延长线于点与的延长线相交于点，则，得到，进而推出，，即可证明． 【详解】证明：点为的重心， 点分别为线段的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ∴得到结论：三角形中的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为； 应用：略 提升：略 ◆题型5 相似三角形的实际应用综合 52．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图（1）是小明同学自制的测量工具，其中，，上都有相同单位的刻度，G可以在上滑动，．小明想用自制的测量工具测量建筑物的高度．如图（2），小明站在自动扶梯的底部A处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点F，滑动使O，G，P在同一条直线上，此时．他乘坐扶梯到达顶部B处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点E，滑动，使，，在同一条直线上，此时．小明的身高，自动扶梯的高为，水平宽为．试根据以上数据计算出建筑物的高度．（结果精确到） 【答案】 【分析】根据题意可得，，列出比例式，代入题中数据，即可求解． 【详解】解：设， 则,， 根据题意可得, ∴， ∴， ∴， 同理可得, ∴， 即， ， ∴， ∴． 53．（2026·江苏盐城·三模）综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题 【问题提出】很多交通事故和汽车盲区有关，汽车肓区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域（如图1）． 【基本原理】因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 【问题情境】预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．康居数启星河社团的同学们在学习了交通安全知识后，对汽车盲区的问题产生了浓厚的兴趣．如图2是他们研究的一个汽车盲区的左视图．若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，车顶到地面的距离为，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离 ，点在上， 【问题解决】 任务一： (1)求车头盲区的长度； 任务二：在实际驾车中，驾驶员可以通过调整座椅的高度从而改变盲区的范围． (2)在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？若能观察到物体，请说明理由；若不能观察到物体，请问如何调整座椅的高度才能使得驾驶员观察到物体；（精确到） (3)若、、保持不变，减小，则 （填 “减小”、“不变” 或“增大”）． 任务三：交通安全规定：一般情况下，小轿车车头地面盲区长度才算安全驾驶． (4)若固定，，时，求驾驶员安全驾驶时视野高度的取值范围． 【答案】(1) (2)解：不能看到物体，理由如下： 过点M作交于点G，过点E 作交于点H， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ， ∴驾驶员不能观察到物体； 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故将座椅的高度调低； (3)增大 (4) 【分析】（1）设，根据三角形相似，得到，求解即可． （2）过点M作交于点G，过点E 作交于点H，根据三角形相似的判定和性质求解即可； （3）设，得到，根据分式的性质，求解即可． （4）设，根据题意，得，解得，求解即可; 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，时，， 故时原方程的根， 故的长为 （2）略 （3）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的根， 故， 减小， 也在减小， 在增大， 在增大， 故增大; （4）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，时，， 故时原方程的根， ， 根据题意，得车顶到地面的距离为， 故; 54．（2026·浙江·模拟预测）小军与小明两兄弟站在平面镜前方的水平地面上照镜子．如图，小军竖直站立在A处，其眼睛所在位置为点C，；小明竖直站立在小军身后的B处，其眼睛所在位置为点D，．此时C，D，O三点恰好共线，且小明与小军的水平距离为1米． (1)求小军到平面镜的距离． (2)根据平面镜成像原理，小明的立足点与眼睛在平面镜中的像分别为点与点．小军若想通过镜子看到点，，则需要注视到平面镜中点E，F的位置，求的长． (3)在（2）的条件下，若小军想蹲下看，则的长是否会改变，请说明理由． 【答案】(1)小军到平面镜的距离为2米 (2)米 (3)的长不会改变．理由如下： 无论的长如何变化都有， 只要小军的立足点不变，与的高之比就不变，即始终成立， 为定值，都等于0.72米． 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的性质可进行求解； （2）由平面镜成像原理可知：米，米．由图可把分别看作是的高，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解； （3）根据相似三角形的性质与判定进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， 即， 米， 小军到平面镜的距离为2米． （2）解：由平面镜成像原理可知：米，米．由图可把分别看作是的高， ， ， ， 即， 米． （3）略 ◆题型6 相似三角形的模型问题 55．（26-27九年级上·全国·期末）综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． (1)【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，则________； (2)【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； (3)【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 【答案】(1) (2)证明：过点作于点，过点作于点，且交于点． ∵四边形是矩形， ， ． 同理，， ， ∵， ∴， ∵， ． ， ， ． (3) 【分析】（1）通过证明，由相似比即可求解； （2）构造出两个相似三角形，利用相似比及矩形对边相等的性质证明； （3）作平行线构造相似三角形，结合勾股定理解出线段长度，再由相似比即可求出的长． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，，， ∴； （2）略 （3）解：过点作，延长交于点． 在中，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴ 又， ， ， ， ． 56．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图三角形中，，是边上的高且．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接、，交于 E． (1)如图1，若四边形是正方形，求的长； (2)如图2，若四边形是矩形，且．求、的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】根据相似三角形的对应边上的高的比＝相似比，构建方程即可解决问题； 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，是边上的高， ，， ， ，即， ； （2）解：∵四边形是矩形， ，， ∴， ， 设则，                                     即，解得， ，． 57．（25-26八年级下·吉林长春·期末）【教材呈现】 关于“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．”这一性质，华师版新、旧教材给出两种不同的证明方法． 已知：如图①，在中，点分别是和的中点． 求证：． 方法一：新版八下教材第99页如图②，过点作，且与的延长线交于点．由平行线性质和已知条件，可以证明，从而推出四边形是平行四边形，可得． 方法二：旧版九上教材第77页如图①，利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，再利用“相似三角形的对应边成比例，对应角相等”，可得，． (1)请按照方法二写出完整证明过程． 证明： (2)【结论应用】如图③，在四边形中，，点是对角线的中点，点、分别是、中点，，则的度数是 ． (3)【拓展延伸】如图④，在四边形中，，且，点、分别是、的中点，则的长度是 ． 【答案】(1)证明：∵点分别是和的中点， ∴， ∴ ， ， ∴， ∴， ， ∴，； (2) (3) 【分析】本题考查了中位线的运用，难点不大，掌握中位线性质即可求解； （1）利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可求解； （2）根据中位线性质可得是等腰三角形，即可求解； （3）在上取中点，连接，得是等腰直角三角形，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：∵点是对角线的中点，点、分别是、中点， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴是等腰三角形， ∵， ∴； （3）解：如图，在上取中点，连接 ， ∵点、分别是、的中点，， ∴ ， ， ∵， ∴ ， ∴ . ◆题型7 相似三角形中的旋转问题 58．（25-26九年级下·湖北荆州·阶段检测）（1）如图1，已知正方形与正方形，将正方形绕点A按逆时针方向旋转，求证：，且； （2）如图2，将（1）中的两个正方形分别改成矩形和矩形，且，，，将矩形绕点A顺时针方向旋转，连接，，在旋转过程中，的值是定值，请求出这个定值． 【答案】 （1）如图，延长交于，交于， 四边形与四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， ； （2）65 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质，勾股定理等； （1）延长交于，交于，由正方形的性质及可判定，由全等三角形及性质得，，即可得证； （2）连接、，交于，交于，由矩形的性质及三角形相似判定方法得，由三角形相似的性质得，由勾股定理得 ，，，，即可求解； 掌握判定方法及性质，作出恰当的辅助线，构建直角三角形，利用勾股定理解答是解题关键． 【详解】解：（1） 略 （2）如图，连接、，交于，交于， 四边形和四边矩形是矩形， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 59．（2023·辽宁鞍山·一模）在和中，，，，连接，． (1)如图①将绕点A旋转，在旋转过程中，线段与总保持相等的数量关系，请说明理由． (2)如图②，，，，把绕点A旋转，点P为射线与的交点，当E在延长线上时，求线段的长度（只求图中的情况）． (3)在②的条件下，在旋转过程中，点P为射线与射线的交点，当四边形为正方形时，直接写出线段长度的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2) (3)或 【分析】（1）通过证明即可； （2）利用得到，进一步通过得到，即可得答案； （3）分当点P在线段上和当点P在线段的延长线上两种情况进行计算． 【详解】（1） 略 （2）∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 又∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）∵，，， ∴， ∵为正方形，如图，当点P在线段上时， ∴， ∴ ， 当点P在的延长线上时， ； 综上所述，或． 【点睛】本题是几何变换题，主要考查了正方形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用全等三角形进行边和角的转化是解决问题的关键． 60．（2026·河南周口·一模）综合探究 (1)和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________； (2)和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值； (3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出相等的线段和角，利用证明，即可得出结论； （2）根据相似三角形的性质得出相等的角，证明，得出对应边成比例，令，利用勾股定理求出，即可求解； （3）根据题意，画出图形，分两种情况进行讨论，利用等腰直角三角形的性质得出相等的角以及边之间的数量关系，证明，确定直角三角形，最后利用勾股定理进行求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴令， 由勾股定理得， ∴； （3）解：①如图所示，，，三点共线， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； ②如图所示，，，三点共线， 此时，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 综上，的长为． ◆题型8 相似三角形中的最值问题 61．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）如图矩形，是与边上动点，且交于点，，，求最小为（   ） A． B．9 C．10 D． 【答案】C 【分析】因与两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，作，且，连接 ，又因点在上是一动点，由边与边关系 ，只有当点在直线上时的 和最小，由平行四边形可知时可求的最小值． 【详解】解：设，则；过 点作，且 连接，当点、、 三点共线时，的最值小；如图： ∵ ∴四边形是平行四边形 由点、、三点共线， ∴ 由四边形是矩形 ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ 又∵， 在 中，由勾股定理得： 又∵，则， ∴ 解得∶， ∴ 在中，由勾股定理得： ∵，， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理和最短距离问题等知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，求的长时也可以用三角形的中位线求解，难点是作辅助线，三点共线时两条线段的和最小． 62．（25-26九年级上·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图①，已知四边形，请在四边形内找一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小． 问题探究 （2）如图②，在中，，点是边上一点．若，，，求证：． 问题解决 （3）如图③，在四边形中，，，，，．在矩形中，．求的最小值．（结果保留根号） 【答案】 （1）如图，点即为所求； （2）∵， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则； （3） 【分析】（1）连接和相交于点O，另取一点P，连接、、和，利用三角形三边关系可得和，即，结合即可证明点即为所求； （2）根据勾股定理求得和，可得，即可证明，则有； （3）延长与相交于点M，过点C作于点N，连接和，根据四边形内角和定理求得和，求得和，及和，利用矩形的性质得和，可证明，有和，则化简为，当点A、点E、点F和点C四点共线时取得最小值，再次利用勾股定理求得即可． 【详解】解：（1）连接和相交于点O，另取一点P，连接、、和， 在中，， 在中，， 则， ∵点到四边形四个顶点的距离之和为 ∴点即为所求； （2）略 （3）延长与相交于点M，过点C作于点N，连接和，如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， 当点A、点E、点F和点C四点共线时取得最小值， ∵，， ∴， 则的最小值． 【点睛】本题主要考查三角形三边关系的应用，勾股定理，相似三角形的判定和性质，四边形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质和等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和矩形的性质． 63．（25-26九年级上·山东济南·期末）【问题引入】 如图，在矩形中，，，点是边上的动点，点是射线上的动点，且，连接，，求的最小值． 【问题解决】 （1）小明同学提出了以下思路：如图，延长至点，使得，连接，当，，三点共线时，最小． ①与的数量关系是____________． ②的最小值为____________． 【能力运用】 （2）小涵同学发现，若将题目中的“”改为“”，我们就可以求出的最小值，如图，请求出的最小值，并说明理由． 【挑战自我】 （3）小晴同学又发现，当点，在矩形的对角线上时，我们依旧可以用类似的方法，求出的最小值，如图，点，在对角线上，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）①，②； （2）解：的最小值为． 理由：延长至点，使得，连接，，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点，，共线时，取得最小值为， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， 在中，， ∴的最小值为； （3） 【分析】（1）①根据矩形的性质证明即可； ②连接，由勾股定理求得，结合①的结论得，则当点，，共线时，取得最小值为； （2）延长至点，使得，连接，，证明得，继而得到，当点，，共线时，取得最小值为，再由勾股定理求出即可； （3）延长至点，使得，连接，，证明得，继而得到，则当点，，三点共线时，取得最小值为，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； ②连接，如图， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， 在中，， ∵， ∴当点，，共线时，取得最小值为， 故答案为：； （2）略 （3）解：延长至点，使得，连接，，如图， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点，，三点共线时，取得最小值为， ∵四边形是矩形，，， ∴，， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识点，解题的关键是转化思想的运用． ◆题型9 相似三角形中的新定义问题 64．（2026·河南平顶山·三模）定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在中，，，，点D在AC边上，若是“准直角三角形”，则的长为______． 【答案】或 【分析】先根据勾股定理得出，再由题意分两种情况讨论，结合角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，即可解答． 【详解】解：， ∴在中，由勾股定理得，． 根据题意，分两种情况讨论： ①当时， 如图1，过点D作于点E， 设，则， ∴． ，即， ∴， ∴， ∴，即平分． 又，， ∴． ∵， ∴， ， ∴； ②当时， 如图2， 设，且， ， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或． 65．（2026·河南安阳·一模）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．如图，在中，，，以为对角线，作垂等四边形．过点D作延长线的垂线，垂足为E，且与相似，则四边形的面积为______． 【答案】或 【分析】如图，过点作，垂足为，构造矩形．在中，利用勾股定理求得．再由垂等四边形的性质知．分两种情况：①当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果；②当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为F， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴． ∵在中，， ∴，即， 解得：（负值已舍去）， ∴， ∵四边形为垂等四边形， ∴． ①当时，， ∴， 设，则， ∴． 在中，根据勾股定理得，，即， 解得：，（舍去）， ∴，， ∴ ； ②当时，， ∴， 设，则， ∴． 根据勾股定理得，， 解得：，（舍去）， ∴，， ∴， ∴综上所述，四边形的面积为或． 66．（2026·河南·二模）【定义】平行四边形一组邻边的两个中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接所得的三角形，如果中点处的内角是，则称这个三角形为这个平行四边形的“半直三角形”． 【理解定义】 (1)如图1，在矩形中，、分别是、的中点，，________（填“是”或“不是”）矩形的“半直三角形”． 【运用定义】 (2)如图1，在（1）的条件下，求的值． 【拓展提升】 (3)如图2，在中，，，以为“半直三角形”的平行四边形的一组邻边记为，（），直接写出的值． 【答案】(1)是； (2)； (3)或 【分析】（1）先确认、是矩形一组邻边、的中点，再确认连接的顶点不在这组邻边上，最后验证直角恰好位于中点处，完全符合定义，即可得出结论； （2）先由和矩形的直角，通过“同角的余角相等”证明，得到；再结合、是中点的性质，将各边用、表示后代入相似比，化简后即可求出的值； （3）先根据“半直三角形”的定义，分两种情况构造平行四边形；再通过作垂线构造相似三角形，利用的比例关系得到线段比；结合“中点”和“平行四边形对边相等”的性质建立方程，求出各线段长度后用勾股定理计算邻边、，最终得到的值． 【详解】（1）解：是； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴， ∴； （3）解：或．             ①如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． ②如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 综上，的值为或． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26九年级上·贵州铜仁·期末）如图①是花架实物图，图②是其对应的侧面示意图，已知，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例的定理．根据平行线分线段成比例可得，代入数据求得，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵，，， ，即， ∴， 解得：， 故选：A． 2．（25-26九年级上·海南海口·阶段检测）如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握定理的内容并能灵活运用，特别注意定理中线段的对应．设，则，再根据求解即可． 【详解】解：，， ． 设． ， ． ， ， 解得，即． 故选：B． 3．（25-26九年级上·北京顺义·期中）如图，在中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（   ）． A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握好平行证相似的方法是解题关键． 由平行四边形的性质，容易证出，从而得到，代入数值即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 4．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，已知是线段的中点，是线段的中点，连接并延长交于点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，添加平行线辅助线构造相似三角形和全等三角形是解题的关键．过点作交于点，先证明得到，再证明得到，即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．（25-26九年级下·浙江台州·期末）如图，在正方形中，点是的中点，把三角形沿着翻折得到，连结，若的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，延长交于点M，求出，得到，证明四边形是矩形，则，设，则，，证明，则，得到，在中，，解得，得到，即可求出的面积． 【详解】解：过点作于点，延长交于点M，则 ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是的中点， ∴ ∵的面积是， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， ∵三角形沿着翻折得到， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∴ 即 ∴， 在中，， 即 解得，（负值已舍去） ∴ ∴的面积， 故选：B 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质、矩形的判定和性质、折叠的性质、解一元二次方程等知识，证明是解题的关键． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，是延长线上一点，交于点，是的中点．若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】证明得，求出，再根据勾股定理得即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， 在中，． 7．（25-26九年级下·北京顺义·阶段检测）如图，已知，，，______． 【答案】6 【分析】利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴． 8．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，正方形 的边长为 4，点 E 为 的中点，点 F 在 上，，则 的面积为_________． 【答案】5 【分析】此题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质， 根据正方形性质及勾股定理求出，证明和相似得，再根据三角形的面积公式即可得出的面积． 【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ∴的面积为：． 故答案为：5． 9．（24-25九年级下·北京·阶段检测）如图，矩形中，点P在边上，，连接并延长，交的延长线于点E，连接交于点Q．则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，先根据求出，再根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， 即， ， ． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）欧几里得是古希腊著名数学家、欧氏几何的开创者．下面问题是欧几里得证明勾股定理的证法：一小片段：如图，中，，分别以的三边为边长，向外作正方形、、． （1）连接、，若，，则_____． （2）过点作，交于点，交于点，若、，则正方形的边长是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用正方形的性质证明，然后利用勾股定理即可求解； （2）根据平行得出四边形为矩形，然后根据相等的角得出，最后根据对应线段成比例和勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形和四边形为正方形， ∴， ∴， 即， ∴， ， 由直角三角形和正方形组合可知，点在同一条直线上， ∴由勾股定理得，， ， 故答案为：； （2）∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，, ∴， ， ∴， ∴， ∴， 即， 由勾股定理得，， 所以，正方形的边长为， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·北京·期中）已知：中，是边上的中线，过作一直线交于，交于．求证：． 【答案】 解：如图，过点作，交于点． 是边上的中线， ， ， ， ． ， ，即， ． 【分析】过点作，交于点，先根据中线的定义得到， 再根据平行线分线段成比例得到，然后再次根据平行线分线段成比例求证即可． 【详解】略 12．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，在中，点在边上，点在边的延长线上，且，与相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：四边形是平行四边形， ． 点在边上，点在边的延长线上，且， 四边形是平行四边形． (2)22 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，再根据，最后根据平行四边形的判定定理证明即可； （2）根据相似三角形对应边成比例，代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是平行四边形， ，． ，． ． ． ， ． ， ． ． ． 13．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图所示，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，F为上一点，且，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵的平分线交于点D， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴平行四边形为矩形． (2) 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，进而推出，再利用矩形的判定即可证明； （2）设，表示出、的长，通过证明得到，代入数据求出的值，再根据矩形的性质得到，再分别在和中利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 由（1）得，， 设， 则，， ∵， ∴， ∴，即， 解得（负值已舍去）， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25八年级下·山东淄博·期中）如图，中，是边上一点，四边形是正方形，点，在边上，点在内．连接，并延长交于点，过点作于点，交于点，于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，的面积．求的长． 【答案】(1) 证明：，，， 四边形为矩形， 四边形是正方形， ， ， ， ， ，而， ， 四边形为正方形； (2) 【分析】此题考查正方形的判定定理及性质定理，平行线分线段成比例，勾股定理，相似三角形的判定及性质． （1）先证得四边形为矩形．根据正方形的性质得到，，得到，，由此证得，即可得到结论； （2）作于，交于，根据的面积为，求出，，，设，则，，由证得，即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：作于，交于，如图， 的面积，， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ，得， 即的长为． 15．（2025·河北邢台·三模）如图1，图2，在菱形中，点是边的中点，连接，点N是边上一点． (1)如图1，若， ①在图1中，尺规作图：过点作，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） ②求证：． (2)如图2，连接．若，求的长． 【答案】(1) ①如图，即为所求； ②∵菱形， ∴， ， ∴， ∵， ； (2) 12 【分析】本题考查菱形的性质，尺规作图—作垂线，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）①以为圆心，取与能有交点的长为半径，画弧，交于两点，以这两点为圆心，大于这两点间的距离为半径画弧，两弧交于一点，连接与该点的直线，交于点，即可； ②等积法结合菱形的性质，即可得证； （2）延长交的延长线于．证明，推出，证明，列出比例式求解即可． 【详解】（1）略 （2）如图2，延长交的延长线于． 四边形是菱形， ， ． 是边的中点， ， ． ． ， ，， ． ． ， ． ， ． ． ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相似形章末易错压轴题型 常考题型·精准突破 考点一 相似形易错题型 题型1 比例线段 题型2 黄金分割 题型3 平行线分三角形两边成比例 题型4 相似多边形 题型5 相似多边形的性质 题型6 相似三角形的判定 题型7 选择或补充条件使两个三角形相似 题型8 相似三角形的判定综合 题型9 利用相似三角形的性质求解 题型10 利用相似求坐标 题型11 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型12 重心的有关性质 题型13 相似三角形的实际应用 考点二 相似形压轴题型 题型1 黄金分割综合应用 题型2 相似三角形的判定与性质综合 题型3 相似三角形的动点问题 题型4 重心的综合应用 题型5 相似三角形的实际应用综合 题型6 相似三角形的模型问题 题型7 相似三角形中的旋转问题 题型8 相似三角形中的最值问题 题型9 相似三角形中的新定义问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 相似形易错题型 ◆题型1 比例线段 1．（25-26九年级上·山西晋中·期中）若，且，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京海淀·期中）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，若两地的实际直线距离为，则两地的实际直线距离为________． 3．（24-25八年级下·山东烟台·期中）（1）已知，且，则_________． （2）已知线段a、b、c满足，且． ①求a、b、c的值； ②若线段是线段a、b的比例中项，求线段的长； ③若四条线即a，b，c，d为成比例线段，则线段的长为__________． ◆题型2 黄金分割 4．（25-26九年级上·广东梅州·期中）神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其上一圈螺纹的直径与相邻下一圈螺纹直径的比约为黄金比．若上一圈螺纹的直径为a，则相邻下一圈螺纹的直径约为（     ） A． B．2a C． D．4a-1 5．（25-26九年级上·北京通州·期中）《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点（），已知哪吒在剧中的身高设定为，则长为______（结果保留根号）． 6．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）【背景知识】 宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等． （1）经测量帕特农神庙的长约为30米，求它的宽度是多少米?（结果保留根号） 【实验操作】 折一个黄金矩形 第一步：在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处； 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出，得到矩形（如图4）．          【问题思考】 （2）若的长为2，请证明：矩形是黄金矩形； （3）在（2）的条件下，以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，直接写出这个矩形的面积． ◆题型3 平行线分三角形两边成比例 7．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，，直线分别交直线于点，直线分别交于点，若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，D是的边的中点，F是上一点，且，连接并延长，交于点E，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·北京顺义·期末）如图，直线，直线，分别与这三条直线交于点，，和点，，．若，则的值为___________． ◆题型4 相似多边形 10．（25-26八年级下·山东烟台·期中）下列四组平面图形中，一定相似的是（    ） A．等腰三角形与等腰三角形 B．正方形与菱形 C．正五边形与正五边形 D．菱形与菱形 11．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 12．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若，，每个小矩形与矩形相似吗？请说明理由； (2)如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们______；（填“相似”或“不一定相似”） (3)若长，宽，且每个小矩形与矩形相似，求与应满足的关系式． ◆题型5 相似多边形的性质 13．（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图所示，若把矩形截除一个正方形阴影部分后，剩下的矩形仍与原矩形相似，那么原矩形的两边与应满足的关系是（     ） A． B． C． D． 14．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，矩形，小福在矩形左边分割出正方形，然后小龙在右边矩形的一组对边上分别取中点M，N分割出矩形和矩形，最后小马把矩形对半分割成矩形和矩形，若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比（    ） A． B． C． D． 15．（25-26八年级下·北京海淀·阶段检测）已知矩形中，，在上取一点E，将沿向上折叠，使B落在上的F点．则 （1）___________； （2）若四边形与矩形相似，则___________．    ◆题型6 相似三角形的判定 16．（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，点、、分别在等边的三边、、上，且，求证：． 17．（25-26九年级上·北京·单元复习）如图，在矩形中，，．点、分别在边、上，且，过点作于点，连接、、，．求证：． 18．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在矩形中，，．点、分别在边、上，且，过点作于点，连接、、，． (1)求证：； (2)求的长度． ◆题型7 选择或补充条件使两个三角形相似 19．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 20．（24-25八年级下·全国·课后作业）结论开放 如图所示，在中，，，D是边上的一点，连接，若使与相似，只需添加一个条件：____________． 21．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，在四边形中，，点F，E分别在线段上，且，． (1)求证：； (2)请添加一个条件__________，使，并写出证明过程． ◆题型8 相似三角形的判定综合 22．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，在梯形中，，对角线相交于点O，问：与相似吗？ 有一名同学解答如下： 因为，所以，，所以，所以．又因为，所以． (1)请你判断这名同学的证明是否正确，说明理由． (2)若，与相似吗？ 23．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，矩形中，，，点为边上的动点，交于点． (1)求证：； (2)当时，求的长． 24．（25-26九年级上·上海普陀·期末）已知：如图，四边形中，点E在边上，交于点F，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． ◆题型9 利用相似三角形的性质求解 25．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若． (1)求证：； (2)求的值． 26．（25-26九年级下·安徽六安·阶段检测）如图，在矩形中，为对角线，过点D作的垂线，交于点E，垂足为点F，过点E作交于点G，连接交于点H，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 27．（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． (1)试说明：； (2)若矩形是正方形，求的长； ◆题型10 利用相似求坐标 28．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 29．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是___． 30．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，时，点C的坐标是______． ◆题型11 在网格中画与已知三角形相似的三角形 31．（2026·四川南充·二模）如图，是的方格，已知4个格点，，，，点也在格点上，若以，，为顶点的三角形与相似，则符合条件的点共有________个． 32．（24-25九年级上·上海虹口·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有________个． 33．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①， ． (2)如图②，在上找一点F，使． (3)如图③，在上找一点M，连结、，使． ◆题型12 重心的有关性质 34．（2026·浙江·模拟预测）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． (1)如图1，在图中标出的重心O． (2)如图2，在线段标出点E，在线段上标出点F，连接，使得与的面积比为． 35．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，中线相交于点G， (1)若，求的长； (2)若的面积为1，求的面积． 36．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图（1），线段是的中位线，我们可以得到，． (1)如图（2），现将所在的直线平移至经过的重心G的位置，请问：与的值________（填相等或不相等），如果相等，那么等于________． (2)如图（3），已知点M为是中线AF上一点，且，现将所在的直线平移至经过点M的位置，请问：与的值还相等吗？如果相等，那么等于多少？并说明理由． ◆题型13 相似三角形的实际应用 37．（25-26九年级上·北京房山·期中）祈年殿是北京天坛的主体建筑（图1）．晓宇和同学们在国庆放假期间，到天坛公园开展数学综合实践活动．由于太阳光近似于平行光线，所以他们计划通过测量影子的方法来计算祈年殿的高度．如图2所示，祈年殿的高为，测得其在地面上的影长为37米．同一时刻，竖一根高度为1.9米的标杆，测得标杆的影长为1.85米． (1)在图中画出此时在阳光下的投影（提示：投影应从点B开始，方向与标杆影子一致）； (2)根据测量数据，计算祈年殿的实际高度． 38．（25-26九年级上·北京延庆·期中）如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.8米，两个路灯的高度都是9米，且． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 39．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．某型号小汽车的车头盲区（见图1）可以近似看作矩形．如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度米，车前盖最高处与地面距离米，驾驶员与车头水平距离米，车前盖最高处与车头水平距离米，点M在上，米． (1)求车头盲区的长度； (2)在M处有一个高度为0.4米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 考点二 相似形压轴题型 ◆题型1 黄金分割综合应用 40．（25-26八年级下·全国·期末）宽与长的比是（约为）的矩形叫作黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计． 下面是小芸同学设计的“已知矩形的长，构造黄金矩形”的尺规作图过程： 如图，线段的长为2．①过点B作的垂线，在上截取，连接；②以点E为圆心，的长为半径作弧交于点；③过点作的垂线，以点为圆心，的长为半径作弧，在直线的上方交于点．④过点作的平行线交于点．则四边形即为所求作的黄金矩形． 结合阅读，根据上述尺规作图过程： (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下列推理与计算． 证明：四边形为平行四边形…… 41．（2026·江苏宿迁·二模）如图，点是线段上一点，如果满足，那么称线段被点黄金分割，点是线段的黄金分割点．完成下列问题： (1)填空：如图①，点是线段的黄金分割点，若，则__________；（用含根号的式子表示） (2)如图②，在中，，点在斜边上，，点在直角边上，，证明：点是线段的黄金分割点； (3)尺规作图：如图③，作出线段的一个黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法） 42．（25-26八年级下·福建福州·期末）综合与实践：黄金矩形的探究与应用 阅读理解 定义：若矩形的短边与长边的比值为，则称该矩形为黄金矩形．黄金矩形具有协调、匀称的美学特征，在宣传设计、建筑艺术中应用广泛． 知识链接：分母有理化是二次根式运算的常用方法．对任意正数a和（），有： ，该方法可用于分母含二次根式和或差形式的化简，例如：． (1)某校设计制作主题宣传画报．画报采用视觉协调、符合经典美学比例的黄金矩形版式，若短边长度为1米，求该画报的长边长度（结果保留根号）． 操作发现 (2)为制作画报的黄金矩形画芯，兴趣小组利用正方形纸片通过折叠操作，巧妙构造出黄金矩形，步骤如下： 第一步：如图①，折叠正方形纸片，使边和重合，得到折痕（点E，F分别在边，上），然后将纸片展平． 第二步：如图②，再次折叠纸片，使边落在线段上，点C的对应点为，折痕为（点G在上），展平纸片． 第三步：如图③，沿过点G的直线折叠纸片，使点A，D的对应点，分别落在边，上，折痕为（点H在边上），展平后得到矩形． 求证：四边形是黄金矩形． 拓广探索 (3)有一张矩形画报，记为矩形，其中，．若在该画报内作一条垂直于其一组对边的分割线，将画报割为两个板块，且这两个板块均为黄金矩形，则： ①符合条件的m的不同取值共有_______个； ②当时，请直接写出所有满足条件的m值：____________． ◆题型2 相似三角形的判定与性质综合 43．（2022·浙江台州·模拟预测）已知，，． (1)找出与相等的角并证明； (2)求证：； (3)，，求． 44．（2022·北京·模拟预测）探究证明： (1)如图1，矩形中，点、分别在边，上，，求证：． (2)如图2，矩形中，点在边上，，分别交，于点、，试猜想与有什么数量关系？并证明你的猜想． 拓展应用：综合（1）、（2）的结论解决以下问题： (3)如图3，四边形中，，，，，点、分别在边、上，求的值． 45．（25-26九年级上·北京·期末）在中，P为边上一点． (1)如图1，若，求证：； (2)已知，M为边上一点． ①如图2，若平分交于点D，，求的长； ②如图3，若为边上的中线，，求的长． ◆题型3 相似三角形的动点问题 46．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在中，，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少________秒时，P、Q两点之间的距离为． （2）当t为________时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似． 47．（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 48．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，，，，动点，分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点从点出发，沿边一直移到点为止，点从点出发沿边一直运动到点为止（点到达点后，点继续运动） (1)请直接用含的代数式表示的长和的长，并写出的取值范围： (2)当是直角三角形时，求的值； (3)当与相似时，直接写出的值． ◆题型4 重心的综合应用 49．（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，为的重心，点在延长线上，且，连接并延长交于点，则（     ） A． B． C． D． 50．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，中，，点O是的重心，过点C作交射线于点E，连接，若的面积是6，则四边形的面积为________． 51．（25-26九年级上·山东滨州·期末）【概念】三角形三条中线的交点叫作三角形的重心． 【证明】学了这个知识后，爱信遇到这样一个问题：如图1，点为的重心，连接并延长分别交于点，连接，通过观察他发现，请你帮他证明一下．这个发现非常重要，由以上的证明你得到的结论是：________________． 【应用】如图2，在中，已知是边的中线，是的重心，过点的直线分别交于点．如图2，当时，求证：； 【提升】如图3，是边的中线，是的重心，当和不平行，且点分别在线段上时，【应用】中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． ◆题型5 相似三角形的实际应用综合 52．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图（1）是小明同学自制的测量工具，其中，，上都有相同单位的刻度，G可以在上滑动，．小明想用自制的测量工具测量建筑物的高度．如图（2），小明站在自动扶梯的底部A处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点F，滑动使O，G，P在同一条直线上，此时．他乘坐扶梯到达顶部B处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点E，滑动，使，，在同一条直线上，此时．小明的身高，自动扶梯的高为，水平宽为．试根据以上数据计算出建筑物的高度．（结果精确到） 53．（2026·江苏盐城·三模）综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题 【问题提出】很多交通事故和汽车盲区有关，汽车肓区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域（如图1）． 【基本原理】因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 【问题情境】预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．康居数启星河社团的同学们在学习了交通安全知识后，对汽车盲区的问题产生了浓厚的兴趣．如图2是他们研究的一个汽车盲区的左视图．若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，车顶到地面的距离为，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离 ，点在上， 【问题解决】 任务一： (1)求车头盲区的长度； 任务二：在实际驾车中，驾驶员可以通过调整座椅的高度从而改变盲区的范围． (2)在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？若能观察到物体，请说明理由；若不能观察到物体，请问如何调整座椅的高度才能使得驾驶员观察到物体；（精确到） (3)若、、保持不变，减小，则 （填 “减小”、“不变” 或“增大”）． 任务三：交通安全规定：一般情况下，小轿车车头地面盲区长度才算安全驾驶． (4)若固定，，时，求驾驶员安全驾驶时视野高度的取值范围． 54．（2026·浙江·模拟预测）小军与小明两兄弟站在平面镜前方的水平地面上照镜子．如图，小军竖直站立在A处，其眼睛所在位置为点C，；小明竖直站立在小军身后的B处，其眼睛所在位置为点D，．此时C，D，O三点恰好共线，且小明与小军的水平距离为1米． (1)求小军到平面镜的距离． (2)根据平面镜成像原理，小明的立足点与眼睛在平面镜中的像分别为点与点．小军若想通过镜子看到点，，则需要注视到平面镜中点E，F的位置，求的长． (3)在（2）的条件下，若小军想蹲下看，则的长是否会改变，请说明理由． ◆题型6 相似三角形的模型问题 55．（26-27九年级上·全国·期末）综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． (1)【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，则________； (2)【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； (3)【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 56．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图三角形中，，是边上的高且．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接、，交于 E． (1)如图1，若四边形是正方形，求的长； (2)如图2，若四边形是矩形，且．求、的长． 57．（25-26八年级下·吉林长春·期末）【教材呈现】 关于“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．”这一性质，华师版新、旧教材给出两种不同的证明方法． 已知：如图①，在中，点分别是和的中点． 求证：． 方法一：新版八下教材第99页如图②，过点作，且与的延长线交于点．由平行线性质和已知条件，可以证明，从而推出四边形是平行四边形，可得． 方法二：旧版九上教材第77页如图①，利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，再利用“相似三角形的对应边成比例，对应角相等”，可得，． (1)请按照方法二写出完整证明过程． 证明： (2)【结论应用】如图③，在四边形中，，点是对角线的中点，点、分别是、中点，，则的度数是 ． (3)【拓展延伸】如图④，在四边形中，，且，点、分别是、的中点，则的长度是 ． ◆题型7 相似三角形中的旋转问题 58．（25-26九年级下·湖北荆州·阶段检测）（1）如图1，已知正方形与正方形，将正方形绕点A按逆时针方向旋转，求证：，且； （2）如图2，将（1）中的两个正方形分别改成矩形和矩形，且，，，将矩形绕点A顺时针方向旋转，连接，，在旋转过程中，的值是定值，请求出这个定值． 59．（2023·辽宁鞍山·一模）在和中，，，，连接，． (1)如图①将绕点A旋转，在旋转过程中，线段与总保持相等的数量关系，请说明理由． (2)如图②，，，，把绕点A旋转，点P为射线与的交点，当E在延长线上时，求线段的长度（只求图中的情况）． (3)在②的条件下，在旋转过程中，点P为射线与射线的交点，当四边形为正方形时，直接写出线段长度的值． 60．（2026·河南周口·一模）综合探究 (1)和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________； (2)和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值； (3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． ◆题型8 相似三角形中的最值问题 61．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）如图矩形，是与边上动点，且交于点，，，求最小为（   ） A． B．9 C．10 D． 62．（25-26九年级上·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图①，已知四边形，请在四边形内找一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小． 问题探究 （2）如图②，在中，，点是边上一点．若，，，求证：． 问题解决 （3）如图③，在四边形中，，，，，．在矩形中，．求的最小值．（结果保留根号） 63．（25-26九年级上·山东济南·期末）【问题引入】 如图，在矩形中，，，点是边上的动点，点是射线上的动点，且，连接，，求的最小值． 【问题解决】 （1）小明同学提出了以下思路：如图，延长至点，使得，连接，当，，三点共线时，最小． ①与的数量关系是____________． ②的最小值为____________． 【能力运用】 （2）小涵同学发现，若将题目中的“”改为“”，我们就可以求出的最小值，如图，请求出的最小值，并说明理由． 【挑战自我】 （3）小晴同学又发现，当点，在矩形的对角线上时，我们依旧可以用类似的方法，求出的最小值，如图，点，在对角线上，，请直接写出的最小值． ◆题型9 相似三角形中的新定义问题 64．（2026·河南平顶山·三模）定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在中，，，，点D在AC边上，若是“准直角三角形”，则的长为______． 65．（2026·河南安阳·一模）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．如图，在中，，，以为对角线，作垂等四边形．过点D作延长线的垂线，垂足为E，且与相似，则四边形的面积为______． 66．（2026·河南·二模）【定义】平行四边形一组邻边的两个中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接所得的三角形，如果中点处的内角是，则称这个三角形为这个平行四边形的“半直三角形”． 【理解定义】 (1)如图1，在矩形中，、分别是、的中点，，________（填“是”或“不是”）矩形的“半直三角形”． 【运用定义】 (2)如图1，在（1）的条件下，求的值． 【拓展提升】 (3)如图2，在中，，，以为“半直三角形”的平行四边形的一组邻边记为，（），直接写出的值． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26九年级上·贵州铜仁·期末）如图①是花架实物图，图②是其对应的侧面示意图，已知，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·海南海口·阶段检测）如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·北京顺义·期中）如图，在中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（   ）． A．2 B． C． D．3 4．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，已知是线段的中点，是线段的中点，连接并延长交于点，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·浙江台州·期末）如图，在正方形中，点是的中点，把三角形沿着翻折得到，连结，若的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，是延长线上一点，交于点，是的中点．若，，则的长为_____． 7．（25-26九年级下·北京顺义·阶段检测）如图，已知，，，______． 8．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，正方形 的边长为 4，点 E 为 的中点，点 F 在 上，，则 的面积为_________． 9．（24-25九年级下·北京·阶段检测）如图，矩形中，点P在边上，，连接并延长，交的延长线于点E，连接交于点Q．则的值为________． 10．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）欧几里得是古希腊著名数学家、欧氏几何的开创者．下面问题是欧几里得证明勾股定理的证法：一小片段：如图，中，，分别以的三边为边长，向外作正方形、、． （1）连接、，若，，则_____． （2）过点作，交于点，交于点，若、，则正方形的边长是_____． 11．（25-26九年级上·北京·期中）已知：中，是边上的中线，过作一直线交于，交于．求证：． 12．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，在中，点在边上，点在边的延长线上，且，与相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 13．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图所示，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，F为上一点，且，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，若，，求的长． 14．（24-25八年级下·山东淄博·期中）如图，中，是边上一点，四边形是正方形，点，在边上，点在内．连接，并延长交于点，过点作于点，交于点，于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，的面积．求的长． 15．（2025·河北邢台·三模）如图1，图2，在菱形中，点是边的中点，连接，点N是边上一点． (1)如图1，若， ①在图1中，尺规作图：过点作，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） ②求证：． (2)如图2，连接．若，求的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $