第二十八章圆（期中知识清单）九年级数学上学期新教材冀教版

第二十八章 圆　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 圆的有关概念 1.1 圆的定义 平面上到定点 的距离等于定长（ 的长）的所有点组成的图形叫作圆。定点 叫作圆心，线段 叫作圆的半径。以点 为圆心的圆，记作 ，读作“圆 ”。 示例：平面上到定点 的距离都等于 的所有点组成以 为圆心、半径为 的圆。 注意：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 图1：圆的定义（圆心 、半径 ） 1.2 弦与直径 连接圆上任意两点的线段（如线段 ，），叫作弦，经过圆心的弦 叫作直径。 示例： 中，线段 、 都是弦，其中经过圆心 的弦 是直径。 1.3 弧、半圆、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆。 大于半圆的弧（一般用三个字母表示）叫作优弧；小于半圆的弧叫作劣弧。 示例：以 、 为端点的弧记作“弧 ”；用三个字母表示的弧 是优弧，用两个字母表示的弧 、 是劣弧。 1.4 等圆与等弧 能够重合的两个圆叫作等圆，等圆的半径相等。 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧。 示例：半径相等的两个圆能够完全重合，是等圆；等圆中能够重合的弧是等弧。 1.5 点与圆的位置关系 点与圆有三种位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外。设圆的半径为 ，点到圆心的距离为 ： 位置关系 数量关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外 示例： 的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ，因为 ，所以点 在圆内。 注意：判断点与圆的位置关系，只须比较点到圆心的距离 与半径 的大小。 2. 过三点的圆 2.1 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 示例：过不在同一条直线上的三点 、、 可以作且只可以作一个圆。 注意：过同一条直线上的三点不能作圆，因为此时两条垂直平分线互相平行，没有交点。 2.2 三角形的外接圆与外心 经过三角形三个顶点的圆，叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作三角形的外心。这个三角形叫作圆的内接三角形。 三角形的外心是三边垂直平分线的交点。 示例： 三边垂直平分线的交点 是它的外心，以 为圆心、 为半径的圆是 的外接圆。 注意：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等（都等于外接圆半径）。 3. 圆心角和圆周角 3.1 圆心角 顶点在圆心的角叫作圆心角。 示例： 中，顶点在圆心 的 是圆心角。 3.2 圆心角、弧、弦的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等。 示例： 中，若 ，则弦 弦 ，弧 弧 。 注意：这组关系成立的前提是“在同圆或等圆中”。 3.3 圆周角 顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫作圆周角。 示例： 中，顶点在圆上、两边都与圆相交的 是圆周角。 注意：圆周角必须同时满足“顶点在圆上”和“两边都与圆相交”两个条件。 3.4 圆周角定理 圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半。 示例： 中， 与圆心角 对同一条弧，则 。 图2：圆周角定理（） 3.5 圆周角定理的推论 同弧（或等弧）所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等。 直径所对的圆周角是直角； 的圆周角所对的弦是直径。 示例： 是 的直径，则半圆所对的圆周角 ；反过来，若 ，则 是直径。 3.6 圆内接四边形 四个顶点都在同一个圆上的四边形叫作圆内接四边形，这个圆叫作四边形的外接圆。 圆内接四边形的对角互补。 示例：四边形 内接于 ，则 ，。 4. 垂径定理 4.1 圆的对称性 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴。 示例：圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合；沿任意一条直径所在直线对折，两侧半圆完全重合。 4.2 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。 示例： 中，直径 弦 ，垂足为 ，则 ，且 平分弦 所对的两条弧。 图3：垂径定理（直径 弦 ） 4.3 垂径定理的推论 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 示例： 中，直径 平分弦 （ 不是直径）于 ，则 。 注意：推论中“平分弦”指的是“平分一条不是直径的弦”；若这条弦是直径，结论不成立。 5. 弧长和扇形面积 5.1 扇形 一条弧和经过这条弧端点的两条半径所组成的图形叫作扇形。 示例： 中，由半径 、 和弧 组成的图形是扇形。 5.2 弧长公式 若设 圆心角所对弧的长为 ，圆的半径为 ，则 示例： 的半径为 ， 圆心角所对弧长 。 5.3 扇形面积公式 若设 圆心角所对扇形的面积为 ，圆的半径为 ，则 因为 ，所以扇形面积公式还可以表示为 示例： 的半径为 ，圆心角 的扇形面积 。 注意：扇形面积公式有两种，解题时要根据已知条件灵活选用。 5.4 圆锥的母线、高与侧面展开图 圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线叫作圆锥的母线。圆锥的顶点与底面圆心之间的线段叫作圆锥的高。 将圆锥的侧面沿母线展开成平面图形，该图形为一个扇形，扇形的半径长等于圆锥的母线长。 示例：圆锥的母线 、高 与底面半径构成直角三角形 。 注意：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径等于母线长，扇形的弧长等于底面圆的周长；圆锥的高、底面半径与母线构成直角三角形。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 直径是圆中最长的弦 圆中直径是最长的弦，直径 与半径 满足 。如半径为 的圆中，任意弦的长都不大于 。 1.2 点与圆位置关系的快速判定 先求点到圆心的距离 ，再与半径 比较： 点在圆内， 点在圆上， 点在圆外。如点 到圆心距离为 、半径为 ，则点 在圆内。 1.3 圆中“四量”知一推三 在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距（圆心到弦的距离）四组量中，有一组量相等，则其余各组量也分别相等。如两弦相等，则它们所对的圆心角相等、所对的弧相等、弦心距相等。 1.4 直径对直角，直角对直径 直径所对的圆周角是直角； 的圆周角所对的弦是直径。遇直径想到直角，要证垂直可找直径。如 为直径，则 。 1.5 同弧找等角 同弧（或等弧）所对的圆周角相等。要证明两个角相等，常转化为证它们对同一条弧。如 与 对同一条弧 ，则 。 1.6 圆内接四边形的外角等于内对角 圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角。如四边形 内接于 ，外角 等于它的内对角 。 1.7 垂径定理“知二推三” 一条直线若具备“过圆心、垂直于弦、平分弦（非直径）、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧”五个条件中的任意两个，则可推出其余三个。如知“直径垂直弦”即可推出“平分弦、平分两弧”。 1.8 半径、弦心距、半弦构成直角三角形 作弦心距 ，设弦长为 、半径为 ，则 。已知半径和弦长（或弦心距）即可用勾股定理求第三个量。如 、弦长 ，则弦心距 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求圆中角度的基本方法 求圆周角（或圆心角）：先找该角所对的弧，再找同弧所对的圆心角（或圆周角），用“圆周角等于圆心角的一半”转化。如求 ，先找 ，则 。 2.2 垂径定理配勾股定理求线段 涉及弦长、半径、弦心距的问题：过圆心作弦的垂线（作弦心距），构造直角三角形，用垂径定理得半弦长，再用勾股定理求解。如求桥拱半径：作弦心距后由 列方程。 2.3 弧长与扇形面积的计算步骤 先明确圆心角度数 、半径 （或弧长 ），再代入公式 、 或 计算。如 、，则 。 2.4 圆锥相关计算步骤 先弄清母线、底面半径、高三个量的关系（侧面展开图扇形半径 母线，扇形弧长 底面周长），再用勾股定理或公式求解。如已知母线长和底面半径，可求圆锥的高 。 3. 运算小技巧 技巧 要点 示例 弧长公式变式 已知弧长 、半径 求圆心角： 、， 扇形面积两公式选择 已知 、 用 ；已知 、 用 已知弧长与半径求面积时用 更快 含 的运算 结果可保留 ，也可取 求近似值 阴影面积“和差法” 不规则阴影面积 扇形面积 三角形面积 阴影 扇形 面积 面积 4. 常见考试模型 4.1 垂径定理模型（拱桥、圆材埋壁、油罐） 公式：作弦心距 （即圆心到弦的垂线段），设半径为 、半弦长 、弓形高 ，则 ，由 列方程。 限定：弓形高、跨度须与弦心距、半弦长正确对应，注意弦心距 （ 为弓形高）。 示例：如赵州桥跨度 、拱高 ，由 得 。 4.2 圆内接四边形模型 公式：圆内接四边形对角互补：，；外角等于内对角。 限定：须先确认四边形的四个顶点共圆。 示例：如四边形 内接于 ，已知 ，则 。 4.3 圆锥侧面展开模型 公式：侧面展开图扇形的半径 母线长 ，扇形弧长 底面周长 ，即 （ 为扇形圆心角）。 限定：母线 、底面半径 、高 满足 。 示例：如母线长 、底面半径 ，圆锥侧面积 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：圆心角、弧、弦的关系，漏了“同圆或等圆”这个前提 典例：在两个半径分别为 和 的圆中，各有一个 的圆心角，判断这两个圆心角所对的弧长是否相等。 错解：相等的圆心角所对的弧相等，所以两条弧长相等。 正解：弧长公式 ，两圆半径不同，虽然圆心角都是 ，但弧长分别为 和 ，不相等。只有“在同圆或等圆中”，相等的圆心角所对的弧（弦）才相等。 原因：概念迁移错误。“相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等”这个性质是有前提的——“在同圆或等圆中”。学生只记住了结论本身，忽略了它成立的前提，遇到半径不等的圆时也机械套用。凡涉及圆心角、弧、弦的相等关系，都要先确认是否“在同圆或等圆中”。 易错点 2：“平分弦的直径垂直于弦”，漏了“弦不是直径”这个限定 典例：判断正误：平分弦的直径一定垂直于这条弦。 错解：正确。因为垂径定理的推论说“平分弦的直径垂直于弦”。 正解：错误。垂径定理的推论是“平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”。当被平分的弦恰好是直径时，任何一条直径都平分它，但两条直径不一定互相垂直。 原因：条件遗漏。学生把推论中的“非直径”这个限定条件丢掉了，直接记成“平分弦的直径垂直于弦”。直径也是弦，但它被圆心平分，任何过圆心的直径都“平分”它，却未必垂直。凡用垂径定理推论，必须先确认被平分的弦不是直径。 易错点 3：弧长、扇形面积公式记混（半径 与 、分母 与 ） 典例：圆的半径为 ，圆心角为 ，求扇形的面积。 错解：。（把半径当成一次方，分母也错套成 ） 正解：。 原因：公式记忆混乱。弧长公式 与扇形面积公式 形式相近，学生容易把半径的平方、分母 与 记混。记忆要点：弧长是一维量（半径一次方、除以 ），面积是二维量（半径平方、除以 ）；算完可用 交叉检验。 易错点 4：圆锥的高、母线、底面半径三者关系搞混 典例：圆锥的母线长为 ，底面半径为 ，求圆锥的高。 错解：高 母线 半径 。 正解：圆锥的母线、高、底面半径构成直角三角形，母线是斜边，所以高 。 原因：空间想象错误。学生没有建立“圆锥的母线、高、底面半径构成直角三角形”这个图形，误以为三者是简单的加减关系。实际上母线是直角三角形的斜边，高和底面半径是两条直角边，求高要用勾股定理，而不是直接相减。 易错点 5：圆内接四边形“对角互补”，误用成“邻角互补” 典例：四边形 内接于 ，，求 的度数。 错解：因为圆内接四边形对角互补，所以 ，故 。 正解：圆内接四边形的性质是“对角互补”，即 、。 与 是相邻的角，不存在互补关系。由 只能推出 ，无法求出 。 原因：概念混淆。学生把“对角互补”记成了“邻角互补”，把相邻的两个角当成了互补关系。圆内接四边形的互补关系只存在于相对的角之间，做题前要先分清哪两个角是对角。 易错点 6：拱桥问题中，弦心距与弓形高的关系写错符号 典例：某圆拱桥跨度（弧所对弦的长）为 ，桥拱所在圆的半径为 ，求桥拱的高（弓形高）。 错解：设弓形高为 ，弦心距 ，由 得 ，解得 。 正解：设弓形高为 ，半径 ，半弦长 。弦心距 。由 ，得 ，解得 。 原因：几何关系搞错。学生没有分清“弦心距（圆心到弦的距离）”与“弓形高（弧的中点到弦的距离）”的关系：弓形高 半径 弦心距，即 ，而不是 。凡拱桥、圆材埋壁类问题，关键是正确表示弦心距与弓形高（或跨度）之间的关系。 学科网（北京）股份有限公司 $