精品解析：陕西乾县姜村初级中学2026-2027学年度第一学期第一次阶段性作业九年级数学

2026~2027学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程含有两个未知数，不是一元二次方程； B、方程是一元二次方程； C、方程不是整式方程，不是一元二次方程； D、方程中未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程． 2. 如图，在菱形中，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质得到，再由等边对等角可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴． 3. 若一元二次方程的二次项系数是3，则它的常数项是（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，的二次项系数是，一次项系数是，常数项是，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴它的常数项是， 故选：A． 4. 如图，在四边形中，连接交于点，则补充下列条件后仍不能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴四边形为平行四边形， A、添加，根据“有一个直角的平行四边形是矩形”可以得到四边形为矩形，不符合题意； B、添加，则，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可以得到四边形为矩形，不符合题意； C、添加，则，，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可以得到四边形为矩形，不符合题意； D、添加，不能判定四边形为矩形，符合题意． 5. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． 6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别在轴、轴正半轴上，点是上一点，连接交于点，若，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，得出，即可得出结论． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵正方形的顶点分别在轴、轴正半轴上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 7. 学校劳动实践课上，同学们计划利用已有的一段长为的围墙，用篱笆围建一个矩形花园，如图所示．若要使总长为的篱笆恰好用完（围墙一面不用篱笆），矩形花园的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，再根据矩形的面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴的长为． 8. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据矩形和勾股定理求出，再由垂直平分线得到，，即可根据勾股定理求出，，最后根据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∵对角线的垂直平分线交于点， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：把代入得， 解得． 10. 如图，在正方形中，点是边上一点，连接交于点，若，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质得到，再由三角形外角的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． 11. 一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于这个数．设这个两位数的个位数字为，根据题意可列方程为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则这个两位数的十位数字为， 根据“个位数字的平方恰好等于这个数”得到． 12. 如图，在菱形中，于点，连接，若，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出三角形高，底边，即可求出面积． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 13. 若是方程的两个实数根，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∴． 14. 如图，在矩形中，为边上一点，连接，作点关于对称的点，连接．若，点到边的距离之比为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理，过点作于，交于，则四边形是矩形，得出，结合点到边的距离之比为，得出，，由勾股定理得出，再由勾股定理得出，求出，再利用勾股定理求解即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于，交于， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ， ， 点到边的距离之比为， ， ，， 由轴对称的性质可得：垂直平分， ，， ， ， ， ，即， 解得：， ∴ 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 方程左边因式分解得， ∴或， ∴． 16. 如图，在菱形中，对角线交于点，求菱形的面积． 【答案】240 【解析】 【分析】利用菱形的面积和勾股定理求得，再利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ， ∴由勾股定理得， ， ∴菱形的面积为． 17. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式等于0求解即可． 【详解】解：∵该方程有两个相等的实数根， ∴ ， 解得． 18. 如图，已知，利用尺规作图法作矩形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】解：如图即为所作， 【解析】 【分析】分别以点A为圆心，的长为半径画弧，以C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，连接，由可证明四边形是平行四边形，再由可证明四边形是矩形． 【详解】略 19. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形DEBF是菱形； 【答案】见解析； 【解析】 【分析】由AE=CF和正方形的性质可得OE=OF，再由对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明； 【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形DEBF是平行四边形， 又∵，即， ∴四边形DEBF是菱形； 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，掌握相关性质和判定方法是解题关键． 20. 某市推出系列文创产品，销售过程中需要通过数学计算优化定价策略，实现销量与销售额的平衡．其中一款文创产品刚上市每件的售价为100元，因市场调整，经过两次连续降价后售价降至每件81元，求该文创产品平均每次降价的百分率． 【答案】该文创产品平均每次降价的百分率为 【解析】 【详解】解：设该文创产品平均每次降价的百分率为， 由题意可得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：该文创产品平均每次降价的百分率为． 21. 对于解方程，小刚的做法如下： 解：等号右边因式分解，得 ，……步骤① 等号两边同时除以，得，……步骤② 去括号，得，……步骤③ 移项、合并同类项，得，……步骤④ 系数化为．得．………步骤⑤ （1）已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是_____________（填序号）． （2）请给出正确的解答过程． 【答案】（1）② （2） 解：已知， 因式分解并移项： ， ； 提公因式： ； 化简求解： ， ， 则或， 解得，． 【解析】 【分析】本题一元二次方程的解法，等式的基本性质，理解“等式两边不能同时除以一个可能为 0 的代数式”是解题关键． （1）步骤②直接除以，未考虑可能为的情况，会丢失方程的根； （2）先对原方程右边因式分解，移项后提公因式，将方程化为乘积为的形式，再令各因式为，可求得方程的两个根． 【小问1详解】 解： 根据题意，可知步骤②两边同时除以， 未考虑可能为的情况，会导致丢失方程的一个根， 故出错的步骤为②． 【小问2详解】 略 22. 如图，在菱形中，于点交的延长线于点，若菱形的周长为，求四边形的周长． 【答案】6 【解析】 【分析】根据菱形的周长为，得出，设，则，在中，根据，得出，证明四边形是矩形，得出，，则，求出，则，，即可求出矩形的周长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形的周长为， ∴， 设，则， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，， ∴，即， 又， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 解得（边长为正，舍去负根）， ∴，， ∴矩形的周长为． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个根分别为、，求的值． 【答案】（1）证明：∵关于的一元二次方程， ∴， ∴该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根； （2）关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵该方程的两个根分别为、， ∴，，， ∴， ∴ ． 24. 如图所示中，，，的平分线交于D点，于点E，于点F． （1）求证：四边形为正方形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：过点D作于点N， ∵于点E，于点F， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵，的平分线交于D点，于点N，于点E，于点F， ∴， ∴矩形是正方形； （2）4 【解析】 【分析】（1）直接利用矩形的判定方法以及角平分线的性质得出四边形为正方形； （2）利用三角形面积求法得出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵ ∴， 则， 故． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定以及三角形面积求法和角平分线的性质等知识，得出是解题关键． 25. 某果园原计划种100棵苹果树，平均每棵苹果树结400个苹果，现准备多种一些苹果树以提高产量．试验发现，每多种1棵苹果树，平均每棵苹果树的产量就会减少2个，但多种的苹果树不能超过50棵，设该果园多种棵苹果树． （1）则平均每棵苹果树的产量是_________个； （2）若要使总产量增加，求应多种多少棵苹果树？（假设苹果的大小不变） 【答案】（1） （2）若要使总产量增加，应多种棵苹果树 【解析】 【分析】（1）根据每多种1棵苹果树，平均每棵苹果树的产量就会减少2个列代数式即可； （2）根据总产量增加，列方程解决即可； 【小问1详解】 解：根据每多种1棵苹果树，平均每棵苹果树的产量就会减少2个，可得平均每棵苹果树的产量是个； 【小问2详解】 解：由题意得， 化简为， 解得， ∵多种的苹果树不能超过50棵， ∴， ∴若要使总产量增加，应多种棵苹果树． 26. 解答下列问题 【问题提出】 （1）如图1，在中，是的中线，是的中线，且三等分，若，求的长； 【问题解决】 （2）如图2，矩形是某公园的一处绿植观赏区，现要在该观赏区内的点处修一座凉亭，沿修两条小路，再从点向小路的中点修一条小路，最后从点向的中点铺设一条石子小路，为使得游客体验效果更好，要求石子小路的长度尽可能大．已知，求石子小路长度的最大值．（凉亭的大小与小路的宽度均忽略不计） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因为三等分，且，所以可先确定三个等分角的度数．因为是斜边的中线，根据直角三角形斜边中线定理，可得到与的数量关系，结合角的度数判断的形状．因为是的中线，可知E是中点，结合已知的长度可得长度，进而得到长度，再在中利用三角函数或角对边性质计算． （2）连接交于点O，取的中点N，连接，得点O是的中点，由中点性质得是的中位线，是的中位线，，，点M在以点N为圆心以的长为半径的圆弧上运动，由角的正切值得，结合，得是等边三角形，由等边三角形性质得，结合勾股定理求出。当点M在延长线上时，取得最大值． 【小问1详解】 答案： 解：∵，三等分， ∴三个角均为，即． ∵在中，是斜边的中线， ∴， ∵， ∴为等边三角形． ∵是等边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴等边三角形边长． ∵在中，，，​， ∴． 【小问2详解】 解：连接交于点O，取的中点N，连接． 则点O是的中点． ∵是的中点，， ∴． ∵点M是的中点， ∴． ∴点M在以点N为圆心以的长为半径的圆弧上运动． ∵矩形中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形． ∴， ∴， ∴． 当点M在延长线上时，取得最大值， 此时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在菱形中，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 若一元二次方程的二次项系数是3，则它的常数项是（ ） A. B. 2 C. D. 5 4. 如图，在四边形中，连接交于点，则补充下列条件后仍不能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别在轴、轴正半轴上，点是上一点，连接交于点，若，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 学校劳动实践课上，同学们计划利用已有的一段长为的围墙，用篱笆围建一个矩形花园，如图所示．若要使总长为的篱笆恰好用完（围墙一面不用篱笆），矩形花园的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是_________． 10. 如图，在正方形中，点是边上一点，连接交于点，若，则的度数为_________． 11. 一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于这个数．设这个两位数的个位数字为，根据题意可列方程为_________． 12. 如图，在菱形中，于点，连接，若，则的面积为_________． 13. 若是方程的两个实数根，则的值为_________． 14. 如图，在矩形中，为边上一点，连接，作点关于对称的点，连接．若，点到边的距离之比为，则______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 如图，在菱形中，对角线交于点，求菱形的面积． 17. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值． 18. 如图，已知，利用尺规作图法作矩形．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形DEBF是菱形； 20. 某市推出系列文创产品，销售过程中需要通过数学计算优化定价策略，实现销量与销售额的平衡．其中一款文创产品刚上市每件的售价为100元，因市场调整，经过两次连续降价后售价降至每件81元，求该文创产品平均每次降价的百分率． 21. 对于解方程，小刚的做法如下： 解：等号右边因式分解，得 ，……步骤① 等号两边同时除以，得，……步骤② 去括号，得，……步骤③ 移项、合并同类项，得，……步骤④ 系数化为．得．………步骤⑤ （1）已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是_____________（填序号）． （2）请给出正确的解答过程． 22. 如图，在菱形中，于点交的延长线于点，若菱形的周长为，求四边形的周长． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个根分别为、，求的值． 24. 如图所示中，，，的平分线交于D点，于点E，于点F． （1）求证：四边形为正方形； （2）若，，求的长． 25. 某果园原计划种100棵苹果树，平均每棵苹果树结400个苹果，现准备多种一些苹果树以提高产量．试验发现，每多种1棵苹果树，平均每棵苹果树的产量就会减少2个，但多种的苹果树不能超过50棵，设该果园多种棵苹果树． （1）则平均每棵苹果树的产量是_________个； （2）若要使总产量增加，求应多种多少棵苹果树？（假设苹果的大小不变） 26. 解答下列问题 【问题提出】 （1）如图1，在中，是的中线，是的中线，且三等分，若，求的长； 【问题解决】 （2）如图2，矩形是某公园的一处绿植观赏区，现要在该观赏区内的点处修一座凉亭，沿修两条小路，再从点向小路的中点修一条小路，最后从点向的中点铺设一条石子小路，为使得游客体验效果更好，要求石子小路的长度尽可能大．已知，求石子小路长度的最大值．（凉亭的大小与小路的宽度均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $