山西省阳泉市第十五中学校2026-2027学年八年级上学期期中数学模拟试题

山西省阳泉市第十五中学校八年级数学学科 期中模拟试题 （考试时间：120 分钟　试卷满分：120 分） 测试范围：三角形 · 全等三角形 · 轴对称 · 整式的乘法（第 11~14 章） 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．计算 的结果是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．下列图形中，一定是轴对称图形的有（　　） ①线段；②角；③等边三角形；④任意直角三角形。 A．1 个　　B．2 个　　C．3 个　　D．4 个 3．下列各组条件中，能判定 的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．下列运算正确的是（　　） A．　　B． C．　　D． 5．如图，，若 ，，则 的度数为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6．如图，在等腰 中，， 是 的中点，，则 的长为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7．如图，在 中，， 平分 交 于点 ，，垂足为 ，若 ，则 的长为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 8．如图，在 中，， 的垂直平分线交 于点 ，且 平分 ，则 的度数为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 9．如图，在 中，，， 平分 交 于点 ，则图中等腰三角形的个数是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 10．如图， 中， 与 的平分线交于点 ，过点 作 交 于 ，交 于 。给出下列结论：①；②；③若 ，则 。其中正确的个数是（　　） A．4 个　　B．3 个　　C．2 个　　D．1 个 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分。请把答案填写在题中的横线上） 11．计算： ____________。 12．若点 与点 关于 轴对称，则 ____________。 13．等腰三角形的周长为 20，其中一边长为 8，则它的底边长为 ____________。 14．若 ，，则 的值为 ____________。 15．如图，在 中，，，，将 沿 折叠，使点 恰好落在斜边 上的点 处，则 的长为 ____________。 三、解答题（本题共 8 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（10分）计算： （1）； （2）。 17．（10分）如图，点 、、、 在同一条直线上，，，。 （1）求证：； （2）判断 与 的位置关系，并说明理由。 18．（10分）如图，，、 在线段 的两侧，。 （1）求证：； （2）若 ，求 的度数。 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别为 、、。 （1）画出 关于 轴对称的 ，并直接写出 的坐标； （2）求 的面积； （3）在 轴上找一点 ，使得 最小（保留作图痕迹）。 20．（9分）如图，在等边 中，点 在 上，点 在 上，， 与 交于点 。 （1）求证：； （2）求 的度数。 21．（8分）作图题：不写作法，保留作图痕迹。 （1）如图，已知 ，用直尺和圆规作 的平分线 ； （2）已知线段 和 （如图），求作等腰三角形 ，使 ，顶角 。 22．（10分） 中，、 分别是 、（或其外角）的平分线。 （1）如图1，、 分别平分 、，若 ，求 的度数； （2）如图2， 平分 ， 平分 的外角 ，试说明 ； （3）如图2，直接写出：若 平分 的外角， 平分 的外角，则 与 的数量关系是__________。 23．（10分）【综合实践】在学习全等三角形时，兴趣小组研究了这样一个模型：遇到三角形的中线时，常把中线延长一倍，构造全等三角形，这种辅助线方法称为「倍长中线法」。 【模型呈现】如图1， 中， 是 边上的中线，延长 至点 ，使 ，连接 。求证：； 【模型应用】如图2， 中， 是 边上的中线，，，求中线 的取值范围； 【拓展延伸】在 中， 是 边上的中线， 与 的周长分别为 16 和 14，且 ， 的周长为 20，求 的长。 参考答案与解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．B　2．C　3．C　4．D　5．D　6．B　7．B　8．B　9．C　10．B 1．【答案】B　【考点】知识点：幂的乘方与同底数幂的乘法。，，故选 B。易错点：幂的乘方指数相乘 ，不要与同底数幂相加混淆。 2．【答案】C　【考点】知识点：轴对称图形的定义。线段、角、等边三角形都是轴对称图形，任意直角三角形不一定是轴对称图形，故选 C。易错点：判断依据是能否找到一条直线使图形沿它折叠后完全重合。 3．【答案】C　【考点】A 是三个角对应相等（AAA），只能判定相似，不能判定全等；B、D 都是「边边角」（SSA），不能判定全等；C 中 是 的对边，两角及其中一角的对边对应相等（AAS），能判定全等，故选 C。易错点：AAA 与 SSA 都不能作为全等的判定依据；用 AAS 时要认清边是不是角的对边。 4．【答案】D　【考点】，A 错；，B 错；，C 错；平方差公式 ，D 正确，故选 D。易错点：完全平方公式漏掉 ；积的乘方系数与每个因式都要乘方。 5．【答案】D　【考点】。全等三角形对应角相等， 与 是对应角，所以 ，故选 D。易错点：先找对应关系（ 对 ， 对 ， 对 ），不要凭位置猜角。 6．【答案】B　【考点】等腰三角形底边上的中线也是底边上的高，，。由勾股数（、、）得 ，故选 B。知识点：三线合一。易错点：先由等腰性质证垂直，再计算。 7．【答案】B　【考点】知识点：角平分线上的点到角两边的距离相等。，，所以 ，故选 B。易错点：距离必须先「垂直」才相等。 8．【答案】B　【考点】由垂直平分线得 ，所以 ；由 平分 得 ，所以 。由 得 ，即 ，，故选 B。常考点：垂直平分线与角平分线的综合。易错点： 是 的 倍而不是 倍关系用错。 9．【答案】C　【考点】； 平分 ，。 得 ； 得 ，；加上已知的 ，共 3 个等腰三角形，故选 C。常考点：等角对等边。易错点：逐个角计算，不要漏数也不要多数。 10．【答案】B　【考点】①由 平分 得 ，又 得 ，所以 ，；同理 ，所以 ，正确；②，正确；③ 时 ，， 平分 ，由三线合一得 ，正确。共 3 个，故选 B。难点：平行线+角平分线推出等腰三角形是本类题的核心模型。 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11．【答案】　【考点】，，合并得 。易错点：积的乘方要连同符号一起乘方；合并同类项只对系数运算。 12．【答案】　【考点】关于 轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标相同。 得 ，，所以 。易错点：关于 轴对称是「纵不变、横相反」。 13．【答案】 或 　【考点】分类讨论：若 8 为腰，底边 ，满足 ；若 8 为底边，腰 ，满足 。两种都成立。易错点：求底边长要分「腰」和「底」两种情况，并用三边关系检验。 14．【答案】　【考点】。常考点：完全平方公式的变形运用。易错点： 与 相差 。 15．【答案】　【考点】由勾股定理 ；折叠得 ，。设 ，则 ，。在 中，，解得 。难点：折叠即轴对称，抓住对应线段相等，在直角三角形中用勾股定理列方程。 三、解答题（共 75 分） 16．（10分）【考点】重点：积的乘方、幂的乘方与乘法公式（平方差、完全平方）的综合运用。易错点：（2）要先用平方差公式，再套完全平方公式，注意符号。 （1）原式 。 （2）原式 。 17．（10分）【考点】常考点：全等三角形的判定（SAS）与性质。易错点：由 推 要加上公共部分 ；平行关系通过对应角相等来传递。 （1）证明：因为 ，所以 ，即 。 因为 ，所以 。 在 和 中：，，， 所以 （SAS）。 （2）。理由：由（1）得 ， 所以 与 是同位角且相等，所以 。 18．（10分）【考点】常考点：直角三角形全等的判定方法 HL。易错点：HL 只适用于直角三角形；全等对应角 的对应关系要找准。 （1）证明：因为 ，，， 所以 （HL）。 （2）因为 ，，所以 。 由（1）得 ， 所以 ，即 。 19．（8分）【考点】常考点：轴对称作图与「将军饮马」最短路径。易错点：关于 轴对称纵坐标变相反数；最小值依据是两点之间线段最短。 （1）图略。。 （2）用割补法：。 （3）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ， 此时 最小。 20．（9分）【考点】常考点：等边三角形+全等三角形的综合。易错点：利用全等把 转化为 ，再用 整体代换。 （1）证明：因为 是等边三角形，所以 ，。 在 和 中：，，， 所以 （SAS），所以 。 （2）由（1）得 。 所以 。 21．（8分）【考点】常考点：基本作图（作角平分线、已知两边及夹角作三角形）。易错点：保留作图痕迹（画弧的痕迹不能擦掉）；作图前先读懂已知条件。 （1）以 为圆心、适当长为半径画弧，交 、 于两点；再分别以这两点为圆心、大于一半距离为半径画弧，两弧交于一点；过 与该点作射线 ， 即为 的平分线。 （2）作 ；在 、 上分别截取 ；连接 ， 就是所求作的等腰三角形。 22．（10分）【考点】难点：三角形内、外角平分线的夹角模型。关键是反复使用「外角等于不相邻两个内角的和」与角平分线的倍半关系。 （1）。 因为 、 分别平分 、， 所以 ， 所以 。 （2）因为 平分 ，所以 ； 因为 ，所以 。 又 是 的外角，， 且 平分 ，， 所以 。 （3）。 23．（10分）【考点】难点：倍长中线法。核心是延长中线一倍构造 SAS 全等，把分散的线段集中到一个三角形中，再用三边关系求取值范围；周长差问题实质是 与 的差。 （1）证明：因为 是 边上的中线，所以 。 在 和 中：，（对顶角），， 所以 （SAS）。 （2）由（1）的结论（倍长中线）：延长 至 ，使 ，连接 ， 则 ，所以 ，。 在 中，，即 ， 所以 。 （3）因为 是中线，所以 ； 为公共边， 所以 与 的周长之差 。 又 的周长为 20，，所以 。 由 ，，解得 ，，即 。 学科网（北京）股份有限公司 $