专题04 全等三角形（期中真题汇编，山西专用）八年级数学上学期

**基本信息** 汇编山西多地期中真题，聚焦全等三角形三大核心考点，通过风筝制作、油纸伞工艺等真实情境考查性质应用与判定推理，凸显数学建模与实践能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|12|全等性质、判定（SSS/SAS/ASA等）、角平分线性质|结合测量礁石距离、三角尺画角平分线等情境，考查判定方法辨析| |填空|8|全等条件补充、网格作图、性质计算|设计跷跷板中点、梯子滑动等问题，强化空间观念与推理意识| |解答|14|判定证明、实际测量（喷水池直径）、综合探究（赵爽弦图）|以项目报告、振动实验为载体，融合几何直观与数学表达，体现跨学科应用|

专题04 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）如图，，则下列说法错误的是（       ） A.  B. 平行且等于 C.  D. 平行且等于 2．（25-26学年八上·山西临汾·期中）下列命题是假命题的是（     ） A. 所有的直角都是相等的 B. 两直线平行，同位角相等 C. 全等三角形对应角相等，对应边相等 D. 两个锐角的和为90° 3．（25-26学年八上·山西长治长子县·期中）如下图，已知，点恰好在的延长线上，，．则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·山西长治长子县·期中）数学活动课上，小星制作了一个燕尾形的风筝，如图，，，他准备用刻度尺量和的长是否相等． 小英却说：“不用再测量，因为≌，所以” 小英用到的判定三角形全等的方法是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）如图，要测量河中礁石A离岸边B点的距离，可以采用如下方法：顺着河岸方向任取一条线段，作，，可得，所以，所以测量的长就是礁石A离岸边B点的距离．判定两个三角形全等的理由是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．小明发现说明此画法的合理性时需要证明与全等，其依据是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·山西长治长子县·期中）如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）如图，某同学做了一个角平分仪，其中，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点画一条射线就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·山西临汾·期中）如图，，的延长线经过点，交于，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·山西临汾·期中）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·山西临汾·期中）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，若左边滑梯梯脚到墙脚的距离米，则右边的滑梯梯顶到墙脚的距离长为（     ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9．（25-26学年八上·山西长治长子县·期中）如图，的面积为，BP平分，于P，连接PC，则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）如图，已知AB=AC，AD=AE，若添加一个条件不能得到“△ABD≌△ACE”是（　　） A. ∠ABD=∠ACE B. BD=CE C. ∠BAD=∠CAE D. ∠BAC=∠DAE 11．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）如图，已知，若要证明，可添加的条件为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·山西临汾·期中）如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（    ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）如图，，请你添加一个条件　　　　　　　，利用“”，证明． 14．（25-26学年八上·山西长治长子县·期中）如图，的顶点A，B，C都在格点（网格线的交点）上，平分，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． （1）在上作一点E，使得． （2）在（1）中作图的基础上，在的下方作，使得． 15．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）如图，，，，求证：． 16．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是　　　　　　． 17．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，求的大小． 18．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）如图，点B，E，F，C在同一条直线上，，，，，，则的长为　　　　　　　　． 19．（25-26学年八上·山西临汾·期中）如图，已知，点在线段上，且．请从①；②；选择其中一个选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：___________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 20．（25-26学年八上·山西临汾·期中）如图，中，，点P与点Q分别在和上移动，且则当　　　　　　　　　　　　时，和全等． 21．（25-26学年八上·山西长治长子县·期中）如图，小明与小颖玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，小明和小颖分别坐在距离支点相等的位置玩跷跷板当小颖从水平位置下降时，这时小明离地面的高度是　　　　　　． 22．（25-26学年八上·山西长治长子县·期中）如图，为一面墙，梯子斜靠在墙面上，为了方便测量梯子顶部A距离地面的高度小明设计的方案如下： ①测量的角度；②使梯子缓慢下滑，使得______，标记此时梯子的底端点D；③此时______的长度即为梯子顶部A距离地面的高度． （1）补全设计方案，并说明小明设计方案的正确性； （2）测得，，求梯子底端向后滑动的距离． 23．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）如图，C是的中点，，请添加一个条件　　　　　　　　，使． 24．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、的长度分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 25．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）阅读下题及其证明过程： 已知：如图，是中BC的中点，，试说明：． 证明：是中BC的中点 在和中， （第一步） （第二步） 在和中 （第三步） 问： （1）上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据，若不正确，请指出错在哪一步？ （2）写出你认为正确的推理过程． 26．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）已知：在和中，，． （1）如图①，若． ①请问线段与相等吗？请说明理由． ②求的度数； （2）如图②，若，的大小为            （直接写出结果，不证明）． 27．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）以下为某班级撰写的项目报告，根据报告内容完成相应的任务． 项目主题 测量城市广场喷水池的直径 项目背景 为优化居住环境，市政府在城市广场修建了喷水池．数学兴趣小组发现，喷水池近似于圆形．由于无法直接测量喷水池的直径，兴趣小组的同学准备利用所学知识，设计可行方案来测量喷水池的直径 驱动问题 如何运用数学知识（或数学原理），设计方案测量喷水池的直径？（喷水池边缘忽略不计） 测量规划 现状：喷水池的直径无法直接测量．数学原理：全等三角形或等腰三角形的性质．工具：皮尺、测角仪等．分工：工具准备组、测量组、记录组、安全保障组 测量方案 方案一：如图1，喷水池看作圆O，在与圆O同一水平面上，取三点A，B，C，使A，O，B三点共线，A与C，B与C分别能直接到达，AB与圆O分别交于点G，H．测得，的长，在，的延长线上分别取点D，E，使，，连接．用皮尺分别测量，，的长，即可计算得到圆O（喷水池）的直径的长 方案二：如图2，喷水池看作圆O，在与圆O同一水平面上，取两点A，B，使A，O，B三点共线，与圆O分别交于点D，E，在过圆心O且垂直于的直线上，用测角仪选择一点C，使．通过测量，，的长，即可计算得到圆O（喷水池）的直径的长 成果展示 …… 评价反思 …… 任务： （1）方案一设计的数学依据是________（填“”“”“”“”或“”）． （2）方案一中，若测得，，，求圆O（喷水池）的直径的长． （3）判断方案二是否可行．若可行，请写出所用的数学知识（或数学原理）；若不可行，请写出还需要满足哪些条件，即可利用方案二测量圆O（喷水池）的直径． 28．（25-26学年八上·山西临汾·期中）如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则　　　　　　． 29．（25-26学年八上·山西临汾·期中）综合与实践 乐乐在物理课上学习了“发声物体的振动实验”后，对其作了进一步的探究，根据以下材料．探索完成任务． 发声物体的振动 材料1 如图，乐乐在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，表示小球静止时的位置．     材料2 如图，乐乐用发声物体靠近小球．①当小球从摆到位置时，小球到的水平距离，；②当小球摆到位置时，．此时与恰好垂直．（A，B，O，C在同一平面上）③小球在两次摆动中点B和C的高度差．     问题解决 任务1 与相等吗？请说明理由； 任务2 当小球摆动到位置时，求小球到的水平距离的长． 30．（25-26学年八上·山西长治长子县·期中）（1）【问题初探】某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点在线段上时，过点作于，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点，点在运动过程中，若，请直接写出的长． 考点03 角的平分线 1．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）如图，已知平分，于点，于点，若，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，，则的面积为（       ） A.  B. 7 C. 14 D. 28 3．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）如图，在△中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②若，，则；③当时，．其中正确的是（   ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 4．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）已知在中，，平分交于D，若，且，则点D到边的距离为（     ） A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 5．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）阅读与思考 下面是小刘同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 三角形“特殊线”的共点性探究在三角形的研究中，有一类特殊线段具有“共点”的性质，即这些线段所在的直线会交于一点．例如，三角形三边的垂直平分线交于一点．如图1，在中，边，的垂直平分线相交于点P，连接，，，则． 证明：∵边，的垂直平分线相交于点P，∴，（依据）．∴．由此我得到点P也在边的垂直平分线上，所以三边的垂直平分线交于一点P．由于题目中的三角形具有一般性，因此这个结论可推广为“三角形三边的垂直平分线必定交于一点”．由以上结论引发联想：三角形三个内角的平分线是否也交于一点？并进行如下探究．如图2，在中，平分，平分，与交于点P．求证：点P在的平分线上．证明：如图3，过点P分别作三边的垂线，垂足分别为F，G，H．根据定理“角的平分线上的点到角两边的距离相等”可知，……因此，三个内角的平分线交于一点P，由于图2中具有一般性，因此，该结论可推广为“三角形三个内角的平分线必定交于一点”． 任务： （1）上述学习笔记中的“依据”是指________． （2）补全学习笔记中“……”部分的证明过程． （3）如图2，若的周长为，点P到的距离为，求的面积． 6．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）如图，在中，，，平分，交于点D，平分，交于点E．求的度数． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 全等三角形 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．C 2．D 3．C 考点02 三角形全等的判定 1．A 2．D 3．D 4．B 5．B 6．C 7．D 8．B 9．B 10．A 11．C 12．C 13．【答案】或 【分析】 根据“”定理内容即可进行解答． 【详解】 解：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等． 由图可知：和斜边为公共边，即， ∴应添加：或， 故答案为：或． 【点睛】 本题主要考查了用“”证明两个直角三角形全等，解题的关键是熟练掌握“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等”． 14．【答案】（1） 解：如图，即为所求，      （2） 如图，即为所求，      【分析】 此题考查了全等三角形的判定，根据题意正确作图是关键． （1）在上找到，根据即可得到答案； （2）由网格的特征得到，则，又由即可得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解由网格的特征得到， ∴， ∵， ∴． 15．【答案】证明：∵， ∴，即． 在和中， ， ∴． 【分析】 由，根据角的和差关系可得．结合已知条件，根据“”可证得． 【详解】 略 16．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定；根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断． 【详解】 解：由图可知，右上角和右下角可测量，为已知条件，两角的夹边也可测量，为已知条件，故可根据即可得到与原图形全等的三角形， 即小亮画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等， 故答案为：． 17．【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中， ， ；     （2）      【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定， （1）根据线段的和差证出，由即可得出； （2）由全等三角形的性质得到，，根据平行线的判定与性质即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ，， ， ． 18．【答案】7 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质．根据已知条件利用“”证明，得到，再根据已知条件得到． 【详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为：7． 19．【答案】解：添加①， 证明：， ， ， 在与中， ， ， ； 或添加②， 证明：， ， ， 在与中， ， ， ． 【分析】 本题考查添加条件后使两个三角形全等、两条直线平行的判定定理，熟记全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 添加①，由两个三角形全等的判定定理得到，从而由性质得到，再由内错角相等两直线平行判定即可得证； 添加②，由两个三角形全等的判定定理得到，从而由性质得到，再由内错角相等两直线平行判定即可得证． 【详解】 略 20．【答案】4或8 【分析】 本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，根据全等三角形对应边相等解答即可． 【详解】 解：要使和全等， ∵， ∴，或， 所以，的长为4或8． 故答案为：4或8． 21．【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形全等知识的应用，熟练正确全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据题意可得：，，判断出≌，得到，即可求出答案． 【详解】 解：如图： 是和的中点， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 小明离地面的高度支点到地面的高度， 故答案为：． 22．【答案】（1），， 证明：由题意可知，，， 在和中， ， ∴， ∴．     （2）梯子底端向后滑动的距离为．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定， （1）先补全方案，再根据证明，再根据全等三角形的性质得出答案． （2）根据全等三角形的对应边相等可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∴梯子底端向后滑动的距离为． 23．【答案】或 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键． 要使，已知，，则可以添加一对边，从而利用来判定其全等，或添加一对夹角，从而利用来判定其全等（填一个即可，答案不唯一）． 【详解】 解：∵C是的中点， ∴， ∵， ∴添加或， 可分别根据判定（填一个即可，答案不唯一）． 故答案为：或． 24．【答案】（1）；理由见解析     （2）小丽距地面的高为      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． （1）由直角三角形的性质得出，根据可证明，即可解答； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长即可解答． (1) 小问详解： 解：，理由如下： 由题意可知， ∵， ∴． ∴， ∴． (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵分别为和， ∴， ∵， ∴． 即小丽距地面的高为． 25．【答案】（1）不正确．证明三角形全等的第二个条件错误，所以第一步错误     （2） 证明：是中的中点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ．      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）可以用证明； （2）根据证明，再证明可得结论． (1) 小问详解： 解：不正确．证明三角形全等的第二个条件错误，所以第一步错误； (2) 小问详解： 证明：略． 26．【答案】（1） ①线段与相等，理由是： ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； ②      （2）      【分析】 （1）① 根据已知先证明，再       证明，则可得结论； ② 利用全等三角形性质得到，结合图形，利用三角形的外角性质和三角形内角和定理即可求出． （2）由（1）可知，，则，由三角形内角和定理得到，可得到，即可得到． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并利用全等性质证明线段与角的等量关系是解题的关键． (1) 小问详解： 解：① 略 ② ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 27．【答案】（1）     （2）圆O（喷水池）的直径的长为8m     （3）方案二不可行，需满足（答案不唯一，合理即可）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定． （1）根据方案一的方法可知，需证明，此时用到的数学依据为“”； （2）利用“”证明，得到，进而得出，计算其长度即可； （3）先分析方案二的可行性，此题方案不可行，需满足即可用方案二测量． (1) 小问详解： 解：由方案一中，，可知，证明的依据为“”， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴圆O（喷水池）的直径的长为8m． (3) 小问详解： 解：方案二不可行． 需满足，即可用方案二测量圆O（喷水池）的直径．（答案不唯一，合理即可） 28．【答案】180° ´度 【分析】 利用三角形全等，等量代换后计算即可． 【详解】 解：由题意得：，，， 所以△ABC≌△EDC（SAS）， ， 所以． 故答案为：180°． 【点睛】 本题考查了三角形全等的判定和性质，两个角的和，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 29．【答案】任务一：解：． 理由：， ， ， ； 任务二： 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由直角三角形的性质得，即可得出结论； （2）证明，得，即可解决问题． 【详解】 任务一：略 任务二：解：由题意得，． ， ， 由（1）可知， 在和中， ， ， ． ， ． ． 答：当小球摆动到位置时，小球到的水平距离长为． 30．【答案】（1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， （2）①；②或20． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由，得，利用即可证明； （2）① 证明，则； ② 过点E作交的延长线于点F，由① 得，有；由面积关系得，设；分两种情况：当点M在线段上时；当点M在线段反向延长线上时；证明，则，从而利用建立关于x的方程，即可求解． 【详解】 （1）略 （2）① ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ② 过点E作交的延长线于点F，如图； 由① 得， ∴； ∴， ∴， ∴； 设； 当点M在线段上时，如图， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 当点M在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，， ； ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当点D在线段上的情况不存在． 综上，或20． 考点03 角的平分线 1．A 2．B 3．D 4．C 5．【答案】（1）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等     （2） ，， ∴， ∴点P在的平分线上．     （3）      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义及三角形面积公式的应用． （1）根据线段垂直平分线的性质补充完整依据即可； （2）根据角平分线的定义将剩余的步骤补充完整即可； （3）过点P作于点F，于点H，于点G，连接，根据角平分线的定义可知求得，再根据三角形的面积公式及周长求得的面积． (1) 小问详解： 解：由垂直平分线的定义可知，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 故答案为：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如答图，过点P作于点F，于点H，于点G，连接． ∵点P到的距离为， ∴． ∴， ∵的周长为，即， ∴． 6．【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的定义及三角形外角的定义．先根据角平分线的性质求出的度数，再利用三角形外角的定义求出的度数，紧接着再根据角平分线的性质求出的度数，最后即可求得的度数． 【详解】 解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）如图，，则下列说法错误的是（       ） A.  B. 平行且等于 C.  D. 平行且等于 【答案】C 【分析】 根据全等三角形的性质，对选项逐个判断即可． 【详解】 解：∵， ∴，，，， ∴，A选项正确，不符合题意； ，，B选项正确，不符合题意； ，，D选项正确，不符合题意； 根据已知，得不出，C选项错误，符合题意； 故选：C 【点睛】 此题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，对应角相等． 2．（25-26学年八上·山西临汾·期中）下列命题是假命题的是（     ） A. 所有的直角都是相等的 B. 两直线平行，同位角相等 C. 全等三角形对应角相等，对应边相等 D. 两个锐角的和为90° 【答案】D 【分析】 本题考查命题的真假判断．直角都是，故A是真命题；根据平行线性质判断B是真命题；根据全等三角形的性质判断C是真命题；两个锐角的和不一定为，故D是假命题． 【详解】 ∵ 直角都等于，∴ 所有的直角都相等，A是真命题； ∵ 两直线平行，同位角相等，B是真命题； ∵ 全等三角形对应角相等，对应边相等，C是真命题； ∵ 锐角小于，但两个锐角的和可能小于、等于或大于（如），∴ D是假命题 故选D． 3．（25-26学年八上·山西长治长子县·期中）如下图，已知，点恰好在的延长线上，，．则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了三角形内角和，以及全等三角形性质，根据三角形内角和得到，再利用全等三角形性质推出，最后各角平角的定义，即可解题． 【详解】 解：，， ， ， ， 点恰好在的延长线上， ， 故选：C． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·山西长治长子县·期中）数学活动课上，小星制作了一个燕尾形的风筝，如图，，，他准备用刻度尺量和的长是否相等． 小英却说：“不用再测量，因为≌，所以” 小英用到的判定三角形全等的方法是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】 解：在与中， ， ∴， ， 故选：A． 2．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）如图，要测量河中礁石A离岸边B点的距离，可以采用如下方法：顺着河岸方向任取一条线段，作，，可得，所以，所以测量的长就是礁石A离岸边B点的距离．判定两个三角形全等的理由是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由已知可得，,，根据即可证明，得到结论． 【详解】 解：∵，,， ∴， ∴， 故选：D 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定和性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 3．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．小明发现说明此画法的合理性时需要证明与全等，其依据是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，根据判定定理“”即可求证，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】 解：由题意得，，， ∵， ∴， 故选：． 4．（25-26学年八上·山西长治长子县·期中）如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，是网格型问题，本题构建全等三角形是关键． 证明≌，得，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论． 【详解】 解：记与的交点为点F，如图， 在和中， ， ≌， ， ， ， ∴， ． 故选：B． 5．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）如图，某同学做了一个角平分仪，其中，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点画一条射线就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．由“”可证，可得，可证就是的平分线，即可求解． 【详解】 解：在和中， ， ， ， 是的平分线， 故选：B． 6．（25-26学年八上·山西临汾·期中）如图，，的延长线经过点，交于，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识，证明，根据全等三角形的性质求出，，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ， ， 又， ， ， 故选：C． 7．（25-26学年八上·山西临汾·期中）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】 解：在和中， ， ， 故选：D． 8．（25-26学年八上·山西临汾·期中）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，若左边滑梯梯脚到墙脚的距离米，则右边的滑梯梯顶到墙脚的距离长为（     ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，根据可以证明，根据全等三角形对应边相等可知米． 【详解】 解：由题意可知：，，， 在和中， ， ， 米． 故选：B． 9．（25-26学年八上·山西长治长子县·期中）如图，的面积为，BP平分，于P，连接PC，则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．延长交于，根据已知条件证得，推出，得出，，推出，代入计算即可． 【详解】 解：如图，延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 故选：B． 10．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）如图，已知AB=AC，AD=AE，若添加一个条件不能得到“△ABD≌△ACE”是（　　） A. ∠ABD=∠ACE B. BD=CE C. ∠BAD=∠CAE D. ∠BAC=∠DAE 【答案】A 【分析】根据已知两组对应边对应相等，结合全等三角形的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】AB=AC，AD=AE， A.若∠ABD=∠ACE，则符合“SSA”，不能判定△ABD≌△ACE，不恰当，故本选项正确； B.若BD=CE，则根据“SSS”，△ABD≌△ACE，恰当，故本选项错误； C.若∠BAD=∠CAE，则符合“SAS”，△ABD≌△ACE，恰当，故本选项错误； D.若∠BAC=∠DAE，则∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC， 即∠BAD=∠CAE，符合“SAS”，△ABD≌△ACE，恰当，故本选项错误． 故选A． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 11．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）如图，已知，若要证明，可添加的条件为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理，结合已知条件逐一分析各个选项即可． 【详解】 解：∵， ∴， 又∵是与的公共边， ∴， A、若添加条件，此时在和中，有，，，此时不满足全等三角形的判定定理的任意一种，包括“”“”“” “”“”，故A错误； B、若添加条件，在和中，有，，，同样不满足全等三角形的判定定理的任意一种，包括“”“”“” “”“”，故B错误； C、若添加条件，在和中，，，，满足全等三角形的判定定理“”，故C正确； D、若添加条件，在和中，有，，，不满足全等三角形的判定定理的任意一种，包括“”“”“” “”“”，同时这两个角不是对应相等的关系，故D错误． 故选：C． 12．（25-26学年八上·山西临汾·期中）如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据题意可得，，据此根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】 解：A、添加条件，结合，， 可利用证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，， 可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，， 不可利用证明，故此选项符合题意； D、添加条件，结合，， 可利用证明，故此选项不符合题意； 故选：C． 13．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）如图，，请你添加一个条件　　　　　　　，利用“”，证明． 【答案】或 【分析】 根据“”定理内容即可进行解答． 【详解】 解：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等． 由图可知：和斜边为公共边，即， ∴应添加：或， 故答案为：或． 【点睛】 本题主要考查了用“”证明两个直角三角形全等，解题的关键是熟练掌握“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等”． 14．（25-26学年八上·山西长治长子县·期中）如图，的顶点A，B，C都在格点（网格线的交点）上，平分，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． （1）在上作一点E，使得． （2）在（1）中作图的基础上，在的下方作，使得． 【答案】（1） 解：如图，即为所求，      （2） 如图，即为所求，      【分析】 此题考查了全等三角形的判定，根据题意正确作图是关键． （1）在上找到，根据即可得到答案； （2）由网格的特征得到，则，又由即可得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解由网格的特征得到， ∴， ∵， ∴． 15．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）如图，，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即． 在和中， ， ∴． 【分析】 由，根据角的和差关系可得．结合已知条件，根据“”可证得． 【详解】 略 16．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定；根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断． 【详解】 解：由图可知，右上角和右下角可测量，为已知条件，两角的夹边也可测量，为已知条件，故可根据即可得到与原图形全等的三角形， 即小亮画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等， 故答案为：． 17．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，求的大小． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中， ， ；     （2）      【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定， （1）根据线段的和差证出，由即可得出； （2）由全等三角形的性质得到，，根据平行线的判定与性质即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ，， ， ． 18．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）如图，点B，E，F，C在同一条直线上，，，，，，则的长为　　　　　　　　． 【答案】7 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质．根据已知条件利用“”证明，得到，再根据已知条件得到． 【详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为：7． 19．（25-26学年八上·山西临汾·期中）如图，已知，点在线段上，且．请从①；②；选择其中一个选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：___________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 【答案】解：添加①， 证明：， ， ， 在与中， ， ， ； 或添加②， 证明：， ， ， 在与中， ， ， ． 【分析】 本题考查添加条件后使两个三角形全等、两条直线平行的判定定理，熟记全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 添加①，由两个三角形全等的判定定理得到，从而由性质得到，再由内错角相等两直线平行判定即可得证； 添加②，由两个三角形全等的判定定理得到，从而由性质得到，再由内错角相等两直线平行判定即可得证． 【详解】 略 20．（25-26学年八上·山西临汾·期中）如图，中，，点P与点Q分别在和上移动，且则当　　　　　　　　　　　　时，和全等． 【答案】4或8 【分析】 本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，根据全等三角形对应边相等解答即可． 【详解】 解：要使和全等， ∵， ∴，或， 所以，的长为4或8． 故答案为：4或8． 21．（25-26学年八上·山西长治长子县·期中）如图，小明与小颖玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，小明和小颖分别坐在距离支点相等的位置玩跷跷板当小颖从水平位置下降时，这时小明离地面的高度是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形全等知识的应用，熟练正确全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据题意可得：，，判断出≌，得到，即可求出答案． 【详解】 解：如图： 是和的中点， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 小明离地面的高度支点到地面的高度， 故答案为：． 22．（25-26学年八上·山西长治长子县·期中）如图，为一面墙，梯子斜靠在墙面上，为了方便测量梯子顶部A距离地面的高度小明设计的方案如下： ①测量的角度；②使梯子缓慢下滑，使得______，标记此时梯子的底端点D；③此时______的长度即为梯子顶部A距离地面的高度． （1）补全设计方案，并说明小明设计方案的正确性； （2）测得，，求梯子底端向后滑动的距离． 【答案】（1），， 证明：由题意可知，，， 在和中， ， ∴， ∴．     （2）梯子底端向后滑动的距离为．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定， （1）先补全方案，再根据证明，再根据全等三角形的性质得出答案． （2）根据全等三角形的对应边相等可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∴梯子底端向后滑动的距离为． 23．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）如图，C是的中点，，请添加一个条件　　　　　　　　，使． 【答案】或 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键． 要使，已知，，则可以添加一对边，从而利用来判定其全等，或添加一对夹角，从而利用来判定其全等（填一个即可，答案不唯一）． 【详解】 解：∵C是的中点， ∴， ∵， ∴添加或， 可分别根据判定（填一个即可，答案不唯一）． 故答案为：或． 24．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、的长度分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 【答案】（1）；理由见解析     （2）小丽距地面的高为      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． （1）由直角三角形的性质得出，根据可证明，即可解答； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长即可解答． (1) 小问详解： 解：，理由如下： 由题意可知， ∵， ∴． ∴， ∴． (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵分别为和， ∴， ∵， ∴． 即小丽距地面的高为． 25．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）阅读下题及其证明过程： 已知：如图，是中BC的中点，，试说明：． 证明：是中BC的中点 在和中， （第一步） （第二步） 在和中 （第三步） 问： （1）上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据，若不正确，请指出错在哪一步？ （2）写出你认为正确的推理过程． 【答案】（1）不正确．证明三角形全等的第二个条件错误，所以第一步错误     （2） 证明：是中的中点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ．      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）可以用证明； （2）根据证明，再证明可得结论． (1) 小问详解： 解：不正确．证明三角形全等的第二个条件错误，所以第一步错误； (2) 小问详解： 证明：略． 26．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）已知：在和中，，． （1）如图①，若． ①请问线段与相等吗？请说明理由． ②求的度数； （2）如图②，若，的大小为            （直接写出结果，不证明）． 【答案】（1） ①线段与相等，理由是： ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； ②      （2）      【分析】 （1）① 根据已知先证明，再       证明，则可得结论； ② 利用全等三角形性质得到，结合图形，利用三角形的外角性质和三角形内角和定理即可求出． （2）由（1）可知，，则，由三角形内角和定理得到，可得到，即可得到． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并利用全等性质证明线段与角的等量关系是解题的关键． (1) 小问详解： 解：① 略 ② ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 27．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）以下为某班级撰写的项目报告，根据报告内容完成相应的任务． 项目主题 测量城市广场喷水池的直径 项目背景 为优化居住环境，市政府在城市广场修建了喷水池．数学兴趣小组发现，喷水池近似于圆形．由于无法直接测量喷水池的直径，兴趣小组的同学准备利用所学知识，设计可行方案来测量喷水池的直径 驱动问题 如何运用数学知识（或数学原理），设计方案测量喷水池的直径？（喷水池边缘忽略不计） 测量规划 现状：喷水池的直径无法直接测量．数学原理：全等三角形或等腰三角形的性质．工具：皮尺、测角仪等．分工：工具准备组、测量组、记录组、安全保障组 测量方案 方案一：如图1，喷水池看作圆O，在与圆O同一水平面上，取三点A，B，C，使A，O，B三点共线，A与C，B与C分别能直接到达，AB与圆O分别交于点G，H．测得，的长，在，的延长线上分别取点D，E，使，，连接．用皮尺分别测量，，的长，即可计算得到圆O（喷水池）的直径的长 方案二：如图2，喷水池看作圆O，在与圆O同一水平面上，取两点A，B，使A，O，B三点共线，与圆O分别交于点D，E，在过圆心O且垂直于的直线上，用测角仪选择一点C，使．通过测量，，的长，即可计算得到圆O（喷水池）的直径的长 成果展示 …… 评价反思 …… 任务： （1）方案一设计的数学依据是________（填“”“”“”“”或“”）． （2）方案一中，若测得，，，求圆O（喷水池）的直径的长． （3）判断方案二是否可行．若可行，请写出所用的数学知识（或数学原理）；若不可行，请写出还需要满足哪些条件，即可利用方案二测量圆O（喷水池）的直径． 【答案】（1）     （2）圆O（喷水池）的直径的长为8m     （3）方案二不可行，需满足（答案不唯一，合理即可）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定． （1）根据方案一的方法可知，需证明，此时用到的数学依据为“”； （2）利用“”证明，得到，进而得出，计算其长度即可； （3）先分析方案二的可行性，此题方案不可行，需满足即可用方案二测量． (1) 小问详解： 解：由方案一中，，可知，证明的依据为“”， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴圆O（喷水池）的直径的长为8m． (3) 小问详解： 解：方案二不可行． 需满足，即可用方案二测量圆O（喷水池）的直径．（答案不唯一，合理即可） 28．（25-26学年八上·山西临汾·期中）如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则　　　　　　． 【答案】180° ´度 【分析】 利用三角形全等，等量代换后计算即可． 【详解】 解：由题意得：，，， 所以△ABC≌△EDC（SAS）， ， 所以． 故答案为：180°． 【点睛】 本题考查了三角形全等的判定和性质，两个角的和，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 29．（25-26学年八上·山西临汾·期中）综合与实践 乐乐在物理课上学习了“发声物体的振动实验”后，对其作了进一步的探究，根据以下材料．探索完成任务． 发声物体的振动 材料1 如图，乐乐在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，表示小球静止时的位置．     材料2 如图，乐乐用发声物体靠近小球．①当小球从摆到位置时，小球到的水平距离，；②当小球摆到位置时，．此时与恰好垂直．（A，B，O，C在同一平面上）③小球在两次摆动中点B和C的高度差．     问题解决 任务1 与相等吗？请说明理由； 任务2 当小球摆动到位置时，求小球到的水平距离的长． 【答案】任务一：解：． 理由：， ， ， ； 任务二： 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由直角三角形的性质得，即可得出结论； （2）证明，得，即可解决问题． 【详解】 任务一：略 任务二：解：由题意得，． ， ， 由（1）可知， 在和中， ， ， ． ， ． ． 答：当小球摆动到位置时，小球到的水平距离长为． 30．（25-26学年八上·山西长治长子县·期中）（1）【问题初探】某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点在线段上时，过点作于，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点，点在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， （2）①；②或20． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由，得，利用即可证明； （2）① 证明，则； ② 过点E作交的延长线于点F，由① 得，有；由面积关系得，设；分两种情况：当点M在线段上时；当点M在线段反向延长线上时；证明，则，从而利用建立关于x的方程，即可求解． 【详解】 （1）略 （2）① ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ② 过点E作交的延长线于点F，如图； 由① 得， ∴； ∴， ∴， ∴； 设； 当点M在线段上时，如图， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 当点M在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，， ； ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当点D在线段上的情况不存在． 综上，或20． 考点03 角的平分线 1．（2026·山西朔州怀仁·质量监测）如图，已知平分，于点，于点，若，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质定理，即可得出结果． 【详解】 解：∵平分，于点，于点， ∴； 故选：A． 2．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，，则的面积为（       ） A.  B. 7 C. 14 D. 28 【答案】B 【分析】 本题考查角平分线的尺规作图，角平分线的性质，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】 解：过点D作于H， 由作图可知，是的角平分线， ∵， ∴， ∴的面积， 故选：B． 3．（25-26学年八上·山西忻州地·期中）如图，在△中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②若，，则；③当时，．其中正确的是（   ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 【答案】D 【分析】 由，，推导出，则，可判断① 正确；连接，作于点，于点，由角平分线的性质得，求得，可判断② 错误；在上截取，连接，由，求得，则，可证明，得，则，再证明，得，则，可判断③ 正确，于是得到问题的答案． 【详解】 解：△的角平分线、交于点， ，， ， ，故① 正确； 如图1，连接，作于点，于点， 平分，平分，交于点，且于点， ， ， ，故② 错误； 如图2，在上截取，连接， ， ， ， 在△和△中， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， ， ， ，故③ 正确， 故选：D． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质及定义，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，掌握角平分线的性质及定义是解题的关键． 4．（25-26学年八上·山西阳泉·期中）已知在中，，平分交于D，若，且，则点D到边的距离为（     ） A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 【答案】C 【分析】 本题考查了角平分线的性质定理． 过点D作，由，，即可求得的长，再根据角平分线的性质即可求得结果． 【详解】 解：过点D作，    ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 故选：C． 5．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）阅读与思考 下面是小刘同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 三角形“特殊线”的共点性探究在三角形的研究中，有一类特殊线段具有“共点”的性质，即这些线段所在的直线会交于一点．例如，三角形三边的垂直平分线交于一点．如图1，在中，边，的垂直平分线相交于点P，连接，，，则． 证明：∵边，的垂直平分线相交于点P，∴，（依据）．∴．由此我得到点P也在边的垂直平分线上，所以三边的垂直平分线交于一点P．由于题目中的三角形具有一般性，因此这个结论可推广为“三角形三边的垂直平分线必定交于一点”．由以上结论引发联想：三角形三个内角的平分线是否也交于一点？并进行如下探究．如图2，在中，平分，平分，与交于点P．求证：点P在的平分线上．证明：如图3，过点P分别作三边的垂线，垂足分别为F，G，H．根据定理“角的平分线上的点到角两边的距离相等”可知，……因此，三个内角的平分线交于一点P，由于图2中具有一般性，因此，该结论可推广为“三角形三个内角的平分线必定交于一点”． 任务： （1）上述学习笔记中的“依据”是指________． （2）补全学习笔记中“……”部分的证明过程． （3）如图2，若的周长为，点P到的距离为，求的面积． 【答案】（1）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等     （2） ，， ∴， ∴点P在的平分线上．     （3）      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义及三角形面积公式的应用． （1）根据线段垂直平分线的性质补充完整依据即可； （2）根据角平分线的定义将剩余的步骤补充完整即可； （3）过点P作于点F，于点H，于点G，连接，根据角平分线的定义可知求得，再根据三角形的面积公式及周长求得的面积． (1) 小问详解： 解：由垂直平分线的定义可知，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 故答案为：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如答图，过点P作于点F，于点H，于点G，连接． ∵点P到的距离为， ∴． ∴， ∵的周长为，即， ∴． 6．（25-26学年八上·山西大同平城区·期中）如图，在中，，，平分，交于点D，平分，交于点E．求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的定义及三角形外角的定义．先根据角平分线的性质求出的度数，再利用三角形外角的定义求出的度数，紧接着再根据角平分线的性质求出的度数，最后即可求得的度数． 【详解】 解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $