专题02 空间向量与立体几何（知识清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题02 空间向量与立体几何 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01空间向量概念、线性运算及有关定理 考点02空间向量的数量积及其应用 考点03平行与垂直的向量表示 考点04利用向量求空间角 考点05利用向量求空间距离 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01利用空间向量解决探索性问题 难点解读02利用空间向量解决最值范围问题 难点解读03不规则几何体建系问题 难点解读04空间向量新定义问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01平行与垂直的向量表示 题型02空间向量与立体几何综合应用 ▶重点突破・考法深研 重点01空间向量数量积的应用 重点02用向量法求异面直线所成角 重点03用向量法求直线与平面所成角 重点04用向量法求二面角 重点05利用空间向量求空间距离 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01用基向量表示指定向量 技法点拨02空间向量的坐标运算 技法点拨03向量共线与三点共线问题 技法点拨04空间四点共面及其应用 技法点拨05利用空间向量证明空间线面位置关系 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01忽视零向量致错 易错点02线面角与向量夹角转化不清等问题 易错点03二面角的锐角与钝角判断失误 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 空间向量的概念、线性运算及定理 1、空间向量的有关概念 （1）空间向量：在空间中，具有大小和方向的量； （2）相等向量：方向相同且模相等的向量； （3）相反向量：方向相反且模相等的向量； （4）共线向量(或平行向量)：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量； （5）共面向量：平行于同一个平面的向量 2、空间向量的线性运算 （1）空间向量的加减法 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）． 空间向量加减法的运算律：交换律；结合律． （2）空间向量的数乘：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． 当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，． 的长度是的长度的倍． 空间向量数乘的运算律：分配律；结合律． 3、空间向量的有关定理 （1）共线向量定理：对空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使得. （2）共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使. （3）空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}，使得，其中，叫做空间的一个基底． 【新题对点练】（2026·安徽淮北·模拟预测）（多选）已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（    ） A．对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得 B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．若，，则 D．若所在直线两两共面，则共面 考点02 空间向量的数量积及其应用 1、空间向量的数量积及运算律 （1）数量积及相关概念 ①两向量的夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，其范围是[0，π]， 若，则称与互相垂直，记作. ②非零向量，的数量积． （2）空间向量数量积的运算律 ①结合律：； ②交换律：； ③分配律：. 2、空间向量数量积的坐标表示及其应用 设，， 向量表示 坐标表示 数量积 共线 ，， 垂直 模 夹角 【新题对点练】（2026·辽宁大连·模拟预测）在棱长为3的正四面体中，点是三角形的重心，若空间内一点满足，则（    ） A． B． C． D． 考点03 平行与垂直的向量表示 1、直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量为直线l的方向向量． （2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量，则向量叫做平面α的法向量． 2、空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为， 直线l的方向向量为，平面α的法向量为 平面α，β的法向量分别为， 【新题对点练】（2026·重庆·一模）已知正四棱柱中，，则（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面平面 考点04 利用向量求空间角 1、异面直线所成角 设异面直线a，b所成的角为θ，则，其中，分别是直线a，b的方向向量． 2、直线与平面所成角 如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，为l的方向向量，为平面α的法向量， φ为l与α所成的角，则. 3、二面角 （1）若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图a. （2）平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为，平面β的法向量为，，则二面角α­l­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则，如图b，c. 【新题对点练】（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）正方体中，点分别为正方形及的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 考点05 利用向量求空间距离 1、点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点， 设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)． 2、点到平面的距离 已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点， 过点作则平面的垂线，交平面于点， 则点到平面的距离为（如图）. 3、线面距和面面距 线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． （1）直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． （2）两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 【新题对点练】（25-26高三上·江西·阶段检测）已知正方体中，，若点为线段上靠近的三等分点，则点C到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 难点解读01 利用空间向量解决探索性问题 利用空间向量解决立体几何的探索性问题思路： （1）根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示． （2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在． 【典例1】（24-25高三上·广东·阶段检测）如图，在直角三角形中，，，将绕边旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点为上的点，且． (1)在上是否存在一点，使得直线与平面平行？若存在，指明位置并证明，若不存在，请说明理由； (2)设直线与平面所成的角为，求的值． 【典例2】如图，在多面体中，是边长为4的等边三角形，，，，点为的中点，平面平面． (1)求证：平面 (2)线段上是否存在一点，使得二面角为直二面角？若存在，试指出点的位置；若不存在，请说明理由． 难点解读02 利用空间向量解决最值范围问题 此类问题多以规则几何体为载体，涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等，题目较为综合，解决此类问题一般可从三个方面思考： 一是函数法，即利用传统方法或空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解； 二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值； 三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解． 【典例1】（24-25高三上·辽宁·期中）已知正方体的棱长为1，点，分别是线段，上的两个动点，若与底面所成角的度数为，则线段长度的取值范围是_____. 【典例2】（25-26高三下·河南·阶段检测）如图，在直三棱柱中，底面，且，设，点是棱的中点，点是棱的中点. (1)证明：； (2)设点是棱上的一个动点（不含端点），记直线与平面所成的角为.若存在最大值，求的取值范围. 难点解读03 不规则几何体建系问题 常见的，轴选取的参考原则： ①尽可能的让底面上更多的点位于，轴上； ②找角：，轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件； ③找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点． 【注意】解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先确定题目中是否给出垂直条件，如果没有直接给出，还需证明所用坐标轴两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略． 【典例1】（2026·广东广州·模拟预测）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，设各棱长为． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求与底面所成角的正弦值． 【典例2】（2026·广东深圳·模拟预测）如图所示，七面体中的三个面都是平行四边形，其余四个面都是三角形． (1)求证：平面； (2)若，，平面平面，求直线与平面所成角的余弦值． 难点解读04 空间向量新定义问题 面对新情景、新定义，首先要深入理解并分析这些新元素，将其与已知的立体几何知识相结合．明确解题目标后，灵活运用基本定理和性质，如平行、垂直的判定与性质，以及空间角、距离的计算公式．在解题过程中，合理构造辅助线和面，以揭示隐藏的空间关系，简化问题．对于复杂问题，可尝试建立空间直角坐标系，利用向量法进行计算和证明．同时，要善于将空间问题平面化，通过截面、投影等方式转化求解对象．最后，解题后要进行验证和反思，确保结论的正确性，并总结所使用的方法和技巧，以便在未来遇到类似问题时能够迅速应对． 【典例1】（2026·湖南株洲·二模）类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线，，构成的图形称为三面角，记，，，二面角的大小为，则.已知平行六面体的底面为菱形，，，，则二面角的余弦值为___________. 【典例2】（25-26高三上·江西南昌·期末）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，设，表示以O为圆心，且过B、C的圆，劣弧BC的弧长记为a，同理，圆，的劣弧AC、AB的弧长分别记为b、c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为.已知； (1)若，，求球面三角形ABC的面积（直接写结果无需证明）； (2)在球O的内接三棱锥D-ABC中，平面，，直线DC与平面ABC所成的角为. （ⅰ）若，N分别为直线，上的动点，求线段MN长度的最小值； （ⅱ）如图（2），若分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（与点B不重合），当平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值为时，求线段BG的长. 素养进阶·答题技法突破 题型01 平行与垂直的向量表示 考情定位：基础稳分题型。全程依托向量工具替代传统几何证明，规避复杂辅助线构造，命题以平行、垂直综合证明为主，考情较为稳定。 核心考法：①向量法证明线线平行、线面平行、面面平行；②向量法证明线线垂直、线面垂直、面面垂直；③平行与垂直嵌套的综合推理证明；④结合几何体结构的位置关系正误判定。 解题要点：解题核心为几何条件向量化、定理条件完整化。精准求解方向向量、法向量；平行证明核对共线、垂直证明核对数量积为0；严格补齐“直线在平面外、相交直线”等几何前提，不跳步骤、不缺条件，保证证明逻辑闭环。 【典例1】（2025·全国一卷·高考真题）（多选）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 题型02 空间向量与立体几何综合应用 考情定位：解答题高频题型，属于高分段区分度核心题型。多以翻折几何体、组合几何体、动态几何体为载体，融合位置关系证明、空间角计算、距离求解、参数探索、最值范围等多重考点，综合性极强，套路嵌套多、设问层层递进，是高考冲刺满分的关键题型。 核心考法：①翻折、旋转几何体中建系与向量综合计算；②同一题干嵌套平行垂直证明、空间角、空间距离多问综合；③立体几何与函数、不等式结合的最值、取值范围问题；④多面体、不规则几何体的全方位向量建模求解；⑤定点、定值、定角类高阶综合探究问题。 解题要点：坚持“先定结构、再建体系、分步破题、全局校验”的综合解题思维。第一步梳理几何体静态量与动态量，规范完成建系与坐标书写；第二步通过向量工具统一转化所有几何条件，将复杂空间问题完全代数化；第三步按设问分步求解，严格区分角度公式、距离公式、判定条件，杜绝公式混用；最后针对最值、范围问题结合函数单调性、不等式求解，全程保证步骤规范、逻辑闭环、结果精准。 【典例1】（2026·全国一卷·高考真题）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 【典例2】（2026·全国二卷·高考真题）如图，三棱锥中，点在上，，，． (1)证明：； (2)若，，，，求直线与平面所成角的正弦值． 重点01 空间向量数量积的应用 1、求夹角：设向量，所成的角为，则，进而可求两异面直线所成的角； 2、求长度（距离）：运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题； 3、解决垂直问题：利用，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题。 【典例1】（25-26高三下·江西九江·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）在正四棱台中，，，，设，，，则______． 重点02 用向量法求异面直线所成角 用向量法求异面直线所成角的一般步骤 （1）建立空间直角坐标系； （2）用坐标表示两异面直线的方向向量； （3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； （4）注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值． 【典例1】（2026·吉林·模拟预测）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·广东河源·阶段检测）如图，在直三棱柱中，为侧棱的中点；，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 重点03 用向量法求直线与平面所成角 如图所示，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，向量与的夹角为θ，则有. 【典例1】（2026·河北邢台·二模）如图，为圆柱的一条母线，是下底面圆的直径，弦与交于点.已知圆柱的高为1，侧面积为.若且M恰为DE的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（26-27高三上·广东阳江·开学考试）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 重点04 用向量法求二面角 1、找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小； 2、找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． 【典例1】（25-26高三上·广东·阶段检测）在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·福建·阶段检测）如图，在正方体中，E是的中点，点P是直线上的一点，且平面． (1)请确定点P的位置； (2)求平面与平面的夹角的正弦值． 重点05 利用空间向量求空间距离 （1）点线距：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为． （2）点面距：已知平面的法向量为，是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为． 【注意】线面距、面面距可转化为点面距进行求解． 【典例1】（2026·福建厦门·模拟预测）已知，，，则点A到直线BC的距离为__________． 【典例2】（2026·广东湛江·一模）如图，正方体的棱长为4，其中，点F为的中点，则点C到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 技法点拨01 用基向量表示指定向量 （1）结合已知向量和所求向量观察图形． （2）将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中． （3）利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 【典例1】（25-26高三上·甘肃临夏·阶段检测）如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·河北·阶段检测）如图，平行六面体中，延长至点，使，则向量可用向量表示为__________. 技法点拨02 空间向量的坐标运算 空间向量的坐标运算是向量法解立体几何的运算根基，所有角度、距离、证明题型均依托坐标运算展开．核心解题规范：严格遵循“终点坐标减起点坐标”求向量，杜绝坐标写反；熟练掌握空间向量加减、数乘、数量积坐标公式，精准计算向量模长、向量夹角．熟记向量平行、垂直的坐标等价条件，可快速秒杀判断类题型；运算坚持分步演算，避免多步合并导致的连锁计算错误，保证后续法向量求解、空间角计算、距离公式代入全部准确． 【典例1】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知空间向量，，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 【典例2】（25-26高三上·广东江门·阶段检测）（多选）已知向量，点，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 技法点拨03 向量共线与三点共线问题 三点(P，A，B)共线，＝λ且同过点P 对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝x＋(1－x) 【典例1】（25-26高三上·河北·开学考试）已知空间向量与共线，则（    ） A．-1 B． C． D．1 【典例2】已知，则下列一定共线的三点是（    ） A．A，B，C B．A，B，D C．B，C，D D．A，C，D 技法点拨04 空间四点共面及其应用 空间四点(M，P，A，B)共面，＝x＋y 对空间任一点O，＝＋x＋y 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y) 【典例1】（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 【典例2】（25-26高三上·福建福州·阶段检测）已知空间中四点，，，共面，则______． 技法点拨05 利用空间向量证明空间线面位置关系 1、利用空间向量证明平行的方法 线线平行 证明两直线的方向向量共线 线面平行 ①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 面面平行 ①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题 2.利用空间向量证明垂直的方法 线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示 面面垂直 证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示 【典例1】（24-25高三上·江苏·阶段检测）（多选）在正四棱柱中，，为的中点，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【典例2】（2026·江西九江·一模）（多选）如图，正方体中，点分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 易错点01 忽略零向量致错 辨析：在进行空间向量相关概念判断时，要注意零向量的特殊性，如零向量与任意向量平行等． 【典例1】（多选）已知空间中的三个非零向量则下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．可以作为空间的一个基底 易错点02 线面角与向量夹角转化不清等问题 辨析：若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；③不清楚线面角的范围． 【典例1】（2026·安徽·三模）如图，四边形为直角梯形，且．点满足平面. (1)若为上靠近点的三等分点，证明：平面； (2)若，点满足，求直线与平面所成角的余弦值． 易错点03 二面角的锐角与钝角判断失误 辨析：若两个平面的法向量分别为，，若两个平面所成的锐二面角为，则；若两个平面所成二面角为钝角，则。总之，当求得两法向量夹角的余弦值时，一定要结合图形判断二面角的取值范围． 【典例1】在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形，，侧面 是等边三角形，且平面 平面 为 的中点. (1)证明： 平面 ； (2)求二面角 的余弦值. 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（26-27高三上·广西来宾·阶段检测）在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·湖北黄冈·阶段检测）已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则⊥ D．若，，⊥，则 3．（25-26高三上·福建漳州·阶段检测）若向量，，且，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山东聊城·阶段检测）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D．0 5．（2026·江西萍乡·一模）在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河北邯郸·一模）在下列四个正方体中，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线平面的是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在正方形中，E，F是的两个三等分点，将该正方形折成一个正三棱柱（与重合），则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·江苏·阶段检测）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高三上·浙江杭州·开学考试）已知向量，则下列向量中与共面的向量是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三下·河南新乡·阶段检测）如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（    ）    A． B． C．四边形的面积为 D．平行六面体的体积为 11．（2026·山东东营·模拟预测）已知在正四棱锥中，，Q为平面内一点，则（    ） A．四棱锥的体积为 B．当时，面积的最小值为 C．当（）时，存在使 D．当时，点Q的轨迹为抛物线 三、填空题 12．（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）已知平面的一个法向量，直线的方向向量，则直线与平面所成角的正弦值为______. 13．（25-26高三上·山东济南·阶段检测）已知，则在方向上的投影向量的坐标为______． 14．（2026·安徽·模拟预测）已知圆柱的体积为，，是底面圆的圆周上两点，且，点满足，则点到平面距离的最大值为____________． 四、解答题 15．（26-27高三上·重庆·阶段检测）如图，四棱锥中，，底面，，且，，． (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点E，使得二面角的平面角的正弦值为；若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 16．（2026·浙江·模拟预测）如图，已知四边形是菱形，，是平面外一点，且，（）． (1)当时，求证：，，，四点共面； (2)若平面平面，平面平面， （i）求证：直线平面； （ii）求的值，使直线与平面所成角最大． $专题02 空间向量与立体几何 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01空间向量概念、线性运算及有关定理 考点02空间向量的数量积及其应用 考点03平行与垂直的向量表示 考点04利用向量求空间角 考点05利用向量求空间距离 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01利用空间向量解决探索性问题 难点解读02利用空间向量解决最值范围问题 难点解读03不规则几何体建系问题 难点解读04空间向量新定义问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01平行与垂直的向量表示 题型02空间向量与立体几何综合应用 ▶重点突破・考法深研 重点01空间向量数量积的应用 重点02用向量法求异面直线所成角 重点03用向量法求直线与平面所成角 重点04用向量法求二面角 重点05利用空间向量求空间距离 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01用基向量表示指定向量 技法点拨02空间向量的坐标运算 技法点拨03向量共线与三点共线问题 技法点拨04空间四点共面及其应用 技法点拨05利用空间向量证明空间线面位置关系 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01忽视零向量致错 易错点02线面角与向量夹角转化不清等问题 易错点03二面角的锐角与钝角判断失误 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 空间向量的概念、线性运算及定理 1、空间向量的有关概念 （1）空间向量：在空间中，具有大小和方向的量； （2）相等向量：方向相同且模相等的向量； （3）相反向量：方向相反且模相等的向量； （4）共线向量(或平行向量)：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量； （5）共面向量：平行于同一个平面的向量 2、空间向量的线性运算 （1）空间向量的加减法 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）． 空间向量加减法的运算律：交换律；结合律． （2）空间向量的数乘：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． 当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，． 的长度是的长度的倍． 空间向量数乘的运算律：分配律；结合律． 3、空间向量的有关定理 （1）共线向量定理：对空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使得. （2）共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使. （3）空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}，使得，其中，叫做空间的一个基底． 【新题对点练】（2026·安徽淮北·模拟预测）（多选）已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（    ） A．对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得 B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．若，，则 D．若所在直线两两共面，则共面 【答案】ACD 【解析】由空间向量基本定理知：仅当不共面时，才能作为基底，即，A错； 若是空间的一个基底，则不共面， 若共面，则，， 显然无解，即不共面，故也是空间的一个基底，B对； 若，，在空间中不一定平行，C错； 若所在直线两两共面，如四面体中共顶点的侧棱所在直线，即不一定共面，D错. 故选：ACD. 考点02 空间向量的数量积及其应用 1、空间向量的数量积及运算律 （1）数量积及相关概念 ①两向量的夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，其范围是[0，π]， 若，则称与互相垂直，记作. ②非零向量，的数量积． （2）空间向量数量积的运算律 ①结合律：； ②交换律：； ③分配律：. 2、空间向量数量积的坐标表示及其应用 设，， 向量表示 坐标表示 数量积 共线 ，， 垂直 模 夹角 【新题对点练】（2026·辽宁大连·模拟预测）在棱长为3的正四面体中，点是三角形的重心，若空间内一点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得，， 故， ， 又，， 故 ，故选：C 考点03 平行与垂直的向量表示 1、直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量为直线l的方向向量． （2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量，则向量叫做平面α的法向量． 2、空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为， 直线l的方向向量为，平面α的法向量为 平面α，β的法向量分别为， 【新题对点练】（2026·重庆·一模）已知正四棱柱中，，则（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面平面 【答案】B 【解析】以为原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系. 已知，，则各点坐标为：，，， ，，，，. 对于A选项，则， ，. 设平面的法向量，则，即， 令，则，，即. ，不平行于平面，故选项A错误. 对于B选项，，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，，即. ，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，，即. ，平面平面，故选项B正确. 对于C选项，，， . 设平面的法向量，则，即， 令，则，，即. 与不平行，不垂直于平面，故选项C错误. 对于D选项，，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，即. ，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，即. ，平面不垂直于平面， 故选项D错误.故选：B. 考点04 利用向量求空间角 1、异面直线所成角 设异面直线a，b所成的角为θ，则，其中，分别是直线a，b的方向向量． 2、直线与平面所成角 如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，为l的方向向量，为平面α的法向量， φ为l与α所成的角，则. 3、二面角 （1）若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图a. （2）平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为，平面β的法向量为，，则二面角α­l­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则，如图b，c. 【新题对点练】（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）正方体中，点分别为正方形及的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为1， 则， 故， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：C. 考点05 利用向量求空间距离 1、点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点， 设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)． 2、点到平面的距离 已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点， 过点作则平面的垂线，交平面于点， 则点到平面的距离为（如图）. 3、线面距和面面距 线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． （1）直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． （2）两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 【新题对点练】（25-26高三上·江西·阶段检测）已知正方体中，，若点为线段上靠近的三等分点，则点C到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意：以为坐标原点，分别以方向为轴，建立空间直角坐标系，如图， 由，所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令得， 所以点C到平面的距离为,故选：C. 难点解读01 利用空间向量解决探索性问题 利用空间向量解决立体几何的探索性问题思路： （1）根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示． （2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在． 难点破解 【典例1】（24-25高三上·广东·阶段检测）如图，在直角三角形中，，，将绕边旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点为上的点，且． (1)在上是否存在一点，使得直线与平面平行？若存在，指明位置并证明，若不存在，请说明理由； (2)设直线与平面所成的角为，求的值． 【答案】(1)存在，；(2). 【解析】（1）依题意，，平面，则平面， 由，，得，，即， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 假设在上存在一点，使得直线与平面平行， 由平面，平面平面，得， 令，则，， 于是，解得， 所以在上存在一点，使得直线与平面平行， （2）由（1）知，， 设平面的法向量，则， 令，得，， 所以为平面的一个法向量， 所以. 【典例2】如图，在多面体中，是边长为4的等边三角形，，，，点为的中点，平面平面． (1)求证：平面 (2)线段上是否存在一点，使得二面角为直二面角？若存在，试指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，为线段上靠近点的八等分点. 【解析】（1）证明: 因为，是边长为4的等边三角形， 所以， 所以是等腰直角三角形，． 又点为的中点，所以． 因为平面平面，平面平面，所以平面． 因为，， 所以，， 所以与都是直角三角形，故，． 又，所以平面，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）连接，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设存在，使得二面角为直二面角，易知，且． 设平面的法向量为， 则由，， 得，令，得，，故． 设平面的法向量为， 则由，， 得，令，得，， 故． 由，得，故． 所以当为线段上靠近点的八等分点时，二面角为直二面角． 难点解读02 利用空间向量解决最值范围问题 此类问题多以规则几何体为载体，涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等，题目较为综合，解决此类问题一般可从三个方面思考： 一是函数法，即利用传统方法或空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解； 二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值； 三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解． 难点破解 【典例1】（24-25高三上·辽宁·期中）已知正方体的棱长为1，点，分别是线段，上的两个动点，若与底面所成角的度数为，则线段长度的取值范围是_____. 【答案】 【解析】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，，， 由题意可设，，其中， 所以， 显然为平面的法向量， 所以， 化简得， 显然（否则矛盾）， 从而，解得， ， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上的最小值为，最大值为， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【典例2】（25-26高三下·河南·阶段检测）如图，在直三棱柱中，底面，且，设，点是棱的中点，点是棱的中点. (1)证明：； (2)设点是棱上的一个动点（不含端点），记直线与平面所成的角为.若存在最大值，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：因直三棱柱， 所以平面，平面, 故，因为，且点是棱的中点， 所以可得，而， 所以可得平面，而平面， 所以可得. （2）以为原点，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则可知， ， 设，则， 设平面的法向量为，则， 故，令，所以， 直线与平面所成的角满足， 所以， 令，所以， ， 要使存在最大，即存在最大值，设， ， 令，可得， 当，，所以单调递增， 当，，所以单调递减， 所以在取的最大值， 要使存在最大值，则需要， 因为，所以可得，即，所以. 难点解读03 不规则几何体建系问题 常见的，轴选取的参考原则： ①尽可能的让底面上更多的点位于，轴上； ②找角：，轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件； ③找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点． 【注意】解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先确定题目中是否给出垂直条件，如果没有直接给出，还需证明所用坐标轴两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略． 难点破解 【典例1】（2026·广东广州·模拟预测）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，设各棱长为． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求与底面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3). 【解析】（1）由题可知，底面，为正的中心， 又正的边长为，所以， ， 以为原点，为轴，过作平行于直线为轴，为轴建立空间直角坐标系： ， ， ， 所以，结合已知可得， 平面，平面， 由线面平行判定定理，平面. （2）， ， ， ，平面，故平面. （3）底面法向量为， 设直线与底面所成角为，则， 又，，所以， 所以直线与底面所成角的正弦值为. 【典例2】（2026·广东深圳·模拟预测）如图所示，七面体中的三个面都是平行四边形，其余四个面都是三角形． (1)求证：平面； (2)若，，平面平面，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：因为四边形与四边形均为平行四边形， 所以, 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 因为平面平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面； （2） 连接,根据且，所以四边形是平行四边形， 则．所以是正三角形，则 是菱形且, 取的中点，连接，则 因为平面平面,平面平面， 所以平面，因此以为原点， 分别为 轴， 轴， 以平面 的法向量为 轴的正方向，如图建系， 设 ，则 ， 则 ， 由与,可知，所以四边形为平行四边形， 则 ， 设平面 的法向量 ，则 ，即 ， 取 ，得 ，则 ， 设直线 与平面 所成角为 ， 则 ， 则 ，即直线 与平面 所成角的余弦值为 . 难点解读04 空间向量新定义问题 面对新情景、新定义，首先要深入理解并分析这些新元素，将其与已知的立体几何知识相结合．明确解题目标后，灵活运用基本定理和性质，如平行、垂直的判定与性质，以及空间角、距离的计算公式．在解题过程中，合理构造辅助线和面，以揭示隐藏的空间关系，简化问题．对于复杂问题，可尝试建立空间直角坐标系，利用向量法进行计算和证明．同时，要善于将空间问题平面化，通过截面、投影等方式转化求解对象．最后，解题后要进行验证和反思，确保结论的正确性，并总结所使用的方法和技巧，以便在未来遇到类似问题时能够迅速应对． 难点破解 【典例1】（2026·湖南株洲·二模）类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线，，构成的图形称为三面角，记，，，二面角的大小为，则.已知平行六面体的底面为菱形，，，，则二面角的余弦值为___________. 【答案】 【解析】如图，连接AC， 因为，则. 因为是菱形，且, 所以. 因为， 所以，. 因为，所以. 设二面角为， 由三面角定理得， 即， 即，所以. 【典例2】（25-26高三上·江西南昌·期末）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，设，表示以O为圆心，且过B、C的圆，劣弧BC的弧长记为a，同理，圆，的劣弧AC、AB的弧长分别记为b、c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为.已知； (1)若，，求球面三角形ABC的面积（直接写结果无需证明）； (2)在球O的内接三棱锥D-ABC中，平面，，直线DC与平面ABC所成的角为. （ⅰ）若，N分别为直线，上的动点，求线段MN长度的最小值； （ⅱ）如图（2），若分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（与点B不重合），当平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值为时，求线段BG的长. 【答案】(1)；(2)（i）；（ii） 【解析】（1）由题意，，，， 所以，则有， 所以球面三角形ABC面积为. （2）因为平面，平面，所以. 设，则，所以. 由勾股定理的逆定理可得，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为直线与平面所成的角为，所以. 易知在和中，斜边的中点到点的距离相等， 即为球的直径，所以. 以点为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平行的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. （i）由题可知， 则. 设与都垂直的向量为， 则，令，则， 所以线段长度的最小值为. （ii）设，由题可知， 则. 设平面的一个法向量为， 则，取，可得. 设平面的一个法向量为， 则，取，可得. 设平面与平面的夹角为. 因为=， 化简得则， 故. 素养进阶·答题技法突破 题型01 平行与垂直的向量表示 考情定位：基础稳分题型。全程依托向量工具替代传统几何证明，规避复杂辅助线构造，命题以平行、垂直综合证明为主，考情较为稳定。 核心考法：①向量法证明线线平行、线面平行、面面平行；②向量法证明线线垂直、线面垂直、面面垂直；③平行与垂直嵌套的综合推理证明；④结合几何体结构的位置关系正误判定。 解题要点：解题核心为几何条件向量化、定理条件完整化。精准求解方向向量、法向量；平行证明核对共线、垂直证明核对数量积为0；严格补齐“直线在平面外、相交直线”等几何前提，不跳步骤、不缺条件，保证证明逻辑闭环。 【典例1】（2025·全国一卷·高考真题）（多选）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BD 【解析】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则，， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故C错误；故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故BD正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误；故选：BD. 题型02 空间向量与立体几何综合应用 考情定位：解答题高频题型，属于高分段区分度核心题型。多以翻折几何体、组合几何体、动态几何体为载体，融合位置关系证明、空间角计算、距离求解、参数探索、最值范围等多重考点，综合性极强，套路嵌套多、设问层层递进，是高考冲刺满分的关键题型。 核心考法：①翻折、旋转几何体中建系与向量综合计算；②同一题干嵌套平行垂直证明、空间角、空间距离多问综合；③立体几何与函数、不等式结合的最值、取值范围问题；④多面体、不规则几何体的全方位向量建模求解；⑤定点、定值、定角类高阶综合探究问题。 解题要点：坚持“先定结构、再建体系、分步破题、全局校验”的综合解题思维。第一步梳理几何体静态量与动态量，规范完成建系与坐标书写；第二步通过向量工具统一转化所有几何条件，将复杂空间问题完全代数化；第三步按设问分步求解，严格区分角度公式、距离公式、判定条件，杜绝公式混用；最后针对最值、范围问题结合函数单调性、不等式求解，全程保证步骤规范、逻辑闭环、结果精准。 【典例1】（2026·全国一卷·高考真题）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2)距离为1. 【解析】（1）由题意证明如下： 如图，作出符合题意的图形，连接， 在中，，分别为，中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）法一：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，设， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， 建立空间直角坐标系，如下图所示， 得到，，，，， ∴，面的一个法向量为， ∵直线与平面所成的角为， 设直线与平面所成的角为 ∴，解得， ∴，，，，， ∵面，∴由几何知识得，到面的距离为. 法二：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， ∵，平面，平面，平面， ∴平面，， ∴由几何知识得，即为直线与平面所成的角， 直线与平面所成的角为， 在中，，分别为，中点，， ∴直线与平面所成的角为，即， 在Rt中，，，， ∴， 在Rt中，，， 为等腰直角三角形，过点作， 则点为中点，，， 由几何知识得，到面的距离即为. 【典例2】（2026·全国二卷·高考真题）如图，三棱锥中，点在上，，，． (1)证明：； (2)若，，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明： 因为且，，且， 所以平面. 因为平面，所以. 又，，平面， 平面，平面， 所以平面， 故. （2）如图所示，以为原点， 所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 可得， ， ， . 因为 且 ，所以. 所以，，. 设平面 的法向量 ，则， 可得，令，则：，，即. 设与平面所成的角为： 所以， 所以与平面所成的角的正弦值为. 法二：在 中，， 在 中，， 由（1）知，则. 在 中，. 在 中，. ， 为直角三角形，则. 设点到平面的距离为，与平面所成角为， 由得：，即，解得：. 所以. 重点01 空间向量数量积的应用 1、求夹角：设向量，所成的角为，则，进而可求两异面直线所成的角； 2、求长度（距离）：运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题； 3、解决垂直问题：利用，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题。 【典例1】（25-26高三下·江西九江·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因点Q在直线上运动，则，设，于是， 因为，，所以，， 因此，， 于是得， 当时，，此时点， 所以当取得最小值时，点Q的坐标为.故选：D 【典例2】（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）在正四棱台中，，，，设，，，则______． 【答案】． 【解析】由正四棱台中，，，， 在侧面中得， 由，， 又， ， 故， 故：． 重点02 用向量法求异面直线所成角 用向量法求异面直线所成角的一般步骤 （1）建立空间直角坐标系； （2）用坐标表示两异面直线的方向向量； （3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； （4）注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值． 【典例1】（2026·吉林·模拟预测）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设正方形的边长为1，则侧棱， 在中，由余弦定理可得: ，所以， 在中，， 又因为，, 所以 ， 设异面直线与所成角为， 则. 【典例2】（25-26高三上·广东河源·阶段检测）如图，在直三棱柱中，为侧棱的中点；，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不妨设， 故，所以，即， 在直三棱柱中，平面平面， 所以. 以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，所以， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为.故选：D 重点03 用向量法求直线与平面所成角 如图所示，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，向量与的夹角为θ，则有. 【典例1】（2026·河北邢台·二模）如图，为圆柱的一条母线，是下底面圆的直径，弦与交于点.已知圆柱的高为1，侧面积为.若且M恰为DE的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆柱的底面半径为，则其侧面积，解得. 连接，则， 所以，易知， 所以. 以为坐标原点，平面内过点且与垂直的直线为轴， 所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 即，则，取，得. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 【典例2】（26-27高三上·广东阳江·开学考试）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为平面 ，平面 ，所以， 由底面 是正方形，可得，又，且 平面 ， 根据线面垂直的判定定理，可得 平面 （2）设， 以为原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为，则： ，即， 令，得，即平面的一个法向量为 ， 设直线与平面所成角为，则， 因为， ，， 所以， 又，所以. 重点04 用向量法求二面角 1、找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小； 2、找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． 【典例1】（25-26高三上·广东·阶段检测）在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设正方体的棱长为， 因为点为的中点，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 又由平面的一个法向量为，可得， 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.故选：B. 【典例2】（25-26高三上·福建·阶段检测）如图，在正方体中，E是的中点，点P是直线上的一点，且平面． (1)请确定点P的位置； (2)求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 设，则，， 因为平面，所以，， 故，，解得， 所以点P的坐标为； （2），， 设平面的一个法向量为， 则， 设得，故， 显然平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角的大小为， 则， 所以， 故平面与平面的夹角的正弦值为. 重点05 利用空间向量求空间距离 （1）点线距：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为． （2）点面距：已知平面的法向量为，是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为． 【注意】线面距、面面距可转化为点面距进行求解． 【典例1】（2026·福建厦门·模拟预测）已知，，，则点A到直线BC的距离为__________． 【答案】 【解析】已知，，， 所以，. 进而，. ，进而. 则点到的距离. 【典例2】（2026·广东湛江·一模）如图，正方体的棱长为4，其中，点F为的中点，则点C到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以点D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 可得，, 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故，其中， 点C到平面的距离.故选：C． 技法点拨01 用基向量表示指定向量 （1）结合已知向量和所求向量观察图形． （2）将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中． （3）利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 【典例1】（25-26高三上·甘肃临夏·阶段检测）如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以，故选：D. 【典例2】（25-26高三上·河北·阶段检测）如图，平行六面体中，延长至点，使，则向量可用向量表示为__________. 【答案】 【解析】由题意，由于平行六面体中，， 所以. 技法点拨02 空间向量的坐标运算 空间向量的坐标运算是向量法解立体几何的运算根基，所有角度、距离、证明题型均依托坐标运算展开．核心解题规范：严格遵循“终点坐标减起点坐标”求向量，杜绝坐标写反；熟练掌握空间向量加减、数乘、数量积坐标公式，精准计算向量模长、向量夹角．熟记向量平行、垂直的坐标等价条件，可快速秒杀判断类题型；运算坚持分步演算，避免多步合并导致的连锁计算错误，保证后续法向量求解、空间角计算、距离公式代入全部准确． 【典例1】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知空间向量，，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【解析】因为， 因为，所以，解得.故选：C. 【典例2】（25-26高三上·广东江门·阶段检测）（多选）已知向量，点，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】因为，所以，故A错误，B正确； 若，则，得，故C正确； 若，则，得，故D正确．故选：BCD. 技法点拨03 向量共线与三点共线问题 三点(P，A，B)共线，＝λ且同过点P 对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝x＋(1－x) 【典例1】（25-26高三上·河北·开学考试）已知空间向量与共线，则（    ） A．-1 B． C． D．1 【答案】C 【解析】因为空间向量与共线， 所以，解得， 所以.故选：C 【典例2】已知，则下列一定共线的三点是（    ） A．A，B，C B．A，B，D C．B，C，D D．A，C，D 【答案】B 【解析】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项，设 ，则 ，即 无解，A错误； 对于B选项， ，所以三点共线，B正确； 对于C选项，设 ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 技法点拨04 空间四点共面及其应用 空间四点(M，P，A，B)共面，＝x＋y 对空间任一点O，＝＋x＋y 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y) 【典例1】（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 【答案】C 【解析】因为四点共面，则有 由共面定理可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立.故选：C. 【典例2】（25-26高三上·福建福州·阶段检测）已知空间中四点，，，共面，则______． 【答案】 【解析】因为， 所以，即不共线， 又四点共面， 所以有唯一一组有序实数对，使得, 即， 所以，解得. 技法点拨05 利用空间向量证明空间线面位置关系 1、利用空间向量证明平行的方法 线线平行 证明两直线的方向向量共线 线面平行 ①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 面面平行 ①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题 2.利用空间向量证明垂直的方法 线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示 面面垂直 证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示 【典例1】（24-25高三上·江苏·阶段检测）（多选）在正四棱柱中，，为的中点，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】BC 【解析】以为原点，以、、所在直线分别为、、轴， 建立如图所示空间直角坐标系，设， 则，，，，， ，，，， ，，， ，，， 对于A，设平面的一个法向量为， 由得，令，得，， 即，则， 所以与不垂直，即与平面不平行，故选项A错误； 对于B，设平面的一个法向量为， 由得，令，得，， 即，则， 所以，又因为平面， 所以平面，故选项B正确； 对于C，设平面的一个法向量为， 由得，令，得，， 即，由得：， 即，所以平面，故选项C正确； 对于D，设平面的一个法向量为， 由得，令，得，， 即，由得：与不平行， 所以与平面不垂直，故选项D错误，故选：BC. 【典例2】（2026·江西九江·一模）（多选）如图，正方体中，点分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BCD 【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 对于A，，显然与没有倍数关系， 故不平行，即与不平行，故A错误； 对于B，平面的一个法向量为， ，故，又平面，故平面，故B正确； 对于C，因，， 则，所以，故C正确； 对于D，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 因，则与平行，故平面，故D正确. 故选：BCD 易错点01 忽略零向量致错 辨析：在进行空间向量相关概念判断时，要注意零向量的特殊性，如零向量与任意向量平行等． 【典例1】（多选）已知空间中的三个非零向量则下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．可以作为空间的一个基底 【答案】BCD 【解析】因为， 又因为为非零向量，所以，故A正确； 因为，所以，即， 又因为，所以或与的夹角为，故B错误； 由表示与共线的向量，表示与共线的向量， 所以它们不一定相等，故C错误； 因为，所以向量共面， 所以不能作为空间的一个基底，故D错误. 故选：BCD. 易错点02 线面角与向量夹角转化不清等问题 辨析：若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；③不清楚线面角的范围． 【典例1】（2026·安徽·三模）如图，四边形为直角梯形，且．点满足平面. (1)若为上靠近点的三等分点，证明：平面； (2)若，点满足，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）如图，设与交于点，连接， 因为，，所以， 所以，所以为上靠近点的三等分点， 又因为为上靠近点的三等分点，所以在中，， 而平面，平面，所以平面． （2）因为，，所以， 又因为平面，， 则以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， ， ， ， 从而， 因为，所以， 所以点的坐标为，， 设平面的一个法向量为， 则即 则，令，可得， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，为锐角， 则， . 易错点03 二面角的锐角与钝角判断失误 辨析：若两个平面的法向量分别为，，若两个平面所成的锐二面角为，则；若两个平面所成二面角为钝角，则。总之，当求得两法向量夹角的余弦值时，一定要结合图形判断二面角的取值范围． 【典例1】在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形，，侧面 是等边三角形，且平面 平面 为 的中点. (1)证明： 平面 ； (2)求二面角 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为 且 ， 由余弦定理得， 所以 ，即 ，是等边三角形. 因为 是 的中点，所以 . 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 . （2）因为是等边三角形，且 是 的中点， 所以 ，且 . 由（1）知 平面 ， 所以以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 易得. ，，，，. ，. 设平面的法向量为， 所以 ， 令，得， ， 所以平面的一个法向量为. 平面即平面， 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 又， 则 平面， 所以平面的一个法向量为 . 设二面角 的大小为 ，则 . 由图易知，二面角 是锐二面角， 所以二面角 的余弦值为 . 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（26-27高三上·广西来宾·阶段检测）在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 设，故， 故，解得， 故.故选：B 2．（25-26高三上·湖北黄冈·阶段检测）已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则⊥ D．若，，⊥，则 【答案】C 【解析】A选项，若，，则或异面或相交，A错误； B选项，若，，则或，B错误； C选项，设的一个法向量分别为，直线的方向向量分别为， 若，，，则，，故，⊥，C正确； D选项，若，，则， 又⊥，则或，D错误.故选：C 3．（25-26高三上·福建漳州·阶段检测）若向量，，且，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， ， ， ，解得，， 在方向上的投影向量为.故选：C. 4．（24-25高三上·山东聊城·阶段检测）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【解析】由题意，是空间的一个基底，设，， 所以，不共线， 因为，，不能构成空间的一个基底，则，，共面， 所以存在x，使得， 即， 所以，解得，，.故选：A. 5．（2026·江西萍乡·一模）在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为， 则，，， 所以点到直线的距离为故选：D 6．（2026·河北邯郸·一模）在下列四个正方体中，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线平面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图1所示，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为， 则，所以 设平面的一个法向量为， 则，取，则，所以， 又易知，则， 又，即与不垂直，所以与平面不平行，故A错误， 对于B，如图2，由选项A知平面的一个法向量为， ，则， 又，即与不垂直，所以与平面不平行，故B错误， 对于C，如图3，由选项A知平面的一个法向量为， ，则， 又，即与不垂直，所以与平面不平行，故C错误， 对于D，如图4，记为正方体所在棱的中点，连接，易得， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 又平面，则直线平面，所以D正确， 7．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在正方形中，E，F是的两个三等分点，将该正方形折成一个正三棱柱（与重合），则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图1所示，沿着，两条折痕将正方形折叠成正三棱柱， 如图2所示，E，F是的两个三等分点，折叠后，分别为的三等分点， 设，所以，，， 如图3所示，作，以为原点， 所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 作轴，因为，， 所以，所以，，， 所以，，， 设平面的法向量， 所以，不妨取， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为 8．（26-27高三上·江苏·阶段检测）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设正四棱锥的底面中心为原点，建立下图所示空间直角坐标系， 已知，则 ， 为侧棱的中点，故， 则， 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则，令，则， 故异面直线与的距离． 二、多选题 9．（25-26高三上·浙江杭州·开学考试）已知向量，则下列向量中与共面的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，设，则得，解得，即，故A正确； 对于B，设，则得，该方程组无解，故不存在的值满足，故B错误； 对于C，设，则得，解得，即，故C正确； 对于D，设，则得，该方程组无解，故不存在的值满足，故D错误. 故选：AC. 10．（25-26高三下·河南新乡·阶段检测）如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（    ）    A． B． C．四边形的面积为 D．平行六面体的体积为 【答案】BD 【解析】因为， 则 ，故，A错误； ，， ，故，B正确； 连接， 则， ， 即，同理，故四边形为矩形， 面积为，C错误； 过作面，在直线上，过作于，连接， 由平面， 得平面，平面，得， 故，，， 故平行六面体的体积为，D正确． 故选：BD． 11．（2026·山东东营·模拟预测）已知在正四棱锥中，，Q为平面内一点，则（    ） A．四棱锥的体积为 B．当时，面积的最小值为 C．当（）时，存在使 D．当时，点Q的轨迹为抛物线 【答案】BD 【解析】在正四棱锥中，，令，连接，则平面， 对于A，，四棱锥的体积，A错误； 对于B，当且仅当点直线时，点到直线的距离最小，为， 而，因此面积的最小值为，B正确； 显然直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系。 则， 对于C，由（），得， 则， 若存在使，则， 此方程无解，因此不存在使，C错误； 对于D，设，则，由， 得，整理得，因此点Q的轨迹为抛物线，D正确. 三、填空题 12．（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）已知平面的一个法向量，直线的方向向量，则直线与平面所成角的正弦值为______. 【答案】 【解析】设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 13．（25-26高三上·山东济南·阶段检测）已知，则在方向上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】， 可得在方向上的投影向量为 ． 14．（2026·安徽·模拟预测）已知圆柱的体积为，，是底面圆的圆周上两点，且，点满足，则点到平面距离的最大值为____________． 【答案】 【解析】设圆柱底面半径为，高为，由圆柱体积公式得：，得. 以底面圆心为原点，分别以方向为轴，圆柱高的方向为轴建立空间直角坐标系，如图. 则，上底面圆心. 由，得点坐标为. 所以， 设平面的法向量为， 则，，， 取，则，所以. 所以到平面的距离为，， 则， 又因为，得，所以， 令，， 因为，令，得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以当时，，即，. 因此点到平面距离的最大值为. 四、解答题 15．（26-27高三上·重庆·阶段检测）如图，四棱锥中，，底面，，且，，． (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点E，使得二面角的平面角的正弦值为；若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【解析】（1）底面，平面， ； 在四边形中，，，， ，； 在中，，， ，且，平面．平面； （2）如图建立空间直角坐标系， 由题可知：，，， ，，，，； ，，， 设，； 设平面的法向量为， 则， 所以平面的一个法向量为，，； 由题可得平面的一个法向量为； 设二面角的平面角为， 解得所以 16．（2026·浙江·模拟预测）如图，已知四边形是菱形，，是平面外一点，且，（）． (1)当时，求证：，，，四点共面； (2)若平面平面，平面平面， （i）求证：直线平面； （ii）求的值，使直线与平面所成角最大． 【答案】(1)证明见解析；(2)（i）证明见解析；（ii）． 【解析】（1）证明：因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以，． 又因为四边形为菱形，所以，， 从而有，， 所以四边形为平行四边形，所以，，，四点共面． （2）（i）证明：设平面，且，． 因为平面平面，为交线，所以平面． 设平面，且，． 因为平面平面，为交线，所以平面． 因为平面，平面，所以． 又因为平面，平面，所以平面． 因为平面平面，所以，所以平面． （ii）由（i）知，平面． 又已知四边形是菱形，且，记为边的中点，故可以为原点， ，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设，则，， ，，． 所以，，． 设是平面的一个法向量， 则，特取，得，即． 记直线与平面所成的角为， 则， 即， 所以当，即时，，即． 综上，当时，直线与平面所成角最大，且最大角为． $