第二十六章解直角三角形（期中知识清单）九年级数学上学期新教材冀教版

第二十六章 解直角三角形　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 锐角三角函数 1.1 正切 的对边与邻边的比叫作 的正切，记作 ，即 图1： 的正切（对边与邻边） 示例：在 中，，，，则 ，。 1.2 正弦 的对边与斜边的比叫作 的正弦，记作 ，即 1.3 余弦 的邻边与斜边的比叫作 的余弦，记作 ，即 图2： 的正弦与余弦（对边、邻边与斜边） 示例：在 中，，，，则 ，，，。 1.4 锐角三角函数的概念 在直角三角形中，锐角 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比以及对边与邻边的比，都是唯一确定的；当锐角 变化时，相应的比也会发生变化。我们把锐角 的正弦、余弦和正切统称为 的三角函数。 示例：、、 分别是 、、 角的三角函数。 2. 特殊角的三角函数值 2.1 30°、45°、60°角的三角函数值 、、 角的三角函数值如下表： 锐角 图3：一副三角板中的特殊角（、、） 示例：。 2.2 、、 的记法 为方便起见，将 ，， 分别记作 ，，。 示例：。 3. 解直角三角形 3.1 解直角三角形的定义 在直角三角形中，除直角外，还有三条边和两个锐角等五个元素。由这五个元素中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形。 示例：在 中，，已知 和斜边 ，可求出 、两条直角边 、。 3.2 直角三角形中的基本关系 图4：直角三角形中的边、角关系 在 中，，则： · 三边之间的关系：（勾股定理）； · 两锐角之间的关系：； · 边角之间的关系： 注意：在边角之间的关系中，将 换成 ，同时将 ， 交换，即可得到 与边之间的关系式。根据以上关系，如果知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其他三个元素。 示例：在 中，，，，则 ，，。 4. 解直角三角形的应用 4.1 仰角与俯角 在进行测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，视线在水平线下方的角叫作俯角。 示例：小明在距旗杆 的点 处，仰视旗杆顶端 ，仰角（）为 ；俯视旗杆底部 ，俯角（）为 ，据此可求旗杆的高度。 4.2 方位角（方向角） 在航海、测绘中，常用方位角（方向角）描述物体的方向，如“北偏东 ”表示由正北方向向东偏 。 示例：一艘渔船在 处看见小岛 在船北偏东 的方向上，可借助方向角构造直角三角形求距离。 4.3 坡度（坡比）与坡角 我们通常把坡面的垂直高度 和水平宽度 的比 叫作坡面的坡度（或坡比），坡面与水平面的夹角 叫作坡角。显然，。 图5：坡度（坡比）与坡角 示例：若斜坡的坡度（坡比）为 ，即 ，则坡角 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 同角三角函数的基本关系 同一锐角 有 ，且 。 如 ，，则 。 1.2 互余两角的三角函数关系 若 ，则 ，，即 ，。 如 。 1.3 锐角三角函数的取值范围 锐角 有 ，，。 如 。 1.4 锐角增大时函数值的变化 锐角 从 增大到 时， 增大， 增大， 减小。 如 ，而 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 解直角三角形的四种类型 已知条件 先求 方法 两直角边 ， 斜边 ，再用 求角 斜边 、一直角边 另一直角边 ，再用 求角 一直角边 、锐角 另一直角边 ，斜边 斜边 、锐角 两直角边 ， ， 2.2 构造直角三角形求值 无现成直角三角形时，作高（或垂线）构造 ，把所求线段或角放进直角三角形中再用三角函数。如等腰三角形底边上的高把原三角形分成两个全等的直角三角形，从而可求腰与底角的三角函数值。 2.3 由三角函数值求锐角 已知 ，先确定 是锐角，再由特殊角值反查得 ；非特殊角用科学计算器反求。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 特殊角值记忆 正弦分母都是 ，分子依次 ，，；余弦与之相反；正切为 ，， 比较函数值大小 先化同名（用 ），再按 1.4 的单调性比较 比较 与 ：，故 化简含平方的式子 用 整体代换 求边长先选准函数 由“已知的边、要求的边与该角的关系”决定用 、 还是 求对边用 或 ，求邻边用 或 4. 常见考试模型 4.1 仰角、俯角测高模型 公式：物体高度 水平距离 ；俯角同理，视线与水平线的夹角对应 关系。 限定：仰角、俯角都是视线与水平线（不是与地面连线）的夹角，测量高度须从同一水平基准量起。 示例：如距旗杆 处仰角为 ，则旗杆高约为 。 4.2 方位角（方向角）导航模型 公式：把“北偏东 ”转化为方向角，构造直角三角形，用 、、 建立边长关系求解距离。 限定：方位角以北（或南）为基准向东、西偏；实际路程须结合速度 时间。 示例：如小岛在船北偏东 方向、相距 海里，则东西向距离为 。 4.3 坡度（坡比）、坡角模型 公式：坡度 （ 为垂直高度， 为水平宽度），坡角 为坡面与水平面的夹角。 限定：坡度是比值（无单位），坡角是角；由坡度求坡角用 反查（或计算器）。 示例：如坡度 即 ，则坡角 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：求三角函数值时把对边、邻边搞反 典例：在 中，，，，求 。 错解：。 正解： 的对边是 ，邻边是 ，所以 。 原因：概念理解错误。正切的定义是“对边比邻边”，学生常把“对边、邻边”的顺序记反，或求 的三角函数时误用了 的对边、邻边。应先在图上一一标出“ 的对边、邻边、斜边”，再套定义，不要凭位置想当然。 易错点 2：30° 与 60° 的正弦、余弦值弄反 典例：计算 的值。 错解：，，所以 。 正解：，，所以 。 原因：特殊角三角函数值记忆错误。 与 互余，它们的 、 值恰好“交换”，学生常把 记成 （那是 ）。可借助“ 角所对的直角边等于斜边的一半”来记牢 。 易错点 3：忽略“在直角三角形中”这一前提 典例：在等腰 中，，，求 。 错解：。 正解：作 于点 ，则 。在 中，，，由勾股定理得 ，所以 。 原因：忽略了三角函数定义的前提是“在直角三角形中”。 是等腰三角形而不是直角三角形，不能直接套 ，必须先作高构造直角三角形；且锐角的正弦值不可能大于 ，也可借此发现错误。 易错点 4：只知道两个锐角，误以为能解直角三角形 典例：在 中，，，，求三边的长。 错解：令斜边 ，则 ，。 正解：只知道两个锐角，不能确定三角形的大小，三边的长无法确定（有无数种可能）；解直角三角形要求已知的元素中“至少有一个是边”。 原因：忽略了“解直角三角形”的条件——已知的两个元素中至少有一个是边。只知角度只能确定三角形的形状，不能确定其大小，学生误以为任意给定两个角就有唯一确定的边长。 易错点 5：仰角、俯角对应 关系，误用 典例：从地面观察一建筑物顶端，仰角为 ，已知水平距离为 ，求建筑物的高度。 错解：高度 。 正解：仰角 是视线与水平线的夹角，高度与水平距离对应 关系：高度 。 原因：对仰角、俯角的几何意义理解不清。仰角、俯角是视线与水平线的夹角，求“高度”（对边）与“水平距离”（邻边）时应用 （对边比邻边），学生误用了 （对边比斜边）。应先画出直角三角形，看清“已知边、要求边与该角”的位置关系再选函数。 易错点 6： 记法理解错误 典例：计算 的值。 错解：，所以原式 。 正解：，，所以原式 。 原因：对记法 的理解错误。 表示 ，即“先取 的值再平方”，学生误以为是 即“先平方角再取正弦”。要牢记 、、 分别是 、、 的简写。 学科网（北京）股份有限公司 $