精品解析：浙江杭州市拱墅区观成教育集团2026-2027学年上学期九年级10月学情自测数学试卷

观成教育集团九上月考试卷 一、选择题（本题有10小题，共30分） 1. 若（a，b都不为0），则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵（，都不为0）， ∴， ∴选项A错误，选项B正确，其他选项无法判断． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键． 直接根据二次函数的顶点式进行解答即可． 【详解】解：∵ 抛物线解析式为， ∴顶点坐标为． 故选：C． 3. 如图，直线，直线分别交，，于点，，；直线分别交，，于点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理的内容是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理，对每个选项中的比例式进行验证，判断其是否符合定理内容． 【详解】解：∵直线， ∴由平行线分线段成比例定理，得，故A项正确； ∵，故B项错误； ∵与、无成比例的直接关系，比例式不成立，故C项错误； ∵，故D项错误； 故选：A． 4. 如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，若点的对应点为，当时，则线段的长度是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似图形的相似比． 根据题意可得与的相似比，即可得线段的长度． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，点的对应点为， ∴与的相似比为， ∵， ∴线段的长度是， 故选：C． 5. 若二次函数，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键．利用排除法，由可以排除A选项；由得对称轴，可以排除B和C选项；即可得出结果． 【详解】解：对于二次函数， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为 ∵， ∴抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴可以排除A选项； ∵， ∴抛物线的对称轴， ∴可以排除B和C选项； 故选：D． 6. 如图，四边形为正方形，延长至点，以线段为边作正方形，取的中点，连接，下列能说明点是线段的黄金分割点的条件是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、黄金分割的定义，正确进行计算是解题关键． 先设正方形的边长为，可求出，然后根据选项给的条件结合正方形判断或者即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴设，， ∵的中点， ∴， ∴， 选项A：∵，正方形， ∴， ∴， ∴，， 故选项A不符合题意； 选项B：∵， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，， 故选项B不符合题意； 选项C：∵，， ∴， ∴ ∵正方形， ∴， ∴， ∴，， 当，选项C符合题意； 选项D：∵，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，， 故选项D不符合题意． 故选：C． 7. 如图，中，中线AD，BE相交于点F，，交于AD于点G，下列说法①；②；③与面积相等；④与四边形DCEF面积相等.结论正确的是( ) A. ①③④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】为BC,AC中点，可得 由于可得；可证故①正确.②由于则可证,故②正确.设，可得可判断③错，④正确. 【详解】解：①∵为BC,AC中点， ； 故①正确. ② ,故②正确. ③④设， 故③错，④正确. 【点睛】本题考查了平行线段成比例，解题的关键是掌握平行线段成比例以及面积与比值的关系. 8. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像向右平移2个单位后的函数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律，求出平移后的函数表达式即可； 【详解】解：根据“左加右减，上加下减”得， 二次函数的图像向右平移2个单位为：； 故选B. 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何变换，掌握二次函数与几何变换是解题的关键. 9. 已知点均在二次函数图象上，若，则（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先得出抛物线的对称轴为直线，从而可得点为这个二次函数的顶点，且，再利用二次函数的性质逐项判断即可得． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵点在二次函数图象上，且， ∴点为这个二次函数的顶点． A、当时，点到顶点的距离小于或等于点到顶点的距离， 则若，则；若，则，此项错误，不符合题意； B、若，则为最大值， 所以抛物线的开口向下， 所以点到顶点的距离小于或等于点到顶点的距离， 所以，此项正确，符合题意； C、当时，点到顶点的距离大于或等于点到顶点的距离， 则若，则；若，则，此项错误，不符合题意； D、若，则为最大值， 所以抛物线的开口向下， 所以点到顶点的距离小于或等于点到顶点的距离， 所以，此项错误，不符合题意； 故选：B． 10. 如图，中，，点E在的延长线上，，过点E作于D．若，，则的长为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】证明△ADF≌△EDC，得到DC=DF，设DC=x，再证明△EBF∽△ABC，求出x即可． 【详解】解：∵∠ABC=90°，ED⊥AC， ∴∠EBA=∠ADE=90°，又∠1=∠2， ∴∠E=∠A， ∵AD=ED， ∴△ADF≌△EDC， ∴DC=DF， 设DC=x， ∴DF=x， ∴AD=ED=6-x， ∴EF=6-2x， ∵∠E=∠A，∠FBE=∠ABC， ∴△EBF∽△ABC， ∴， ∵AC=6，BE=AB， ∴， ∴EF=6-2x=2， ∴x=2， ∴CD=2， 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相应的判定方法，利用性质定理求出结果． 二、填空题（本题有6小题，共18分） 11. 若，则的值等于________． 【答案】 【解析】 【分析】先把比例式化成等积式，再用含的式子表示，代入分式计算． 【详解】解：， ， ， 把代入， ． 12. 若，则锐角________． 【答案】##30度 【解析】 【详解】∵为锐角，且， ∴． 13. 如图，，若，，则________． 【答案】##64度 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键． 根据相似三角形的性质得到，，根据四边形的内角和等于计算即可． 【详解】解：，，， ，， ． 14. 实心球是越城区中考体育考试项目之一．某男生训练掷实心球时，实心球行进路线可以看成抛物线的一部分（如图），某次投掷时，实心球从y轴上的点处出手，实心球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系为，那么该男生本次投掷可得____分．（参考数据：） 越城区体育中考评分标准（实心球男） 掷实心球（m） 10.0 9.60 9.20 8.80 8.40 8.00 7.60 7.20 7.00 6.80 分值（分） 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 注：掷实心球的距离为a（m），当，得10分，当，得9分，当，得8分……依次类推，当时，得0分． 【答案】9 【解析】 【分析】将代入，求出抛物线的表达式，再求出时x的值，即可知该男生投掷实心球的水平距离，对照表格即可知该男生投掷实心球的得分． 本题主要考查了待定系数法求抛物线的表达式，熟练掌握待定系数法求抛物线的表达式是解题的关键． 【详解】解：将代入， 得， ∴， ∴， 当时，， 解得，（舍去）， ∴该男生投掷实心球的水平距离为9.64米， ∵， ∴该男生本次投掷可得9分． 故答案为：9． 15. 在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，先由函数的解析式得开口向上，对称轴是直线，再逐个算出结合二次函数的图象过点．且，得，最后结合二次函数的对称性找出，关于直线对称的点的坐标为，同理得关于直线对称的点的坐标为，即可作答． 【详解】解：∵二次函数， ∴开口向上，对称轴是直线， ∵二次函数的图象过点，点 ∴ ∵二次函数的图象过点．且， ∴， ∵对称轴是直线， ∴关于直线对称的点的坐标为， ∴关于直线对称的点的坐标为， ∵二次函数的开口向上， ∴或． 故答案为：或． 16. 如图，已知中，，，，将绕着边中点旋转得到，、分别交于点、，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理求；由旋转的性质得、、、，且、，从而点在上；再用面积法求出平行线与间的距离，借助相似三角形求出． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵由绕点旋转得到， ∴，，，，且，． ∵， ∴点在线段上，且． ∵，在上， ∴平行线与间的距离等于点到的距离． ∵是的中点， ∴， ∴点到的距离为， 即与间的距离为． ∵，点在上， ∴点到的垂线段就是， ∴， ∴． 过点作于点，则， ∴， ∴， ∴，． ∵、都在上，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查旋转的性质与相似三角形的综合：旋转前后对应边相等、对应角相等；关键发现且，即点恰在线段上，从而用面积法求出平行线间的距离，再借助两组相似三角形求出． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 完成以下小题 （1）计算： （2）写出二次函数图象的对称轴、顶点坐标以及图象与y轴的交点坐标． 【答案】（1）3 （2）对称轴为：直线，顶点坐标为，与y轴的交点坐标为 【解析】 【分析】（1）将特殊角三角函数值代入计算即可； （2）根据的图象和性质求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 当时，；当时，， 对称轴为：直线，顶点坐标为，与y轴的交点坐标为． 18. 图1，图2均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，，均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图． （1）在图1中，作的中线． （2）在图2中，在边上作点，连接，使． 【答案】（1） 如图所示，线段即为所求； （2） 如图所示，线段即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用网格的特点找到以线段为对角线的矩形，利用矩形的对角线互相平分找到线段的中点，连接即可解答； （2）利用相似三角形对应边成比例的性质，得到点，使得即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 综合实践：测量拱形门建筑的高度． 素材：如图1是一个抛物线形状的拱形门建筑，某校数学学习小组计划测量该拱形门相关数据从而计算其高度．如图2是其正面示意图，设该拱形门与地面的交点为A，B，且．在点A右侧1的点C处，测得拱形门上点D到地面的距离为3.8． 任务1：请在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． 任务2：求出拱形门建筑最高点到地面的距离． 【答案】任务1：；任务2：20 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，求函数解析式，正确理解题意建立恰当的直角坐标系是解题的关键． 任务1：以点A为原点，点所在直线为x轴，建立直角坐标系，设．根据题意得到，再利用待定系数法求解，即可解题； 任务2：利用顶点纵坐标为求解，即可解题． 【详解】解：任务1：以点A为原点，点所在直线为x轴，建立直角坐标系，则可设． 将点代入上式，得． ． 任务2：由可知，拱形门建筑最高点到地面的距离为20． 20. 为确保电线杆拉线的稳定性，并满足跨越道路，施工过程中通常采用高桩拉线的方式．如图，水平拉线连接拉线桩与电线杆，拉线棒将拉线桩与地面连接．已知拉线桩与水平地面夹角，拉线棒与水平地面夹角，米． （1）求的长． （2）为了保证不妨碍车辆通行，道路上方水平拉线的高度（点G离水平地面的高度）不得低于6米．若水平拉线与电线杆的夹角，判断该设计是否满足要求，并说明理由．（，， 【答案】（1）6米 （2） 解：该设计满足要求，理由如下： 过点C作CH⊥DG交于点H， 由题意，得四边形 为矩形， ∴（米），（米）， ∵在中，，， ∴（米）， ∴（米）， ∵， ∴该设计满足要求． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）根据题意，在中求出，在中求出，即可得到长； （2）根据题意，在中求出长，即可得到长，判断结果． 【小问1详解】 解：如图，过点C作， 设（米）， ∵在中，，， ∴（米）， ∵在中，，， ∴（米）， ∵米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴在中，（米）， 答：的长为6米； 【小问2详解】 略 21. 某工厂现有台机器，每台机器平均每天生产件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产件产品． （1）如果增加台机器，每天的生产总量为件，请你写出与之间的关系式； （2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？ 【答案】（1） （2）增加台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量是件 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式，利用配方法求最大值是解答本题的关键． （1）根据题意：生产总量每台机器平均每天生产的产品数机器数，列出关系式即可； （2）根据（1）列出的二次函数关系式，求出最大值即可． 【小问1详解】 解：由增加台机器，且每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产件产品， 则每台机器平均每天生产件产品， 根据题意得：， 由， 解得：， 则； 【小问2详解】 解：∵， ∵，， ∴当时，有最大值， 则增加台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量是件． 22. 【综合与实践】 小滨学习“图形的旋转”时，剪了一张矩形纸片进行操作．将矩形纸片ABCD绕点A顺时针旋转一定角度，得到矩形，边与直线交于点M，边，分别与直线交于点P，Q．已知． 【特例研究】 如图1，当点M与点重合时，①求证：．②求． 【结论拓展】 如图2，当点M与点不重合时，的值是否会发生变化？请给出判断并说明理由． 【答案】【特例研究】 ①证明：∵将矩形纸片绕点A顺时针旋转一定角度，得到矩形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． ②； 【结论拓展】解：不变， 理由：过Q作于H， 则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】①根据旋转的性质得到得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定定理得到． ②根据相似三角形的性质得到，求得，根据相似三角形的判定定理得到，求得，得到，于是得到； 过Q作于H，则四边形是矩形，得到，根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】①略 ②解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【结论拓展】略 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 23. 已知抛物线（）． （1）若该抛物线经过点，求抛物线的顶点坐标； （2）若，点在该抛物线上，且，求m的取值范围； （3）若点均在该抛物线上，且对于任意，始终成立，求证：． 【答案】（1）抛物线的顶点坐标为； （2）； （3） 证明：∵对于任意，始终成立， ∴是函数的最大值， ∵， ∴顶点坐标为， ∴且， ∵点在该抛物线上， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值为12， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的顶点坐标与对称性是解题的关键． （1）求得，配方得，即可求得抛物线的顶点坐标为； （2）分别求得，，根据，即可求得m的取值范围； （3）先判断是函数的最大值，配方得到顶点坐标为，推出且，再求得，用表示出关于的二次函数，利用二次函数的性质即可证明． 【小问1详解】 解：若该抛物线经过点， 则，解得， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵点在该抛物线上， ∴， ， ∵， ∴，整理得， ∵， ∴，整理得， 解得； 【小问3详解】 略 24. 如图，正方形中，点是边上一动点，点在边的延长线上，且．连接，，，，与交于点． （1）求证：． （2）若，试求的度数． （3）设的中点为，连接．在点的运动过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请求出它的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）的值不会发生变化， 【解析】 【分析】（1）利用四边形是正方形证明，即可； （2）利用正方形与全等三角形的性质证明，可得，得到，由，从而可得结论； （3）连接，，过点作交于点，为的中点，可得，，再证明，再证明垂直平分，得到点在对角线上，可得，从而可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 而， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴ 而， ∴ ∵四边形是正方形， ， 而 ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴中， ∴ （3）解：的值不会发生变化，即，理由如下： 连接，，过点作交于点，为的中点， 则， ∵在和等腰中，点是的中点 ∴ 又由正方形可得：， ∴垂直平分， 即点在对角线上， ∴ ∴， ∴ 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线定理，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，灵活应用以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 观成教育集团九上月考试卷 一、选择题（本题有10小题，共30分） 1. 若（a，b都不为0），则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，直线，直线分别交，，于点，，；直线分别交，，于点，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，若点的对应点为，当时，则线段的长度是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 5. 若二次函数，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形为正方形，延长至点，以线段为边作正方形，取的中点，连接，下列能说明点是线段的黄金分割点的条件是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，中，中线AD，BE相交于点F，，交于AD于点G，下列说法①；②；③与面积相等；④与四边形DCEF面积相等.结论正确的是( ) A. ①③④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②④ 8. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像向右平移2个单位后的函数为( ) A. B. C. D. 9. 已知点均在二次函数图象上，若，则（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，中，，点E在的延长线上，，过点E作于D．若，，则的长为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 4 二、填空题（本题有6小题，共18分） 11. 若，则的值等于________． 12. 若，则锐角________． 13. 如图，，若，，则________． 14. 实心球是越城区中考体育考试项目之一．某男生训练掷实心球时，实心球行进路线可以看成抛物线的一部分（如图），某次投掷时，实心球从y轴上的点处出手，实心球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系为，那么该男生本次投掷可得____分．（参考数据：） 越城区体育中考评分标准（实心球男） 掷实心球（m） 10.0 9.60 9.20 8.80 8.40 8.00 7.60 7.20 7.00 6.80 分值（分） 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 注：掷实心球的距离为a（m），当，得10分，当，得9分，当，得8分……依次类推，当时，得0分． 15. 在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是__________． 16. 如图，已知中，，，，将绕着边中点旋转得到，、分别交于点、，若，则的长为________． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 完成以下小题 （1）计算： （2）写出二次函数图象的对称轴、顶点坐标以及图象与y轴的交点坐标． 18. 图1，图2均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，，均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图． （1）在图1中，作的中线． （2）在图2中，在边上作点，连接，使． 19. 综合实践：测量拱形门建筑的高度． 素材：如图1是一个抛物线形状的拱形门建筑，某校数学学习小组计划测量该拱形门相关数据从而计算其高度．如图2是其正面示意图，设该拱形门与地面的交点为A，B，且．在点A右侧1的点C处，测得拱形门上点D到地面的距离为3.8． 任务1：请在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． 任务2：求出拱形门建筑最高点到地面的距离． 20. 为确保电线杆拉线的稳定性，并满足跨越道路，施工过程中通常采用高桩拉线的方式．如图，水平拉线连接拉线桩与电线杆，拉线棒将拉线桩与地面连接．已知拉线桩与水平地面夹角，拉线棒与水平地面夹角，米． （1）求的长． （2）为了保证不妨碍车辆通行，道路上方水平拉线的高度（点G离水平地面的高度）不得低于6米．若水平拉线与电线杆的夹角，判断该设计是否满足要求，并说明理由．（，， 21. 某工厂现有台机器，每台机器平均每天生产件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产件产品． （1）如果增加台机器，每天的生产总量为件，请你写出与之间的关系式； （2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？ 22. 【综合与实践】 小滨学习“图形的旋转”时，剪了一张矩形纸片进行操作．将矩形纸片ABCD绕点A顺时针旋转一定角度，得到矩形，边与直线交于点M，边，分别与直线交于点P，Q．已知． 【特例研究】 如图1，当点M与点重合时，①求证：．②求． 【结论拓展】 如图2，当点M与点不重合时，的值是否会发生变化？请给出判断并说明理由． 23. 已知抛物线（）． （1）若该抛物线经过点，求抛物线的顶点坐标； （2）若，点在该抛物线上，且，求m的取值范围； （3）若点均在该抛物线上，且对于任意，始终成立，求证：． 24. 如图，正方形中，点是边上一动点，点在边的延长线上，且．连接，，，，与交于点． （1）求证：． （2）若，试求的度数． （3）设的中点为，连接．在点的运动过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请求出它的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $