精品解析：北京市第十三中学分校2026-2027学年度 九年级上学期 10月验收 数学试卷

2026-2027学年度北京市第十三中学分校 第一学期初三10月验收　数学试卷 考 生 须 知 1．本试卷分为第I卷和第II卷，第I卷共2页，第II卷共6页． 2．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在试卷（包括第I卷和第II卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号． 4．考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师． 一、选择题（共12小题，每小题2分） 1. 下列图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原图形完全重合，那么这个图形就叫作中心对称图形， 符合中心对称图形的是选项B． 2. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 两边同除以，得． 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二次函数顶点式的顶点坐标为． 【详解】解：抛物线顶点坐标为． 4. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）． A. 2 B. C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】利用定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程判定即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，且． 解得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义． 5. 关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 其图象开口向下 B. 其图象的对称轴是直线 C. 其最小值为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：把化为顶点式：， ∵， ∴图象开口向上，A错误； 该函数的对称轴为直线，B错误； ∵开口向上，顶点坐标为， ∴函数的最小值为，C错误； ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小． 6. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点、、在同一条直线上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质和三角形内角和定理解答即可； 【详解】∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，，， ∴， ∵点、、在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的外角性质，准确计算是解题的关键． 7. 若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，利用开口方向和点到对称轴的距离判断函数值大小，先求出抛物线对称轴，再根据开口向上的性质比较即可． 【详解】∵二次函数解析式为 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线开口向上时，点到对称轴的距离越大， 对应的函数值越大分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： ∵ ∴． 8. 分段函数是一种在不同的“x范围”里，对应不同函数表达式的函数，若分段函数的函数图象如图所示．A，B分别为对应二次函数图象的顶点，则下列说法中正确的是（ ）． A. y随x的增大而增大 B. 不存在一次函数的图象与此分段函数的图象有两个交点 C. 点A的坐标为，分段函数最大值为7 D. 不等式的解集为或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了的图象与性质，的图象和性质，的最值，根据交点确定不等式的解集等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据二次函数的增减性，可判断A；根据时，由无解，且有两个实数根，求得的范围，由此可判断B；利用顶点式求解，可判断C；先求出的自变量的值，再结果函数图象求出自变量的范围，由此可判断D． 【详解】解：在、之间，随的增大反而减小， 故A错误； 取，当时，无解，且有两个实数根， 由无解， 得， 即， 由有两个实数根， 得， 即， 所以，此时一次函数与二次函数有两个交点， 如取， 则， 解得：， 即方程有一个实数根 而， 解得：（舍去），， 即方程有一个实数根 也就是一次函数与二次函数有两个交点， 故B错误； ， 所以当时有最大值7， 如果没有，则没有最大值， 故C错误； 当时，， 取，则， 解得：（舍去）或， 此时不等式的解集为，如图， 当时，， 取，则， 解得：或， 此时不等式的解集为或，如图， 综上所述，不等式的解集为或或， 即不等式的解集为或， 故D符合， 故选：D ． 二、填空题（共8小题，每小题2分） 9. 请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向上；②与轴的交点坐标为．此二次函数的解析式可以是__________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可得出，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，取，即可得出结论． 【详解】解：设二次函数的解析式为． ∵抛物线开口向上， ∴． ∵抛物线与y轴的交点坐标为， ∴． 取，时，二次函数的解析式为． 10. 把抛物线向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线平移的规律直接求解即可． 【详解】解：∵抛物线向右平移1个单位，然后向上平移3个单位， ∴， ∴． 11. 如图是二次函数图像的一部分，该图在y轴右侧与x轴交点的坐标是______ 【答案】（1，0） 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性，进行求解即可． 【详解】由可知对称轴，根据对称性， 图象在对称轴左侧与轴交点为， 所以该图在对称轴右侧与轴交点的坐标是． 故答案为：（1，0） 【点睛】本题考查抛物线的对称性，解题的关键是熟练掌握抛物线上的点关于抛物线对称． 12. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 13. 探索一元二次方程的一个正数解的过程如表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】观察图表，确定的值为0时的范围，然后确定对应的的范围，进而可得结果． 【详解】解：由图表可知，， ∴对应的的范围为， ∴，， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解题的关键在于理解一元二次方程的解的含义． 14. 我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献．根据中国汽车工业协会发布的数据，2024年5月新能源汽车销量约为95.5万辆，2024年7月新能源汽车销量约为99.1万辆，设新能源汽车销量的月平均增长率为，则满足的方程是___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系，列出方程即可． 【详解】解：设新能源汽车销量的月平均增长率为，由题意，得； 故答案为： 15. 如图，将含角的直角三角尺绕点B顺时针旋转后得到，连接．若，则的面积为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】过D点作，垂足为F，根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，根据旋转的性质以及等积法求出的长，再根据三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：过D点作，垂足为F， 由题意，在中，， ∴，， ∵旋转， ∴，，， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴，即， ∴， ∴的面积为. 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，其中，抛物线经过点和，以下四个结论： ①； ②； ③关于的一元二次方程无实根； ④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有，则． 其中正确结论的序号是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出大致图象，通过数形结合对每一个结论进行分析，判断正误，得出结论． 【详解】解：根据题意画出大致图象如图所示， 可得：，， ， ， ， ①正确． ， 对称轴为直线， ， ， 由图象可知：当时，函数值大于，即， ，即， ②正确． ， ， ， ， 如右图，看出与有两个交点， 有两个不相等的实数根． ③错误． 不妨设，都在对称轴的右侧（在左侧同理）， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， 要想使恒成立，需要，即， ④正确． 正确的结论是． 三、解答题（本题共11小题，共68分） 17. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）用直接开平方法求解即可； （2）用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， 二次项系数化为1得， 直接开平方得， ∴，． 【小问2详解】 解：由得，，， ∴， ∴， ∴，． 18. 如图，的顶点均在网格上的格点上，且，将绕点C顺时针旋转，得到． （1）画出图形，写出点、的坐标； （2）连接，则______． 【答案】（1）如图，即为所求，， （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转中心，旋转方向及角度找出点A、B的对应点、的位置，然后顺次连接即可，进而可直接得出点、的坐标； （2）利用勾股定理求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 由勾股定理得． 19. 已知二次函数． （1）将解析式化为的形式为_________________； （2）画出函数的图象； （3）该图象可以由抛物线向_______平移_______单位，向_______平移_______单位得到； （4）当____________时，随的增大而增大； （5）当____________时，； （6）当____________时，取得最____________值，为____________； （7）当时，的取值范围是____________． 【答案】（1） （2）函数图象如图： （3）左；2；下；1 （4） （5）或 （6）；小； （7） 【解析】 【分析】（1）将进行配方即可； （2）根据列表，描点，连线的步骤即可画出该函数图象； （3）根据二次函数的平移规律求解即可； （4）根据函数图象解答即可； （5）根据函数图象并结合（2）中表格解答即可； （6）根据函数图象解答即可； （7）根据函数图象解答即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：列表如下： x …… 0 …… y …… 3 0 0 3 …… 函数图象见答案； 【小问3详解】 解：可以由抛物线向左平移2单位，向下平移1单位得到； 【小问4详解】 解：由图象可知：当时，随的增大而增大； 【小问5详解】 解：由图象可知：当或时，； 【小问6详解】 解：由图象可知：当时，取得最小值，为； 【小问7详解】 解：由图象可知：当时，的取值范围是． 20. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 即， 解得； 【小问2详解】 解：∵一元二次方程的两个实数根分别是，， ∴，， ∵， ∴， 解得． 21. 如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点恰好落在边上，延长交边于点． （1）证明：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：将绕点按顺时针方向旋转得到， ，， ，， ， ， 即． （2）4 【解析】 【分析】（1）先由旋转性质得到，，结合三角形内角和定理及对顶角相等确定，即可得到，即可得证； （2）先由旋转性质得到得到，，然后根据线段的和差关系求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将绕点按顺时针方向旋转得到， ，， ， 即， 解得， . 22. 如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形的的面积为96平方米，求边的长． 【答案】边的长为8米 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设米，求出的长，再利用长方形的面积公式，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设米，则：米，由题意，得： ， 解得或； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 故； 答：边的长为8米． 23. 2026美加墨世界杯点燃了全球足球热情，在比赛中，赛场使用半自动识别系统，通过高速摄像头与足球内置传感器，采集足球在空中飞行的位置数据．如图为某一时刻系统监测到画面的示意图，足球的飞行轨迹可近似看作一条抛物线，攻球员位于点，守门员位于点，直线与球门线交于点，已知，． 足球离地高度与水平距离（水平距离水平速度时间）的数据如下表： … 10 12 14 16 18 … … 4.5 4.8 4.9 4.8 4.5 … （1）求与的函数表达式； （2）已知守门员的最大防守高度为．当守门员位于足球正下方时且足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． ①若守门员选择原地接球，能否防守成功？请通过计算说明理由； ②通过系统监测，足球飞行的水平速度为．若守门员在攻球员射门瞬间就作出面对足球后退的防守反应，请计算守门员成功防守的最小后退速度． 【答案】（1） （2）①不能，理由： ，， ， 当时，， 守门员的最大防守高度为，， 若守门员选择原地接球，不能防守成功． ② 【解析】 【分析】（1）根据表格设二次函数顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）①求出时对应的高度，即可得解；②先求出当时对应的水平距离，进而求出守门员最少后退距离和所用时间，即可得解． 【小问1详解】 解：由表格可知，当和时，的值相同， 对称轴为直线， 顶点为， 设与的函数表达式为， 将，代入得，， 解得：， 与的函数表达式为； 【小问2详解】 解：①略 ②由题意可知，当守门员刚好接到球时，球的离地高度为， 当时，， 解得：或， 由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，则舍去， 此时，即足球的飞行距离为，守门员最少后退， 足球飞行的水平速度为， 足球飞行的时间为， 守门员后退时间为 守门员成功防守的最小后退速度为． 24. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形． 、、是和的边长，易知．这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）_______（填“是”或“不是”）“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是．求的面积． 【答案】（1）是 （2）证明：在方程中， ， 、、是的边长， ， ， ， ， 关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． （3） 【解析】 【小问1详解】 解：已知关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”， 其中、、是的边长，满足． 在中，、、，即， 因为，满足， 所以是“勾系一元二次方程”． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：是“勾系一元二次方程”的一个根， ，即， ． 四边形的周长是， ，即， 整理得， 将代入上式得，即， 解得， ， ，且， ， 解得， ， 答：的面积为． 25. 已知抛物线经过点，，点P在抛物线上，横坐标为t，点P与点A不重合． （1）求此抛物线的解析式； （2）将抛物线上P，A两点之间的部分（包括端点）记作图象G，过点作y轴的垂线l，若图象G的最高点与最低点分别在直线l的上方和下方，求t的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质并分类讨论是关键． （1）利用待定系数法即可求出答案； （2）求出抛物线的对称轴为直线，顶点为，分和四种情况进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵拋物线， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点是， 分一下情况：①当时，如图， 图象的最高点为点，最低点为点， ∵图象的最高点与最低点分别在直线的上方和下方，其中直线的方程为， ∴， 解得：， ； ②当时，如图， 图象的最高点为点，最低点为点， ∵图象的最高点与最低点分别在直线的上方和下方，其中直线的方程为， ∴， 解得， ； ③当时，如图， 图象的最高点为，最低点为抛物线的顶点， ∵图象的最高点与最低点分别在直线的上方和下方，其中直线的方程为， ， ， ； ④当时，如图， 图象的最高点为，最低点为拋物线的顶点， ∵图象的最高点与最低点分别在直线的上方和下方，其中直线的方程为， ∴， 该不等式组无解， 综上可知，的取值范围为或． 26. 如图，在中，，，以为斜边在上方作等腰直角．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）依题意补全图形，并证明：； （2）点、分别是、的中点，连接．猜想线段、、满足的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：等腰直角， ，， 线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ，即， 在和中， ， ， ； （2）， 证明：如图，延长交于点F，连接，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵，点H，G分别是，的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴点H，D分别是，的中点， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图象，再根据等腰直角三角形和旋转的性质，证明出，即可得证； （2）延长交于点F，连接，，先证明，推出，由（1）的结论可得，，进而证明，得出，，利用角度和差关系推出，从而证得是等腰直角三角形，推出，继而得证结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 在平面直角坐标系中，对于点和直线给出如下定义：作点关于直线的对称点，再作点关于直线的对称点，则称点为点与直线的成达点． 点的坐标为过点过点且与轴平行．点与轴，的成达点为点，点与轴，的成达点为点， （1）若，则___________，___________． （2）若点为第四象限内任意一个点，则（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由：若成立，请仅就图2的情形加以证明． （3）若点为，点在第四象限内，且，请你直接写出线段的长，使得直线与或平行． 【答案】（1）， （2） 解：仍然成立，理由如下： 过点作轴交轴于点，作点关于轴的对称点，再作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，设交轴于点，交于点，如图所示： ，在同一直线上， 由（1）可知 ， ， 设， 作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点， ， 都在直线上，， ， ， （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作轴交轴于点，作点关于轴的对称点，再作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，设交轴于点，交于点，根据对称，可得，在同一直线上，那么，然后根据可算得答案； （2）结合（1），可证其结论仍然成立； （3）作点关于轴的对称点，再作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，设交轴于点，交于点，连接交于点，过点作轴于点，过点作轴交于点，令此时，设，可证，，，，，，通过以及所在直线与平行，可求得；同理当时，设， 同理可证，，，，，，通过，，可算得，最后通过勾股定理求得． 【小问1详解】 解：过点作轴交轴于点，作点关于轴的对称点，再作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，设交轴于点，交于点，如图所示： ，在同一直线上， 过点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点， ， 都在直线上，， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作点关于轴的对称点，再作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，设交轴于点，交于点，连接交于点，过点作轴于点，过点作轴交于点，令此时，如图所示： ，在同一直线上，，， 点为，点在第四象限内，且， ， ， 由（2）可得，， ， ， ， ， ， ， ， 不妨设，那么， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 直线， 不妨设直线为 代入，得到， ， 直线为， ， ， ， 将点代入，得到， 整理得， ， ， ； 当时，设，如图所示： 同理可证，，，，，， ， ， ， ， 联立，解得， ； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北京市第十三中学分校 第一学期初三10月验收　数学试卷 考 生 须 知 1．本试卷分为第I卷和第II卷，第I卷共2页，第II卷共6页． 2．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在试卷（包括第I卷和第II卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号． 4．考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师． 一、选择题（共12小题，每小题2分） 1. 下列图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）． A. 2 B. C. D. 不存在 5. 关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 其图象开口向下 B. 其图象的对称轴是直线 C. 其最小值为 D. 当时，随的增大而减小 6. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点、、在同一条直线上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 分段函数是一种在不同的“x范围”里，对应不同函数表达式的函数，若分段函数的函数图象如图所示．A，B分别为对应二次函数图象的顶点，则下列说法中正确的是（ ）． A. y随x的增大而增大 B. 不存在一次函数的图象与此分段函数的图象有两个交点 C. 点A的坐标为，分段函数最大值为7 D. 不等式的解集为或 二、填空题（共8小题，每小题2分） 9. 请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向上；②与轴的交点坐标为．此二次函数的解析式可以是__________ 10. 把抛物线向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为___________． 11. 如图是二次函数图像的一部分，该图在y轴右侧与x轴交点的坐标是______ 12. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 13. 探索一元二次方程的一个正数解的过程如表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，的值为________． 14. 我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献．根据中国汽车工业协会发布的数据，2024年5月新能源汽车销量约为95.5万辆，2024年7月新能源汽车销量约为99.1万辆，设新能源汽车销量的月平均增长率为，则满足的方程是___________ 15. 如图，将含角的直角三角尺绕点B顺时针旋转后得到，连接．若，则的面积为__________________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，其中，抛物线经过点和，以下四个结论： ①； ②； ③关于的一元二次方程无实根； ④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有，则． 其中正确结论的序号是___________． 三、解答题（本题共11小题，共68分） 17. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） 18. 如图，的顶点均在网格上的格点上，且，将绕点C顺时针旋转，得到． （1）画出图形，写出点、的坐标； （2）连接，则______． 19. 已知二次函数． （1）将解析式化为的形式为_________________； （2）画出函数的图象； （3）该图象可以由抛物线向_______平移_______单位，向_______平移_______单位得到； （4）当____________时，随的增大而增大； （5）当____________时，； （6）当____________时，取得最____________值，为____________； （7）当时，的取值范围是____________． 20. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根，满足，求的值． 21. 如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点恰好落在边上，延长交边于点． （1）证明：； （2）若，，求的长． 22. 如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形的的面积为96平方米，求边的长． 23. 2026美加墨世界杯点燃了全球足球热情，在比赛中，赛场使用半自动识别系统，通过高速摄像头与足球内置传感器，采集足球在空中飞行的位置数据．如图为某一时刻系统监测到画面的示意图，足球的飞行轨迹可近似看作一条抛物线，攻球员位于点，守门员位于点，直线与球门线交于点，已知，． 足球离地高度与水平距离（水平距离水平速度时间）的数据如下表： … 10 12 14 16 18 … … 4.5 4.8 4.9 4.8 4.5 … （1）求与的函数表达式； （2）已知守门员的最大防守高度为．当守门员位于足球正下方时且足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． ①若守门员选择原地接球，能否防守成功？请通过计算说明理由； ②通过系统监测，足球飞行的水平速度为．若守门员在攻球员射门瞬间就作出面对足球后退的防守反应，请计算守门员成功防守的最小后退速度． 24. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形． 、、是和的边长，易知．这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）_______（填“是”或“不是”）“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是．求的面积． 25. 已知抛物线经过点，，点P在抛物线上，横坐标为t，点P与点A不重合． （1）求此抛物线的解析式； （2）将抛物线上P，A两点之间的部分（包括端点）记作图象G，过点作y轴的垂线l，若图象G的最高点与最低点分别在直线l的上方和下方，求t的取值范围． 26. 如图，在中，，，以为斜边在上方作等腰直角．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）依题意补全图形，并证明：； （2）点、分别是、的中点，连接．猜想线段、、满足的数量关系，并证明． 27. 在平面直角坐标系中，对于点和直线给出如下定义：作点关于直线的对称点，再作点关于直线的对称点，则称点为点与直线的成达点． 点的坐标为过点过点且与轴平行．点与轴，的成达点为点，点与轴，的成达点为点， （1）若，则___________，___________． （2）若点为第四象限内任意一个点，则（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由：若成立，请仅就图2的情形加以证明． （3）若点为，点在第四象限内，且，请你直接写出线段的长，使得直线与或平行． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $