精品解析：江苏省苏州中学2026-2027学年度第一学期质量评估一高三数学

江苏省苏州中学2026-2027学年度第一学期质量评估一 高三数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．所有答案均写在答题纸上． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，，其中，为实数，“为纯虚数”是“”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分又不必要 3. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 44 B. 88 C. 55 D. 110 5. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 已知函数，则函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. ， D. ， 7. 定义在上的偶函数，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足，，且在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平面直角坐标系中，角的终边与圆：交于点，角的终边与圆在第二象限的交点为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 为钝角 10. 设的内角，，所对的边分别为， 是边一点，且，若的面积为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若的外接圆半径为，则 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 设函数，下列说法正确的有（ ） A. B. 对任意，都有 C. 方程恰有2个不同的实数解 D. 若关于x的方程有2个不同的实数解，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若，则实数的值为________． 13. 已知为锐角，且则_________. 14. 若不等式恒成立，则实数a的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，将函数的图像向右平移个单位长度，再保持图像上的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像． （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求函数的值域． 16. 已知数列的前项和为，满足，记． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，证明：． 17. 已知函数在处的切线为． （1）求实数的值． （2）证明：函数存在极小值点，且． 18. 已知凸四边形内接于圆，且，，，，是对角线上一点（含端点）． （1）求四边形的面积； （2）求的值； （3）求的取值范围． 19. 定义：设函数在区间I上有最大值M，最小值m，则称为函数在区间I上的“最值距”，为在区间I上的“中值”． （1）请直接写出和在区间上的“最值距”和“中值”； （2）若函数在区间上的“最值距”恒大于2．求实数的取值范围； （3）若与在区间I上的“最值距”相同，求：在区间I上的“中值”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省苏州中学2026-2027学年度第一学期质量评估一 高三数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．所有答案均写在答题纸上． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，解得，即， 而，所以. 2. 已知复数，，其中，为实数，“为纯虚数”是“”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分又不必要 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算法则，求得，结合复数的概念和充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由复数，可得， 若为纯虚数，可得，所以，其中，所以充分性成立； 反之：若，则， 当时，；当时，为纯虚数，所以必要性不成立， 所以“为纯虚数”是“”的充分不必要条件. 3. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，，， 所以. 4. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 44 B. 88 C. 55 D. 110 【答案】A 【解析】 【详解】在等差数列中，， 又，则，解得， 所以. 5. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】借助基本不等式中“1”的活用计算即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即，时，等号成立， 即的最小值是. 6. 已知函数，则函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的性质可得当时，单调递减，求出的解集即可得到函数的单调递减区间. 【详解】由求导法则得， 令，即， 因为，所以即求的解集， 因为，所以解集为或， 即函数的单调递减区间为，. 7. 定义在上的偶函数，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，得出是周期为的周期函数，得到，结合和，即可求解. 【详解】因为函数是上的偶函数，可得， 所以函数的图象关于直线对称，可得， 又因为，可得， 即，则， 两式相减，可得，即， 所以函数是周期为的周期函数，则， 由，且， 令，可得，即. 8. 已知函数满足，，且在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为在上单调递减，又，，， 所以，，， 解得，所以，又，所以， 所以， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平面直角坐标系中，角的终边与圆：交于点，角的终边与圆在第二象限的交点为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 为钝角 【答案】AC 【解析】 【分析】利用点在圆上求得判断A；进而利用三角函数的定义求得，进而利用诱导公式可求得的值判断B；利用两角差的余弦公式与二倍角的正余弦公式可求得判断C；利用向量的坐标运算求得判断D. 【详解】因为点在单位圆上，所以，解得， 又因为点在第二象限，所以，故A正确； 因为角的终边与单位圆在第二象限的交点为，所以，， 因为角的终边与圆：交于点，所以， 所以，故B错误； 由B选项，可得， ， 所以，故C正确； 因为，， 所以， 又与显然不共线，所以为锐角，故D错误. 10. 设的内角，，所对的边分别为， 是边一点，且，若的面积为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若的外接圆半径为，则 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据利用正弦定理边化角进行化简计算角，再根据的面积为计算出，利用向量法表示后再根据向量模长的求法求出的最小值，利用余弦定理和基本不等式化简得及即可求出的最小值. 【详解】因为，所以， 又，所以， ，即，，所以，A选项错误； 因为，若的外接圆半径为，则，B选项正确； 因为，的面积为，即，所以， 因为， 所以， ， 即，，当且仅当时等号成立，故的最小值为，C选项正确； 因为，，所以， 即，当且仅当时等号成立， 又，所以，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立，故D选项正确. 11. 设函数，下列说法正确的有（ ） A. B. 对任意，都有 C. 方程恰有2个不同的实数解 D. 若关于x的方程有2个不同的实数解，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出，判断A；分段分析的取值范围，判断B；分段分析方程的解，判断C；令，，结合的取值范围，可得的取值范围，判断D. 【详解】由函数，则，所以A错误； 当时，， 当时，反复除以，可得，且，所以. 综上所述，对任意，都有，所以B正确； 当时，方程等价于，即， 解得或（舍去）； 当时，，，. 方程等价于，即，所以； 当时，，所以方程无解. 综上所述，方程恰有2个不同的实数解，所以C正确； 当时，，； 当时，，，. 令，若，则方程恒有一个解，； 若，则方程有无穷多个解，. 当时，； 当时，. 若，只有，对应唯一的； 若，则有. 其中总对应一个；只对应一个，当且仅当，即， 否则对应无穷多个. 当时没有解. 综上，若关于x的方程恰有个不同实数解，则，所以D正确. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若，则实数的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】由，，则，故， 由，则，解得. 13. 已知为锐角，且则_________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意,即,又为锐角，则,故填. 14. 若不等式恒成立，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】整理可得，构造函数，利用导数判断的单调性，根据单调性可得在上恒成立，构造函数，利用导数求最值即可得结果. 【详解】由题意，可得，恒成立， 整理变形得，恒成立. 构造函数，，故在上单调递增. 因此原不等式转化成，在上恒成立. 在上恒成立. 令，即. ，令，得. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. . ，即实数a的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，将函数的图像向右平移个单位长度，再保持图像上的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像． （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求函数的值域． 【答案】（1）函数的单调递增区间为 （2）当时，函数的值域为. 【解析】 【分析】（1），结合二倍角公式，降幂公式以及辅助角公式，将函数化简成，再求它的单调递增区间即可；（2），将函数先向右平移再进行伸缩变换，得到，最后结合正弦函数的图象得到函数在给定区间的值域. 【小问1详解】 ， 解得，， 综上所述，函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 由函数的图像向右平移个单位长度，可得 ， 再保持图像上的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，可得， 由，可得， 则，故， 综上所述，当时，函数的值域为. 16. 已知数列的前项和为，满足，记． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2）由（1）得，. 所以， 所以 因为， 所以， 所以. 又和均随的增大而增大， 所以随的增大而增大， 所以当时，取得最小值，最小值为. 所以． 【解析】 【分析】（1）由与的关系求得； （2）由题意求得，从而求得，再根据裂项相消法求得的表达式，从而证明． 【小问1详解】 因为， 所以，所以. 当时，， 所以，. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以. 【小问2详解】 略 17. 已知函数在处的切线为． （1）求实数的值． （2）证明：函数存在极小值点，且． 【答案】（1） （2），因为，所以在单调递增， 又，，故有唯一零点， 且时，时， 所以函数存在极小值点，，即，， 则， 因为在时单调递减，故. 【解析】 【分析】（1）根据切点处的导函数值即为切线的斜率求解； （2）利用导数及零点存在性定理证出函数存在极小值点及的取值范围，然后根据极值点处的导函数值为得出后代入计算，再根据单调性即可得证. 【小问1详解】 因为函数在处的切线为，且，故，解得； 【小问2详解】 略. 18. 已知凸四边形内接于圆，且，，，，是对角线上一点（含端点）． （1）求四边形的面积； （2）求的值； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆内接四边形对角互补得到两角余弦互为相反数，对分别用余弦定理列关于的等式，联立求出，再分别求两个三角形面积相加得到四边形总面积； （2）将向量拆分为，把目标数量积拆成两组向量点积，用余弦定理求出对应夹角余弦，分别计算与再作差求值； （3）建立以中点为原点的平面直角坐标系，先求出外接圆圆心、点 、坐标，设动点，把所有向量写出并计算各项数量积，合并化简得到关于的一次函数，再由的范围求出表达式的取值范围. 【小问1详解】 圆内接四边形对角互补，即，故， 在中，，  在中，， 两式 联立解得​，因此，， 四边形面积 . 【小问2详解】 由（1），即， ， 在中，由余弦定理得； 在中，， 因此， 又，得​， 故， 所以最终得. 【小问3详解】 由（1）可得顶点在劣弧上，可得顶点在优弧上， 取中点，以边所在直线为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则， 设圆半径为，则，解得，则， 所以， 设，则，解得，（舍）或（位于劣弧上）， 设，则，解得，（位于优弧上），或（舍）， 设，则， 又， 所以，， ，， 所以 ， 因为，所以， 即的取值范围为. 19. 定义：设函数在区间I上有最大值M，最小值m，则称为函数在区间I上的“最值距”，为在区间I上的“中值”． （1）请直接写出和在区间上的“最值距”和“中值”； （2）若函数在区间上的“最值距”恒大于2．求实数的取值范围； （3）若与在区间I上的“最值距”相同，求：在区间I上的“中值”． 【答案】（1）函数的“最值距”为，“中值”为； 函数的“最值距”为，“中值”为； （2） （3）2或 【解析】 【分析】（1）求出两个函数的最值，再结合题意求解； （2）根据对勾函数性质，结合题意分类讨论求解即可； （3）将平方，得到，根据在区间上的符号分3类进行讨论，利用与在区间上的“最值距”相同列方程，求解. 【小问1详解】 因为函数在区间上单调递增， 所以最小值为，最大值为， 所以函数的“最值距”为，“中值”为； 因为函数在区间上单调递减， 所以最大值为，最小值为， 所以函数的“最值距”为，“中值”为； 【小问2详解】 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，函数在区间上单调递减， 所以“最值距”， 化简可得，结合解得； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，， 因为，所以， 结合函数单调性可知， 即，此时函数“最值距”小于，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递增， 所以“最值距”， 即，结合解得； 综上：实数的取值范围为； 【小问3详解】 由题意可得：，即， 设在区间上的最小值为，最大值为，设与的“最值距”分别为， 则最大值为， ①如果在区间上变号，即， 若，则，解得：， ∵，则，则，这与矛盾，舍去； 同理，若，可得，这与矛盾，舍去； ②如果在区间上恒正，即， 此时，解得：； ③如果在区间上恒负，即， 此时，解得：； 综上：在区间上的“中值”为2或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $