专题16 二次函数最值问题与求参数范围题型专项练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题16 二次函数最值问题与求参数范围题型 第一部分 典例剖析+针对训练 类型一 隐含范围的最值问题 【例1】若实数x、y满足 ，设 ，则s的取值范围是（    ） A．s≥3 B． C．s≤3 D．s≥8 【答案】B 【分析】由已知等式表示出y2，代入s中利用二次函数最值即可确定出s范围． 【详解】由，得：， ∴， 代入得：， ∴当时s随x的增大而减小 ∴当时s有最小值，最小值为 ∴ 故选：B． 【点睛】此题考查了非负数的性质，用一个未知数表示另一个未知数，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是关键． 【针对训练】 1．已知实数m，n满足，则代数式的最小值等于______． 【答案】4 【分析】根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据偶次方的非负性解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则 ， ∵， ∴， 即代数式的最小值等于4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是代数式的最值，配方法的应用；熟练的运用配方法求解代数式的最值是解本题的关键． 2.已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于4，则的取值范围为______，代数式的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将二次函数解析式化为顶点式可得抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，结合题意可得，求出抛物线与轴的交点坐标为，结合线段的长不大于4，得出，求出，从而可得的最小值为，代入所求式子即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， ∵抛物线过点，两点， ∴， 当时，， ∴，， 即点A、B的横坐标为，， ∵线段的长不大于4， ∴， ∴， ∴的最小值为，此时代数式，即代数式的最小值为， 故答案为：，． 类型二 分段函数中的最值问题 【例2】记实数、，中的最小值为，例如，当取任意实数时，则的最大值为（    ） A．－3 B．－2 C．2 D．3 【答案】D 【分析】在同一坐标系中画出两个函数的图象，观察最大值的位置，通过求函数值，求出最大值． 【详解】画出函数和的图象，如图： 由图可知：当时，函数有最大值，最大值为3， 所以的最大值为3， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和正比例函数的性质，画出函数的图象，数形结合容易求解． 【针对训练】 1．（2026春•南通期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0）． （1）若a＝1，求此函数与x轴的交点坐标； （2）对于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0），当a＜0，﹣2≤x≤7时，y的最大值与最小值的差为5，求a的值； （3）将y＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0）在﹣2≤x≤7间的图象记为G，若图象G与直线y＝﹣x+5有2个不同的交点，请求出a的取值范围． 【分析】解：（1）先求出函数表达式，再令y＝0，解方程即可得坐标； （2）先求得其对称轴为直线x＝2，再根据区间与对称轴的相对位置表示出最大值和最小值，从而可建立方程求解； （3）先利用根的判别式证明抛物线与直线总有交点，再求出当x＝﹣2时，二次函数y＝7a，一次函数y＝7；当x＝7时，二次函数y＝16a，一次函数y＝﹣2，由图象G与直线y＝﹣x+5有2个不同的交点，分为当a＞0和当a＜0两种情况分别建立不等式即可求得a的取值范围，另外当Δ＝0时只能求得一个交点，此时得到的a值须排除． 【解答】解：（1）当a＝1时，二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5a＝x2﹣4x﹣5， 令y＝0，即x2﹣4x﹣5＝0， 解得：x＝5或﹣1， 即此函数与x轴的交点坐标为（5，0）和（﹣1，0）； （2）对于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5a可得其对称轴为直线x＝2， 当a＜0时，图象开口向下， 故﹣2≤x≤7时，即在x＝2处，取得最大值，ymax＝﹣9a， 在x＝7处，取得最小值，ymin＝16a， ∵y的最大值与最小值的差为5， ∴﹣9a﹣16a＝5， 解得：a； （3）联立y＝ax2﹣4ax﹣5a与y＝﹣x+5， 整理可得ax2﹣（4a﹣1）x﹣5a﹣5＝0， 则Δ＝（4a﹣1）2﹣4a（﹣5a﹣5）＝36a2+12a+1＝（6a+1）2≥0， 即抛物线与直线总有交点． 当x＝﹣2时，二次函数y＝7a，一次函数y＝7； 当x＝7时，二次函数y＝16a，一次函数y＝﹣2， 将y＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0）在﹣2≤x≤7间的图象记为G， 当图象G与直线y＝﹣x+5有2个不同的交点时， 当a＞0时，即满足7a≥7且16a≥﹣2， 解得：a≥1； 当a＜0时，即满足7a≤7且16a≤﹣2， 解得：a； 当Δ＝0时，即Δ＝（6a+1）2＝0，解得a， 则此时在﹣2≤x≤7间只存在一个交点，不满足题意， 综上，a的取值范围为a≥1或a且a． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，区间最值与交点分布，根的判别式，分类讨论的数学思想，掌握以上性质内容并能综合分析是解题关键． 类型三 分段函数中的取值范围问题 【例3】已知，，当时，函数；当时，函数．点在函数y的图象上，当n取一实数时，存在三个不同的实数m，则n的取值范围是 _____． 【答案】 【分析】首先画出两个函数图像，再根据已知条件画出y的函数图像，求出点A和点B坐标，将当n取一实数时，存在三个不同的实数m转化为存在一点，使直线与的图像有三个不同的交点，根据点A和点B的纵坐标可得n的范围． 【详解】解：画和的图像如下： ∵当时，函数；当时，函数， ∴， 则图像如下： 如图，点A为的顶点，点B为与y轴交点， 在中，顶点为，即， 令，则，则； ∵当n取一实数时，存在三个不同的实数m， ∴存在一点，使直线与的图像有三个不同的交点， ∴当直线在和之间时，满足条件， 故n的范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图像和性质，题目比较抽象，解题的关键是读懂题意，转化为图像问题，利用数形结合思想求解． 【针对训练】 1．（2025•南充）已知某函数图象关于y轴对称，当0≤x≤2时，y＝x2﹣2x；当x＞2时，y＝2x﹣4．若直线y＝x+b与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数b的范围是（　　） A．b＜0 B．b C．b≤0 D．b或b＞0 【分析】先根据函数图象关于y轴对称，求出x＜0时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线y＝x+b的平移，分析直线与函数图象有四个交点时b的取值范围． 【解答】解：∵函数图象关于y轴对称，当0≤x≤2时，y＝x2﹣2x， ∴当﹣2≤x＜0时，y＝x2+2x；当x＜﹣2时，y＝﹣2x﹣4． 画出函数图象： 当0≤x≤2时，y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，这是一个开口向上，顶点为（1，﹣1），与x轴交点为（0，0），（2，0）的抛物线一部分． 当x＞2时，y＝2x﹣4，是一条k为2，过（2，0）的射线． 根据对称性画出x＜0时的函数图象． 联立（﹣2≤x＜0时），得x2+x﹣b＝0， 当Δ＝1+4b＝0，即时，直线与y＝x2+2x（﹣2≤x＜0）相切． 当直线过（0，0）时，b＝0． 结合图象可知，当时，直线y＝x+b与这个函数图象有且仅有四个不同交点． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，点，是抛物线上的两个不同点． (1)当时，有，求的值； (2)若，当时，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． （1）由题意，根据，得出A、B两点关于对称轴对称，再由中点坐标公式可得解． （2）利用二次函数的图象和性质判断即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为 ∵， ∴点，关于直线对称. ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴； ①当时，随着的增大而减小， ∵当时，都有， ∴， ∴， ∴； ②当时，随着的增大而增大， ∴点关于直线的对称点的坐标是. ∵当时，都有， ∴， ∴. 综上，的取值范围是或. 3．阅读下面的材料： 在同一直角坐标系中，判断两个函数的图象有无交点、交点的个数以及交点的坐标时，可以将问题转化为方程或方程组的解的问题． 如果两个函数的图象有交点，则它们的解析式组成的方程或方程组有解，且交点的个数等于解的个数．对于方程组来说，的解是交点的横坐标，的解是交点的纵坐标（两个函数都是关于的函数）． 根据以上材料，解决下面的问题： (1)函数与的图象如图1所示，则方程有______个实数根，分别为_______； (2)已知函数的图象如图2所示． ①若方程有三个实数根，则的值是_______； ②若方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是_______； ③若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． (3)已知抛物线与直线的图象只有一个公共点，求实数的值． 【答案】(1)2；，； (2)① 4 ；② ；③ 或 (3) 【分析】（1）观察图像，根据交点坐标即可得到答案； （2）根据图像与的交点进行分析，即可得到答案； （3）根据函数图像只有一个交点可知，联立方程只有一组解，即，即可得到答案． 【详解】（1）解：由图象可知，函数与的图象有两个交点，其坐标分别为； ∴方程有2个实数根，分别为，； 故答案为：2；，； （2）解：由函数的图象可知， ①当时，直线与的图象有3个交点，故若方程有三个实数根，则的值是4；， ②当时，直线与的图象有4个交点，故若方程有4个实数根，则的取值范围是；， ③当或时，直线与的图象有2个交点，故若方程有2个实数根，则的取值范围是或；， 故答案为：① 4 ；② ；③ 或 （3）解：由题意可知：方程，即有两个相等的实数根 ∴ 解之得： 【点睛】本题是二次函数的拓展题，主要考查了二次函数的图象和性质以及二次函数与一元二次方程的关系，正确读懂图象信息、熟练掌握图象交点与方程解的关系、灵活应用数形结合的思想是解题的关键． 类型四 已知函数最值，求参数的取值范围 【例4】函数的最小值为，不等式的解集为，则实数k的值为____． 【答案】17 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得到，方程的两个根为n和，进而求解即可． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴方程的两个根为n和，即函数的图象与直线的交点的横坐标为n和， ∴①，且二次函数的对称轴为直线， ∴，即②； ∵函数的最小值为， ∴，即③， 将②③代入①中，得 ， 故答案为：17． 【针对训练】 1．已知二次函数，经过点和点．当时，的取值范围为或．则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的性质，利用函数图像上的点的关系和函数解析式解得对称轴分别为，，得，代入二次函数变为，将点和点代入求得m，n即可求得答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴函数的对称轴为， ∵当时，的取值范围为或， ∴二次函数与直线的交点为和， ∴对称轴为， ∴，解得， 则二次函数， ∵点和点过二次函数， ∴，， ∵， ∴， 故选∶A． 类型五 二次函数中的分离参数法 【例5】二次函数的图象如图，对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在这一范围内有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，数形结合是解答本题的关键． 先利用抛物线的对称轴求出m得到抛物线解析式为，再计算出自变量为1和5对应的函数值，然后利用函数图象写出直线与抛物线在时有公共点时t的范围即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，； 当时，， 当直线与抛物线在时有公共点时，，如图． 所以关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，t的取值范围为． 故选C． 【针对练习】 1．在直角坐标系中，点的坐标为，若抛物线与线段有且只有一个公共点，则的取值范围为______． 【答案】或 【分析】分两种情况：抛物线的顶点在x轴上和抛物线的顶点在x轴下方两种情况求解可得． 【详解】∵点的坐标为，抛物线与线段有且只有一个公共点， ∴抛物线顶点在x轴上，或者当x=0时，y<0；且当x=3时,y>0； ∴或， 解得，或. 故答案为或 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 2．已知：二次函数(a为常数)． (1)请写出该二次函数图象的三条性质； (2)在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1)见解析；(2)． 【分析】(1)可从开口方向、对称轴、最值等角度来研究即可； (2) 先由二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点，即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，由此可得，再根据二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个交点，也就是说二次函数的图象与轴的部分有两个交点，画出函数的图象，结合图象，可知当时，，将x=4代入求得a的取值范围，由此即可求得答案. 【详解】(1)①图象开口向上；②图象的对称轴为直线；③当时，随的增大而增大；④当时，随的增大而减小；⑤当时，函数有最小值； (2)∵二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点， ∴，即， ，解得， ∵二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个交点， ∴二次函数的图象与轴的部分有两个交点， 画出二次函数的图象，结合图象， 可知当时，， ∴当时，，得， ∴当二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个交点时， 的取值范围为． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及了二次函数的性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，二次函数的图象与x轴交点问题，正确进行分析并运用数形结合思想、灵活运用相关知识是解题的关键. 第二部分 专题提优检测 一、选择题（每题5分，共20分） 1．在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴右侧，则该二次函数有（     ） A．最小值7 B．最大值 C．最大值7 D．最小值 【答案】C 【分析】先把点代入得，求出或，结合抛物线的对称轴在轴右侧，则，然后根据二次函数的性质求解即可. 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入得， 解得或， ∵二次函数的对称轴为，对称轴在轴右侧， ∴，即， ∴， ∴二次函数解析式为， 配方得， ∵，抛物线开口向下 ∴该二次函数有最大值，最大值为. 2．在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的对称轴为直线，则下列关于该函数的结论正确的是（   ） A．的值为 B．抛物线不可能经过坐标原点 C．的最大值为 D．关于的方程在范围内有实数根，则 【答案】D 【详解】解：A选项，二次函数图象的对称轴为直线，，，A选项不符合题意； B选项，，，当时，二次函数为，当时，，即当时，抛物线经过坐标原点，B选项不符合题意； C选项，，抛物线的对称轴为直线，当时，取得最小值，此时最小值为，C选项不符合题意； D选项，关于的方程在的范围内有实数根，当时，，；当时，，，，D选项符合题意． 3．抛物线的对称轴为直线，若直线与抛物线在的范围内有交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据对称轴求出抛物线解析式，再找出的范围内的最高点和最低点，从而求出m的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 在的范围内， 当时，有最小值， 当时，有最大值6， ∵直线与抛物线在的范围内有交点， ∴． 4．若二次函数与轴两交点横坐标为与，且，均为正实数，那么a的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．先得出关于的方程有两个不相等的实数根，且，利用一元二次方程根的判别式可得，再利用一元二次方程的根与系数的关系可得，，则，由此即可得． 【详解】解：∵二次函数与轴有两个交点， ∴关于的方程有两个不相等的实数根，且， ∴这个方程根的判别式， ∴， 又∵关于的方程的两根，均为正实数， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（每题5分，共20分） 5．若二次函数（为常数）的最小值为，则的值为_____． 【答案】 【分析】二次函数开口向上，最小值为顶点纵坐标，根据题意列方程求解参数． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为， ∴函数图象开口向上，最小值为顶点的纵坐标， 函数配方得：， ∴函数的最小值为， 根据题意，得：， 解得． 6．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是__________． 【答案】36 【分析】先根据方程有两个实数根确定t的取值范围，再利用根与系数的关系得到和的表达式，将所求式子整理为关于t的二次函数，最后根据二次函数性质求最小值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴，化简得， 解得， ∵，是该一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， 展开整理得：， 将，代入得：， ∵二次函数开口向上，对称轴为，且， ∴当时，取得最小值， 将代入得最小值为． 7．将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为____________． 【答案】 【分析】求出翻折后新函数的分段解析式，分别计算直线与中间段抛物线相切、直线经过右侧交点时的值，结合图象确定范围． 【详解】解：令，得解得， 抛物线与轴交点为和 新函数在时，； 在或时， 当直线与相切时 方程有两个相等实数根 整理得 即 解得 当直线经过点时 ，解得 如图， 结合图象可知，当时，直线与新函数的图象有个公共点． 8．定义：如果一个函数，当时，函数值y满足，且，则把该函数称为在范围内的“k倍界”函数．例如，一次函数，当时，，且由，得，则一次函数称为在范围内的“3倍界”函数．若关于x的二次函数是在范围内的“2倍界”函数，则_________． 【答案】或 【分析】先求出关于x的二次函数图象的对称轴为直线，得到当或时，二次函数的函数值相等，分和两种情况讨论即可． 【详解】解：∵， ∴关于x的二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴当或时，二次函数的函数值相等， 当时，二次函数有最小值为， 在范围内，当或时，有最大值为， ∵二次函数是在范围内的“2倍界”函数， ∴， ∴； 当时，二次函数有最大值为， 在范围内，当或时，有最小值为， ∴， ∴； 综上，或． 三、解答题（每题12分，共60分） 9．在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）的顶点为A． (1)当时，点A的坐标是 ，抛物线与y轴交点的坐标是 ； (2)若点A在第一象限，且，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围； (3)当时，若函数的最小值为3，求m的值； 【答案】(1)点A的坐标为，抛物线与y轴交点的坐标为． (2)抛物线对应的二次函数表达式为；函数值y随x的增大而减小时x的取值范围是． (3)m的值为或． 【分析】（1）将代入直接可以求出顶点A的坐标，令中求出与y轴交点坐标； （2）顶点，由点A在第一象限，且即可求出的值，进而求出解析式，再由开口向上可知在对称轴左侧y随x的增大而减小，由此即可求解； （3）分和时讨论：当且时，函数的最小值为时取得；当，且时，时，函数的最小值为时取得． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数顶点坐标， 当时，顶点坐标为， 此时抛物线解析式为：，令， ∴， ∴抛物线与y轴交点的坐标为； （2）解：∵顶点坐标， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵A点在第一象限， ∴， ∴此时抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为，且抛物线开口向上， ∴在对称轴左侧y随x的增大而减小， ∴y随x的增大而减小时的取值范围为：； （3）解：∵， ∴函数的对称轴为，且开口向上， 当，且时，时，函数有最小值为， ∵函数的最小值为3， ∴， 解得， 当，且时，时，函数有最小值为， ∵函数的最小值为3， ∴， 解得或(正值舍去)， 故m的值为或． 10．一次函数的图像记为，二次函数的图像记为，其中为常数，． (1)当过点时，求的值； (2)求证：与一定有交点； (3)点与点分别在，上，若且，求线段的最大值． 【答案】(1) (2)证明：令，得， 整理得， ， 该方程是关于的一元二次方程， 其判别式， ， 该一元二次方程总有实数根，即与一定有交点； (3)线段的最大值为 【分析】（1）将点代入，即可求解； （2）令，得，整理得，由于，得到该方程是关于的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式即可求解； （3）由题意可得，，则，结合得到，令，根据二次函数的性质求出的最大值即可． 【详解】（1）解：将点代入得 ， 解得； （2）略 （3）解：点与点分别在，上， ，， ， ， ， ， 令， 该函数开口向上，对称轴为直线，则当时，函数有最小值为， ， ，，且， 当时，取最大值，最大值为， 线段的最大值为． 11．已知二次函数（），点，都在该二次函数的图象上 (1)用含n的代数式表示m． (2)当时，y随x的增大而减小，求n的值范围 (3)若，求n的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解不等式，解题的关键是理清题中多个参数，逐步根据关系列不等式求解． （1）根据A，C两点的坐标特征以及对称轴的求法，根据对称轴的不同求法列出等式，整理即可； （2）由题意得到抛物线开口向下，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而减小，又当时，y随x的增大而减小，则，再由，且，即可求出n的值范围； （3）利用（1）中结论，分别将点B和点C代入函数表达式，根据q的范围列出相应不等式，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵都在二次函数的图象上， ∴对称轴为直线， 又对称轴为直线， ∴； （2）解：∵（）中，， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴； ∵，且， ∴， 解得， 故； （3）解：∵，， ∴，解得：，此时对称轴在y轴右侧， 令，则， 令，则， 解得：，则，解得：； 令，则， ∵，， ∴ ， 整理得：， 令，再令， 解得：或， 如图，二次函数开口向上，与横轴交于和， 若，则或， 综上：n的取值范围是或． 12．已知二次函数（a，c是常数，）． (1)求该函数图象的对称轴； (2)当时，随的增大而减小，求的范围； (3)已知点，都在二次函数的图象上，若，求的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线； (2)的取值范围是； (3)的取值范围是或 【分析】（1）根据对称轴公式即可求解； （2）根据二次函数的性质即可求解； （3）根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线； （2）解：∵， ∴二次函数图象开口向上， ∵对称轴为直线， ∴在对称轴左侧，y随x增大而减小，即时递减， 题目要求时，y随x增大而减小， ∴的取值范围是； （3）解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，与y轴的交点为， ∴关于对称轴的对称点为， 点，都在二次函数的图象上，且， 当在左侧时， ∵在对称轴左侧，y随x增大而减小， ∴； 当在右侧时， ∵关于对称轴的对称点为，在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∴； 综上可知，或． 13．已知二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点． (1)求这个二次函数的对称轴； (2)将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求n的值． 【答案】(1)直线． (2)或 【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴只有一个公共点得到，求出m的值后，将二次函数解析式化为顶点式，即可解答； （2）先表示出平移后的新抛物线的解析式为，根据二次函数在的范围内有最小值，则当或时，二次函数取得最小值，分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点， 故， 整理，得， 解得，， ， 舍去， 故， 故， 故抛物线的对称轴为直线； （2）解：， 将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数的解析式为， 根据题意，得新的二次函数在的范围内有最小值，即， ， 的图象开口向下，且对称轴的左侧y随x的增大而增大，对称轴的右侧，y随x的增大而减小． ∴当或时，二次函数取得最小值． ①若当时，二次函数取得最小值，则， 解得， ∵， ∴ ②若当时，二次函数取得最小值，则， 解得， ∵， ∴； 综上所述，符合题意的n的值为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 二次函数最值问题与求参数范围题型 第一部分 典例剖析+针对训练 类型一 隐含范围的最值问题 【例1】若实数x、y满足 ，设 ，则s的取值范围是（    ） A．s≥3 B． C．s≤3 D．s≥8 【针对训练】 1．已知实数m，n满足，则代数式的最小值等于______． 2.已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于4，则的取值范围为______，代数式的最小值是______． 类型二 分段函数中的最值问题 【例2】记实数、，中的最小值为，例如，当取任意实数时，则的最大值为（    ） A．－3 B．－2 C．2 D．3 【针对训练】 类型三 分段函数中的取值范围问题 【例3】已知，，当时，函数；当时，函数．点在函数y的图象上，当n取一实数时，存在三个不同的实数m，则n的取值范围是 _____． 【针对训练】 1．（2025•南充）已知某函数图象关于y轴对称，当0≤x≤2时，y＝x2﹣2x；当x＞2时，y＝2x﹣4．若直线y＝x+b与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数b的范围是（　　） A．b＜0 B．b C．b≤0 D．b或b＞0 2．在平面直角坐标系中，点，是抛物线上的两个不同点． (1)当时，有，求的值； (2)若，当时，都有，求的取值范围． 3．阅读下面的材料： 在同一直角坐标系中，判断两个函数的图象有无交点、交点的个数以及交点的坐标时，可以将问题转化为方程或方程组的解的问题． 如果两个函数的图象有交点，则它们的解析式组成的方程或方程组有解，且交点的个数等于解的个数．对于方程组来说，的解是交点的横坐标，的解是交点的纵坐标（两个函数都是关于的函数）． 根据以上材料，解决下面的问题： (1)函数与的图象如图1所示，则方程有______个实数根，分别为_______； (2)已知函数的图象如图2所示． ①若方程有三个实数根，则的值是_______； ②若方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是_______； ③若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． (3)已知抛物线与直线的图象只有一个公共点，求实数的值． 类型四 已知函数最值，求参数的取值范围 【例4】函数的最小值为，不等式的解集为，则实数k的值为____． 【针对训练】 1．已知二次函数，经过点和点．当时，的取值范围为或．则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 类型五 二次函数中的分离参数法 【例5】二次函数的图象如图，对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在这一范围内有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【针对练习】 1．在直角坐标系中，点的坐标为，若抛物线与线段有且只有一个公共点，则的取值范围为______． 2．已知：二次函数(a为常数)． (1)请写出该二次函数图象的三条性质； (2)在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个交点，求的取值范围． 第二部分 专题提优检测 一、选择题（每题5分，共20分） 1．在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴右侧，则该二次函数有（     ） A．最小值7 B．最大值 C．最大值7 D．最小值 2．在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的对称轴为直线，则下列关于该函数的结论正确的是（   ） A．的值为 B．抛物线不可能经过坐标原点 C．的最大值为 D．关于的方程在范围内有实数根，则 3．抛物线的对称轴为直线，若直线与抛物线在的范围内有交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若二次函数与轴两交点横坐标为与，且，均为正实数，那么a的范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每题5分，共20分） 5．若二次函数（为常数）的最小值为，则的值为_____． 6．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是__________． 7．将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为____________． 8．定义：如果一个函数，当时，函数值y满足，且，则把该函数称为在范围内的“k倍界”函数．例如，一次函数，当时，，且由，得，则一次函数称为在范围内的“3倍界”函数．若关于x的二次函数是在范围内的“2倍界”函数，则_________． 三、解答题（每题12分，共60分） 9．在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）的顶点为A． (1)当时，点A的坐标是 ，抛物线与y轴交点的坐标是 ； (2)若点A在第一象限，且，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围； (3)当时，若函数的最小值为3，求m的值； 10．一次函数的图像记为，二次函数的图像记为，其中为常数，． (1)当过点时，求的值； (2)求证：与一定有交点； (3)点与点分别在，上，若且，求线段的最大值． 11．已知二次函数（），点，都在该二次函数的图象上 (1)用含n的代数式表示m． (2)当时，y随x的增大而减小，求n的值范围 (3)若，求n的取值范围． 12．已知二次函数（a，c是常数，）． (1)求该函数图象的对称轴； (2)当时，随的增大而减小，求的范围； (3)已知点，都在二次函数的图象上，若，求的取值范围． 13．已知二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点． (1)求这个二次函数的对称轴； (2)将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求n的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $