精品解析：内蒙古呼和浩特市第十八中学2026-2027学年八年级上学期数学第一次学情自测

致成级部第一次阶段检测 数学 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列人工智能助手图标中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A选项：把该图形沿着虚线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合， 该图形是轴对称图形，故Ａ选项符合题意； B选项：把该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合， 该图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：把该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合， 该图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：把该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合， 该图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意． 2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边，分别检查各选项是否满足条件即可． 【详解】∵ 三角形三边关系要求任意两边之和大于第三边， 对于A：，等于第三边，不满足； 对于B：，等于第三边，不满足； 对于C：，不满足； 对于D：，，，全部满足． ∴ 能组成三角形的是D． 故选：D． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 任何命题都有逆命题．同样任何定理都有逆定理 B. 直角边、斜边分别相等的两个直角三角形全等 C. 如果两个三角形全等，则它们一定是关于某条直线成轴对称 D. 到角两边距离相等的点在角的平分线上 【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查了命题的性质、直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解决本题的关键是熟练地掌握相关的性质． 根据相关的性质进行一一判断即可． 【详解】解：A、逆命题存在，但逆定理不一定成立，该选项错误，不符合题意； B、根据斜边、直角边定理（），斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，该选项正确，符合题意； C、全等三角形可通过平移、旋转等方式实现，未必轴对称，该选项错误，不符合题意； D、根据角平分线判定定理，到角两边距离相等的点必在角平分线上，该选项正确，符合题意． 故选：BD． 4. 如图，已知、交于点，，添加下列哪个条件后，仍不能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】已知及公共边，根据全等三角形判定定理逐项验证即可． 【详解】解：已知，且为公共边，即． A．添加． ，，， ，不符合题意． B．添加，此时为，，，属于，不能判定，符合题意． C．添加． ，，， ，不符合题意． D．添加． ， ，即． ，，， ，不符合题意． 5. 在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法． 根据各选项角的度数的关系求出角，逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴为直角三角形， 故①正确，符合题意； ②∵， ∴， ∴为直角三角形， 故②正确，符合题意； ③∵， ∴，， ∴不是直角三角形， 故③错误，不符合题意； ④∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形， 故④正确，符合题意； ⑤∵， ∴， ∴不是直角三角形， 故⑤错误，不符合题意； 综上，符合题意的选项为①②④， 故选：C． 6. 如图所示，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 无法计算 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角性质．先由，就可以得出，就可以得出，就可以得出，就可以由三角形的外角与内角的关系求出结论． 【详解】解：， ， ． 在和中， ， ， ． ． ． 故选：B． 7. 如图，中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理．首先根据三角形内角和定理得到，然后利用垂直平分线的性质得到，，进而得到，然后求解即可． 【详解】解：， ， 的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ，， ，， ， ， 故选：B． 8. 如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（ ） 平分；    ； ；    ． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴点在的角平分线上，故①正确； ②∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴，②正确； ③∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ ∴，③正确； ④由②可知，， ∴，， ∴，故④正确， 综上可知，正确的结论有：①②③④，共有4个． 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 9. 点关于轴对称的点的坐标为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中对称点的坐标特征即可解答． 【详解】解：关于轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数， 点关于轴对称的点的坐标为． 10. 若等腰三角形的两边长分别是4和9，则周长为___________． 【答案】22 【解析】 【分析】根据腰为4或9，分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断． 【详解】解：当等腰三角形的腰为4时，三边为4，4，9，，三边关系不成立， 当等腰三角形的腰为9时，三边为4，9，9，三边关系成立，周长为． 11. 如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是_____． 【答案】27 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题关键是将三角形分成三个等高的三角形，利用周长来求面积．先利用角平分线的性质得到O点到各边的距离相等，再将三角形分成3个三角形，将它们的面积相加即可． 【详解】解：过点O作于点E，过点O作于点F，连接，如图所示： ∵点O为与的平分线的交点，且， ∴， ∵，的周长是， ∴ ； 故答案为：． 12. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD=90°；②M为BC的中点；③AB+CD=AD；④S△ADM=S梯形ABCD；⑤M到AD的距离等于BC的一半；其中正确的有________．(填序号) 【答案】①②③④⑤ 【解析】 【分析】过M作ME⊥AD于E，得出∠MDE=∠CDA，∠MAD=∠BAD，求出∠MDA+∠MAD=(∠CDA+∠BAD)=90°，根据三角形内角和定理求出∠AMD，即可判断①；根据角平分线性质求出MC=ME，ME=MB，即可判断②和⑤；由勾股定理求出DC=DE，AB=AE，即可判断③；根据SSS证△DEM≌△DCM，推出S△DEM=S△DCM，同理得出S△AEM=S三角形ABM，即可判断④． 【详解】解： ∵∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点， ∴∠MDE=∠CDA，∠MAD=∠BAD， ∵∠B=∠C=90°， ∴DC//AB， ∴∠CDA+∠BAD=180°， ∴∠MDA+∠MAD=(∠CDA+∠BAD)=×180°=90°， ∴∠AMD=180°-90°=90°，∴①正确； 如图，过M作ME⊥AD于E， ∵DM平分∠CDE，∠C=90°，ME⊥DA， ∴MC=ME， 同理ME=MB， ∴MC=MB=ME=BC，∴②正确； ∴M到AD的距离等于BC的一半，∴⑤正确； ∵由勾股定理得：DC2=MD2-MC2，DE2=MD2-ME2， 又∵ME=MC，MD=MD， ∴DC=DE， 同理AB=AE， ∴AD=AE+DE=AB+DC，∴③正确； ∵在△DEM和△DCM中 ， ∴△DEM≌△DCM（SSS）， ∴S△DEM=S△DCM， 同理S△AEM=S△ABM， ∴S△AMD=S梯形ABCD，∴④正确； 故答案为：①②③④⑤． 【点睛】本题考查了角平分线性质，垂直定义，直角梯形，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 三、解答题（本题共6小题，共64分） 13. 如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P． 【答案】 如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的判定，线段的垂直平分线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 连接，作线段的垂直平分线交的角平分线于点，点即为所求． 【详解】略 14. 如图，已知AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，连接DC，BE． （1）求证：△BAE≌△DAC； （2）若∠CAD＝143°，∠D＝15°，求∠E的度数． 【答案】 （1）证明：∵∠DAB＝∠CAE， ∴∠DAB＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC， ∴∠DAC＝∠BAE， 又∵AD＝AB，AC＝AE， ∴△BAE≌△DAC （SAS）； （2）∠E＝22°． 【解析】 【分析】（1）根据题意由∠DAB＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，可得∠DAC＝∠BAE，借助SAS即可求证； （2）由△BAE≌△DAC，可得∠E＝∠C，再由内角和为180°即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵△BAE≌△DAC， ∴∠E＝∠C， ∵∠CAD＝143°，∠D＝15°， ∴∠C＝180°﹣（∠CAD＋∠D）＝22°， ∴∠E＝22°． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形判定的条件和等量加等量和相等是解决问题的关键． 15. 如图，在中，是高，是角平分线，，． （1）求的度数； （2）试探究与之间的数量关系（）．并且说明理由 【答案】（1） （2）解：，理由： ∵，是的角平分线，是的高， ∴， ∴ ∴． 【解析】 【分析】（1）先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出的度数，再由直角三角形两锐角互余求出的度数，然后利用角的和差关系即可得出结果； （2）同法（1）进行求解即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴． ∵是的高，是的角平分线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略． 16. 课本再现 我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等．反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？通过判定两个三角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． （1）定理证明 已知：如图，点在内部，，，垂足分别为，且．求证：点在的平分线上． （2）定理应用 如图，四边形中，，，求证：平分． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的平分线上； （2） 证明：过点作，，垂足分别是点，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，同角的补角相等，角平分线的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）证明，所以，从而得证； （）过点作，，垂足分别是点，，由同角的补角相等得出，然后证明，所以，最后由角平分线的判定即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： （1）； （2）是的垂直平分线； （3）猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：， ， 又∵E为的中点， ， 在和中， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线； （3）结论：，理由如下： 在和中， ， ， ， 由（1）可知， ， 即． 【解析】 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）由（1）得，再由垂直平分线的判定即可证明； （3）根据全等三角形的判定和性质得出，确定，由（1）可知，根据即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l、直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题；如图3，过的边向外作等腰和等腰，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点． 【答案】 （1）如图1， 直线l，直线l， ∴， ， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）成立，证明如下： 如图， ， ∴， ∴， 在和中． ． ∴，， ∴； （3）过E作的延长线于M，过D作于，如图所示： ∴， 是边上的高， ， ， ∵是等腰三角形， ∴， ∴ ， ， 同理， ， ， 在和中， ， ， ， I是的中点． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由条件可证明，可得，，可得； （2）由条件可知，且，可得，结合条件可证明，可得出结论； （3）与（1）同理证明，，可知，可得，结合条件可证明，可得出结论I是的中点． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 致成级部第一次阶段检测 数学 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列人工智能助手图标中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列说法正确的是（ ） A. 任何命题都有逆命题．同样任何定理都有逆定理 B. 直角边、斜边分别相等的两个直角三角形全等 C. 如果两个三角形全等，则它们一定是关于某条直线成轴对称 D. 到角两边距离相等的点在角的平分线上 4. 如图，已知、交于点，，添加下列哪个条件后，仍不能使的是（ ） A. B. C. D. 5. 在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 6. 如图所示，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 无法计算 7. 如图，中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（ ） 平分；    ； ；    ． A. B. C. D. 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 9. 点关于轴对称的点的坐标为___________ 10. 若等腰三角形的两边长分别是4和9，则周长为___________． 11. 如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是_____． 12. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD=90°；②M为BC的中点；③AB+CD=AD；④S△ADM=S梯形ABCD；⑤M到AD的距离等于BC的一半；其中正确的有________．(填序号) 三、解答题（本题共6小题，共64分） 13. 如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P． 14. 如图，已知AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，连接DC，BE． （1）求证：△BAE≌△DAC； （2）若∠CAD＝143°，∠D＝15°，求∠E的度数． 15. 如图，在中，是高，是角平分线，，． （1）求的度数； （2）试探究与之间的数量关系（）．并且说明理由 16. 课本再现 我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等．反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？通过判定两个三角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． （1）定理证明 已知：如图，点在内部，，，垂足分别为，且．求证：点在的平分线上． （2）定理应用 如图，四边形中，，，求证：平分． 17. 如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： （1）； （2）是的垂直平分线； （3）猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 18. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l、直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题；如图3，过的边向外作等腰和等腰，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $