江苏扬州市2027届高三年级上学期10月供题训练数学试题

扬州市2027届高三年级10月供题训练 数　　学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．本试卷共4页，考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z满足，则z的实部为 A． B．0 C．1 D．2 2．已知集合，则集合A的元素个数为 A．3 B．4 C．5 D．6 3．函数的最小正周期为 A． B． C． D． 4．设甲：，乙：，则甲是乙的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，，则的值等于 A． B． C． D． 6．已知函数的图象关于原点对称，则实数 A． B． C． D． 7．三个电流瞬时值的函数表达式为，，，，它们合成后的电流瞬时值的函数为的部分图象如图所示，则的最大值为 A．1 B． C． D．2 8．设点和点分别是函数和图象上的点，且，，若直线轴，则，两点间的距离的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数是奇函数或偶函数，则的图象可能是 A． B． C． D． 10．已知，且，，，则 A．的取值范围为 B．存在，，使得 C．当时， D．的取值范围为 11．已知正方体的棱长为4，点在棱上，若正方体的一个截面经过点，，，且将正方体分成体积比为的两部分，则 A．该截面为梯形 B． C．点到该截面的距离为 D．点，，，都在同一个球面上，且该球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的单调递减区间为__________． 13．若点是函数图像上的一点，则的最小值是__________． 14．正实数，，满足，则的最大值为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示． （1）求的值； （2）以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望； 16．（15分） 已知． （1）当时，求不等式的解集； （2）若函数只有一个零点，求实数的取值范围． 17．（15分） 如图在多面体中，四边形是边长为4的正方形，四边形为等腰梯形，且，，，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 18．（17分） 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求实数的最小值； （3）求证：对任意的，都有． 19．（17分） 若存在，，使得恰为函数的全部零点所构成的集合，则称为“分圆函数”． （1）分别判断下列函数是否为“分圆函数”，并证明； ① ②． （2）求证：对任意，均为“分圆函数”； （3）若为“分圆函数”，证明：一定存在不同的取值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市2027届高三年级10月供题训练 数学参考答案与评分建议 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．C 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A 7．D 8．B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分． 9．BC 10．AD 11．ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（13分） 【解】（1）依题意可得，解得 （5分） （2）由（1）可得高度在的频率为，则 （6分） 所以 ， ， （10分） 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 所以， （13分） 16．（15分） 【解】（1）， ， 的定义域 中，， 的定义域． （3分） ，即 不等式的解集为． （7分） （2）， ， 函数只有一个零点 只有一解 ， 恒成立 关于的方程只有一个正根 （11分） 当时，转化为，符合题意； 当时，若有两个相等的实数根，则，解得， 此时方程的根为，符合题意； 当时，若有两个相异的实数根，则，解得， 此时设方程的两个根为，，则有， 方程的两个根只能异号 ，此时方程只有一个正根，符合题意． 综上可知，实数的取值范围为或． （15分） 17．（15分） 【解】（1）证明：四边形是正方形 ， ，，，平面 平面， 平面 平面平面． （4分） （2）过点作于，由（1）知平面， 四边形是等腰梯形，，， ，． 作，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立如图空间直角坐标系，，，，，． ，． 设平面的一个法向量，则，即， 令， 又， 设平面的一个法向量，则，即， 令，， ， ， 故平面与平面所成角的正弦值为． （13分） （3）设点到平面的距离为， 由（2）知，平面的一个法向量， ． （17分） 18．（17分） 【解】（1）， 因为， 所以曲线在处的切线方程为 （4分） （2），即在上恒成立， 则在上恒成立， 则在上恒成立 （5分） 令，，则 令，， 若，则在上恒成立，不符合题意； 若，则的对称轴为， 若，则，则， 则在上单调递增，则，不符合题意； 若，则在上单调递减， 若，即，则在上存在一个零点， 则当时，，在上单调递增， 则，不符合题意； 若，即，则，在上恒成立， 则在上单调递减，则，符合题意， 综上，实数的最小值为1； （10分） （3）因为， 则当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 则， 又，且时，故 （13分） 欲证对任意的，都有， 只需证对任意的，都有， 只需证对任意的，都有， 令，，则， 则在上单调递减，则，命题得证． （17分） 19．（17分） 【解】（1）①是； 令，解得； 即可得，，所以的零点的解集为； 所以存在，使得为“分圆函数”． （2分） ②不是； 令，即， 解得，或，； 显然这两部分解无法用同一个表达式来表示 所以不是“分圆函数”． （4分） （2）令，， 故其必有两个不等实根， 由韦达定理： 令，则 因此的全部零点为，； 故对任意，均为“分圆函数”． （9分） （3）证明：令， 易知，故其必有两个不等实根，， 由韦达定理可得， 因为在上至多有两个解，在上至多有两个解； 所以在上至多有4个解，则， 当时：由于，则且，不合题意， 当时：必有或． （13分） （i）若，则，， 此时，的全部零点为，故合题意； （ii）若，则，， 此时，的全部零点为，故合题意； 当时：若，则， 则，均为的根， 而，故， 因此， 此时，的全部零点为，故合题意； 综上或，即一定存在不同的取值 （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $