精品解析：辽宁省鞍山市铁西区2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

育才中学教育集团第二次质量监控九年数学试卷（12月份） 数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 冰裂纹 C. 盘长纹 D. 风车纹 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，理解轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形既可以看作是中心对称图形又可以看作是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中图形是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 2. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的性质，且，即可解出的取值范围. 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， 故答案为B. 【点睛】本题考查一元二次方程成立条件及根的判别式的应用.对于是常数)其中是一元二次方程成立的前提，根的判别式，是判定两个不相等实数根的关键. 3. 如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD=30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC=5m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB=8m，则池塘的宽DE为（　　） A. 32m B. 36m C. 48m D. 56m 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质解答即可； 【详解】∵AB∥DE， ∴△ABC∽△DEC， ∴， ∴， ∴DE=48m， 故选C． 【点睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 4. 已知双曲线，下列各点不在此双曲线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握在函数图象上点的特征，即可． 【详解】∵双曲线， ∴， A、，不在双曲线，符合题意； B、点中，，在双曲线，不符合题意； C、点中，，在双曲线，不符合题意； D、点中，，在双曲线，不符合题意． 故选：A． 5. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得出，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】解：根据旋转的性质，可得， ， 故选：B． 6. 掷实心球是中学生体质健康检测中的一项，体育老师给出标准示范图，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（米）与飞行的水平距离x（米）之间具有函数关系，则小明这次实心球训练的成绩为（ ） A. B. 3 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是正确理解题意，根据题意把代入解析式即可求解 【详解】解：由题意，当时，则， 解得（舍去），． 故选：D． 7. 如图，是的直径，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于、两点，直线与相交于、两点，若，则的长为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，垂直平分线，垂径定理以及勾股定理，解题的关键是根据作图过程得出垂直平分线，利用垂径定理得出最后结果．连接，设和交于点，根据作图得出垂直平分，利用勾股定理求出，再根据垂径定理得出结果． 【详解】解：连接， 设和交于点， 由作图可知：垂直平分， ， ，， ， ， ， 故选：． 8. 已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据对称轴计算公式求出，再根据题意可得二次函数与直线在的范围内有交点，据此求出时，二次函数的函数值的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解， ∴二次函数与直线在的范围内有交点， ∵二次函数的对称轴为直线且开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， ∴当时，二次函数与直线在的范围内有交点， 故选：D． 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 9. 如果，且的三边长分别为6，12，15，的最短边长为2，那么的周长为________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，先找到两个相似三角形的对应边，再根据相似三角形的周长比等于相似比进行求解即可． 【详解】解：，且的三边长分别为6，12，15，的最短边长为2， 两个三角形的最短边为6，2， 的周长的周长， 的周长， 的周长， 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，且m为整数，则过点A的反比例函数的解析式为________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据第二象限点的坐标特征，列出不等式组求解m的取值范围，结合m为整数确定m的值，得到点A的坐标，再代入反比例函数的一般形式求解析式． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，解得， 又∵m为整数， ∴， ∴点A的坐标为， 设反比例函数的解析式为，将点A代入得，解得， ∴反比例函数的解析式为． 故答案为：． 11. 若点在抛物线上，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将点代入，得到，整理为=，根据二次函数的性质得到答案即可. 【详解】∵点在抛物线上， ∴， ∴=， ∵2>0， ∴当a=时，a-b有最小值，最小值为， 故答案为：. 【点睛】此题考查二次函数的性质，二次函数解析式化为顶点式，点与函数解析式的关系，正确配方是解题的关键. 12. 已知某品牌汽车在进行刹车测试时发现，该品牌某款汽车刹车后行驶的距离（单位：米）与行驶时间 （单位：秒）满足下面的函数关系： ．那么测试实验中该汽车从开始刹车到完全停止，共行驶了_________米． 【答案】9 【解析】 【分析】此题利用配方法求二次函数最值的方法求解即可； 【详解】∵， ∴汽车刹车后直到停下来前进了9m． 故答案是9． 【点睛】本题主要考查了二次函数最值应用，准确化简计算是解题的关键． 13. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质等．由菱形对角线互相垂直且平分，可得，，取中点H，连接，则，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：在菱形中，对角线与相交于点， ，， ， ， 如图，取中点H，连接， 点为的中点，点H为的中点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 14. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； （）先把方程转换成一般式，再利用公式法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，． 15. 如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标，，． （1）画以点O为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到； （2）内有一点在中的对应点的坐标为______； （3）的面积=______． 【答案】（1）作图见详解 （2） （3）14 【解析】 【分析】本题考查了位似变换的相关知识，包括位似图形的画法，位似变换中点的坐标变化规律及位似图形的面积比． （1）把点A，B，C的横坐标分别乘以可得它们的对应点，，的坐标，描出，，，并顺次连接，，即可； （2）把点P的横纵坐标分别乘以即可得到的坐标； （3）先计算出的面积，根据位似图形的面积之比等于位似比的平方即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，为所求： 【小问2详解】 解：由题意得，内有一点在中的对应点的坐标为， 故答案为：． 【小问3详解】 解：， ∵以点O为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到， ∴， ∴． 故答案为：14． 16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，． （1）求抛物线的解析式． （2）点为抛物线的对称轴上一动点，当周长最小时，求点的坐标及周长的最小值． 【答案】（1） （2），周长的最小值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求二次函数解析式，线段周长问题； （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）点关于对称轴的对称点为点，连接交对称轴于点，连接，此时最小，得出直线的解析式为，当时，，得出，进而根据勾股定理求得的长，即可求得周长． 【小问1详解】 解：把点，点，代入 解得： ∴抛物线解析式为 【小问2详解】 解：∵点，点， ∴对称轴为直线 点关于对称轴的对称点为点，连接交对称轴于点，连接，此时最小， 当时，， ∴点． 设直线的解析式为，代入得 ∴ ∴直线的解析式为 当时，， ∴点． ∵点，点，点． ∴ ∴周长最小值为 17. 如图，是的直径，弦于点E，且，点M在上，经过圆心O，连接． （1）若，求的半径； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）13 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． （1）设的半径长为r，则，根据勾股定理得出，即，求出r即可； （2）连接，证明，得出，设的半径长为r，根据勾股定理得出，解方程，求出结果即可． 【小问1详解】 解：设的半径长为r， 则， ∵是的直径，弦于点E，且， ∴， ∴， 即， 解得，， 即的半径是13； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵是的直径，弦于点E，且， ∴， ∴， ∴， 设的半径长为r， 则， 解得，或（舍去）， ∴． 18. 天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【答案】（1） （2）能安全通过， 理由如下：如图， 由题意得：， 将代入， 则， ∵， ∴能安全通过． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式； （2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可． 【小问1详解】 解：由题意得，顶点为，即， 设抛物线的解析式为： 代入点得， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 略 19. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图1，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为______； 【类比探究】 （2）如图2，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，．求的值． 【答案】（1），（2）证明见详解，（3） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数及相似三角形的判定与性质． （1）根据矩形的性质得出，进而通过直角三角形两锐角互余的定理得出，进而证出即可求解； （2）过点C作交的延长线于点H，证明，由相似三角形的性质得出，即可得出结论； （3）过点C作于点G，连接交于点H，证明，得出，由锐角三角函数得，设，则，由勾股定理得出a的值即可求出，的长，由等面积法求出的长，即可求出答案． 【详解】解：（1）在矩形中，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）证明：如图，过点C作交的延长线于点H， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，则， ∴． （3）过点C作于点G，连接交于点H， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，, 设，则， ∴， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）． （1）若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； （2）如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分； （3）当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 【答案】（1） （2） 解：连接， ， ． 当时，，即点，当时，，即点． ，， ，，， 在中，． ， ， ． ， ． ． 平分． （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，根据题意，求得，，进而求出，，利用勾股定理求出，求出，从而得到，结合平行线的性质即可证明结论； （3）设，则，，求出当时，，得到点在的上方，设，故，其对称轴为，分为和两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：分别将，代入， 得， 解得． 函数表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，则，． 当时，． 令， 解得，． ， ， 点在的上方（如图1）． 设， 故， 其对称轴为，且． ①当时，即． 由图2可知： 当时，取得最大值． 解得或（舍去）． ②当时，得， 由图3可知： 当时，取得最大值． 解得（舍去）． 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查抛物线与角度的综合问题，抛物线与x轴的交点，二次函数的解析式及最值等问题，关键是利用二次函数的性质求最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 育才中学教育集团第二次质量监控九年数学试卷（12月份） 数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 冰裂纹 C. 盘长纹 D. 风车纹 2. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 3. 如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD=30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC=5m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB=8m，则池塘的宽DE为（　　） A. 32m B. 36m C. 48m D. 56m 4. 已知双曲线，下列各点不在此双曲线上的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（ ） A. B. C. D. 6. 掷实心球是中学生体质健康检测中的一项，体育老师给出标准示范图，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（米）与飞行的水平距离x（米）之间具有函数关系，则小明这次实心球训练的成绩为（ ） A. B. 3 C. 8 D. 10 7. 如图，是的直径，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于、两点，直线与相交于、两点，若，则的长为（ ） A. B. 8 C. D. 8. 已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 9. 如果，且的三边长分别为6，12，15，的最短边长为2，那么的周长为________． 10. 在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，且m为整数，则过点A的反比例函数的解析式为________________________． 11. 若点在抛物线上，则的最小值为_________． 12. 已知某品牌汽车在进行刹车测试时发现，该品牌某款汽车刹车后行驶的距离（单位：米）与行驶时间 （单位：秒）满足下面的函数关系： ．那么测试实验中该汽车从开始刹车到完全停止，共行驶了_________米． 13. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为___________． 三、解答题 14. 解下列方程： （1）； （2）． 15. 如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标，，． （1）画以点O为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到； （2）内有一点在中的对应点的坐标为______； （3）的面积=______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，． （1）求抛物线的解析式． （2）点为抛物线的对称轴上一动点，当周长最小时，求点的坐标及周长的最小值． 17. 如图，是的直径，弦于点E，且，点M在上，经过圆心O，连接． （1）若，求的半径； （2）若，求线段的长． 18. 天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 19. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图1，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为______； 【类比探究】 （2）如图2，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，．求的值． 20. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）． （1）若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； （2）如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分； （3）当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $