精品解析：辽宁鞍山市铁西区2026-2027学年上学期九年级数学十月学情调查试题

九年级数学学情调查（十月）2026 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【详解】解：整理得， 所以二次项系数为4，一次项系数为，常数项为． 2. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式得到不等式，联立求出参数取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．先将常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方，最后根据完全平方公式即可完成配方，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 即， 故选：D． 4. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点式，顶点坐标为．由抛物线的顶点坐标式可求得答案． 【详解】解：二次函数 顶点坐标为． 故选：D． 5. 将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的平移法则对抛物线进行平移即可得答案． 【详解】解：根据二次函数的平移法则得抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得的抛物线解析式为：， ∴抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得的抛物线解析式． 6. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 顶点坐标为 C. 当时，随的增大而增大 D. 与轴有两个不同的交点 【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线一般式配方为顶点式，结合二次函数图象性质判断各选项． 【详解】解：， 、对称轴是直线，故选项不符合题意； 、顶点坐标为，故选项不符合题意； 、图象开口向上，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大， 故选项符合题意； 、抛物线顶点在轴上，则与轴只有一个交点，故选项不符合题意． 7. 已知二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 3 … y … 3 4 3 0 … 下列说法错误的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的对称轴是直线 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再逐项判断即可． 【详解】解：将点代入得：， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴函数图象的开口向下，则选项A正确； 将二次函数化成顶点式为， ∴函数图象的对称轴是直线，则选项B正确； 又∵， ∴，则选项C错误； ，则选项D正确． 8. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，准确求出函数值是关键．通过直接计算二次函数在各点的函数值，比较大小即可． 【详解】解：∵， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，，， ∵， ∴ ∴ 故选：B 9. 如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即， ∵水池的占地面积为， ∴． 10. 二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据图象与轴交点在轴正半轴，可得，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为，由于对称轴为，即可判断②正确；当时，，即可判断③，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确． 【详解】解：① 当时，，根据图象可知，二次函数的图象与轴交点在轴正半轴，即，故①正确，符合题意； ②根据图象可知，二次函数的对称轴是直线，即，故②正确，符合题意； ③由图象可知，当时，，故③错误，不符合题意； ④根据图象可知，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确，符合题意； 综上所述，①②④结论正确，符合题意． 故选：B． 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是方程的根，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程，得，再代入求解即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ∴. 12. 某化肥厂一月份总产量为吨，三月份总产量为吨，若平均每月的增长率为，则可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均每月增长率表示出三月份的产量，结合给出的三月份总产量列出方程即可． 【详解】解：∵一月份总产量为吨，平均每月的增长率为， ∴二月份的产量为吨， ∴三月份的产量为吨， ∵三月份总产量为吨， ∴方程为． 13. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是．在飞机着陆滑行中，滑行的最大距离是______ 【答案】600米 【解析】 【分析】当取得最大值时，飞机停下来，，即当时，飞机滑行才停下来，即可求解． 【详解】解：当取得最大值时，飞机停下来， 则， 此时，飞机着陆后滑行米才能停下来 故答案是：米 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，确定飞机最大滑行时间是解题的关键． 14. 已知函数，当时，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】首先得到该二次函数图象的开口向下，当时，函数有最大值2，然后分别将和代入求解y值判断即可． 【详解】解：∵中，， ∴该二次函数图象的开口向下，当时，函数有最大值2， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 15. 已知点，，点在抛物线上运动，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设点，用含的代数式表示，可得点到点的距离与点到直线的距离相等，进而求解． 【详解】解：设点，则点到轴的距离为， 点到直线的距离是， , ， 点到点的距离与点到直线的距离相等， 点的横坐标为， 当点为直线与抛物线的公共点时，最小． 如图，设直线与直线相交于点，故的最小值为的长， ， ． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 用适当的方法解方程． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）首先右边的移项到左边，然后利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：； 即 ∴或 ∴； 【小问2详解】 解：； 移项，二次项系数化为，得： 配方得： 即， 或 ∴ 【小问3详解】 解： 即或 ∴ 【小问4详解】 解： 即或 ∴． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 17. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系等知识． （1）计算，根据题意得到，即，得到； （2）根据一元二次方程根与系数关系得到，根据得到，整体代入得到，即可求出． 【小问1详解】 解：， ∴， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 解：设方程的两个实数根分别为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 某果园今年栽种果树200棵，现计划扩大栽种面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为1400棵．求这个百分数． 【答案】100% 【解析】 【分析】设每年比前一年增长的百分数为x，则第二年的数量是200（1+x），第三年的栽种果树数量是200（1+x）2．根据题意建立方程，求出其解就可以了． 【详解】解：设每年比前一年增长的百分数为x，则第二年的数量是200（1+x），第三年的栽种果树数量是200（1+x）2．根据题意得： 200+200（1+x）+200（1+x）2=1400， 解得：x1=1，x2=-4（舍去）． 故这个百分数为100%． 【点睛】本题是一道增长率问题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用．在解答时检验根是否符合题意是关键． 19. 某电器商店销售某品牌冰箱，该冰箱每台的进货价为元，调查发现，当该冰箱售价为元时，平均每天能售出台，售价每降低元，平均每天能多售出台．该商店要想使该冰箱的销售利润平均每天达到元，求每台冰箱的售价． 【答案】每台冰箱的售价是2750元 【解析】 【分析】设销售单价降低x元，则每台的销售利润为元，平均每天的销售量为台，利用每天销售冰箱获得的利润每台的利润日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，然后解方程即可． 【详解】解：设销售单价降低x元，则每台的销售利润为元，平均每天的销售量为台， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∴（元）． 答：每台冰箱的售价是2750元． 20. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． （1）直接写出与，与之间的函数解析式（要求写出的取值范围）； （2）当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）； （2）当的值是时，矩形实验田的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】（1）根据栅栏总长为可得到与的函数解析式，再由矩形的面积公式得到与的函数解析式； （2）将与的函数解析式转化为顶点式，结合的取值范围求解最大值即可． 【小问1详解】 解：设矩形实验田与墙垂直的一边长为，与墙平行的一边长为，面积为， ∵栅栏总长为， ∴，即， 其中， 由，可得， ∴与的函数解析式为； 由矩形的面积可知，； 【小问2详解】 解：∵， ∴ 当时，矩形实验田的面积最大，为800，且满足的取值范围， 答：当的值是时，矩形实验田的面积最大，最大面积是． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． （1）求证：； （2）设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 【答案】（1） 证明：对于直线， 令，则；令，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （2）四边形面积的最大值为． 【解析】 【分析】（1）先求得，，得到，，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论成立； （2）由题意得，，根据折叠的性质得，，利用等腰直角三角形的判定和性质求得，，再利用梯形的面积公式求得四边形面积关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点的坐标为， ∴，， ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积 ∵， ∴当，四边形面积有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质．第2问求得四边形面积关于的二次函数的解析式是解题的关键． 22. 请阅读下列材料：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根． 【答案】（1） （2） （3）两个实数根分别是，4； 【解析】 【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （3）一元二次方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． 【小问1详解】 解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； 【小问3详解】 解：一元二次方程整理可得：， 令，则， 则方程的两根比的两个实数根大1， ∴的两个实数根分别是，4； 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法． 23. 已知二次函数． 【特例分析】 （1）当，，2时，其图象对应为图中的，，，请在图中画出当时的函数图象； 【性质探究】 （2）观察图象，发现二次函数恒过定点______，对称轴为______； 【性质运用】 （3）将函数图象向下平移个单位，若所得图象的顶点落在x轴上，求m的值； （4）设点，在该二次函数的图象上，且，实数m的取值范围为______； （5）已知点，，线段与此函数图象有且只有一个公共点，m的取值范围为______； 【答案】 （1）图象如图所示： （2）和，直线； （3）的值为或； （4）且； （5）或或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，图象的画法，图象过定点问题，图象和平移规律，二次函数的函数值大小，二次函数与线段的交点问题（动线段），熟练掌握以上知识点并学会分类讨论是解题的关键． （1）当时，，画出图象即可； （2）因为，令，则或2，此时，从而可求得定点坐标，继而由对称性可得对称轴； （3）由可知抛物线的顶点为，由平移可知，再根据和时，分别解方程即可； （4）由题意可知，，从而，进而可得且； （5）当时，只要当时，，且当时，，即可满足线段与此函数图象有且只有一个公共点，可列不等式组解得；或者当时，，且当时，，即可满足线段与此函数图象有且只有一个公共点，可列不等式组解得；当时，可得线段与此函数图象恒有且只有一个公共点，即可求解． 【详解】解：（1）当时，； （2），令， 则或2，此时， 故二次函数恒过定点和， 由对称性可知对称轴为直线， 故答案为：和，直线； （3）由可知抛物线的顶点为， 由平移可知， 当时，解得； 当时，解得， 综上，的值为或； （4）由题意可知，， ， ， ，从而， 即， 故答案为：且， （5）当时， ①当时，，且当时，，即可满足线段与此函数图象有且只有一个公共点， 即， 解得； ②当时，，且当，，即可满足线段与此函数图象有且只有一个公共点， 即， 解得， 当时， 当时，；当时，， 因为， 则， 线段与此函数图象恒有且只有一个公共点， 综上所述，的取值范围为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学情调查（十月）2026 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是( ) A. B. C. D. 4. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 顶点坐标为 C. 当时，随的增大而增大 D. 与轴有两个不同的交点 7. 已知二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 3 … y … 3 4 3 0 … 下列说法错误的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的对称轴是直线 C. D. 8. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是方程的根，则代数式的值为___________． 12. 某化肥厂一月份总产量为吨，三月份总产量为吨，若平均每月的增长率为，则可列方程为___________． 13. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是．在飞机着陆滑行中，滑行的最大距离是______ 14. 已知函数，当时，求的取值范围． 15. 已知点，，点在抛物线上运动，则的最小值为___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 用适当的方法解方程． （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，若，求的值． 18. 某果园今年栽种果树200棵，现计划扩大栽种面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为1400棵．求这个百分数． 19. 某电器商店销售某品牌冰箱，该冰箱每台的进货价为元，调查发现，当该冰箱售价为元时，平均每天能售出台，售价每降低元，平均每天能多售出台．该商店要想使该冰箱的销售利润平均每天达到元，求每台冰箱的售价． 20. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． （1）直接写出与，与之间的函数解析式（要求写出的取值范围）； （2）当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． （1）求证：； （2）设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 22. 请阅读下列材料：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根． 23. 已知二次函数． 【特例分析】 （1）当，，2时，其图象对应为图中的，，，请在图中画出当时的函数图象； 【性质探究】 （2）观察图象，发现二次函数恒过定点______，对称轴为______； 【性质运用】 （3）将函数图象向下平移个单位，若所得图象的顶点落在x轴上，求m的值； （4）设点，在该二次函数的图象上，且，实数m的取值范围为______； （5）已知点，，线段与此函数图象有且只有一个公共点，m的取值范围为______； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $