第二十五章 图形的相似（期中知识清单）九年级数学上学期新教材冀教版

第二十五章 图形的相似　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 比例线段 1.1 线段的比 一般地，如果选用同一度量单位，线段 和 的长度分别为 和 ，我们把 和 的比叫作线段 和 的比，记作 ，或 。 示例：若线段 的长为 ，线段 的长为 ，则 ，即 。 注意：计算两条线段的比时，线段的长度单位要一致。 示例：，，则 ，不能写成 。 1.2 成比例线段 在四条线段 ，，， 中，如果 与 的比等于 与 的比，即 ，就把这四条线段叫作成比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。 示例：，，，，因为 ，所以 ，，， 成比例。 1.3 比例的基本性质 如果 ，那么 。 如果 （，），那么 。 示例：由 得 ，所以 。 1.4 比例中项 特别地，如果 ，即 ，就把 叫作 ， 的比例中项。 示例：线段 ，，则 ， 的比例中项 。 1.5 黄金分割 在线段 上有一点 ，如果点 把 分成的两条线段 和 满足 ，那么称线段 被点 黄金分割， 叫作线段 的黄金分割点， 叫作黄金比。 每条线段上的黄金分割点都有两个。 示例：当 时，设 ，则 ，由 即 ，解得 ，所以黄金比约为 。 2. 平行线分线段成比例 2.1 基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 当 时，有 ，同时 与 都成立。 示例：若 ，，，，则由 得 ，所以 。 2.2 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 示例：在 中，， 分别交 ， 于点 ，，则 ，。 3. 相似多边形 3.1 相似图形 形状相同的图形叫作相似图形。全等图形是特殊的相似图形。 示例：大小不同的两个正方形、任意两个等边三角形都是相似图形。 3.2 相似多边形与相似比 一般地，各角相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形。相似多边形对应边的比叫作它们的相似比。 四边形 与四边形 相似，记作”四边形 四边形 “，读作”四边形 相似于四边形 “。 示例：若 ，则它们的相似比为 。 4. 相似三角形 4.1 相似三角形的定义 根据相似多边形的定义，三个角分别相等、三条边成比例的两个三角形叫作相似三角形。所以，两个相似三角形的对应角相等、对应边成比例。 示例：若 ，相似比为 ，则 ，，，且 。 注意：在描述相似图形时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 示例： 表示 与 、 与 、 与 分别对应，顺序不能写乱。 4.2 预备定理 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。 示例：在 中，， 分别交 ， 于点 ，，则 。 5. 相似三角形的判定 5.1 判定定理 1 两角分别相等的两个三角形相似。 示例：在 与 中，若 ，，则 。 5.2 判定定理 2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 示例：在 与 中，若 且 ，则 。 5.3 判定定理 3 三边成比例的两个三角形相似。 示例：在 与 中，若 ，则 。 5.4 直角三角形相似的判定 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。 示例：在 与 中，，若 ，则 。 6. 相似三角形的性质 6.1 对应线段的比 相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比。 示例：，相似比为 ， 与 分别为对应高，则 。 6.2 周长的比 相似三角形周长的比等于相似比。 示例：，相似比为 ，则 。 6.3 面积的比 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 示例：，相似比为 ，则 。 7. 位似图形 7.1 位似图形 一般地，如果两个相似图形的对应点所在的直线都相交于一点，那么这样的两个图形就称为位似图形，对应点所在直线的交点称为位似中心，位似中心与对应点之间线段的比称为位似比。 示例：点 为位似中心，，，，则 与 位似，位似比为 。 7.2 位似多边形 当两个位似图形是多边形时，这两个多边形就称为位似多边形，这时多边形的相似比就是位似比。位似多边形的对应边互相平行（或在同一条直线上）。 示例：四边形 与四边形 位似，位似比为 ，则 （或在同一条直线上），且 。 7.3 位似与坐标 在平面直角坐标系中，将一个多边形各顶点的横坐标和纵坐标都乘 或 （），所得多边形的形状不变，各边扩大到原来的 倍或缩小为原来的 ，且连接各对应顶点的直线相交于一点。 示例：以原点 为位似中心，将点 的横、纵坐标都乘 ，得对应点 ，则所得图形与原图形位似，位似比为 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 比例的性质推论（合比、分比、等比） 若 ，则 ，（合比、分比性质）；若 ，则 （等比性质）。 【使用提醒】等比性质要求各分母之和 。 1.2 平行线分线段成比例的两种基本图形 （A 字型）时，，；（X 字型）时，。 1.3 相似比与三个量的换算 设相似比为 ，则对应线段（高、中线、角平分线）、周长的比都等于 ，面积的比等于 ；由面积比反求相似比须开平方。 1.4 相似与全等的关系 全等是相似比为 的特殊相似。全等的判定与相似的判定类比记忆：角的条件相同（分别相等），边的条件由”相等”变为”成比例”。 1.5 母子相似（双垂直）模型 在 中，， 于点 ，则 ，且 ，，。 1.6 黄金分割的数值特征 黄金比 ；若点 是线段 的黄金分割点且 ，则 ，。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 判定三角形相似的”先角后边”策略 先找相等的角——两角对应相等即可判定（判定定理 1）；找不到两对角时再看边：两边成比例且夹角相等，或三边成比例。如已知 ，直接由预备定理得 ，不必再找角。 2.2 证明等积式的四步 把等积式化为比例式 → 确定”横找、竖找”的两对对应边 → 找出含有这些边的两个三角形 → 证明它们相似。如证 ：化为 ，证 。 2.3 利用相似求线段长度 找（或构造）相似 → 按对应关系列出含未知数的比例式 → 解方程。如 ，，，，由 得 。 2.4 求相似比 的三种途径 由对应边的比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比或周长的比直接得 ；由面积的比开方得 。 2.5 构造平行线证比例 要证的比例式不能由现有三角形直接得到时，过适当点作平行线，构造 A 字型或 X 字型，再套用 1.2 的比例式。 3. 比例运算小技巧 技巧 要点 示例 比例式与乘积式互化 由 交叉相乘得 ；反之 （）可得 → → 设 法解连比 遇 ，设各比值为 ，用 表示各量再代入 设 ，， 以角定对应边 相等的角所对的边才是对应边，防止按字母顺序机械对应 ：，故 对应 、 对应 面积比与相似比互逆 面积比 相似比 ；已知面积比求相似比要开平方 面积比 → 相似比 比例中项分”数”与”线段” 求数的比例中项有正负两个；求线段（长度）的比例中项只取正 与 的比例中项为 ；线段的长取 4. 常见考试模型 4.1 A 字型（正 A / 反 A） 公式： 时 ；反 A 型（）同样 。 限定：正 A 型由平行直接得；反 A 型需先由”两角分别相等”证相似。 示例：如 中 ，，，，由 即 ，得 ，。 4.2 X 字型（8 字型） 公式：（或一组边平行）时 。 限定：必须先确认有一组边平行（或由对顶角相等再加一组角相等证相似）。 示例：如 ，，，，则 。 4.3 母子型（双垂直） 公式：，，则 ，，，。 限定：必须同时具备直角和斜边上的高两个垂直条件才成立。 示例：如 ，，由 得 ，。 4.4 一线三等角（K 字型） 公式：点 在线段 上，，则 ，。 限定：三个角相等且顶点共线，对应边须按角的对应关系列出。 示例：如 ，，，则 。 4.5 测高 / 测距模型 公式：同一时刻影长法 ；交叉卡钳 。 限定：影长法要求阳光平行且为同一时刻；卡钳要求 （对顶角）。 示例：如标杆高 、影长 ，旗杆影长 ，则旗杆高 。 4.6 位似与坐标变换 公式：以原点为位似中心、位似比 ，点 的对应点 （ 可为负，对应位似中心另一侧）。 限定：位似中心不在原点时须先平移； 与 对应位似中心同侧、异侧两种图形。 示例：如点 以原点为中心、位似比 ，对应点为 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：求比例中项时漏负根，或不舍”线段取正” 典例：已知线段 ，，求 ， 的比例中项。 错解：设比例中项为 ，则 ，所以 ，比例中项为 或 。 正解：设比例中项为 ，则 ，解得 。因为比例中项是线段的长，只能取正值，所以 ， 的比例中项为 。 原因：概念理解不清。学生只记住了”“这个式子，没有区分”数”与”线段”两种语境：若 表示数，则 都对；若 表示线段的长，则必须舍去负值。凡是线段长、边长、距离等几何量，开方后都只能取正值。 易错点 2：相似三角形对应顶点找错，比例式分母颠倒 典例：已知 ，，，，求 的长。 错解：由相似得 ，即 ，解得 。 正解：相似记法 表示 、、 分别与 、、 对应，故 ，即 ，解得 。 原因：对应关系搞错。相似记法中字母的顺序就规定了对应关系，学生不按字母顺序对应，凭直觉把 与 配对，导致比例式分母颠倒。审题时先写出三组对应顶点，再列比例式，是防止此类错误的根本办法。 易错点 3：判定”两边成比例且夹角相等”漏了”夹角”条件 典例：在 和 中，，，，，。这两个三角形相似吗？ 错解：因为 ，且 ，所以 。 正解：，，两边成比例；但相等的角 不是两边 、 的夹角（两边 、 的夹角是 ）。判定定理要求”两边成比例且夹角相等”，这里的角必须是成比例两边的夹角，所以不能判定两三角形相似，两三角形不一定相似。 原因：条件理解错误。学生记住了”两边成比例且一角相等”，却忽略了”夹角”二字——相等的角必须是成比例的两边所夹的角，否则不成立。记忆口诀是”两边夹一角，角在两边中间”。 易错点 4：把面积比误当相似比，忘记开平方 典例：若 ，面积的比为 ，求它们的相似比。 错解：面积的比是 ，所以相似比也是 。 正解：相似三角形面积的比等于相似比的平方。设相似比为 ，则 ，解得 ，所以相似比为 。 原因：性质记忆错位。学生把”周长的比等于相似比”和”面积的比等于相似比的平方”混为一谈，或忘记”由面积比求相似比要开平方”这一逆向换算。记牢”面积比是相似比的平方”，凡由面积比反求相似比必须开平方。 易错点 5：利用相似测高时比例式列反 典例：同一时刻，身高 的人影长为 ，某教学楼影长为 ，求教学楼的高度。 错解：设教学楼高 ，则 ，解得 ，所以教学楼高约 。 正解：设教学楼高 ，同一时刻物高与影长成正比，得 ，解得 ，所以教学楼高 。 原因：比例式列反。学生没有理清”谁比谁”：人的”物高∶影长”应等于楼的”物高∶影长”，两边的对应位置要一致。列式前先统一”同类量在上（或在下）“，人的数据写一边、楼的数据写另一边，可避免分子分母颠倒。 易错点 6：位似作图漏讨论位似中心两侧的两种情况 典例：已知 ，以点 为位似中心，画一个与 位似且位似比为 的三角形。 错解：连接 、、，分别在延长线上取 、、，连接 ，即得所求三角形。 正解：满足条件的三角形有两个。①在位似中心与 的同侧：在射线 、、 上取 、、，使 ；②在异侧：在 、、 的反向延长线上取 、、，使 。所以这样的三角形有两个，分别位于位似中心的两侧。 原因：漏分类讨论。位似中心可以把对应点安排在它的同侧，也可以安排在异侧，两种都满足位似比，学生只画了同侧一种。凡以某点为位似中心、给出位似比作图，都要想到同侧、异侧两种情形（坐标变换中对应 与 ）。 学科网（北京）股份有限公司 $