26.4 实际问题与二次函数作业综合练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.4 实际问题与二次函数综合练习 寄语：实际问题与二次函数，是数学连接生活的桥梁。利润、面积、高度，都可以借助抛物线找到最优解。耐心读题、细心建模，多试几次，你会发现应用题也有规律可循。 【知识回顾】图形问题方法总结 第一步：设变量，一般设一条边长为自变量x 第二步：用含x的式子，表示其他相关边长，利用几何条件（周长、总长、围栏总长、线段和差），把剩下的边用x表达。 第三步：列二次函数关系式，求最值和确定自变量取值范围（重中之重！） 特别注意：顶点的x必须在自变量取值范围内，最值才是顶点；如果顶点不在范围内，最值看取值范围最值。 【习题练习一】 1．如图，李叔叔想用长为的篱笆围成一个矩形草莓园，且要求矩形的一边的长不得低于，草莓园中有一横两纵且宽均为的小路，其余部分种草莓，则种草莓部分的最大面积为（） A． B． C． D． 2．如图，某中学把五育并举与减负延时服务相结合，劳动课准备在校园里利用校围墙的一段再围三面篱笆，形成一个矩形茶园，让学生在茶园里体验种茶活动．现已知校围墙长25米，篱笆40米长（篱笆用完），设长米，矩形茶园的面积为平方米．则的最大值是______平方米． 3．某体验馆建造了一幢“森林”主题场馆，如图是馆内抛物线形模拟洞穴的横截面，现需要在洞穴内壁架设平行于地面的钢架，两端分别在洞穴最高点两侧．在钢架正下方隔离出一片矩形区域，且在水平地面上．如图，以O为坐标原点、水平地面为x轴建立平面直角坐标系，抛物线与x轴相交于O、E，经测量长8米． (1)若在抛物线上，求该抛物线表达式． (2)在（1）的条件下，若隔离区矩形区域的高米，则隔离区的面积为多少？ 【知识回顾】图形运动问题方法总结 解决二次函数图形运动问题时，先设运动时间或移动距离为变量，再找出图形运动的临界时刻，划分自变量的取值区间，在每一段区间内用含变量的代数式表示动态图形的底和高，结合面积公式列出对应区间的函数解析式，最后根据函数类型，结合自变量取值范围求面积最值或者根据面积列方程求解。 注意：解题一定要分段讨论，不能只用一个解析式概括全过程，列式时注意线段的和差关系，保证线段长度为正数；求二次函数最值时，要检验顶点横坐标是否在对应自变量区间内，不在区间就取端点值；解方程得到的根必须检验是否符合对应区间，及时舍去不符合题意的增根。 【习题练习二】 1．如图，矩形中，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．已知k为任意实数，随着k的变化，抛物线y＝x2﹣2（k＋2）x＋k2﹣2的顶点随之运动，则顶点运动时经过的路径与两条坐标轴围成图形的面积是_____． 3．如图，等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，边与边在同一条直线上．沿方向以的速度匀速运动，开始时点A与点M重合，运动到点A与点N重合时停止．设运动的时间为，运动过程中与正方形重叠部分的面积为．试写出关于t的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． 【知识回顾】拱桥问题方法总结 解决二次函数拱桥问题，先建立平面直角坐标系，一般把抛物线顶点或拱桥两端点放在坐标轴上简化计算，再根据已知点坐标代入设好的二次函数解析式求出函数关系式，接着把题目所求的水平或竖直长度转化为自变量或函数值，代入解析式进行计算，最后结合实际问题写出答案。 【习题练习三】 1．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为，那么水位上涨时，水面的宽度为（   ） A． B． C． D． 2．如图，一辆宽为的货车要通过跨度为，拱高为的单行抛物线形隧道（从正中通过），抛物线满足表达式 ，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是________m． 3．某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，是保温墙，，已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若保温墙的高度为米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙到点O的水平距离（即的长）． 【知识回顾】销售问题方法总结 解决二次函数销售利润问题，先设定涨价或降价的变量，用含变量的式子表示变化后的单件利润与销售量，再根据总利润 = 单件利润 × 销售量列出二次函数解析式，确定自变量的取值范围，最后结合开口方向，判断顶点横坐标是否在取值范围内，求出最大利润或对应售价。 【习题练习四】 1．衡水烤鸭蛋是衡水的特产，某特产店销售情况如下，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．某企业有效做好常态化防控，有序推进复工复产，扩大内需，经市场调研发现：如果单独投资A种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在一次函数关系：；如果单独投资B种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：，如果企业同时对A、B两种产品共投资20万元，能获得的最大利润_____． 3．某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售5件． (1)在每件降价幅度不超过10元的情况下，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ (2)小明说：“根据薄利多销的原则，只要降价不超过44元，降价越多每天获利越大．”你认同他的说法吗？请通过计算说明理由． 【综合提高】 1．如图，已知正方形的边长是1，正方形的顶点分别在，，，上．设正方形的面积是S，的长是x，则下列说法正确的是（   ） A．当时，S有最小值 B．当时，S有最大值 C．S随x的增大而减小 D．S随x的增大而增大 2．如图，是等腰直角三角形，，，点是边上一个动点，沿的路径运动，过点作于点，设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 3．如图1是某地的一座桥塔，它的外轮廓近似呈如图2所示的抛物线形，A、B为该抛物线桥塔与桥面所在平面的两个交点（点A与点B关于该抛物线的对称轴对称），点O在的延长线上，以所在直线为x轴，抛物线所在平面内过点O且与垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式，若点P在抛物线上，且在对称轴的右侧，点P到x轴的距离为，则点P到y轴的距离为（     ） A． B． C． D． 4．在1~7月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息，如图所示，其中每千克成本和月份之间满足二次函数关系，每千克售价和月份之间满足一次函数关系，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份是（     ） A．1月份 B．2月份 C．5月份 D．7月份 5．如图是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，设直道的长为米，足球场的面积为平方米，则关于的函数关系式（结果保留）为______． 6．如图1，在平行四边形中，，已知动点以的速度从点向点运动，动点的速度是点的倍，从点向点运动．若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象（点为图象的最高点），则平行四边形的面积为_____． 7．如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 8．道县某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千元降价x（元）之间满足一次函数关系（其图象如图所示），则这种干果每千克降价___________元时，可获得最大利润． 9．阅读以下素材，完成任务挑战． 如何制订黄山毛竹雕刻的销售方案 素材1 以黄山毛竹为原料的徽州竹雕是安徽传统特色手工艺．黄山风景区一家文创商铺售卖竹雕笔筒，成本价为80元/件． 素材2 据调查发现：该店每天销售这款笔筒的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的函数关系： 素材3 现受市场因素的影响，该款笔筒销售单价不低于成本价，同时不高于成本价的1.5倍． 任务挑战 (1)【任务1】确定销售量模型：求该店每天销售这款笔筒的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式，直接写出自变量的取值范围． (2)【任务2】拟定最优方案：当这款笔筒的销售单价定为多少元时，才能使每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 10．“走千走万，不如淮河两岸”．淮南市位于淮河沿岸，物产丰饶．淮南牛肉汤历史悠久，经过多年的发展已成为一张靓丽的地方名片．如图所示的是一个汤碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底中心O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽为，碗深为． (1)若向空碗中缓慢注水，当水面的水平宽度为时，求此时水面距离碗底的竖直高度； (2)已知碗内盛满水，则当水面的竖直高度下降时，碗中水面的水平宽度为多少?（碗的厚度忽略不计，结果保留根号） 11．如图，在中，，，，动点从沿以向运动，动点从沿以向运动，同时出发．当其中一个动点运动到目标点时，另一个点停止运动．设 面积为，运动时间为． (1)当时，求的值； (2)求的表达式及的最大值． 12．小明设计的风筝如图所示，其中风筝的两根龙骨和互相垂直，交点为点E，且，若他计划用长为的毛竹制作龙骨（不计损耗），设，四边形的面积为． (1)求出S与x之间的函数解析式； (2)当x取何值时，四边形的面积最大，此时最大面积是多少？ 参考答案 习题练习一： 1．B 2． 3．(1) (2) 习题练习二： 1．A 2． 3． 习题练习三： 1．A 2．4 3．(1) (2)保温墙到点O的水平距离为8米 习题练习四： 1．B 2．14万元 3．(1)每件应降价4元 (2) 不认同，理由如下： 设每件降价元，获利为元，由题意得， 即， 因为，所以当时，获利最大，即每件降价20元时，可获得最大利润， ∴小明的说法不正确． 综合提高： 1．A 2．B 3．D 4．C 5． 6．96 7． 8．5 9．(1) (2)这款笔筒销售单价定为120元时，才能使每天获取的利润W最大，最大利润为2400元 10．(1) (2) 11．(1) (2)，的最大值是 12．(1) (2)当时，四边形的面积最大，最大面积是 学科网（北京）股份有限公司 $